信号系统关于栅栏效应和吉布斯效应验证

1、佳木斯大学课程设计报告基于 MATLAB 的信号吉布斯效应和栅栏效应的验证学院信息电子技术专业班级学 籍 号姓名指导教师佳 木 斯 大 学2015 年 7 月 5 日第一章 Matlab 和 GUI 简介1.1 Matlab简介MATLAB（矩阵实验室）是MATrix LABoratory的缩写，是一款由美国The MathWorks公司出品的商业数学软件。 MATLAB是一种用于算法开发、数据可视化、数据分析以及数值计算的高级技术计算语言和交互式环境。除了矩阵运算、绘制函数 / 数据图像等常用功能外， MATLAB还可以用来创建用户界面及与调用其它语言（包括 C，C+和 FORTRAN）编写

2、的程序。尽管 MATLAB主要用于数值运算，但利用为数众多的附加工具箱（ Toolbox ）它也适合不同领域的应用，例如控制系统设计与分析、图像处理、信号处理与通讯、金融建模和分析等。另外还有一个配套软件包 Simulink ，提供了一个可视化开发环境，常用于系统模拟、动态 / 嵌入式系统开发等方面。MATLAB和 Mathematica 、Maple 并称为三大数学软件。它在数学类科技应用软件中在数值计算方面首屈一指。MATLAB可以进行矩阵运算、绘制函数和数据、实现算法、创建用户界面、连接其他编程语言的程序等，主要应用于工程计算、 控制设计、信号处理与通讯、图像处理、信号检测、金融建模设计

3、与分析等领域。MATLAB的基本数据单位是矩阵， 它的指令表达式与数学、 工程中常用的形式十分相似，故用 MATLAB来解算问题要比用 C，FORTRAN等语言完成相同的事情简捷得多， 并且 MATLAB 也吸收了像 Maple 等软件的优点，使 MATLAB成为一个强大的数学软件。在新的版本中也加入了对 C，FORTRAN，C+，JAVA 的支持。可以直接调用 , 用户也可以将自己编写的实用程序导入到 MATLAB函数库中方便自己以后调用，此外许多的 MATLAB爱好者都编写了一些经典的程序，用户可以直接进行下载就可以用。1.2 GUI 简介GUI是 Graphical User Inter

4、face 图形用户界面的意思，象很多高级编程语言一样， Matlab 也有图形用户界面开发环境， 随着计算机技术的飞速发展， 人与计算机的通信方式也发生的很大的变化，从原来的命令行通讯方式（例如很早的 DOS系统）变化到了现在的图形界面下的交互方式，而现在绝大多数的应用程序都是在图形化用户界面下运行的。GUI 的广泛应用是当今计算机发展的重大成就之一，他极大地方便了非专业用户的使用。人们从此不再需要死记硬背大量的命令，取而代之的是可以通过窗口、菜单、按键等方式来方便地进行操作。 而嵌入式 GUI 具有下面几个方面的基本要求： 轻型、占用资源少、高性能、高可靠性、便于移植、可配置等特点。第二章离

5、散傅立叶变换2.1傅立叶变换的定义所谓傅里叶变换就是在以时间为自变量的“信号”与以频率为自变量的“频谱”函数之间的某种变换关系。随时间自变量形式的不同，其傅里叶变换的形式也有不同，常用的两种傅里叶变换：周期序列的离散傅里叶级数 (DFS)和非周期序列的傅里叶变换 (DTFT)，其表示式分别为：N1j2X k DFS x nnkx n eNn 0(2-1)X (e j )DTFT x( n)x(n)e j nn(2-2)在实际工作中，当用数字计算机对信号进行频谱分析时，要求信号必须以有限长度的离散值作为输入，而计算所得的频谱值自然也是有限、离散的。上述两种形式的傅里叶变换中， DFS 变换满足时

6、、频域自变量的离散化，但其时间变量和频率变量又同时具有周期性；DTFT变换满足时间自变量的有限长度( 非周期能量有限信号 ) ，但其频率变量为连续形式。可见，这两种变换都难以实际应用。考虑到DFS变换的时、频域形式虽是周期序列，但每个周期却只有N 个独立的复值，知道其一个周期的内容即可得到其它的内容。因此，若从 DFS变换的时、频域各取出一个周期，即可构造出时间和频率自变量皆为离散、有限长度的傅氏变换，这就是离散傅里叶变换(DFT)的引出思想，下面进行具体推导。设 x n 是一个长度为M 的有限长序列，由周期序列与有限长序列的本质联系，可以N( N M ) 为周期将 xn 展开为无重叠的周期序

7、列，即周期延拓为x nx n rN(2-3)r再对 x n 进行 DFS 变换，得到周期离散的频谱X k (k( , ) ，取 Xk的主值序列(k 0,1,., N 1)，代入 DFS反变换公式即1N12jknx nIDFS X kX k e N(2-4)N k02j N nk(n0,1,.,N1) ，分析可见：在 DFS正变换中， 只要把一个周期内的 x n乘以对应的 e1) ，即可得任意 k 下的 Xk ；同理，在 DFS反变换中，仅用 X k 的一个周期的值( k0,1,., N式中的 n 和(2-4) 式中的 k，使其都只在即可得到任意 n 下的 x n 。如果同时限制 (2-3)0

8、N 1 区间内取值，就得到了一个周期的x n和一个周期的 X k 间的对应关系N 1X kx n WNknn 00kN1(2-5)x n1 N 1X k W knN k 0N0nN1(2-6)式中， WNej 2N，N 为 DFT变换区间的长度，上两式即称为有限长序列的离散傅里叶变换对。 (2-5) 式称为离散傅里叶变换，简称DFT；(2-6)式称为离散傅里叶逆变换 (InverseDiscrete Fourier Transform)，简称 IDFT。由上述 DFT的推导过程和定义可以看出，DFT变换具有隐含周期性。一方面由于DFT变换由 DFS变换引出，另一方面由DFT定义式中的 WNnk

9、满足下述周期性WNnkWNn (k mN )WNk (n mN )为整数(2-7)m使得有限长序列 x n 和 X k 均具有周期性，即满足N1N 1X k mNx n WN(k mN ) nx n WNknX kn0n 0N 1N1x n mNX k WN (n mN ) kx n WN knx( n)k 0k0因此，周期序列(2-3) ，又可表示为x n 可以看作长度为N 的有限长序列x n 的周期延拓序列，如式xn(2-8)x nN式 中 RN n 是 矩 形 序 列 ，n N 是 余 数 运 算 表 达 式 ， 即 若 nmN n10n1N 1,m为整数nn1xnx n() ，则NN

10、表示以 N为周期的周期序列。而可看作是x n，从 n0到 N 1的主值区间，表示x (n)x(n)RN(n)(2-9)x(n)n上述关系如图 2.1 所示。同样可将 X k 表示为x n . .n图 2.1有限 序列及其周期延拓X k X (k ) RN(k )（2-10）X (k) X (k ) N（2-11 ）上述分析同样说明： 有限长序列 x n 的离散傅里叶变换 X k ，正好是 x n的周期延拓序k 。也可以理解为，离散傅里叶变换 (DFT)列 x n 的离散傅里叶级数系数X (k ) 的主值序列 X是对序列的傅里叶变换 (DTFT)的频域采样，运用频域采样方法同样可以推导出DFT的

11、变换公式。傅立叶分析 : 建立以时间为自变量的信号和以频率为自变量的频谱函数之间的某种关系 , 在 1822 年 , 由法国科学家 Fourier提出 , 基本思想 : 任意函数可分解为无穷多个不同频率正弦信号的和 ,即频谱分析。2.2离散 FT(DFT)的用法对常遇到的非周期序列 ,有限长或无限 , 只能作 DTFT, 即连续频谱 , X( e jw),模拟在计算机上做数值计算 , 实际中 ,把 N 点序列视为一周期序列的一个周期, 再做 DFT。 X(k)只是 x(n) 的 FT 在某种程度上的近似 , X(k) 是 x(n) 频谱 (DTFT)的抽样值。周期信号可以分解成一系列正弦（余弦

12、）信号或虚指数信号之和，即NF n e jntf tnNa 0NNa n cos n tbn sin n t2n1n 1Fn1 Ane j n1 anjb n其中，22| F n |1An1a n 2bn 222bnnarctan或a n幅度和相位为了直观地表示出信号所含各分量的振幅An 或 | Fn |，随频率的变化情况，通常以角频率为横坐标，以各次谐波的振幅An 或虚指数函数 | Fn |的幅度为纵坐标，画出如图 2 和图 4 所示的各谐波的振幅 An 或 | Fn |与角频率的关系图， 称为周期信号的幅度 （振幅）频谱，简称幅度谱。图中每条竖线代表该频率分量的幅度，称为谱线。各谱线顶点连

13、线的曲线（如图中原点所示）称为频谱包络线，它反映了各谐波分量幅度随频率变化的情况。类似地，也可画出各谐波初相角n 与角频率的关系图， 如图 3 和 5 中各谐波初相角n与角频率的关系图，称为相位频谱，简称相位谱。如果Fn 为实数，那么可用 Fn 的正负来表示 n 为 0 或 也可把幅度谱和相位谱画在一张图上。第三章用 DFT对信号进行频谱分析3.1频谱分析的概述所谓信号的频谱分析就是计算信号的傅里叶变换。连续信号与系统的傅里叶分析显然不能直接用计算机进行计算，使其应用受到限制。而DFT是一种时域和频域均离散化的变换，适合数值计算，成为分析离散信号和系统的有力工具。对连续信号和系统，可以通过时域

14、采样，应用DFT进行频谱分析。用 DFT进行频谱分析的基本原理和方法：已经知道单位圆上的 z 变换就是序列的傅里叶变换，即：X（jw ） =X（z）|z=jw如果对序列 x（ n）进行 N点 DFT，得到 X（k）， X（ k）是在区间 0,2 上对 X（jw ）的 N 点等间隔采样。因DFT有 FFT算法，故常用 DFT对有限长序列进行谱分析，实施方法如下：首先依据频率分辨率的要求确定DFT 变换区间长度 N 。频谱分析的衡量指标之一是频率分辨率，它是频谱分析中能够分辨的两个相邻频率点谱线的最小间距。在数字频率域，N 点 DFT能够实现的频率分辨率是2/N 弧度，进行频谱分析时，要求N=2/

15、D（D为要求的分辨率）。为了便于使用FFT，一般取 N= 2M.接下来计算 N 点 DFT ，并以自变量 k 所对应的数字频率 wk=2/N 为为横坐标变量绘制频谱图。用程序运行后得下图：3.2 MATLAB 程序：syms t;x=sin(t)+cos(t);ezplot(x,-30 30);grid on;xlabel(时间 );ylabel(幅值 );title(时域信号波形 );n=0:20;T=0.02;y=sin(n*T)+cos(n*T);figure,subplot(2,2,1);stem(n,y);grid on;xlabel( n);ylabel(x(n) );title(

16、500Hz采样信号 );Y=fft(y,16);n1=0:15;omega=2*pi/16*(n1-16/2);subplot(2,2,3);stem(omega,abs(fftshift(Y);grid on;xlabel(频率 );ylabel(幅值 );title(n=20时采样信号的频谱 );n=0:100;T=0.02;y=sin(n*T)+cos(n*T);subplot(2,2,2);stem(n,y);grid on;xlabel( n);ylabel( x(n);title(500Hz采样信号 );Y=fft(y,128);n1=0:127;omega=2*pi/128*(n

17、1-128/2);subplot(2,2,4);stem(omega,abs(fftshift(Y);grid on;xlabel(频率 );ylabel(幅值 );title(n=100时采样信号的频谱 );第四章 吉布斯效应4.1吉布斯效应的定义在 x(t) 的不可导点上，如果我们只取 x(t) 等式右边的无穷级数中的有限项作和 X(t) ，那么 X(t) 在这些点上会有起伏。 当选取的项数越多，在所合成的波形中出现的峰起越靠近原信号的不连续点。当选取的项数很大时，该峰起值趋于一个常数，大约等于总跳变值的9% 。这种想像成为吉布斯现象。4.2吉布斯效应的实现吉布斯现象是当用信号的谐波分量的

18、和来表述具有间断点的波形时出现，并能观察。（1）信号中频率较低的谐波分量的幅值较大，占主体地位，信号波形中所含的频率吉布斯现象越突出。（2）当截取窗变长时，跳变峰向间断点靠近，但跳变峰值并未明显减小，跳变峰所包围的面积减小，通过matlab 使这种吉布斯现象得到清楚的表现。模拟信号 x（t ）=sin(10t)/t的时域图及其频谱图界面如下：4.3 MATLAB 程序：显示波形 1a=str2double(get(handles.edit1,string);c=str2double(get(handles.edit3,string);syms t;x=sin(c*t)./t;axes(hand

19、les.axes1);ezplot(x,-a,a);xlabel(时间 );ylabel(幅值 );axis(-a a -4 12);grid on;%hold on;X=fourier(x);XX=abs(X);axes(handles.axes2);ezplot(XX,-3*c,3*c);xlabel(频率 );ylabel(幅值 );grid on;%hold on;显示波形 2b=str2double(get(handles.edit2,string);c=str2double(get(handles.edit3,string);ts=-b+1;te=b-1;n=100;t1=lins

20、pace(ts,te,n);x1=sin(c*t1)./t1;axes(handles.axes3);plot(t1,x1)axis(-b,b,-4,12);xlabel(时间 );ylabel(幅值 );grid on;%hold on;X1=abs(fft(x1,128);fs=n/(te-ts);f=(0:length(X1)/2-1)*fs/128*2*pi;axes(handles.axes4);plot(f,X1(1:length(X1)/2);xlabel(频率 );ylabel(幅值 );grid on;%hold on;第五章栅栏效应5.1栅栏效应的定义快速傅立叶 得到的 是

21、离散 ，是信号的 与一个窗函数的 做卷 后，按 归 一 化 频 率 分 辨 率 等 间 隔 频 域 采 样 的 结 果 ， 它 只 给 出 频 谱 在 离 散 点2k/ N (0kN1) 上的 ，而无法反映 些点之 的 内容，即使在其它点上有重要的峰 也会被忽略。 就好像在百 窗内 察窗外的景色，看到的是百叶窗窗 内的部分景色，而无法看到被百叶窗遮 住的部分， 就是 象。5.2栅栏效应的验证 一个离散傅立叶 算程序， 算方波的 。 察 效 来的 算 差。 如下：利用 505Hz方波信号的 分析 明 效 所造成的 差。 定采 率： fs=5120 ，MATLAB中默 的 FFT 算点数 512，

22、其离散 率点 ：fi=i*fs/N=i*5120/512=10,i=0,1,2,3 ,N/2位于 505HZ位置的真 峰被 住看不 ， 看 的只是它 在相 率 500Hz或 510Hz 能量泄漏的 。若 fs=2560Hz, 率 隔 df=5Hz，重复上述分析步 ， 在505 Hz 位置有 ，因此可以得到它 的精确 。从 域看， 个条件相当于 信号 行整周期采 ， 中常用此方法来提高周期信号的 分析精度。将上图中的后两个图是不同采样频率下的采样图，从图看出是不一样的，下面我们把后面的两图，即刚才离散的采样的频率图进行局部放大可以得到下面的图，由此看出栅栏效应的影响。我们知道， N 点 DFT是

23、频率区间0, 2上对信号的频谱进行N 点等间隔采样，而采样点之间的频谱函数值是不知道的。这就好像从 (N+1) 个栅栏缝隙中观看信号的频谱情况，仅得到 N 个缝隙中看到的频谱函数值。因此称这种现象为栅栏效应。由于栅栏效应，有可能漏掉 ( 挡住 ) 大的频谱分量。为了把原来被“栅栏”挡住的频谱分量检测出来，需要提高频率分辨率 ( 用频率采样间隔F 来描述，表示谱分析中能够分辨的两个频率分量的最小间隔 ) ，也就是说：间隔F 越小，谱分析越接近原连续频谱Xa j，频率分辨率越高。按照 (1-10) 式， Ffs N ，为使 F 减小，需要减小采样频率fs 或增大采样点数N。由于采样频率的降低会引起

24、谱分析范围的减少或者引起频谱混叠，所以在维持fs 不变的条件下。N，因为 NT T p ,T1频率分辨率可以增加采样点数f s ，只有增加对信号的观察时间Tp ，才能增加 N。 T p 和 N可以按照下面两式进行选择：2 f cNF1T pF(5-1)(5-2)增加观察时间或者采样点数最简单的办法可以采用在原序列尾部补零的方法，改变序列长度 N(即改变 DFT变换区间长度 ) ，从而增加了频域采样点数和采样点位置，使原先漏掉的某些频谱分量被检测出来。界面图5.3 matlab程序采样程序如下：t1=0:1/5120:0.1;m1=0:10:5120;t2=0:1/2560:0.2;m2=0:5

25、:2560;y1=square(2*pi*505*t1);transf1=abs(fft(y1)/256);y2=square(2*pi*505*t2);transf2=abs(fft(y2)/256);subplot(2,2,1);plot(t1,y1);title(square(2*pi*505*t1);subplot(2,2,3);stem(m1(1:256);transf1(1:256);title(fs=5120);subplot(2,2,2);plot(t2,y2);title(square(2*pi*505*t2);subplot(2,2,4);stem(m2(1:256),tr

26、ansf2(1:256);title(fs=2560);界面显示程序如下：显示波形 1a=str2double(get(handles.edit4,String);t1=0:1/a:0.1;m1=0:10:a;y1=square(2*pi*505*t1);transf1=abs(fft(y1)/256);axes(handles.axes1);stem(t1,y1);axes(handles.axes2);stem(t1,transf1);axes(handles.axes7);stem(t1,y1);axes(handles.axes8);stem(t1,transf1);axis(0.0525 0.0575 0 0.5);显示波形 2b=str2double(get(handles.edit3,String);t2=0:1/b:0.1;m2=0:5:b;y2=square(2*pi*505*t2);transf2=abs(fft(y2)/256);axes(handles.axes3);stem(t2,y2);axes(handles.axes4);