(完整版)工程问题解题技巧

1、1工程问题（一）顾名思义，工程问题指的是与工程建造有关的数学问题。其实，这类题目的 内容已不仅仅是工程方面的问题，也括行路、水管注水等许多内容。在分析解答工程问题时，一般常用的数量关系式是：工作量二工作效率XX作时间，工作时间二工作量 V 作效率，工作效率二工作量 T 作时间。工作量指的是工作的多少，它可以是全部工作量，一般用数1 1 表示，也可以是部分工程量，常期分数表示。例如，工程的一半表示成”工程的三分 之一表示为* 工作效率指的是干工作的快慢， 其意义是单位时间里所干的工作量。 单位时 间的选取，根据题目需要，可以是天，也可以是时、分、秒等。工作效率的单位是一个复合单位，表示成 工作量

2、/ /天”或工作量/ /时”等。但 在不引起误会的情况下，一般不写工作效率的单位。例 1 1 单独干某项工程，甲队需 100100 天完成，乙队需 150150 天完成。甲、乙两 队合干 5050 天后，剩下的工程乙队干还需多少天？分析与解：以全部工程量为单位 1 1。甲队单独干需 100100 天，甲的工作效2率是疵；同理，乙臥旳工作效率是占。两队合干的工作兹率是占+占h由汗工作量=工作数率X工作时间 J 刃天的工作量是I-+ 、x 50 + =JOO 1507236剩下的工作量是由工作时间二工作量亠工作效率 X 剩下的工 作量由乙队干还需例 2 2 某项工程，甲单独做需 3636 天完成，

3、乙单独做需 4545 天完成。如果开工 时甲、乙两队合做，中途甲队退出转做新的工程，那么乙队又做了1818 天才完成任务。问：甲队干了多少天？分析：将题目的条件倒过来想，变为 乙队先干 1818 天，后面的工作甲、乙两 队合干需多少天？ ”这样一来，问题就简单多了。例 3 3 单独完成某工程，甲队需 1010 天，乙队需 1515 天，丙队需 2020 天。开始三 个队一起干，因工作需要甲队中途撤走了，结果一共用了 6 6 天完成这一工程。问: 甲队实际工作了几天？Bo= 25（天）答：甲队干了 1212 天3分析与解：乙、丙两队自始至终工作了 6 6 天，去掉乙、丙两队 6 6 天的工作量,

4、 剩下的是甲队干的，所以甲队实际工作了嗚心 5 诂（天）例 4 4 一批零件，张师傅独做 2020 时完成，王师傅独做 3030 时完成。如果两人 同时做，那么完成任务时张师傅比王师傅多做 6060 个零件。这批零件共有多少个？分析与解：这道题可以分三步。首先求出两人合作完成需要的时间,（存餌 2 2 C C 时八再求出每小时张比王多做的零件数，60-1260-12 = = 5 5 cncno o最后求出这批零件的总魏5禺-= 300（个）c例 5 5 一水池装有一个放水管和一个排水管， 单开放水管 5 5 时可将空池灌满， 单开排水管7 7 时可将满池水排完。如果一开始是空池，打开放水管 1

5、 1 时后又打开 排水管，那么再过多长时间池内将积有半池水？分析与解以满池水为单位 J1时放水管可使水増加孑 排水管可使水 减少刍同时开 1 1 时，可使爪増加放水管打开】吋后，池内己经有例 6 6 甲、乙二人同时从两地出发，相向而行。走完全程甲需 6060 分钟，乙需 4040 分钟。出发后 5 5 分钟， 甲因忘带东西而返回出发点， 取东西又耽误了 5 5 分钟 甲再出发后多长时间两人相遇？的也与半池水还差所以要达到半池水，还需4分析：这道题看起来像行程问题，但是既没有路程又没有速度，所以不能用 时间、路程、速度三者的关系来解答。甲出发 5 5 分钟后返回，路上耽误 1010 分钟， 再加

6、上取东西的 5 5 分钟，等于比乙晚出发 1515 分钟。我们将题目改述一下：完成 一件工作，甲需 6060 分钟，乙需 4040 分钟，乙先干 1515 分钟后，甲、乙合干还需多 少时间？由此看出，这道题应该用工程问题的解法来解答。答：甲再出发后 1515 分钟两人相遇练习 5 51.1. 某工程甲单独干 1010 天完成，乙单独干 1515 天完成，他们合干多少天才可完 成工程的一半？2.2. 某工程甲队单独做需 4848 天，乙队单独做需 3636 天。甲队先干了 6 6 天后转交给乙队干，后来甲队重新回来与乙队一起干了1010 天，将工程做完。求乙队在中间单独工作的天数。3 3条水渠，

7、 甲、 乙两队合挖需 3030 天完工。 现在合挖 1212 天后， 剩下的乙队 单独又挖了 2 24 4天挖完。这条水渠由甲队单独挖需多少天？4.4. 甲乙二人植树，若单独宪成则甲比乙所需的时间多;若两人合干.则完成任务时乙比甲多植 5050 棵。这批树共有多少棵？5.5. 修一段公路，甲队独做要用 4040 天，乙队独做要用 2424 天。现在两队同时从 两端开工，结果在距中点 750750 米处相遇。这段公路长多少米？6.6. 蓄水池有甲、乙两个进水管，单开甲管需 1818 时注满，单开乙管需 2424 时注 满。如果要5求 1212 时注满水池，那么甲、乙两管至少要合开多长时间？7.7

8、.两列火车从甲、乙两地相向而行，慢车从甲地到乙地需8 8 时，比快车从 乙地到甲地多用扌的时间*如果两车同时开岀，那么相遇时快车比慢车多行4040 千米。求甲、乙两地的距离。工程问题（二）上一讲我们讲述的是已知工作效率的较简单的工程问题。在较复杂的工程问题中，工作效率往往隐藏在题目条件里，这时，只要我们灵活运用基本的分析方 法，问题也不难解决。例 1 1 一项工程，如果甲先做 5 5 天，那么乙接着做 2020 天可完成；如果甲先做 2020 天，那么乙接着做 8 8 天可完成。如果甲、乙合做，那么多少天可以完成?6 66分析与解：本题没有直接给出工作效率，为了求出甲、乙的工作效率，我们先画出

9、示意图：乙如天 乙臥从上图可直观地看出：甲 1515 天的工作量和乙 1212 天的工作量相等，即甲 5 5 天的工作量等于乙 4 4 天的工作量。于是可用 乙工作 4 4 天”等量替换题中 甲工作 5 5 天”这一条件，通过此替换可知乙单独做这一工程需用20+4=2420+4=24 （天）完威 即乙的工作效率为又因为乙工作 4 4 天的工作量和甲工作 5 5 天的工作量相等，所以甲的工作效率是乙的为护卜 甲、乙合做这一工程，需用的时间为诗说禺C天）例 2 2 一项工程，甲、乙两队合作需 6 6 天完成，现在乙队先做 7 7 天，然后甲队做 4 4 天.共完成这项工程的善，如杲把其余的工程交给

10、乙队单独做那么还要几天才能完成？分析与解：题中没有告诉甲、乙两队单独的工作效率，只知道他们合作的工作兹率是打但甲*乙两队一天也没有合作过。为了解决这个问题”我乙 jj 天7们把乙先做 7 7 天，甲再做 4 4 天”的过程转化为 甲、乙合做 4 4 天，乙再单独做3天 J 这样，就可以把台作的工作效率2用上了口o甲.乙两队合作4天完咸的工程量是乙再做孑天就可完成工63程量的善，由此求出乙的工作效率为护|尸4 4）=3=31剩下的工程乙队还需干（詈“存2（天）.例 3 3 单独完成一件工作，甲按规定时间可提前 2 2 天完成，乙则要超过规定 时间 3 3 天才能完成。如果甲、乙二人合做 2 2

11、天后，剩下的继续由乙单独做，那么 刚好在规定时间完成。问：甲、乙二人合做需多少天完成？分析与解：乙单独做要超过 3 3 天，甲、乙合做 2 2 天后乙继续做，刚好按时完成，说明甲做 2 2 天等于乙做 3 3 天，即完成这件工作，乙需要的时间是甲的，乙需要 10+5=1510+5=15 （天）。甲、乙合作需要（存C天*例 4 4 放满一个水池的水，若同时打开 1 1, 2 2, 3 3 号阀门，则 2020 分钟可以完成;若同时打开 2 2，3 3, 4 4 号阀门，贝 S 2121 分钟可以完成；若同时打开 1 1, 3 3, 4 4 号阀门, 则 2828 分钟可以完成；若同时打开 1 1

12、 , 2 2 , 4 4 号阀门，则 3030 分钟可以完成。问： 如果同时打开 1 1 , 2 2 , 3 3,4 4 号阀门，那么多少分钟可以完成？因为单独版 乙比甲多用”2天）斯以甲需要5%耳二（天）8分析与解：同时打开 1 1 , 2 2, 3 3 号阀门 1 1 分钟，再同时打开 2 2, 3 3, 4 4 号阀门 1 1 分钟，再同时打开 1 1, 3 3, 4 4 号阀门 1 1 分钟，再同时打开 1 1, 2 2, 4 4 号阀门 1 1 分钟, 这时，1 1 , 2 2, 3 3, 4 4 号阀门各打开了 3 3 分钟，放水量等于一池冰的乔+盲*石+药。所以同时打开1* 2*

13、 3* 4号阀门！放满一池水需罷 1 iSC1 十+ + + ）= 320212830=1亠（*丰3） = 1亠吕=12（分c例 5 5 某工程由一、二、三小队合干，需要 8 8 天完成；由二、三、四小队合 干，需要 1010 天完成；由一、四小队合干，需 1515 天完成。如果按一、二、三、 四、一、二、三、四、的顺序，每个小队干一天地轮流干，那么工程由哪个 队最后完成？分析与解：与例 4 4 类似，可求出一、二、三、四小队的工作效率之和是117（+十补+卡）十2=存四个小队各干了6天即朗天后，还剰下工程量的711-话XX?又因为一、二三小臥合干需吠即一、二三水队各干1天完成工程量的,所以工

14、程由三小队最后完成。O例 6 6 甲、乙、丙三人做一件工作，原计划按甲、乙、丙的顺序每人一天轮 流去做，恰好整天做完，并且结束工作的是乙。若按乙、丙、甲的顺序轮流 去做，则比计划多用!天若按丙*甲、乙的顺序轮流去做，则比原计划多LA用;天。己知甲单独做宪这件工作需要9天，那么甲、乙 而三人一起做这9件工作，要用多少天才能完成?分析与解：把甲、乙、丙三人每人做一天称为一轮。在一轮中，无论谁先谁 后，完成的总工作量都相同。 所以三种顺序前面若干轮完成的工作量及用的天数 都相同 （见下图虚线左边） ，相差的就是最后一轮（见下图虚线右边）。甲乙丙+ 1乙丙甲.甲7乙丙 u 甲丙甲乙乙：丙甲乙由最后一轮

15、完成的工作量相同，得到1由式得到丙=;甲；由式得到乙二扌甲。甲、乙、而三人台31 1 Q Q做一天等于甲做 1 1 +討恭扌天），推知三人合做需用练习 6 61.1.甲、乙二人同时开始加工一批零件，每人加工零件总数的一半。甲 宀亠任务的冷乙加工了仍个零件，甲完廟时乙完成了一半可这批零件共 完成甲十乙二乙十丙甲， 乙+丙+扌甲产丙+甲+号乙。10有多少个?2 2件工程，甲、乙合做 6 6 天能完成学 单独做，甲完成!与乙完成;所6 65 52 2需的时间相等。问：甲、乙单独做各需多少天？3.3.加工一批零件，王师傅先做 6 6 时李师傅再做 1212 时可完成，王师傅先 做 8 8 时李师傅再做 9 9 时也可完成。现在王师傅先做 2 2 时，剩下的两人合做， 还需要多少小时？4 4 甲、乙、丙三人合修一围墙，甲、乙合粥天條好围墙的土乙丙台修 2 2 天條好余下的;，剩下的甲、而又合修了了天才完廉 问甲、乙、丙单A独修各需几天？5.5. 蓄水池有甲、乙、丙三个进水管，甲、乙、丙管单独灌满一池水依 次需要 1010 ,1212,1