函数单调性与凸性的判别法-文档资料

1、11. 1. 局部局部TaylorTaylor展开式：展开式：余项。余项。称为称为其中其中阶导数，则有：阶导数，则有：处有处有在在若函数若函数PeanoxxxxoxRxRxxnxfxxxfxxxfxfxfnxxfnnnnn)()()()()(!)()(! 2)()()()()(0000)(2000000 Taylor Taylor 公式公式22. 带带Lagrange余项的余项的Taylor公式：公式：时时，有有：特特别别地地，当当00 x公公式式。余余项项的的带带MaclaurinPeanoxoxnfxfxffxfnnn)(!)0(! 2)0()0()0()()(2 )()(!)()(!2)

2、()()()(00)(200000 xRxxnxfxxxfxxxfxfxfnnn )()()!1()()(010)1(之之间间与与介介于于其其中中xxxxnfxRnnn 3带带LagrangeLagrange余项的余项的MaclaurinMaclaurin公式：公式：)10()!1()(!)0(! 2)0()0()0()(1)1()(2 nnnnxnxfxnfxfxffxf4 4 4 函数单调性与凸性的判别法函数单调性与凸性的判别法v函数单调性判别法函数单调性判别法v函数的凸性及其判别法函数的凸性及其判别法5一一. . 函数单调性的判别法函数单调性的判别法xyo)(xfy xyo)(xfy a

3、bAB0)( xf0)( xf。内内单单调调递递增增或或单单调调递递减减在在则则称称或或，都都有有，内内有有定定义义，在在设设函函数数),()()()()()(),(),()(21212121baxfxfxfxfxfxxbaxxbaxfy abBA定义定义6定理定理1 1。下下降降在在；上上升升在在，则则，且且设设0)(,)().20)(,)().1),()(,)( xfbaxfxfbaxfbaDxfbaCxf，由，由上升，上升，在在),(,)(.10baxbaxf 证明：证明：),(, 0)()(baxxxxfxxf （极限的保号性）（极限的保号性）得得0)()(lim0 xxfxxfx.

4、0)( xf7定定理理上上用用，在在Lagrangexxbaxx,),(,2121 ),(),)()()(211212xxxxfxfxf 上是上升的。上是上升的。，在，在则则,)()(21baxfxf 0)(1)(,)(.200 xfxfbaxf知，知，上升的，由上升的，由是是上是下降的，则上是下降的，则在在若若；即即0)( xf上上升升。在在知知，由由，则则反反之之若若,)()()(baxfxfxf 0100下下降降。在在所所以以,)(baxf8yxo说明说明: : 单调区间的分界点除驻点外单调区间的分界点除驻点外,也可是导数不存在的点也可是导数不存在的点. 例如例如,),(, xxy323

5、32xy 0 xy32xy 2) 如果函数在某驻点两边导数同号如果函数在某驻点两边导数同号, 则不改变函数的单调性则不改变函数的单调性 .例如例如,),(, xxy323xy 00 xyyox3xy 9。的任意子区间内恒为的任意子区间内恒为不在不在；或或上严格单调上升或下降上严格单调上升或下降在在0),()().20)(0)().1,)(baxfxfxfbaxf 定理定理2 2成成立立。知知，上上严严格格上上升升，由由在在设设011 .,)(thbaxf证明：证明：则则，有有假假设设, 0)(),(),( xfba Cxf )(，与条件矛盾。，与条件矛盾。不是严格单调上升函数不是严格单调上升函

6、数这表明这表明)(xf严格上升。严格上升。明明内上升。现用反证法证内上升。现用反证法证在在知知由由),()(,baxf0110，但但且且，不不严严格格上上升升，那那么么假假设设 ,),()(baxf)()( ff 是上升函数，所以是上升函数，所以因为因为)(xf xfxf),()(. 0)( xf。矛矛盾盾！上上恒恒为为的的子子区区间间在在说说明明0),(),()( baxf 严格上升。严格上升。)(xf11；等号成立当且仅当等号成立当且仅当，时，有时，有证明当证明当例例01111 xxxxxx)ln(.不等号成立。不等号成立。与与须证须证时，显然等号成立。只时，显然等号成立。只当当0010

7、xxx证明：证明：函数函数先证右端不等式。考虑先证右端不等式。考虑0)0()1ln()( fxxxf，xxxxf 1111)(于于是是有有：上上严严格格单单调调上上升升，在在，时时，),()()( 000 xfxfx12).1ln(),0()(xxfxf 即即下下降降，也也有有：内内严严格格单单调调在在，时时当当)0 , 1()(0)(,01 xfxfx1100 xxx时，时，现证明左端不等式：当现证明左端不等式：当，同样有：，同样有：时，时，当当0101 xxx)1ln(11ln)11ln(1xxxxxx 011 xx)11ln(1xxxx ).1ln(),0()(xxfxf 即即)1ln(

8、1xxx 即即.)1ln(1xxxx 13上上单单调调减减少少；在在证证明明，上上二二次次可可导导，且且在在设设例例,)()(,)(,)(.axxfxffaxf000002 定理，定理，在上二次可导，故由在上二次可导，故由 Langrange)(xf证明：证明：，使使得得), 0(, 0 xax )()0()( fxfxf 2)()()(xxfxfxxxf 另另一一方方面面2)0()()(xfxfxfx 142xfxxfx)()( xfxf)()( ).()(0)( fxfxf 可知可知，由由上上单单调调减减少少。在在即即，故故, 0)(0)(axxfxxf 15上的最大值。上的最大值。在在求

9、函数求函数例例),)(. 032xexxfxxexxexf 22)(解：解：)2(xxex ; 0)(20 xfx时时，当当. 0)(2 xfx时时，严格下降。严格下降。上严格上升，在上严格上升，在在在因此连续函数因此连续函数), 2(2 , 0)(xf上上最最大大值值。在在为为), 0)(4)2(2 xfef注意注意: : 函数的单调性是一个区间上的性质，要函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而不能用用导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性性16Nove. 17 Mon. Review

10、v函数单调性判别法函数单调性判别法。下下降降在在；上上升升在在，则则，且且设设0)(,)().20)(,)().1),()(,)( xfbaxfxfbaxfbaDxfbaCxf17例例4.4. 证明证明20 x时时, 成立不等式成立不等式.sin 2 xx证证: 令令,sin)( 2 xxxf,()(上连续上连续在在则则20 xf上可导，上可导，在在),(20 2xxxxxfsincos)( )tan(cosxxxx 21xtanx0 ,),()(内内单单调调递递减减在在因因此此20 xf从而从而,(,sin202 xxx02 )()( fxf,)(处处左左连连续续在在又又2 xf因此因此且且

11、18* 证明证明0 xxtan令令,tan)(xxx 则则xx21sec)( x2tan ),(,200 x,),()(上上递递减减在在20 x从而从而00 )()( x即即),(,tan200 xxx19二二. 函数的凸性及其判别法函数的凸性及其判别法问题问题: :如何研究曲线的弯曲方向如何研究曲线的弯曲方向? ?ABCxyoxy 2xy xy01120 xyo1x2x)(xfy 图形上任意弧段位图形上任意弧段位于弦的上方于弦的上方xyo)(xfy 1x2x图形上任意弧段位图形上任意弧段位于弦的下方于弦的下方21定义定义1 1。内是凸的内是凸的在在则称函数则称函数；若有：；若有：内是凹的内是

12、凹的在在则称函数则称函数，总有：，总有：，对任一，对任一，内有定义，若对内有定义，若对在区间在区间设函数设函数)convex()()()()1()1()concave()()()()1()1()1 , 0()(212121212121IxfxfxfxxfIxfxfxfxxfxxIxxIxf 若函数在整个区间上是凸的或凹的，则称函数若函数在整个区间上是凸的或凹的，则称函数是凸函数或凹函数。是凸函数或凹函数。222x)(2xfxy0 1x)(121xxxf 2x)(2xfxy0 1x)(1xf)()(1211xxxfxf 凹函数凹函数凸函数凸函数)()()(12112xxxfxfxf )()()(

13、12112xxxfxfxf 23定义定义11)()()(12112xxxfxfxf 可可微微若若函函数数)(xf)()()(12112xxxfxfxf 凹函数凹函数凸函数凸函数。扭转点扭转点的拐点或的拐点或为为则称则称的，在另一边是凹的，的，在另一边是凹的，的一边是凸的一边是凸的某一邻域内，在的某一邻域内，在在在若若)()()(,()(0000 xfxfxxxxf定义定义2 224定理定理内内是是凹凹的的。在在，则则内内内内是是凸凸的的；若若在在在在，则则内内有有在在若若函函数数),()(0)(),(),()(0)(),()(baxfxfbabaxfxfbaxf 证明：证明：的的情情况况。只只

14、证证0)( xf公式：公式：余项的余项的处有带处有带在在，设设Tayler),(,121Lagrangexbaxx 21111)(! 2)()()()(xxfxxxfxfxf ，则则有有令令2xx .),(21之之间间与与介介于于，其其中中xxbax 25之间。之间。与与介于介于21xx ,0)( f21212112)(! 2)()()()(xxfxxxfxfxf .0)(! 2)(212 xxf )()()(12112xxxfxfxf 是凹的。是凹的。)(xf26几何意义：几何意义：若曲线弧个点处的切线斜率是单调若曲线弧个点处的切线斜率是单调 增加的，则该曲线是下凸的；若各点处的切增加的，则

15、该曲线是下凸的；若各点处的切 线斜率是单调减少的，则该曲线弧是上凸的。线斜率是单调减少的，则该曲线弧是上凸的。27求拐点的求拐点的步骤：步骤：的的点点；求求出出使使0)(. 1 xf有意义；有意义；不存在的点，但函数要不存在的点，但函数要求出求出)(. 2xf . 3函数的凹凸性函数的凹凸性考察在这些点的左、右考察在这些点的左、右28；，例例431xyxy .解：解：,3xy ,23xy xy6 凹凹, 0, 0 yx凸凸, 0, 0 yx.)(),(变号变号是拐点，是拐点，xf 00( )0( ).fxfx 所所以以只只要要求求出出的的点点，然然后后考考察察在在该该点点左左、右右的的符符号号

16、即即可可,4xy ,34xy 212xy .),()(不是拐点不是拐点不变号，不变号， 00 xf 29的凹凸区间及拐点；的凹凸区间及拐点；求函数求函数例例3522)(. xy解：解：,)(32235 xy3123235 )(xy321910 x.时，二阶导数不存在时，二阶导数不存在2 x02 )(xfx时时，02 )(xfx时时，.),(为拐点为拐点02二阶导数不存在的点也可能是拐点二阶导数不存在的点也可能是拐点. .30Nove. 23 Mon. Reviewv函数单调性判别法函数单调性判别法。下下降降在在；上上升升在在，则则，且且设设0)(,)().20)(,)().1),()(,)(

17、xfbaxfxfbaxfbaDxfbaCxf31v函数凸性及其判别法函数凸性及其判别法。是是凸凸的的，函函数数；若若有有：是是凹凹的的，有有：，对对任任一一，若若对对)()()()()1()1()()()()()1()1()1 , 0(212121212121convexIxxfxfxfxxfconcaveIxxfxfxfxxfxxIxx 32若函数可微：若函数可微：)()()(12112xxxfxfxf )()()(12112xxxfxfxf 凹函数凹函数凸函数凸函数内内是是凹凹的的。在在，则则内内内内是是凸凸的的；若若在在在在，则则内内有有在在若若函函数数),()(0)(),(),()(0

18、)(),()(baxfxfbabaxfxfbaxf 函数凸性判别法：函数凸性判别法：33求拐点的求拐点的步骤：步骤：的点；的点；求出使求出使0)(. 1 xf意义；意义；不存在的点，函数要有不存在的点，函数要有求出使求出使)(. 2xf 3.考察在这些点的左、右的凹凸性。考察在这些点的左、右的凹凸性。扭转点扭转点的拐点或的拐点或为为则称则称的，在另一边是凹的，的，在另一边是凹的，的一边是凸的一边是凸的某一邻域内，在的某一邻域内，在在在若若)()()(,()(0000 xfxfxxxxf拐点：拐点：34的的凸凸性性；讨讨论论例例32)52(3xxy 解：时时，0 x,13103xxy .1291

19、03xxxy 时时，0 x导数不存在，二阶导数也不存在。导数不存在，二阶导数也不存在。021 )(xfx时，时，,),(分区间分区间将将及及用用 210 xx),(),(),( 00212135x)(xf)(xf )21,( 21 )0 ,21( 0), 0( 0 不存在不存在 凸凸凹凹凹凹不不是是拐拐点点。拐拐点点为为)0 , 0(),23,21(3 36；，证证明明，设设例例bbaabababalnln)ln()(. 204证明：.), 0(ln是是凹凹的的，利利用用凹凹性性上上在在有有关关，经经观观察察，不不等等式式与与函函数数 yxxy,ln)(xxxf 设设)0(1)(1ln)( x

20、xxfxxf，则则时时有有：是是凹凹的的，故故在在可可见见0, 0), 0()( baxf)()()(21)2(时等号成立时等号成立babfafbaf )lnln(lnbbaababa 2122即即.lnln2ln)(bbaababa 37。证明证明，的凸性；的凸性；讨论讨论例例bababaxy )().ln).11002151证明：.1,1120 xyxy 上上是是凸凸的的；在在), 0(ln xy：时时，由由凸凸函函数数定定义义，有有，当当设设baba 0, 020)1ln(lnln)1(baba 的指数，则：的指数，则：式两端取式两端取时，等号成立，将不等时，等号成立，将不等eba ba

21、ba )1(138hw：p173 1(3,5)，2(3,5,7,9). p188 1(3,5),2(1),3,5,6.0),(1)(21121 innnaaaanaaa)(2121baab 时时，有有 更进一步有不等式：更进一步有不等式：。超过它们的算术平均值超过它们的算术平均值个正数的几何平均值不个正数的几何平均值不n39xxy24362 )(3236 xx例例. 求曲线求曲线14334 xxy的凹凸区间及拐点的凹凸区间及拐点.解解:1) 求求y ,231212xxy 2) 求拐点可疑点坐标求拐点可疑点坐标令令0 y得得,32210 xx对应对应3) 列表判别列表判别2711211 yy,)

22、0,(),0(32),(32y xy0320012711故该曲线在故该曲线在),(0),( 32及及上向上凹上向上凹,向上凸向上凸 , 点点 ( 0 , 1 ) 及及),(271132均为拐点均为拐点.上上在在),(320凹凹凹凹凸凸32) 1 , 0(),(27113240内容小结内容小结1. 可导函数单调性判别可导函数单调性判别Ixxf ,)(0)(xf在在 I 上单调递增上单调递增Ixxf ,)(0)(xf在在 I 上单调递减上单调递减2.曲线凹凸与拐点的判别曲线凹凸与拐点的判别Ixxf ,)(0上上向向上上凹凹在在曲曲线线Ixfy)( Ixxf ,)(0+上上向向上上凸凸在在曲曲线线I

23、xfy)( 拐点拐点 连续曲线上有切线的凹凸分界点连续曲线上有切线的凹凸分界点41112 xxy有位于一直线的三个拐点有位于一直线的三个拐点.1.求证曲线求证曲线 证明：证明： y y222121)( xxx322311332)()( xxxx321323212)()()( xxxxxxx2112)()( 221)( x421)( x)(x22 221)( x)(221xx )(122 xx2 42令令0 y得得,11 x;),(11从而三个拐点为从而三个拐点为因为因为32 所以三个拐点共线所以三个拐点共线.323 x,322 x, ),(3483132 ),(3483132 32 1 1 3

24、4831 1 1 34831 43证明证明:20 x当当时，时，.sinxx 2 有有证明证明:xxxF 2 sin)(令令,)(00 F, 则则 )(xF )(xF)(xF是凸函数是凸函数 )(xF即即xx 2 sin)(20 x 2 .02 )( F 2 xcosxsin 0 )(),(min20 FF0 (自证自证)44v函数的极值：极大值与极小值函数的极值：极大值与极小值；处处可可导导，且且取取得得极极值值在在件件：函函数数取取得得极极值值的的必必要要条条0)()(. 100 xfxxf不是极值点。不是极值点。则严格单调，则严格单调，或或，有，有对对处有极小值；处有极小值；在在则则时，

25、时，时，时，处有极大值；处有极大值；在在则则时，时，时，时，内可微，若内可微，若及及在在内连续内连续在在的极值可疑点，且的极值可疑点，且是是设设件：件：函数取得极值的充分条函数取得极值的充分条02100200100000000000000000000)()0(0)(0)(),(),(3)(, 0)(),(, 0)(),(2)(, 0)(),(, 0)(),(1),(),(),()()(. 2xxfxfxfxxxxxxxxfxfxxxxfxxxxxfxfxxxxfxxxxxxxxxxfxfx 455 5 函数极值、函数作图函数极值、函数作图v函数的极值与求法；函数的极值与求法；v渐近线；渐近线；

26、v函数作图。函数作图。46一一. 函数的极值与求法函数的极值与求法定义定义：。的极大值点或极小值点的极大值点或极小值点称为称为的极大值或极小值，的极大值或极小值，为为则称则称或或，有不等式，有不等式有定义，若对任何有定义，若对任何内内的邻域的邻域在在设函数设函数)()()()()()()(),(),()(0000000000 xfxxfxfxfxfxfxfxxxxxxxfy 函数的极大值与极小值统称为函数的极大值与极小值统称为极值极值, ,使函数取得使函数取得极值的点称为极值的点称为极值点极值点. .47oxyab)(xfy 1x2x3x4x5x6xoxyoxy0 x0 x48定理定理1 1(

27、 (必要条件必要条件) ).,)(是极值点是极值点但函数的驻点却不一定但函数的驻点却不一定点点的极值点必定是它的驻的极值点必定是它的驻可导函数可导函数xf注意注意: :例如例如, ,3xy , 00 xy.0 不不是是极极值值点点但但 x极值可疑点：极值可疑点：导数为零的点，导数不存在的点导数为零的点，导数不存在的点(尖点尖点).)()(0000 xfxxxf处取得极值，那么必定处取得极值，那么必定且在且在处具有导数，处具有导数，在点在点设设49定理定理2(2(第一充分条件第一充分条件) )xyoxyo0 x0 x ( (是极值点情形是极值点情形) ).)()(),(),()3()(, 0)(

28、),(; 0)(),()2()(, 0)(),(; 0)(),()1(000000000000000处无极值处无极值在在符号相同，则符号相同，则时，时，及及如果当如果当处取得极小值；处取得极小值；在在则则有有，而而，有，有如果如果处取得极大值；处取得极大值；在在则则有有，而而，有，有如果如果xxfxfxxxxxxxxfxfxxxxfxxxxxfxfxxxxfxxx 50证明：证明：0001(,)xxx 时时，,)(0 xf严格下降，严格下降，)(xf);()(0 xfxf 00(,)xxx 时时，,)(0 xf严格上升，严格上升，)(xf);()(0 xfxf ;)(为极大值为极大值0 xf.

29、,证明类似证明类似003251xyoxyo0 x0 x 求极值的步骤求极值的步骤: :);()1(xf 求导数求导数;0)()2(的根的根求驻点，即方程求驻点，即方程 xf;,)()3(判断极值点判断极值点在驻点左右的正负号在驻点左右的正负号检查检查xf .)4(求极值求极值( (不是极值点情形不是极值点情形) )52例例1 1. .解解.593)(23的的极极值值求求出出函函数数 xxxxf963)(2 xxxf，令令0)( xf. 3, 121 xx得得驻驻点点列表讨论列表讨论x)1,( ), 3( )3 , 1( 1 3)(xf )(xf 00 极大值极大值极小值极小值)3(f极小值极小

30、值.22 )1( f极大值极大值,10 )3)(1(3 xx53593)(23 xxxxfMm图形如下图形如下54的的极极值值；求求函函数数例例3212xxy)(. 解：解：)(1323132 xxxy3325xx ; 052 yx时时，.不存在不存在时，时，yx 0.,为极值可疑点为极值可疑点520 xx)(xf )(xf),(0 0不存在不存在0),(520 520325453 ),(52 maxfminf55.,和和最最小小值值上上的的最最大大值值在在进进一一步步，求求211 y;,min52254533 xf.,max00 xf.)(,)(32412121 ff端端点点处处.,)(20

31、211 最最小小值值为为上上的的最最大大值值为为在在xf52xy056定理定理3 3（第二充分条件）（第二充分条件）不不为为极极值值。为为奇奇数数时时，为为极极大大值值；，为为极极小小值值；，为为偶偶数数时时，则则，阶阶导导数数，且且处处有有在在设设)(.2)(0)()(0)(.10)(0)()()()(0000)(00)(00)(0)1(000 xfnxfxfxfxfnxfxfxfxfnxxfnnnn 57证明：证明：的符号。的符号。考察考察)()(0 xfxf 公公式式：存存在在，有有局局部部由由Taylorxfn)(0)()()(!)()()()(000)(000nnnxxoxxnxfx

32、xxfxfxf 相同符号。相同符号。与与充分接近时，充分接近时，与与当当nnxxnxfxfxfxx)(!)()()(00)(00 )()(!)()()(000)(0nnnxxoxxnxfxfxf 58.)()()(0)(0同同号号与与xfxfxfn ).()()()(00 xfxfxfxf 或或不不会会总总有有为为偶偶数数，当当n. 1)()(0)(00)(xfxfxfn , 0)(0 nxx, 0)(0)( xfn)()(0)(00)(xfxfxfn 极小值极小值极大值极大值为奇数，为奇数，当当n. 2的左、右旁要变号，的左、右旁要变号，在在00)(xxxn 不不是是极极值值。)(0 xf5

33、9定理定理3 3( (第二充分条件第二充分条件) )，我我们们有有：特特别别地地，2 n.)()()2)()()1,)(,)()(处取得极小值处取得极小值在在时，函数时，函数当当处取得极大值；处取得极大值；在在时，函数时，函数当当则则且且处具有二阶导数，处具有二阶导数，在在设设00000000000 xxfxfxxfxfxfxfxxf 60例例 1. 1. 若直角三角形的一直角边与斜边之和为常数，若直角三角形的一直角边与斜边之和为常数，求有最大面积的直角三角形；求有最大面积的直角三角形；解：解：.)(,22xxaxaax 而而另另一一直直角角边边长长为为为为则则斜斜边边长长，它它与与斜斜边边之

34、之和和为为设设一一直直角角边边长长为为2221xxaxS )(.,2022axxaxa xaxxaaS222 xaxaa223 )(.，唯一驻点，唯一驻点时，时，03 Sax030 Sax时，时，023 Saxa时时，.)(为为最最大大面面积积21833aaS 61;)()()()(2.必为极小值必为极小值取得极值，则此极值取得极值，则此极值在某一点在某一点试证：若函数试证：若函数满足，满足，对一切对一切已知函数已知函数例例01302 xxfexfxxfxxxfx证明：证明：.)()(0000 xfxxf处取得极值，则处取得极值，则在在若若0100 xexfx )(即即0001xexfx )(

35、010000 )(,xfexx时时，.)(.,)(minfxfxxf 00000010000 )(,xfexx时时，62;)()(,|)(lim,)()(3.的的最最小小值值为为有有二二阶阶连连续续导导数数，且且设设函函数数例例xffxxffxfx01000 证明：证明：连连续续为为极极值值可可疑疑点点，又又知知，由由)()(xfxf 000)(lim)(xffx 00|lim xx0 0 ,|)(0 xxf的的某某邻邻域域内内有有在在在在由由极极限限的的局局部部保保号号性性得得为为可可疑疑拐拐点点000 xf.)(,(于于是是即即在在该该去去心心邻邻域域内内,)(0 xf632200 xfx

36、ffxf!)()()()( 022 xf!)( .)()()()(的极小值的极小值是是，即即xfffxf00 64;cos)(4.的的极极值值求求函函数数例例xeexfxx2 解：解：02 xeexfxxsin)(先先求求驻驻点点.是是驻驻点点0 xxexexx 11,时，时，从而从而0 xxxxcos211 xeexfxxcos)(2 012 )cos(x.)()(,0042 xxfxfx只只有有一一个个零零点点，即即格格单单调调上上升升，因因此此最最多多严严，等等之之外外，恒恒有有除除 650200 xxxxxeexf|sin| )(.)()(min40 fxf042004 xxxxxee

37、xf|cos| )()(66小小 结结极值是函数的局部性概念极值是函数的局部性概念: :极大值可能小于极小极大值可能小于极小值值, ,极小值可能大于极大值极小值可能大于极大值. .驻点和不可导点统称为驻点和不可导点统称为极值可疑点极值可疑点. .函数的极值必在极值可疑点取得函数的极值必在极值可疑点取得. .判别法判别法第一充分条件第一充分条件; ;第二充分条件第二充分条件; ;( (注意使用条件注意使用条件) )HwHw：p173 3(4,5,6,8),4,5(2,4,5,7,9),6(2),7,10.p173 3(4,5,6,8),4,5(2,4,5,7,9),6(2),7,10.67二二.

38、 . 渐近线渐近线定义定义: :.)(,)(一一条条渐渐近近线线的的就就称称为为曲曲线线那那么么直直线线趋趋向向于于零零的的距距离离到到某某定定直直线线如如果果点点移移向向无无穷穷点点时时沿沿着着曲曲线线上上的的一一动动点点当当曲曲线线xfyLLPPxfy 1.1.垂直渐近线垂直渐近线)(轴轴的的渐渐近近线线垂垂直直于于 x.)()(lim)(lim000的一条垂直渐近线的一条垂直渐近线就是就是那么那么或或如果如果xfyxxxfxfxxxx 68例如例如,)3)(2(1 xxy有垂直渐近线两条有垂直渐近线两条: :. 3, 2 xx692.2.水平渐近线水平渐近线)(轴轴的的渐渐近近线线平平行

39、行于于 x.)()()(lim)(lim的一条水平渐近线的一条水平渐近线就是就是那么那么为常数为常数或或如果如果xfybybbxfbxfxx 例如例如,arctan xy 有水平渐近线两条有水平渐近线两条: :.2,2 yy703.3.斜渐近线斜渐近线.)(),(0)()(lim0)()(lim的的一一条条斜斜渐渐近近线线就就是是那那么么为为常常数数或或如如果果xfybaxybabaxxfbaxxfxx 斜渐近线求法斜渐近线求法: :,)(limaxxfx .)(limbaxxfx .)(的一条斜渐近线的一条斜渐近线就是曲线就是曲线那么那么xfybaxy 71注意注意: :;)(lim)1(不

40、存在不存在如果如果xxfx ,)(lim,)(lim)2(不不存存在在但但存存在在axxfaxxfxx .)(不不存存在在斜斜渐渐近近线线可可以以断断定定xfy 72的渐近线；的渐近线；求求例例23111)()(. xxy,)(lim xfx1是垂直渐近线。是垂直渐近线。1 x.现现求求斜斜渐渐近近线线xxfax)(lim 2311)()(lim xxxxxxxx2311)()(lim 1 )(limaxxfbx 解：解：)()(limxxxx 23115 .为斜渐近线为斜渐近线5 xy73的的渐渐近近线线。求求例例xxyarctan. 2.),(线线连续，故没有垂直渐近连续，故没有垂直渐近在在yxxxxfarctan)( 1)( x1, 1 axxarctanlim )(limxxfbx xx.,22 ,2 xyx有有渐渐近近线线时时解：解：.,2 xyx有有渐渐近近线线时时74三三. . 函数作图函数作图1.1.函数基本性质：函数基本性质：1). 1). 定义域，值域，连续范围；定义域，值域，连续范围；2). 2). 函数的奇偶性：奇函数关于原点对称，偶函数的奇偶性：奇函数关于原点对称，偶 函数关于函数关于y y轴对称