(完整版)例析立体几何中的排列组合问题

1、例析立体几何中的排列组合问题春晖中学过月圆在数学中，排列、组合无论从内容上还是从思想方法上，都体现了实际应 用的观点。立体几何与排列组合综合问题是高考命题的新趋势，体现了考试大 纲要求的在知识交汇处命题的指导思想，应引起考生的重视。立体几何中的计 数问题也是高考的热点题型，解决这类问题的基本方法是以点带面法，下面列举 立体几何中排列、组合问题的几个例子。1 占1八、1. 1 共面的点例1（1997年全国高考（文）四面体的一个顶点为A，从其它顶点与棱的中点中取3个点，使它们和点A在同 一平面上，不同的取法有（）A.30种B.33种C.36种D.39种解析：四面体有4个顶点，6条棱有6个中点，每个

2、面上的6个点共面。点A所 在的每个面中含A的4点组合有个，点A在3个面内，共有“个组合；点A在6条棱的3条棱上，每条棱上有3个点，这3点与这条棱对棱的中点共面。 所以与点A共面的四点组合共有*个。答案：B点评：此题主要考查组合的知识和空间相像能力；属97文科试题中难度最大的选择题，失误的主要原因是没有把每条棱上的3点与它对棱上的中点共面的情况计 算在内。1. 2 不共面的点例2（1997年全国高考（理）四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有（）A.150种B.147种C.144种D.141种解析：从10个点中任取4个点有种取法，其中4点共面的情况有三类：第-

3、类，取出的4个点位于四面体的同一个面内，有1种；第二类，取任一条棱上 的3个点及对棱的中点，这4点共面有6种；第三类，由中位线构成的平行四边 形，它的4个顶点共面，有3种。以上三类情况不合要求应减掉，所以不同取法共有 氏=如衬种。答案：D。点评：此题难度很大，是当时高考中得分最低的选择题，对空间想像能力要求高， 很好的考察了立体几何中点共面的几种情况；排列、组合中正难则反易的解题技巧 及分类讨论的数学思想。2 直线例 3 （2005 年全国高考卷I（理）过三棱柱任意两个顶点的直线共 15 条，其中异面直线有（）分析：选项数目不大，若不宜用公式直接求解，可考虑用树 解析：法一：一条底面棱有 5

4、条直线与其异面。例：与 AB 异面的直线分别是 B1C、A1C、B1C1、A1C1、CC1。侧面中与底面相交的棱有 4 条与其异面的直线；例：与 BB1 异面的直线分别是 AC、AC1、A1C1、A1C,侧面中的对角线有 5 条与其异面的直线；例：与 AB1 异面的直线分别是 BC、BC1、CC1、A1C、A1C1,而每条直线都数30 对 D . 36 对对两遍。共有。法二：一个四面体中有 3 对异面直线，在三棱柱的六个顶点中任取四个，可构 成四面体的个数为：故共有异面直线.o答案：D点评：解法一是例举法，把符合要求的所有的情况全列出来，列举时一定要按 一定的次序进行，以防遗漏和重复，这一看似

5、笨拙的方法对数目不太大的情况常给 人以清新，大智若愚之感，在近年高考中，这一方法经常用到；解法二是利用影 射，构造四面体解决的，有较高的技巧，在竞赛中时常出现。3 平面例 4a B是两个平行平面，在a内取 4 个点，在B内取 5 个点，这 9 个点最多能 确定多少个平面？解析：例 5 （2002 年全国高考）从正方体的六个面中选 3 个面，其中有两个面不相邻的选法共有（）A. 8 种 B. 12 种 C. 16 种 D . 20 种解析：4 模型4. 1 平面多边形例 6 （2004 年高考 湖南卷）从正方体的八个顶点中任取三个点为顶点作三角形， 其中直角三角形的个数为（）A. 56 B. 5

6、2 C. 48 D . 40解析：由于正方体各个顶点的位置一样，故可研究一个顶点，比如 B 点。以 B 为 直角顶点的三角形有：7： ,“；共 6 个,故正方体中共有。答案：C 点评：在厂，中直角顶点只有一个，从直角顶点出发考虑问题可避免重复，正方 体中各顶点位置均等，抓住这一点也是问题解决得关键。4. 2 空间多面体例 7 从正方体的八个顶点中任取四个点，所取的四个点中能构成四面体的取法共有。5 其它例 8 （2005 年高考江苏卷）四棱锥的 8 条棱分别代表 8 种不同的化工产品，有公共点的两条棱所代表的化工产 品放在同一仓库是危险的，没有公共点的两条棱所代表的化工产品放在同一仓库是 安全的，现打算用编号为 、