原理及架构说明

1、相關研究發展現況1970年代中期，模糊控制研究已經有相當多的成功實例， 1980 年代開始實用化、 商品化，到了 1990 年代已經造成一股熱潮。最近，模糊理論更與類神經網路、遺傳基 因工程與知識工程等互相結合，促使人工智慧科技很多新的突破。另一方面，灰色理 論自 1982 年由華中理工大學鄧聚龍教授正式發表後，在學術界與工業界引起極大迴 響，咸認能以最有限數據，建構一個近似系統動態特性之模型，對於工程之應用將有1996 年召開第九屆實質之貢獻。為求繼續擴展並達成學術與工業交流之目的，大陸在 全國灰色系統會議，同年在臺灣則舉辦第一屆灰色系統理論與應用研討會，並於會中 通過成立中華民國灰色系統學

2、會，以凝聚臺灣地區在灰色系統方面之研究與創新力， 使臺灣成為研究灰色系統最具有成果的國家之一。其中，有關灰預測控制之論文己達 四十餘篇 1 ，唯灰預測應用的研究仍侷限於軟體計算，若能夠透過積體電路製程加以 實現，將可大幅降低旁置微控制器或中央處理器的運算負載，使其有足夠的時間反應 控制決策的修正，以增加灰預測控制在即時系統的適用性，進而擴展灰預測控制在產 業界的應用領域。因此，以硬體架構實現灰預測控制中造成系統瓶頸之灰建模及預測 過程，使灰色預測模型可以實際應用於即時系統，將是值得研究的重要課題。預測控制於 1978 年由 Richalet 提出 2 ，當時的理論基礎是以模型預測為主，而(mo

3、del處理的對象則以線性系統為主，因此早期的預測控制又稱為模型預測控制 predictive control, MPC) 。1992年 Soeterboek詳盡的介紹模型線性預測控制理論的演進 與分類 3，並完整的比較各種不同類型的預測控制之性能與結果。雖然線性預測控制 的發展已經成熟，不過在非線性系統領域的研究仍須以數值解法來完成最佳控制律的 計算，而數值解法主要是以電腦數值計算每一採樣區間內之最佳控制律，因此必須花 費相當多的計算時間。預測係對於事物未來可能演變的情形，事先予以推測。每一類預測方法都有它的 適用範圍、使用條件、與方法特性，因此對於預測問題的處理，將依選擇的方法及技 術，設定

4、適合的模式計算相關的預測值。迴歸分析 (regression analysis) 為預測方法的基礎，應用範圍廣泛，包括工商、經濟、管理、控制之領域。迴歸分析為研究及測度兩個或兩個以上變數之間的關係之技術，如果涉及的變數僅有兩個，則稱為單重迴歸分析，若涉及的變數多於兩個，則稱為多重迴歸分析。從事迴歸分析時，不論變數個數為何，均須擇定其中之一個變數為因變數 (dependent variable，) 而把其餘變數當做自變數 (independent variable)，然後依據給與的多組自變數與因變數資料，研究自變數與因變數之間的關係。藉迴歸分析所導出的關係式，稱為迴歸方程式，其形式可為各種代數函

5、數、超越函數、或兩者相混之形式。迴歸方程式如果屬於線型的，亦即因變數為自變數之一次函數形式，則稱為線型迴歸方程式 (linear regression equation，) 否則稱為非線型迴歸方程式 (nonlinear regression equation)。當迴歸方程式求得後，如給與自變數值，即能代入式中估算因變數值，因此，迴歸分析包括敘述、控制與預測三個主要應用 4 。迴歸分析可藉數理統計學的有關理論推演，其中更需依賴如最小平方法之類的曲線擬合 (curve fitting) 技術。在多項式迴歸分析中，若多項式的階數為 n，則其曲線可以完全擬合 n+1 組觀察值 (xi,yi) 之所有

6、點，假設此 n階多項式迴歸方程式為：y a0 a1x a2x2 . anxn(1)若觀察值與估計值之間的誤差定義為：2neiYi yi Yi a0 a1xi a2xi . anxi(2)則誤差平方和為：nnSei2(Yi a0 a1xi a2xi2 . . anxin)2i 1 i1(3)而最小平方法強調的是對於觀察值與估計值之間的誤差異平方值之總和要最小，亦即令nS 02(Yi a0 a1xi a2xi2 . an xin )( 1),a0i 12na2xi . anxi )( xi ),Sn02(Yi a0 a1xia0i 1(4)S 02(Yi a0 a1xia0i 12 a2xinn.

7、 anxi )( xi ).利用矩陣可求得多項式的相關係數：nxi2xi3xi .xinxi2 xi3 xi4xi.xin1xi23 xi4 xi5xi.xin 2Yi xiYi xi2Yi(5)nxixin 1n2xin3xin 32nxixinYi通常迴歸模式的函數形式是未知的，須從過去的經驗及收集的資料中分析它的特性，只要是合理的估計，一次、二次或二次以上的函數皆可以做為參考的資料，在各種案例中，雖然函數的形式相當複雜，但仍可以採用直線或二次多項式迴歸函數為估計模 式。高階次的多項式模式與資料的擬合度最完美，例如：具有一個自變數的n 階次模式 能與 n+1個觀察值完全擬合 ，但高階次模式

8、中的迴歸係數常因較小的外在變數值產生估 計值的巨幅的振盪。因此在實際應用中，很少應用三階次以上的高階次多項式模式，5。Gerald著作中，亦強調最佳的擬合多項式迴歸方程式是為二階研究動機如圖一所示，在灰色預測控制系統中，由灰色預測器擷取系統的輸入值y，累積達 到灰色建模所需的數據後，形成一組數列，經過累加生成即可獲得一較具規律性的生成 數列，然後出這些生成數列建立灰色模型並預測系統輸出的響應驅勢。而獲得一預測量y(t 1) ，將此預測結果與參考輸入值 r 比較後獲得一預測誤差 e(t 1)，然後再由控制決策機構 (也就是本計畫中的模糊控制器 ) 依據此預測誤差量制定一控制量來對受控體進行控制。

9、因此，灰色預測控制器是依據系統未來行為的發展趨勢對系統往後可能出現的誤差提前進行控制，這是一種事前控制。圖一 灰色預測模糊控制器之系統架構在“灰預測模糊控制器硬體電路之設計”的成果報告中6 ，發現灰色預測電路使 用大量的晶片資源，因此改用多項式曲線擬合的方式完成硬體電路，由實際結果顯示， 採用一階與二階多項式迴歸預測電路，不但減少了硬體設計的複雜度且能獲得更佳的控 制效能，如圖二所示。因此，為了更深入探討多項式迴歸預測控制系統的適用性。於是採用全客戶訂製型 (full custom) 的設計方式，實現多項式迴歸預測控測器之晶片製作。圖二 浮球移動軌跡比較圖4架構簡介以一階 ax+b=y 與二階

10、 ax2 bx c y 二種曲線擬合的方式，求出下一點預測值，其多項式輸出與輸入關係之推導如下 (以二階為例 )：設A 為定義域 (Domain)，B為對應域 (codomain)，而函數之定義域中每個元素的 對應值所成之集合謂之值域，記為 f(A) 。(6)f(A) f(x) f(x) B；f (A) B, x Z, f(A) Z若 f(x1) y，1 f(x2) y，2 f(x3) y3 ，且x3 2 x2 1 x1，求解 f (x4)： 解： 代入 ax2 bx c y2ax1bx 1 cy1上式中2bx 22bx3s rule可知y1x11y2x21y3x3121x1x121x2x22

11、 x3x31cc利用 Crameraax2ax3y2y3y1(x2 x3) x1(y2 y3) (y2x3 x2y3)2 2 2 2 2x1 (x2 x3) x1(x2x3 ) (x2 x3 x3 x2 )2x1 (x2 x3) x1(x2x3 ) (x2 x3 x3 x2)222 2 2 x1 (x2 x3) x1(x2 x3)(x2 x3) (x2 x3 x3 x2)2(x2 x3) x1x1(x2 x3) x2x3將 x3 2 x2 1 x1 代入上式( 1) x1( x1 3) x12 3x1 2 2(7)(8)(9)(10)(9L)貝(L+ lx)(lt)+ (4+ lx)(lx4)

12、 + LAf Lx)(4十 Lx) 寸x亘f LX4)+ (L十 LX)T Lb(甲 Lxz)尸寸XUA 4+ L-一Ct)(寸L)(CL)(0L)ff ;ahvx二二XHelx G目二 Ho + xq+zxe 叵年。-q-eH 0 A (匸 LX)GI)+ “+ Lx)(&+ la(l+ lx)(乍 Lx)oxLTTTXCOXXCMOJXoq coX(zx ex x ZX)LA + ( ex A ZX)LX (ZAex Mzx) rxmxNXLA4 一MXAwxAAH 0eA(L+ Lxe)+ (l+ lx)寸 LA(e+ Lxe)二 XH L ZXH 0 ox KEx 0+Xs OJ义1C

13、M+OJTTXCM XX11TXoqOJ XoqcoXOJX3 A(以 ex A zx)+ ( ex ZX)LA (A NA )犬A A A A ILA4oxAwxALxAeA ZAe+ 兰 I eA(zx Lx)+ ZA(LX ex)+ LA(ex zx)將 x4 x1 3 代入(17)y42y1 6y2 6y3y1 3y2 3y3同理一階多項式預測可得 y3 2y2 y1 。由上述可知：一階第三點預測可得為y3 2y2 y1 ，二階第四點預測可得為y4 y1 3y2 3y3 。其實現之電路架構方塊圖如圖三所示。clk圖三 電路方塊圖電路分為五部份 :資料暫存器、一階預測計算、二階預測計算、

14、溢位檢知、多工器多工輸出。其中暫存器使用了三個八位元的 D 型正反器來儲存最新三筆輸入資料，使 8 bit dff(1)代表 y3、8 bit dff(2)代表 y2、8 bit dff(3)代表 y1、10 bit dff 其輸入端為 3 y3 ，其輸 出端為 3 y2，而可省去計算 3y2 的電路。溢位檢知電路使預測數值小於 0則設輸出為零，數值大於 255 則設輸出為 255。多工器有兩條選擇線 mode 與 s，可輸出四組資料。如 表一所示：表modes輸出資料00y31y110一階預測1二階預測四、設計流程IDEAALGORITHMCIRCUIT DESIGNSBTSPICESIMU

15、LATIONLAYOUT EDITDRACULAEND圖四 設計流程圖五、模擬結果以輸入信號 mode來決定一、二階多項式歸迴分析之值與暫存器之值。當 mode 為 1 時，輸出一、二階多項式預測之值 。mode為 0，s為 1，輸出圖三方塊圖中暫存器 8 bit dff(3)數值，因此可以查得三筆暫存器資料是否正確。如圖五所示：圖五 輸入信號 mode 與輸出波形圖輸入信號 mode 為 1 時，當 s=0 則輸出信號 out0.7為一階多項式曲線擬合預測輸出，如圖六所示。當 S=1 則輸出信號 out0.7為二階多項式曲線擬合預測輸出，如圖七 所示。9圖六 一階多項式曲線擬合預測輸出圖七

16、二階多項式曲線擬合預測輸出10六、預計規格列表以 SBTspice 作 post layout simulation。溫度 27，在最差的狀況下工作頻率至少可 以達到 60 Mhz，消耗功率 2.55mW。因此本電路可應用於即時控制的領域。七、 量測考量電路中使用了兩組多工器與兩條選擇信號 mode 與 s 以決定四種狀態的操作 。mode 可以選擇正常輸出信號與暫存器資料，了解是否三個暫存器可以正常的動作，因為輸出 信號是根據三個暫存器的資料而動作的。 s 選擇線可以選擇兩個模組，分別檢查一階與 二階運算式的動作是否正常。八、參考文獻1王子亮、溫坤禮、鄧聚龍，“灰色系統文獻綜述”， 1998 年灰色系統理論與應用研討會，頁 1-32，1998 年。2J. Richalet, A. Rault, J. L. Testud, and J. Papon, “Model predictive heuristic control:applications to industrial processes”, Automatics, vol. 14, pp. 413-420, 1978.3R. Soeterboek, “Predictive Control: A Unifi