高速车车体结构强度分析培训技巧—有限元基本原理及车体强度计算

1、李晓峰博士李晓峰博士/ /副教授副教授王悦东博士王悦东博士/ /讲讲 师师大连交通大学大连交通大学交通运输工程学院载运工具先进技术研究中心交通运输工程学院载运工具先进技术研究中心现代轨道交通研究院数字化设计研究所现代轨道交通研究院数字化设计研究所0411-；唐车公司唐车公司- -大连交通大学技术培训大连交通大学技术培训有限元基本原理及车体强度计算有限元基本原理及车体强度计算 2010.07.072010.07.07交通运输工程学院载运工具先进技术研究中心交通运输工程学院载运工具先进技术研究中心目目 录录第一章 弹性力学平面问题的有限元法1.11.1 概述1.21.2 位移与应变之间的几何方程1

2、.31.3 应变与应变之间的弹性方程1.41.4 应力与外力之间的平衡方程1.51.5 虚功方程1.61.6 单元分析的步骤 1.71.7 由角点位移求内部任一点的位移位移模式1.81.8 由角点位移求应变、应力和角点力单元刚度矩阵1.91.9 整体分析的步骤1.101.10 刚体刚度矩阵的形成1.111.11 支承条件的引入1.121.12 整体刚度矩阵的特点 2010.07.072010.07.07交通运输工程学院载运工具先进技术研究中心交通运输工程学院载运工具先进技术研究中心目目 录录 第二章 杆系结构的有限单元法2.12.1 有限单元法的解题思路2.22.2 单元刚度矩阵2.32.3

3、坐标变换2.42.4 结构刚度矩阵2.52.5 载荷处理2.62.6 约束处理2.7 2.7 解题的具体步骤、简例 第三章 单元类型及特性定义3.13.1 单元分类3.2 3.2 单元特性定义 2010.07.072010.07.07交通运输工程学院载运工具先进技术研究中心交通运输工程学院载运工具先进技术研究中心目目 录录 第五章 模型的检查与处理5. 1 网格的质量检查5. 2 重合节点检查 5. 3 重合与遗漏单元检查5. 4 带 宽 优 化5. 5 波 前 处 理 第六章 边界条件的建立6. 1 位移的约束条件6. 2 热边界条件 6. 3 载 荷 条 件6. 4 其它边界条件 第四章

4、网格划分方法4.1 4.1 网格划分原则4.24.2 网格划分方法第一章第一章 弹性力学平面问题的有限元法弹性力学平面问题的有限元法 2010.07.072010.07.07交通运输工程学院载运工具先进技术研究中心交通运输工程学院载运工具先进技术研究中心1.1 概述概述 1.弹性力学与结构力学的区别 结构力学的研究对象是杆件结构。杆件的几何特征是长度比横截面积尺寸大得多。杆件的变形特征是其横截面在变形后仍保持平面，计算杆件的变形时可以采用平面假设。在结构力学中，由于采用平面假设，从而使计算机工作大为简化。例如图1-1所示的浅梁，其截面高度 小于跨度 的 ，计算时，可以采用结构力学方法。图 1-

5、1图 1-2hl14 弹性力学的研究对象是非杆件结构。例如图1-2所示的深梁，其截面高度 的大于跨度 的1/4 ，它的变形状态比较复杂，平面假设不再适用。因此，计算深梁时，不能采用结构力学方法，而要采用弹性力学方法。 2.弹性力学平面问题的两种类型 弹性力学可分为空间问题和平面问题。严格的说，任何弹性体总是处于空间受力状态，因而任何实际问题都是空间问题。但是在某些情况下，空间问题可以近似地按平面问题处理。 弹性力学平面问题可分为两类： （1）平面应力问题：例如图1-2中的深梁，由于梁的厚度很小，而荷载又都与 平面平行，且沿 轴方向的应力分量等于零。这种问题称为平面应力问题。 2010.07.0

6、72010.07.07交通运输工程学院载运工具先进技术研究中心交通运输工程学院载运工具先进技术研究中心hlOxyz第一章第一章 弹性学平面问题的有限元法弹性学平面问题的有限元法 （2）平面变形问题：图1-3示 一圆形隧洞的横截面积。由于隧洞的长度比直径大得多，而荷载又都与 平面平行，且沿 轴为均匀分布，因此可以认为，沿 轴方向的位移分量等于零。这种问题称为平面变性问题。 上述两类问题有许多共同点，合称为弹性力学平面问题。在本章中只讨论平面问题。 2010.07.072010.07.07交通运输工程学院载运工具先进技术研究中心交通运输工程学院载运工具先进技术研究中心图 1-3Oxyzz第一章第一

7、章 弹性力学平面问题的有限元法弹性力学平面问题的有限元法 3.弹性力学问题的离散化 弹性力学问题有限元法的解题思路与前几章刚架问题的解题思路是基本一致的，它们都是把结构看作是由有限个单元组成的体系。但是，它们有一点不同：在刚架中，我们很自然地把刚架中的有限个杆件看作单元；而在弹性体中，我们需要人为地把它划分成有限个单元。在弹性力学平面问题中，常用的单元是三角形单元。 2010.07.072010.07.07交通运输工程学院载运工具先进技术研究中心交通运输工程学院载运工具先进技术研究中心图1-4a图1-4b第一章第一章 弹性力学平面问题的有限元法弹性力学平面问题的有限元法 2010.07.072

8、010.07.07交通运输工程学院载运工具先进技术研究中心交通运输工程学院载运工具先进技术研究中心Wijqij/ 2qssiji jjqi6q sj3q s3W 例如图1-4a是一个重力坝及其地基的横截面图。在1-4b中，我们将它划分为三角形网络，把原来的连续体简化为由有限个三角形单元组成的离散体，其中三角形单元之间只在结点处用铰相连，荷载也转移到结点上，在位移为零的结点处以及在位移的数值很小因而可以忽略的结点处，可以设置支杆。 荷载向结点的转移，是按静力等效原则进行的。 如果边界 上作用均分布荷载，集度为 （图1-5a），则转移到结点 和 的荷载各为 （ 为 边的长度）。 如果在边界 上作用

9、三角形分布的荷载， 点的集度为 （图1-5b），则转移到结点 的荷载为 ， 点的荷载为 。 如果三角形单元所受的重力总共为 ，则转移每一个结点的荷载各为 （图1-5c）。第一章第一章 弹性力学平面问题的有限元法弹性力学平面问题的有限元法 2010.07.072010.07.07交通运输工程学院载运工具先进技术研究中心交通运输工程学院载运工具先进技术研究中心图1-5a图1-5b图1-5c 在弹性力学问题中，需要经过离散化，才能使结构变成有限个单元的结合体，这是与杆件结构问题不同的一个特点。 另一个不同的特点是弹性力学平面问题中采用的是二维单元，比杆件结构中采用的杆件单元要复杂一些。 除上述不同特

10、点外，解题的步骤仍然相似。即首先进行单元分析，得出单元矩阵；然后考虑单元的综合，得出整体矩阵。因此，弹性力学问题的有限元法包括下列三个主要步骤： 离散化单元分析整体分析 下面，我们分三部分进行讨论，首先讨论弹性力学的基本方程，然后讨论整体分析。 第一章第一章 弹性力学平面问题的有限元法弹性力学平面问题的有限元法（）弹性力学的基本方程）弹性力学的基本方程1.2 1.2 位移与应变之间的几何方程位移与应变之间的几何方程 2010.07.072010.07.07交通运输工程学院载运工具先进技术研究中心交通运输工程学院载运工具先进技术研究中心 物体在平面内的变形状态有两种描述方式：一是给出各点的位移

11、和 。二是给出各点微小矩形单元的应变 、 、 。其中 和 分别表示沿x方向和 y方向的线应变， 表示剪应变（角应变）。 现在推导位移和应变之间的几何关系。 图1-6示变形前物体内的一个微小矩形单元ABCD，边长为 和 。现在分别考虑由于水平位移 和竖向位移 所引起的应变。 图1-6a中，我们只考虑水平位移 。矩形单元ABCD在变形后的新位置为 。由于 是逐点变化的， 是坐标x与y的函数。偏导数 表示 沿x方向的变化率, 表示 沿y方向的变化率。uvxyxyxyxydxdyuv A B C Duuuxuuyu 2010.07.072010.07.07交通运输工程学院载运工具先进技术研究中心交通运

12、输工程学院载运工具先进技术研究中心图1-6a 图1-6b设A点水平位移为 。由A到B，坐标x的增量为 ，故 的增量为 ，因而B点的水平位移为 由A到D，坐标y的增量为 ，故 的增量为 ,因而D点的水平位移为 由图1-6a可求得三个应变分量如下：udxudxxuudxxdyuudyyuudyy第一章第一章 弹性力学平面问题的有限元法弹性力学平面问题的有限元法u 2010.07.072010.07.07交通运输工程学院载运工具先进技术研究中心交通运输工程学院载运工具先进技术研究中心110 xyxyudxA BA BuxA BdxxudyD DuyA Ddyy同样，由图1-6b可求得由于竖向位移 所

13、引起的应变：v第一章第一章 弹性力学平面问题的有限元法弹性力学平面问题的有限元法 2010.07.072010.07.07交通运输工程学院载运工具先进技术研究中心交通运输工程学院载运工具先进技术研究中心0 xyx yvyvx将以上两项应变进行叠加，即得到总的应变如下：(11)xyxyuxvyuvyx式（1-1）就是由位移求应变的几何方程。第一章第一章 弹性力学平面问题的有限元法弹性力学平面问题的有限元法1.3 应变与应变之间的弹性方程应变与应变之间的弹性方程 本节讨论应变与应变之间的弹性方程。先讨论平面应力问题，然后讨论空间问题和平面变形问题。 1.平面应力问题的弹性方程 在平面应力问题中，矩

14、形单元的应力分量如图1-7所示。 在以x轴为法线的截面上，作用的应力分量为正应力 和剪应力 。 在以y轴为法线的截面上，作用的应力分量为正应力 和剪应力 。 2010.07.072010.07.07交通运输工程学院载运工具先进技术研究中心交通运输工程学院载运工具先进技术研究中心图1-7xxyyyx第一章第一章 弹性力学平面问题的有限元法弹性力学平面问题的有限元法 2010.07.072010.07.07交通运输工程学院载运工具先进技术研究中心交通运输工程学院载运工具先进技术研究中心 剪应力 有两个脚标：第一个脚标表示作用面的法线方向；第二个脚标表示应力的方向。由剪应力互等定律，可知 。因此，共

15、有三个独立的应力分量，它们组成应力分量如下：xyx y 应力的正负号规定如下： 正面（其外法线与坐标轴正方向一致的面）上的应力，其方向与坐标轴正方向一致时为正。 反面（其外法线与坐标轴负方向一致的面）上的应力，其方向与坐标轴负方向一致时为正。 对于正应力 来讲，上述规定就是“以拉为正，以压为负。” 在平面应力问题中，由应力求应变的弹性方程为xyyx第一章第一章 弹性力学平面问题的有限元法弹性力学平面问题的有限元法 2010.07.072010.07.07交通运输工程学院载运工具先进技术研究中心交通运输工程学院载运工具先进技术研究中心1()1()(1 2)2(1)xxyyyxxyxyxyEEGE

16、由上式解出应力，可得出由应变求应力的弹性方程：222()1()112(1)12xxyyxyxyxyxyEEEE第一章第一章 弹性力学平面问题的有限元法弹性力学平面问题的有限元法 2010.07.072010.07.07交通运输工程学院载运工具先进技术研究中心交通运输工程学院载运工具先进技术研究中心或写成 (13)D2110(14)110200ED其中D称为弹性矩阵。它是一个对称矩阵，它的元素与弹性常数E与 有关。 2 .空间问题的弹性方程 在空间问题中，我们从弹性体重街区一个六面体，其中有三对平面，分别与三个坐标轴垂直（图1-8）。每个面上有三个应力分量：一个正应力，两个剪应力，分别于三个坐标

17、轴平行。在图1-8中，画出了三个正面上的九个应力分量，其中有三个正应力，六个剪应力。六个剪应力中实际上只有三个独立的应力分量，因为它们之间有下列三个剪应力互等关系：第一章第一章 弹性力学平面问题的有限元法弹性力学平面问题的有限元法 2010.07.072010.07.07交通运输工程学院载运工具先进技术研究中心交通运输工程学院载运工具先进技术研究中心,xyyxyzzyzxxz 图1-8 因此，空间应力状态共有六个独立的应力分量。与此相应，空间变形状态共有六个应变分量。第一章第一章 弹性力学平面问题的有限元法弹性力学平面问题的有限元法 2010.07.072010.07.07交通运输工程学院载运

18、工具先进技术研究中心交通运输工程学院载运工具先进技术研究中心xyzxyyzzx xyzxyyzzx 其中， 、 、 是沿x、y、z三个方向的线应变， 、 、 是三个角应变（剪应变），例如 表示x、y方向的两个线段之间的角应变。 在空间问题中，应力与应变之间的弹性方程可仿照式（1-2）写出如下：xyzxyyzzxzx第一章第一章 弹性力学平面问题的有限元法弹性力学平面问题的有限元法 2010.07.072010.07.07交通运输工程学院载运工具先进技术研究中心交通运输工程学院载运工具先进技术研究中心1()1()1()(15)2(1)2(1)2(1)xxyzyxyzzxyzxyxyyzyzzxz

19、xEEEEEE第一章第一章 弹性力学平面问题的有限元法弹性力学平面问题的有限元法 2010.07.072010.07.07交通运输工程学院载运工具先进技术研究中心交通运输工程学院载运工具先进技术研究中心 3.平面变形问题的弹性方程 在平面应变问题中，只有三个非零的应变分量 、 、 ；其余三个应变分量 、 、 都等于零。 由于 =0和 =0，故由式（1-5）的后两式得:0,0yzzx由于 =0，故由式（5-5）的第三式得 ()( )zxya 由此看出，三个应力分量 、 和 或者已知为零，或者是 和 的已知函数，因此，只有 、 、 三个应力分量才是独立的应力分量。xyxyzyzzxyzzxxyzz

20、xzxyxy第一章第一章 弹性力学平面问题的有限元法弹性力学平面问题的有限元法 2010.07.072010.07.07交通运输工程学院载运工具先进技术研究中心交通运输工程学院载运工具先进技术研究中心 为了求出应力 、 、 和应变 、 、 之间的关系，可利用式（1-5）中的第一、二、四式，并将式（a）带入即得2221()11()(16)12(1)2(1)11xxyxyxxyxyxyEEEE 式（1-6）就是平面变形问题的弹性方程。xyxyxyxy第一章第一章 弹性力学平面问题的有限元法弹性力学平面问题的有限元法 2010.07.072010.07.07交通运输工程学院载运工具先进技术研究中心交

21、通运输工程学院载运工具先进技术研究中心 现将两类平面问题的弹性方程（1-2）和（1-6）加以比较。如果在式（1-2）中把E换成21E把u换成1（1-7） 就得出式（1-6）。 由此看出，两类平面问题可以按照同样的方式进行分析。只要利用转换关系（1-7），就可将平面应力问题的方程转换成平面变形问题的方程。例如平面变形问题的弹性方程仍可写成 D第一章第一章 弹性力学平面问题的有限元法弹性力学平面问题的有限元法 2010.07.072010.07.07交通运输工程学院载运工具先进技术研究中心交通运输工程学院载运工具先进技术研究中心(1)(18)(1)(12)00ED11-101-1- 202(1-)

22、 其中的弹性矩阵D则可由式（1-4）并利用关系（1-7）转换成如下的形式：第一章第一章 弹性力学平面问题的有限元法弹性力学平面问题的有限元法1.4 应力与外力之间的平衡方程应力与外力之间的平衡方程 2010.07.072010.07.07交通运输工程学院载运工具先进技术研究中心交通运输工程学院载运工具先进技术研究中心 在弹性力学平面问题中，弹性体为一个厚度的平板。平分板厚的中间平面取为 x y平面，外力都作用在 x y平面内。 外力可分为体积力和表面力两类： 体积力是分布在物体体积中的力，例如重力。我们用 、 表示单位体积中的体积力在 x、 y方向的分量。 表面力是分布在平板侧面上的力。我们用

23、 、 表示单位面积上的表面力在 x、 y方向的分量。 下面分别讨论应力与两类外力之间的平衡方程。 1.应力与体积力之间的平衡方程-平衡微分方程 我们从弹性体内部取出一个微小单元，平面尺寸为 和 ，厚度为t。微小单元上的作用力为内部的体积力和四个侧面上的应力。 一般情况下，体积力和应力都是逐点变化的，但当 和 为微量时，体积力和应力的分布情况加以简化。XYXYdxdydxdy第一章第一章 弹性力学平面问题的有限元法弹性力学平面问题的有限元法 2010.07.072010.07.07交通运输工程学院载运工具先进技术研究中心交通运输工程学院载运工具先进技术研究中心 我们先考虑微小单元只在x方向受单向

24、拉应力的简单情况。 在图1-9a中，设A点的应力为 ，则另外三点B、D、C的应力分别为 x( )xxBxxxDxxxxCxdxxdyaydxdyxy 由于 和 都是微量，在式（a）中我们忽略了两阶以上的高阶微量，同时，在 AD和 BC面上的应力可看作是线性分布的。dxdy第一章第一章 弹性力学平面问题的有限元法弹性力学平面问题的有限元法 2010.07.072010.07.07交通运输工程学院载运工具先进技术研究中心交通运输工程学院载运工具先进技术研究中心图1-9a 图1-9b再求 ABCD上的合力。由图1-9a看出， AD面上的合力为 211122xxxxxFdytdytdytdyyy 20

25、10.07.072010.07.07交通运输工程学院载运工具先进技术研究中心交通运输工程学院载运工具先进技术研究中心BC面上的合力为221212xxxxxxxxxFdxdxdytdyxxytdytdxdytdyxy因此，总合力为21xFFFtdxdyx 如果把图1-9a的应力状态简化为图1-9b的应力状态，即假设 AD面和 BC面上的平均应力分别为 和 ，其合力作用于各面的中点，则两种应力状态所给出的总合力是完全相同的。在推导平衡方程时，我们只考虑单元的合力，因此，可以采用土1-9b中简化了的应力状态来进行推导。xxxdxx第一章第一章 弹性力学平面问题的有限元法弹性力学平面问题的有限元法 2

26、010.07.072010.07.07交通运输工程学院载运工具先进技术研究中心交通运输工程学院载运工具先进技术研究中心 对于平面应力状态的一般情形，按照上述简化的表示方式，微小单元ABCD 的应力状态如图1-10所示。根据同样的简化原则，单元内的体积力 X、 Y可看作是均匀分布的，其合力作用于单元的中心。图1-10第一章第一章 弹性力学平面问题的有限元法弹性力学平面问题的有限元法 2010.07.072010.07.07交通运输工程学院载运工具先进技术研究中心交通运输工程学院载运工具先进技术研究中心下面，参照图1-10，推导平衡方程。先由平衡条件得0X0 xyxxxyxyxdx tdytdyd

27、y tdxtdxXtdxdyxy整理后，得 0 xyxX tdxdyxy由此得出下面的第一式。同理，由 可得出第二式0(19)0yxxyxyXxyYxy 式（1-9）就是在平面问题中应力与体积力之间的平衡方程，称为平衡微分方程。第一章第一章 弹性力学平面问题的有限元法弹性力学平面问题的有限元法 2010.07.072010.07.07交通运输工程学院载运工具先进技术研究中心交通运输工程学院载运工具先进技术研究中心 2.应力与表面力之间的平衡方程-静力边界条件 上面导出了应力与体积力之间的平衡方程式（1-9），现在推导在边界上的应力与表面力之间的平衡方程。 在图1-11中，弹性体的边界周线为C

28、。其中一部分边界 为自由边，在自由边上，作用给定的表面力 、 。另一部分边界 为固定边，在固定边上，位移u和v都为零。1CXY图1-11第一章第一章 弹性力学平面问题的有限元法弹性力学平面问题的有限元法2C 2010.07.072010.07.07交通运输工程学院载运工具先进技术研究中心交通运输工程学院载运工具先进技术研究中心 为了推导自由边界处表面力 、 与应力之间的平衡方程，我们在自由边界处隔离体 ABD（图1-11中的阴影部分），示于图1-12。XY图1-12第一章第一章 弹性力学平面问题的有限元法弹性力学平面问题的有限元法 2010.07.072010.07.07交通运输工程学院载运工

29、具先进技术研究中心交通运输工程学院载运工具先进技术研究中心 设边界 AB 的外法线n与x轴的夹角为 ，AB 长度为 ，则直角边 DA和 DB的长度分别为 和 。先由平衡条件dssindscosds0X 得cossin0 xyxXtdsdsds 由此得出下面的第一式。同理，由Y=0，可得出第二式cossin(1 10)cossinxyxyxyXY 式（1-10）就是在边界 上的应力 与表面力之间的平衡方程，称作静力边界条件。 如果弹性体处于平衡状态，则在内部应满足平衡微分方程（1-9），同时在边界 上应满足静力边界条件（1-10）。1C1C第一章第一章 弹性力学平面问题的有限元法弹性力学平面问题

30、的有限元法1.5 虚功方程虚功方程 2010.07.072010.07.07交通运输工程学院载运工具先进技术研究中心交通运输工程学院载运工具先进技术研究中心 在弹性力学有限元法中，通常用虚功方程代替平衡方程与几何方程。 我们先回顾一下刚体的虚功方程，然后讨论变形体的虚功方程。 1.刚体的虚功方程 刚体虚功方程可表述于下： 设刚体上作用任意的平衡力系 ；又设由于他种原因，或者由于分析问题的需要，使刚体产生任意的刚体位移，这时与各力相应的位移分量分别为 ；则平衡力系在刚体位移上所作的功的代数和恒等于零，即12,.nP PP*12,.n *10niiiP第一章第一章 弹性力学平面问题的有限元法弹性力

31、学平面问题的有限元法 2010.07.072010.07.07交通运输工程学院载运工具先进技术研究中心交通运输工程学院载运工具先进技术研究中心 应当注意，这里在功的前面加一个“虚”字，其目的是为了强调力系与位移是彼此无关而可以独立选取这个性质。或者说，虚功是指一种力系“骑”在他种位移上所作的功。 还要注意，如果位移是在某个约束条件下发生的，则在该约束力方向的位移应是零，因而该约束力所作的虚功也应为零。这时该约束力叫做被动力。反之，如果位移是在某个约束被拆除的情况下发生的，这时在该约束力方向的位移可不为零，因而该约束力所作的虚功可不为零。这时，该约束力应看作是主动力。因此，根据所设位移的情况，在

32、力系中应当分清楚哪些是主动力，哪些是被动力，而在写虚功方程时，只有主动力作虚功，而被动力是不作虚功的。 下面说明虚功方程的两种用法。 第一、利用虚功方程求约束力。 例如，在图1-13a中简支梁 AB上作用已知载荷 与 ，拟求支座 B的反力 .1P2PBR第一章第一章 弹性力学平面问题的有限元法弹性力学平面问题的有限元法 2010.07.072010.07.07交通运输工程学院载运工具先进技术研究中心交通运输工程学院载运工具先进技术研究中心图 1-13a图 1-13b第一章第一章 弹性力学平面问题的有限元法弹性力学平面问题的有限元法 2010.07.072010.07.07交通运输工程学院载运工

33、具先进技术研究中心交通运输工程学院载运工具先进技术研究中心 为此，可按图1-13b虚设刚体位移，即将拟求约束力 相应的约束力拆除，使沿 方向产生位移 。这时， 已化为主动力。 令图1-13a中的实际平衡力系在图1-13b中的虚设刚体位移上作虚功，虚功方程为BRBR*BBR*1220( )33BBBBRPPa 由此求得121233BRPP 这里的虚功方程（a）可叫作虚位移方程，形式上是功的方程，实质上它是平衡方程。第一章第一章 弹性力学平面问题的有限元法弹性力学平面问题的有限元法 2010.07.072010.07.07交通运输工程学院载运工具先进技术研究中心交通运输工程学院载运工具先进技术研究

34、中心 第二、利用虚功方程求位移。 例如，在图1-14a中，简支梁的支座沉降量已知为 和 ，现在拟求中点 C的竖向位移 。AfBfc图 1-14 为此，可按图1-14b虚设平衡力系：即在拟求位移 的方向虚设荷载 ，这个荷载 与相应的支座反力 和 组成一个平衡力系。c*P*P*2APR *2BPR 第一章第一章 弹性力学平面问题的有限元法弹性力学平面问题的有限元法 2010.07.072010.07.07交通运输工程学院载运工具先进技术研究中心交通运输工程学院载运工具先进技术研究中心 令图1-14b中的虚设平衡力系在图1-14a中的实际刚体位移上作虚功，则虚功方程为 *0( )22cABPPPff

35、b 由此求得 1122cABff 这里的虚功方程（b）可叫作虚力方程。形式上它是功的方程，实质上是几何方程。 2.变形体的虚功方程 变形体的虚功方程可表述如下： 设变形体处于平衡 受力状态：体积力为 X、Y ，在自由边界 上的表面力为 、 ，应力为 ， ， 。1CXYxyxy第一章第一章 弹性力学平面问题的有限元法弹性力学平面问题的有限元法 2010.07.072010.07.07交通运输工程学院载运工具先进技术研究中心交通运输工程学院载运工具先进技术研究中心 设变形体产生虚位移 、 ，在固定边界 上的位移 及 为零，相应的虚应变为 *u*v2C*u*v*,*xyxyuvuvxyyx 则体积力

36、和表面力在虚位移上作的外力虚功W恒等于应力的虚应变上作的虚变形功U，即(111)WU其中1*)(1 12)cAWXuYvtdxdyXuYvtds*(113)xxyyxyxyAUtdxdy 第一章第一章 弹性力学平面问题的有限元法弹性力学平面问题的有限元法 2010.07.072010.07.07交通运输工程学院载运工具先进技术研究中心交通运输工程学院载运工具先进技术研究中心上面三个积分的意义为：式（1-12）右边第一个积分表示全部体积力作的虚功。式（1-12）右边第二个积分表示自由边界 上的表面力作的虚功。式（1-13）积分中的积分项为1C*(1 14)x xy yxy xydUtdxdy 它

37、表示图1-15中的微小单元ABCD 四个侧面上的应力在虚应变上作的虚功。现结合图1-15详细解释如下： 第一章第一章 弹性力学平面问题的有限元法弹性力学平面问题的有限元法 2010.07.072010.07.07交通运输工程学院载运工具先进技术研究中心交通运输工程学院载运工具先进技术研究中心图 1-15a 图1-15a表示三个应力变量 、 、 分别在侧面上引起的合力（单元的体积力在图1-15a中没有画出）。xyxy第一章第一章 弹性力学平面问题的有限元法弹性力学平面问题的有限元法 2010.07.072010.07.07交通运输工程学院载运工具先进技术研究中心交通运输工程学院载运工具先进技术研

38、究中心图 1-15b 图1-15b表示三个应变分量 、 、 分别引起的虚位移。这里假设A点沿 x、 y方向没有唯一， AD边没有转角。因此，这种唯一状态是单纯由虚应变引起的。*x*y*xy第一章第一章 弹性力学平面问题的有限元法弹性力学平面问题的有限元法 2010.07.072010.07.07交通运输工程学院载运工具先进技术研究中心交通运输工程学院载运工具先进技术研究中心图 1-15c 图1-15c表示当 A点发生位移 和 、又 AD边发生转角 时所引起的刚性位移。这时，单元的三个应变分量都为零。*Au*Av*AD第一章第一章 弹性力学平面问题的有限元法弹性力学平面问题的有限元法 2010.

39、07.072010.07.07交通运输工程学院载运工具先进技术研究中心交通运输工程学院载运工具先进技术研究中心 显然，把图1-15b和c中的两种位移状态叠加起来，才是总的虚位移状态。 令图1-15a中的应力在图1-15b中的虚应变状态上作功，即得*(115)yxxxyyxyxyxydUdx tdydxdy tdxdyxydx tdydxx 如果在式（1-15）中略去三阶微量，则归结为上面的式（1-14）。 以上说明了式（1-14）的涵义： 是单元侧面的应力在虚应变上作的功，而不是在总的虚位移上作的功。为了强调这一点 ，我们称 为单元的虚变形功，而不笼统地称为应力虚功。dUdU第一章第一章 弹性

40、力学平面问题的有限元法弹性力学平面问题的有限元法 2010.07.072010.07.07交通运输工程学院载运工具先进技术研究中心交通运输工程学院载运工具先进技术研究中心 如果在虚位移中只有刚体位移，而没有应变，这时虚变形功 ，而式（1-11）即变成 ，这就是刚体的虚功方程。它是变形体虚功方程的一个特例。 3.变形体虚功方程的证明 我们分三步来证明虚功方程（1-11）。 第 一步，令 表示图1-10中的微小单元上的平衡力系（包括侧面应力和体积力）在总的虚位移（即图1-15b和c两种位移状态的总和）上所作的虚功。再对变形体整个平面面积 A积分，即得0U 0W dVVd V V是变形体中所有单元的

41、总虚功 的总和。第一章第一章 弹性力学平面问题的有限元法弹性力学平面问题的有限元法 2010.07.072010.07.07交通运输工程学院载运工具先进技术研究中心交通运输工程学院载运工具先进技术研究中心 下面，分别证明 和 。 第二步，我们来证明 。 由于图1-10中微小单元上的平衡力系包括体积力和侧面应力两部分，因此单元总虚功 可分解为两部分力所作的虚功：VWVUVWdV12dVdVdV 而 V也可分为两部分虚功：1212( )AAVVVdVdV a 先看第一部分虚功。 表示单元的体积力在总虚位移上作的虚功，即1*dVXuYv tdxdy第一章第一章 弹性力学平面问题的有限元法弹性力学平面

42、问题的有限元法 2010.07.072010.07.07交通运输工程学院载运工具先进技术研究中心交通运输工程学院载运工具先进技术研究中心而11*AAVdVXuYvtdxdy 由此可知， 是变形体全部体积力所作的虚功。 再看第二部分虚功。 表示单元四个侧面的应力在总虚位移作的虚功，而2dV1V22VdV 表示变形体中所有单元的侧面应力在总虚位移上的虚功总和。在所有单元的侧面中可以分为两类侧面： 一类侧面是在变形体的内部，它是两个相邻单元的公共侧面。由于两个相邻单元在公共侧面上的应力是作用力与反作用力的关系，因此，这些侧面应力的虚功相互抵消，其总和为零。第一章第一章 弹性力学平面问题的有限元法弹性

43、力学平面问题的有限元法 2010.07.072010.07.07交通运输工程学院载运工具先进技术研究中心交通运输工程学院载运工具先进技术研究中心 另一类侧面是在变形体的边界上，称为边界侧面。在固定边界 上，由于虚位移 与 为零，故这些侧面应力的虚功为零。在自由边界 上 ，由于边界侧面应力就是边界上给定的表面力，故这些侧面应力的虚功总和就是边界 上全部表面力作的虚功，即2C*u*v1C1C122*( )CVdVX uYvtds c 将式（b）和（c）代入式（a），并与（1-12）比较，即得出如下结论：()VW d 第三步，我们来证明 。 由于单元的总虚位移可以分解为图5-15c和b两种位移状态，

44、因此，单元总虚功 可分解为在两种位移状态上所作的虚功：dV第一章第一章 弹性力学平面问题的有限元法弹性力学平面问题的有限元法 2010.07.072010.07.07交通运输工程学院载运工具先进技术研究中心交通运输工程学院载运工具先进技术研究中心34( )dVdVdV e 先看第一部分虚功 ，它表示单元上的平衡力系在图1-15c的刚体位移状态上作的虚功。根据刚体虚功方程，可知3dV30()dVf 再看第二部分虚功 。它表示单元上的平衡力系在图1-15b的虚应变状态上作的虚功。由于单元上的平衡力系包括侧面应力和体积力两部分，故 又可分为两部分：4dV4dV44142dVdVdV 其中 是单元应力

45、在虚应变状态上作的虚功 ，即前面所说的虚变形功 ，如果略去三阶微量，则 由式（1-14）给出。41dVdUdU第一章第一章 弹性力学平面问题的有限元法弹性力学平面问题的有限元法 2010.07.072010.07.07交通运输工程学院载运工具先进技术研究中心交通运输工程学院载运工具先进技术研究中心 是单元体积力在虚应变状态上作的虚功。由图1-15b看出，单元中心点的水平位移为 ，竖向位移为 ，因此，42dV*12xdx*1122yxydydx*42111222xyxydVXtdxdydxYtdxdydydx由于 是三阶微量，故可忽略不计。综合起来，即得42dV4()dVdUg最后，将式（f）和

46、（g）代入（e），即得dVdU因此，即得出如下结论：()VUh第一章第一章 弹性力学平面问题的有限元法弹性力学平面问题的有限元法 2010.07.072010.07.07交通运输工程学院载运工具先进技术研究中心交通运输工程学院载运工具先进技术研究中心 前面在式（d）和（h）中已经分别证明了 和 ，因此可知VWVUW U 这样，变形体虚功方程（1-11）就得到了证明。上面的证明过程初看起来似乎有些曲折，但基本思路是很清楚地：即以V 作为中间纽带，来证明外力虚功 W与虚变形功 U的互等性。在证明 时，主要是论证了全部单元的侧面应力的虚功总和等于全部表面力的虚功，这里实际上考虑了在边界处应力与表面力

47、之间的平衡条件。在证明 时，主要是考虑了单元上的平衡力系在单元刚体位移上不作功这一性质，这里引用了刚体虚功方程，实际上是考虑了在变形体内部应力与体力之间的平衡微分方程。VWVU第一章第一章 弹性力学平面问题的有限元法弹性力学平面问题的有限元法 2010.07.072010.07.07交通运输工程学院载运工具先进技术研究中心交通运输工程学院载运工具先进技术研究中心 变形体虚功方程式一个普遍性方程。它的应用条件是：对力系来讲，应力与外力（体积力与表面力）应当满足平衡条件。对位移来讲，位移应当是微小的，满足边界的约束条件，位移与应变之间满足几何方程（1-1）。除这两方面的条件外，不再有别的条件。例如

48、，应用虚功方程时，并不要求应力与应变之间满足弹性条件。也就是说，虚功方程既可用于弹性力学问题，也可用于塑性力学问题。为了强调这个特点，我们把式（1-11）称为变形体的虚功方程，而不称为弹性体的虚功方程。 如果外力是集中力 ，而各力相应的位移分量为 ，则变形体虚功方程（1-11）可写成：*1(116)niixxyyxyxyiAPtdxdy *(117)TTAPtdxdy12,.nP PP*12,.n 或第一章第一章 弹性力学平面问题的有限元法弹性力学平面问题的有限元法（）单元分析）单元分析1.6 1.6 单元分析的步骤单元分析的步骤 2010.07.072010.07.07交通运输工程学院载运工

49、具先进技术研究中心交通运输工程学院载运工具先进技术研究中心 现在对弹性力学平面问题中的三角形单元进行单元分析，建立单元的刚度矩阵。 图1-16示一个三角形单元。三个角点按反时针方向的顺序编码为1、2、3。角点坐标分别为 。 在弹性力学平面问题中，每个角点有两位移分量，因此，三角形单元共有六个自由度： ，如图1-16所示，结点1的位移向量可写 123123,x yx yx y112233, , ,u v u v u v 111uv 2010.07.072010.07.07交通运输工程学院载运工具先进技术研究中心交通运输工程学院载运工具先进技术研究中心因此，三角形单元的角点位移向量 可写成 e11

50、1222333euvuvuv 在位移法中，我们以六个角点位移分量作为基本未知量。第一章第一章 弹性力学平面问题的有限元法弹性力学平面问题的有限元法 2010.07.072010.07.07交通运输工程学院载运工具先进技术研究中心交通运输工程学院载运工具先进技术研究中心图1-16 图1-17 与基本未知量对应的物理量是六个角点力分量，如图1-17所示。角点力向量 可写成 eF第一章第一章 弹性力学平面问题的有限元法弹性力学平面问题的有限元法 2010.07.072010.07.07交通运输工程学院载运工具先进技术研究中心交通运输工程学院载运工具先进技术研究中心111222333eUVFUFFVF

51、UV 单元分析的主要任务是推导基本未知量 与其对应量 之间的转换关系，即 1e eF 1(1 18)eeek第一章第一章 弹性力学平面问题的有限元法弹性力学平面问题的有限元法 2010.07.072010.07.07交通运输工程学院载运工具先进技术研究中心交通运输工程学院载运工具先进技术研究中心 其中的转换矩阵 称为单元的刚度矩阵，它是 66阶矩阵。 单元分析的步骤可表示如下： ek 下面按此次序分成四步求出相邻各量之间的转换关系，最后综合起来，即可得出由角点位移求角点力的转换关系，从而求出单元刚度矩阵 。 ek第一章第一章 弹性力学平面问题的有限元法弹性力学平面问题的有限元法1.7 由角点位

52、移求内部任一点的位移由角点位移求内部任一点的位移位移模式位移模式 2010.07.072010.07.07交通运输工程学院载运工具先进技术研究中心交通运输工程学院载运工具先进技术研究中心 本节讨论单元分析中的第一步：由单元的六个角点位移分量 推算内部任一点 的位移 （参看图1-18）。112233, ,u v u v u v,x y, u v图 1-18第一章第一章 弹性力学平面问题的有限元法弹性力学平面问题的有限元法 2010.07.072010.07.07交通运输工程学院载运工具先进技术研究中心交通运输工程学院载运工具先进技术研究中心 下面分几步进行讨论。 1.选用位移模式 为了求任一点

53、的位移 u和v 。可先把 假设为坐标 x、y 的某种函数。这就是选用位移模式的问题。 选用位移模式时，最简便的做法是把 表示为坐标 x、y 的幂函数，即采用多项式的模式。 再考虑到三角形单元总共有六个自由度，内部任一点的位移 是由六个角点位移分量完全确定的，因此，在位移模式中应当包含六个任意参数 。 最后把位移表示为, x y, u v,u v,u v126,.第一章第一章 弹性力学平面问题的有限元法弹性力学平面问题的有限元法 2010.07.072010.07.07交通运输工程学院载运工具先进技术研究中心交通运输工程学院载运工具先进技术研究中心123456,(119),u x yxyv x

54、yxy 式（1-19）是两个一次多项式，正好含有六个位移参数，这就是我们选用的位移模式。 由于位移假设为坐标的线性函数，位移模式非常简单，这样就使所讨论的问题大为简化。 本来，对整个弹性体来说，内部各点的位移变化情况是很复杂的，不可能用一个简单的线性函数来描绘。现在我们采用分割的办法，把整个弹性体分割成细小的单元。在一个单元的局部范围内，内部各点的变化情况就简单多了，就有可能用简单的线性函数来描绘了。这种化整为零、化繁为简的分析方法，应当说是有限元法的精华。第一章第一章 弹性力学平面问题的有限元法弹性力学平面问题的有限元法 2010.07.072010.07.07交通运输工程学院载运工具先进技

55、术研究中心交通运输工程学院载运工具先进技术研究中心位移模式（1-19）可写成矩阵形式如下：123456,1000,(120)0001,u x yxyx yxyv x y或简写成 ,(1 20)x yf x y 式（1-20）就是内部点位移 与位移参数 之间的转换式。为了求出内部点位移 与角点位移 之间的转换式，还需先求出角点位移 与位移参数 之间的转换式。 , x y , x y e e 第一章第一章 弹性力学平面问题的有限元法弹性力学平面问题的有限元法 2010.07.072010.07.07交通运输工程学院载运工具先进技术研究中心交通运输工程学院载运工具先进技术研究中心 2.角点位移 与位

56、移参数 之间的转换式 先讨论角点水平位移与位移参数 之间的转换式。为此，将式（1-19）中的第一式用于三个角点，式中的 分别用角点坐标 代入，即得 e 123, , x y 231123,x yxyxy112131212232312333()uxyuxyauxy这就是由 求 的转换式。123, 123,u u u 下面要求它的逆转换式。为此，由这个方程组解出 。如用行列式表示，则为第一章第一章 弹性力学平面问题的有限元法弹性力学平面问题的有限元法 2010.07.072010.07.07交通运输工程学院载运工具先进技术研究中心交通运输工程学院载运工具先进技术研究中心312123,()AAAbA

57、AA其中1223312223311111111xAxyxyuAuyuyyy1112223313223313111( )1uxAuxyxyxAxucxuyuu这四个行列式可写成：第一章第一章 弹性力学平面问题的有限元法弹性力学平面问题的有限元法 2010.07.072010.07.07交通运输工程学院载运工具先进技术研究中心交通运输工程学院载运工具先进技术研究中心1112233211223331122332()AAuuuAu bu bu bdAu cu cu c其中，是三角形单元的面积:12233121321311(121)22x yx yx yx yx yx y 三组常数a，b，c都是与角点坐

58、标有关的常数，可由下列轮换公式得出：12332123132123(122)x yx ybyycxx 第一章第一章 弹性力学平面问题的有限元法弹性力学平面问题的有限元法 2010.07.072010.07.07交通运输工程学院载运工具先进技术研究中心交通运输工程学院载运工具先进技术研究中心 其中记号 表示将式（1-22）中的1、2、3进行轮换后可以得出另外两组a，b，c的公式。 将式（d）代入式（b），得1 2 3111223321122333112233121( )212uuub ub ub uec uc uc u式（e）就是由 求 的转换式。用同样的方法可得出由 求 的转换式如下：123,u

59、 u u123, 123,v v v456, 第一章第一章 弹性力学平面问题的有限元法弹性力学平面问题的有限元法 2010.07.072010.07.07交通运输工程学院载运工具先进技术研究中心交通运输工程学院载运工具先进技术研究中心41 1223351 1223361 12233121()212vvvb vb vb vfc vc vc v将式（f）和（e）综合起来，可得: (123)eA其中第一章第一章 弹性力学平面问题的有限元法弹性力学平面问题的有限元法 2010.07.072010.07.07交通运输工程学院载运工具先进技术研究中心交通运输工程学院载运工具先进技术研究中心 1231231

60、231231231230000000001(1 24)0002000000aaabbbcccAaaabbbccc式（1-23）就是由角点位移 求位移参数 的转换式。 e 第一章第一章 弹性力学平面问题的有限元法弹性力学平面问题的有限元法 2010.07.072010.07.07交通运输工程学院载运工具先进技术研究中心交通运输工程学院载运工具先进技术研究中心 3.由角点位移 求内部点位移 的转换式 将式（1-23）代入式（1-20），得 e, x y ,ex yfx yA 式中的 可由式（1-20）得出， 可由式（1-24）得出，代入后，即得,f x y A111232212333000,(12