概率论习题课1

1、1. 随机试验；随机试验；2. 样本空间；样本空间；3. 随机事件随机事件1.子事件：子事件：A B2.和事件：和事件：AB3.积事件积事件: AB4. 差事件差事件: A- -B=A- -AB=AB5. 互斥事件互斥事件(互不相容事件互不相容事件):AB= 6. 互逆事件互逆事件: AB= ， 且且AB=S 事件的运算法则事件的运算法则1. 交换律：交换律：AB=BA, AB=BA 4. 德摩根律德摩根律(对偶原则对偶原则) ： 设事件设事件Ai(i=1,2,n) 则则iniiniAA112. 结合律：结合律：A(BC)=(AB)C; A(BC)=(AB)C 3. 分配律：分配律：A(BC)

2、=(AB)(AC) ; A(BC)=(AB)(AC) 5. 对必然事件的运算法则：对必然事件的运算法则：AS=S, AS=A6.对不可能事件的运算法则：对不可能事件的运算法则：A=A,A=A,A=iniiniAA11 设设E-随机试验，随机试验，S-样本空间样本空间. 事件事件A P(A), 称为事件称为事件A的的概率概率, 如果如果P( )满足下列条件满足下列条件: 1 对于每一个事件对于每一个事件A，有，有 P(A)0 ； 2 对于必然事件对于必然事件SP(S)=1)=1；3 设设A1，A2， 是是两两互不相容两两互不相容的事件，即对于的事件，即对于 则则 P(A1A2 )=P(A1)+P

3、(A2 )+ ,.,2 , 1,jiAAjiji 概率公理化定义概率公理化定义 概率性质概率性质(2) (有限可加性有限可加性) 若若A1，A2， An 两两不相容，两两不相容， P(A1A2An)=)=P( (A1)+)+P( (A2)+ )+ + +P( (An) )(1) P()=0 )=0 (3) 若若A B，则有，则有 P(B A)=P(B) P(A) ; (5) 逆事件逆事件： P(A )=1 P(A)，(4) 对于任一事件对于任一事件A，有，有P(A)1， 一般有一般有 P(B A)=P(B) P(AB)(6) 加法公式加法公式 P(AB)=)=P( (A)+)+P( (B)-)

4、-P( (AB) ) P(A1A2 2A3 3)=)=P( (A1 1)+)+P( (A2 2)+)+P( (A3 3)-)-P( (A1 1A2 2)-)- P( (A1 1A3 3)-)-P( (A2 2A3 3)+)+P( (A1 1A2 2A3 3) )等可能概型等可能概型( (古典概型古典概型) ) 1.1.定义：定义：设设E是试验，是试验，S S是是E的的样本样本空间，若空间，若 (1) 试验的试验的样本样本空间的元素只有有限个；空间的元素只有有限个； (2) 试验中每个基本事件发生的可能性相同试验中每个基本事件发生的可能性相同. 这种试验称为等可能概型或古典概型这种试验称为等可能

5、概型或古典概型2.2.古典概型中事件古典概型中事件A的概率的计算公式的概率的计算公式中基本事件的总数中基本事件的总数包含的基本事件数包含的基本事件数SAnkAP )(1.1.条件概率条件概率0)(,)()()( APAPABPABP2.2.乘法公式乘法公式 niiiBPBAPAP1)()()(3.3.全概率公式全概率公式11 2() ()(), ,.,() ()iiinjjjP A B P BP B AinP A BP B4.4.贝叶斯公式贝叶斯公式)()()(BAPAPABP 独立性独立性 事件事件A,B相互独立相互独立 P(AB)=P(A)P(B) A1, A2 , . , An两两相互独

6、立两两相互独立 P(AiAj)=P(Ai)P(Aj) ，（，（1 i j n）A1, A2 , . , An 相互独立相互独立 1i1i2.ikn, (kn),1212(.)()(). ()kkiiiiiiP A AAP AP AP A 独立的性质独立的性质: :1. 设设A和和B是两个事件是两个事件,且且P(A) 0.若若A和和B相互独立相互独立,则则 P(B|A)=P(B).反之亦然反之亦然.2. 若事件若事件A和和B相互独立相互独立,则下列各对事件也相互独立则下列各对事件也相互独立: A与与B, A与与B, A与与B3. 则则A、B互斥与互斥与A、B相互独立不能相互独立不能 同时存在同时

7、存在.4. 若事件若事件A和和 独立独立, 且且 则事件则事件A和和 独立独立. , 0)(, 0)( BPAP),.,2 , 1(niBi)(jiBBji iniB1U一、选择题一、选择题1. 对于任意两事件对于任意两事件A和和B, 有有P(A- -B)= ( ). (A) P(A)- -P(B); (B) P(A)- -P(B)+P(AB) ; (C) P(A)- -P(AB); (D) P(A)+P(B)- -P(AB). 2. 已知已知 0P(A)1, 0P(B)1, P(A|B)+P(A|B)=1,则则( ) (A) 事件事件A和事件和事件B互斥互斥; (B) 事件事件A与与B对立对

8、立 ; (C) 事件事件A和事件和事件B不独立不独立; (D) 事件事件A和和B 相互独立相互独立.3对于任意两事件对于任意两事件A和和B,若有若有 P(AB)=0,则下列命则下列命题正确的是题正确的是 ( ). (A) A与与B互斥互斥 ; (B) A与与B独立独立; (C) P(A)=0,或或P(B)=0; (D) P(A-B)= P(A) . 答案：答案：D D解析：直接利用概率性质（解析：直接利用概率性质（3）4. 假设事件假设事件A和和B满足满足P(B|A)=1,则则( )(A) 事件事件A是必然事件是必然事件 (B)P(A-B)=0(C) A B (D)B A答案答案:B解析解析:

9、由于由于P(A|B)=P(AB)/P(A)=1,可知可知P(AB)=P(A).从而有从而有P(A-B)=P(A)-P(AB)=0.1.设设A, B为随机事件，为随机事件，P(A)=0.7, P(A- -B)=0.3, , 则则 P(AB)= _ . .二、填空题二、填空题0.63. 从一副扑克牌的从一副扑克牌的13张梅花中，有放回地取张梅花中，有放回地取3次，次， 则三张不同号的概率为则三张不同号的概率为 .313111213 2. 假设假设 P(A)=0.4, P(A B)= 0.7, (1)若若A与与B互不相容互不相容, 则则P(B)= ; (2)若若A与与B相互独立相互独立, 则则P(B

10、)= .0.30.51 1. .设设 P(A)=1/3, P(B)=1/2， (1)(1)已知已知A、B互不相容互不相容, ,求求P(AB),P(AB), P(AB) (2) (2)已知已知A、B独立独立, ,求求P(AB), P(A- -B) (3) (3)已知已知A B, ,求求P(AB), P(AB).答案答案 (1)1/2;1/6;2/3 （2）2/3；1/6 (3) 0;1/6三、解答题三、解答题2 2. 设设 P(A)=0.3, P(B)=0.4,P(A|B)=0.5, 求求 P(B|A)， P(B| AB)， P( AB | AB).答案答案 0.2, 0.8, 0.63.3.

11、一袋中装有一袋中装有m(m 3)个白球和个白球和 n个黑球，今丢失一个黑球，今丢失一球，不知其色球，不知其色. 先随机从袋中摸取两球，结果都是白先随机从袋中摸取两球，结果都是白球，球丢失的是白球的概率球，球丢失的是白球的概率.解解 设设 A=“丢失的是白球丢失的是白球”, A=“丢失的是黑球丢失的是黑球”, B =“摸到的都是白球摸到的都是白球”, )()()|(BPABPBAP nmnAPnmmAP )(,)()|()()|()()|()(ABPAPABPAPABPAP 21221212121 nmnnmmnmmCCnmnCCnmmCCnmm22 nmm 4. 设玻璃杯整箱出售设玻璃杯整箱出

12、售, 每箱每箱20个个, 各箱含各箱含0, 1, 2个次品的概率个次品的概率分别为分别为 0.8, 0.1, 0.1，某顾客欲购买一箱玻璃杯，某顾客欲购买一箱玻璃杯, 由售货员任取由售货员任取一箱一箱, 经顾客开箱随机查看经顾客开箱随机查看 4个个. 若无次品若无次品, 则买一箱玻璃杯则买一箱玻璃杯, 否则不买否则不买. 求：求： (1)顾客买此箱玻璃杯的概率；顾客买此箱玻璃杯的概率；(2)在顾客买的在顾客买的此箱玻璃杯中此箱玻璃杯中,确实没有次品的概率确实没有次品的概率. 解解：设：设 A=顾客买下所查看的一箱顾客买下所查看的一箱,P(A|B1)= 54420419 CC1912420418

13、 CCBi=箱中恰好有箱中恰好有 i 件次品件次品, i=0, 1, 2.由题设可知：由题设可知：P(B0)=0.8, P(B1)=0.1, P(B2)=0.1, P(A|B0)=1 P(A|B2)= 20)()(iiiBAPBP(2)()()()(000APBPBAPABP (1) P(A)=0.9419121 . 0541 . 018 . 0 94. 018 . 0 0.855.5. 假设有两箱同种零件假设有两箱同种零件, 第一箱内装第一箱内装50件件, 其中有其中有10件件一等品一等品;第二箱内装第二箱内装30件件, 其中有其中有18件一等品件一等品. 现从两箱现从两箱中随意挑出一箱中随

14、意挑出一箱, 然后从该箱中先后不放回地随机取出然后从该箱中先后不放回地随机取出两个零件两个零件, 试求试求 (1)先取出的是一等品的概率先取出的是一等品的概率; (2)在先取在先取出一等品的条件下出一等品的条件下, 第二次仍取得一等品的概率第二次仍取得一等品的概率.解解: (1)设设Ai 表示事件表示事件“第第 i 次取到一等品次取到一等品”, Bi 表示事件表示事件 “被挑出的是第被挑出的是第i 箱箱”(i=1, 2) ,由全概公式由全概公式1111212()() ()() ()P AP B P A BP B P A B 1018112=2502305(2)由条件概率的定义和全概率公式得由条

15、件概率的定义和全概率公式得11212122122111() ()() ()()()()()P B P A A BP B P A A BP A AP A AP AP A 10918 17112504923029 0.48557256. 三个人独立的去破译一份密码三个人独立的去破译一份密码.已知个人能译出的概率分别为已知个人能译出的概率分别为1/5,1/3,1/4.问三人中至少有一人能将此密码译出的概率是多少问三人中至少有一人能将此密码译出的概率是多少?解答解答: 设设A=第一个人译出密码第一个人译出密码 B=第二个人译出密码第二个人译出密码 C=第三个人译出密码第三个人译出密码 D=至少有一个人

16、译出密码至少有一个人译出密码 则则:P(A)=1/5 P(B)=1/3 P(C)=1/4 所以所以 P(D)=P(ABC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC) -P(BC) +P(ABC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(A)P(B) -P(A)P(C) -P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C) =3/57.7.设有来自三个地区的各设有来自三个地区的各1010名、名、1515名和名和2525名考生的报名表名考生的报名表, ,其中女生的报名表分别为其中女生的报名表分别为3 3份、份、7 7份和份和5 5份份, ,随机地取一个地区随机地取一个地区的报名表的报名表, ,从中先

17、后抽出两份从中先后抽出两份. .(1)(1)求先抽到的一份是女生表的概率求先抽到的一份是女生表的概率p;p;(2)(2)已知后抽到的一份是男生表已知后抽到的一份是男生表, ,求先抽到的一份是女生表的求先抽到的一份是女生表的 概率概率q.q.解：设解：设H Hi i表示事件表示事件“报名表是第报名表是第i i区考生的区考生的”i=1,2,3i=1,2,3 A Aj j表示事件表示事件“第第j j次抽到的报名表是次抽到的报名表是男生表男生表”j=1,2j=1,2 则则9029 25515710331)()(1252015810731)()()( 3111312111321iiiHAPHP)AP()

18、 p()HP(A)H,P(A)HP(AHPHPHP( (2)2)由全概率公式得由全概率公式得31212131223212211213222129230530830731)()()(906125515810731)()()(305)HAP(,308)HAP(,307)HAP(2520)HP(A158)HP(A,107)HP(AiiiiiiHAAPHPAAPHAPHPAPAAA因此因此6120906192)()()(22121APAAPAAPq9.9.从从5双不同的鞋子中任取双不同的鞋子中任取4只，问只，问4只鞋子至少有只鞋子至少有两只配成一双的概率是两只配成一双的概率是 .解解 法一法一 设设A

19、=“所取所取4只鞋至少有两只配成一双只鞋至少有两只配成一双” 4111152222410()1() 113=21P AP AC C C C CC则则 A=“所取所取4只鞋无配对只鞋无配对” 410nC4111152222kC C C C C9.9.从从5双不同的鞋子中任取双不同的鞋子中任取4只，问只，问4只鞋子至少有只鞋子至少有两只配成一双的概率是多少两只配成一双的概率是多少.解解 法二法二 设设A=“所取所取4只鞋至少有两只配成一双只鞋至少有两只配成一双” )()()(21APAPAP 则则 A=“4只鞋恰好配成一双只鞋恰好配成一双” +“恰好配成两双恰好配成两双” 121125422544

20、1010 C C C CCCC14.14.已知已知 求求,21)|(,31)|(,41)( BAPABPAP)(BAP121)|()()(,31)|(,41)(ABPAPABPABPAP?解解61)(2)(21)()()|( ABPBPBPABPBAP311216141)()()()(ABPBPAPBAP20.20. 某种产品的商标为某种产品的商标为“MAXAM” ，其中有，其中有2个字个字母脱落，有人捡起随意放回，求放回后仍为母脱落，有人捡起随意放回，求放回后仍为“MAXAM”的概率。的概率。 解解 法一法一设设A=“ 放回后仍为放回后仍为“MAXAM” ” B1=“脱落的字母相同脱落的字母

21、相同”，B2=“脱落的字母不同脱落的字母不同”则则25225121)(,2)(CBPCBP )|()()|()()(2211BAPBPBAPBPAP 5321)21(122525 CC20.20.某种产品的商标为某种产品的商标为“MAXAM” ，其中有，其中有2个字个字母脱落，有人捡起随意放回，求放回后仍为母脱落，有人捡起随意放回，求放回后仍为“MAXAM”的概率。的概率。 解解 法二法二设设A=“ 放回后仍为放回后仍为“MAXAM” ” B1 =“脱落脱落MM” ，B2 =“脱落脱落MA”，B3 =“脱落脱落MX” ， B4=“脱落脱落AA”， B5 =“脱落脱落XA” ，255254253

22、2522512)(,1)(,2)(,4)(,1)(CBPCBPCBPCBPCBP 51)|()()(iiiBAPBPAP5321211212214112525252525 CCCCC1. 假设事件假设事件A和和B满足满足P(B|A)=1,则则( )(A) 事件事件A是必然事件是必然事件 (B)P(A-B)=0(C) A B (D)B A答案答案:B解析解析:由于由于P(A|B)=P(AB)/P(A)=1,可知可知P(AB)=P(A).从而从而有有 P(A-B)=0.2. 设设A、B、C是三个事件两两独立，则是三个事件两两独立，则A、B、C相互独立的相互独立的充分必要条件是充分必要条件是( )A

23、A与与BC独立独立 B.A与与 独立独立C. AB与与AC独立独立 D. 与与 独立独立3. 将一枚硬币独立抛掷两次，将一枚硬币独立抛掷两次， 表示掷第一次出现正面，表示掷第一次出现正面， 表示掷第二次出现正面，表示掷第二次出现正面， 表示正、反面各一次，表示正、反面各一次， 表示正面两次。则事件表示正面两次。则事件( )A 互相独立互相独立 B. 互相独立互相独立C. 两两独立两两独立 D. 两两独立两两独立CACABA1A2A3A4A321,AAA432,AAA321,AAA432,AAACA4. 设两两相互独立的三事件设两两相互独立的三事件A、B和和C满足条件满足条件 P(ABC)=9/16, 则则P(A)= _ .ABC= , P(A)=P(B)=P(C)0, P(C)0, 且且 事件事件B与事件与事件C相互独立相互独立, 证明证明()( ) ()( ) ()P A BP C P A BCP C P A BC3.甲乙两人独立地对同一目标射击一次甲乙两人独立地对同一目