数学建模习题

1、数学建模习题1木材采购问题一个木材贮运公司，有很大的仓库，用于贮运出售木材。由于木材季度价格的变化，该公司于每季度初购进木材，一部分于本季度内出售，一部分贮存起来以后出售。已知：该公司仓库的最大贮藏量为20万立方米，贮藏费用为：（a+bu）元/万立方米，其中：a=70,b=100,u为贮存时间（季度数）。已知每季度的买进、卖出价及预计的销售量为：季度买进价（万元/立方米）卖出价（万元/立方米）预计销售量（万立方米）冬410425100春430440140夏460465200秋450455160由于木材不易久贮，所有库贮木材于每年秋季售完。确定最优采购计划。 2飞机投放炸弹问题 某战略轰炸机群奉

2、命摧毁敌人军事目标。已知该目标有四个要害部位，只要摧毁其中之一即可达到目的。为完成此项任务的汽油耗量限制为48000公升，重型炸弹48枚、轻型炸弹32枚。飞机携带重型炸弹时每公升汽油可飞行2公里，带轻型炸弹时每公汽油可飞行3公里。又知每架飞机一次只能装载一枚炸弹，每出发轰炸一次除来回路程汽油消耗（空载时每公升汽油飞行4公里）外。起飞和降落每次各消耗100公升。有关数据如下表所示：要害部位离机场距离摧毁可能性每枚重型弹每枚轻型弹14500.10.0824800.20.1635400.150.1246000.250.2为了使摧毁敌方军事目标的可能性最大，应如何确定飞机轰炸的方案。3三级火箭发射问题

3、 建立一个模型说明要用三级火箭发射人造卫星的道理。（1）设卫星绕地球作匀速圆周运动，证明其速度为v=;，R为地球半径，r为卫星与地心距离，g为地球表面重力加速度。要把卫星送上离地面600km的轨道，火箭末速v应为多少。（2）设火箭飞行中速度为v（t），质量为m（t），初速为零，初始质量，火箭喷出的气体相对于火箭的速度为u，忽视重力和阻力对火箭的影响。用动量守恒原理证明v（t）=。由此你认为要提高火箭的末速度应采取什么措施。（3）火箭质量包括3部分：有效载荷（卫星）；燃料；结构（外壳、燃料仓等），其中在+中的比例记作，一般不小于10%。证明若=0（即火箭不带卫星），则燃料用完时火箭达到的最大速度

4、为=-.已知目前的u=3km/s，取=10%，求。这个结果说明什么。（4）假设火箭燃料燃烧的同时，不断丢弃无用的结构部分，即结构质量与燃料质量以和1-的比例同时减少，用动量守恒原理证明v（t）=（1-）u。问燃料用完时火箭末速为多少，与前面的结果有何不同。（5）（4）是个理想化的模型，实际上只能用建造多级火箭的办法一段段地丢弃无用的机构部分。记为第i级火箭质量（燃料和结构），为结构质量（对各级是一样的）。有效载荷仍用表示，当第1级的燃料用完时丢弃第1级的结构，同时第2级点火。再设燃烧级的初始质量与其负载质量之比保持不变，比例系数为k。证明3级火箭的末速=3uln。计算要使=10.5km/s，发

5、射1吨重的卫星需要多重的火箭（u，用以前的数据）。若用2级或4级火箭，结果如何。由此得出使用3级火箭发射卫星的道理。4评选优秀班集体用AHP建立评选优秀班集体的数学模型（以四个班为例进行评价）5梯子长度问题 一栋楼房的后面是一个很大的花园。在花园中紧靠着楼房有一个温室，温室伸入花园宽a=2米，高b=3米，温室正上方是楼房的窗台。清洁工打扫窗台周围，他得用梯子越过温室，一头放在花园中，一头靠在楼房的墙上。因为温室是不能承受梯子压力的，所以梯子太短是不行的。现在清洁工只有一架7米长的梯子，你认为它能达到要求吗？能满足要求的梯子的最小长度为多少？若取a=1.8米，在只用6.5米长梯子的情况下，温室最

6、多能修建多高？6曲线拟合 已知一个量y依赖于另一个量x。现收集有数据如下：x0.00.51.01.51.92.53.03.54.04.5y1.00.90.71.52.02.43.22.02.73.5x5.05.56.06.67.07.68.59.010.0y1.04.03.62.75.74.66.06.87.3（1）求拟合以上数据的直线y=bx+a，目标为使y的各个观察值同按直线关系所预期的只的绝对偏差总和为最小。（2）求拟合以上数据的直线，目标为使y的观察值同预期值的最大偏差为最小。 （3）求拟合以上数据的二次曲线y=cx2+bx+a，分别用（1）（2）两种目标。7疏散问题甲市一家大公司由5

7、个部门（A、B、C、D、E）组成。现要将它的几个部门迁出甲市，迁至乙市或丙市。除去因政府鼓励这样做之外，还有用房便宜、招工方便等好处。对这些好处已作出数量估价，单位万元如下： 部门迁市A B C D E乙 10 15 10 20 5丙 10 20 15 15 15然而，疏散之后各部门见的通讯费用将增加。各部门间的通讯量如表：部门B C D EA 0 1000 1500 0B 1400 1200 0C 0 2000D 700 不同城市间单位通讯量的费用如下表（单位：元）市甲乙丙甲10013090乙50140丙50试求各个部门应置于何市，使年费用最少？8鱼雷击舰问题一敌舰在某海域内沿正北方向航行时

8、，我方战舰恰好位于敌舰的正西方1公里处。我舰向敌舰发射制导鱼雷，敌舰速度为0.42公里/分，鱼雷速度为敌舰速度的2倍。问敌舰航行多远时将被击中。9投资模型投资一笔钱，即可获得某种利率的利息。通常一些小储户，当有钱时便一笔一笔地存入。同时，当因某种特别需要时如去度假，又将资金提出。即你帐上的资金量不仅取决于你存去的日期，还取决于如何计息。而利息也是经常变动的，这样情况会更加复杂。构造一个数学模型来告诉你在任一时刻你的银行帐上有多少钱。（存款每月按复利计息，每项存款在存入后的第二个月即开始得利）。一个“相反”的问题是：为某种用途需12个月内存一笔钱，每个月你应存入多少。10保险储备策略问题某企业每

9、年耗用某种材料3650件，每日平均耗用10件，材料单价10元，一次订购费25元，每件年储存费2元，每件缺货一次费用4元，平均交货期10天，交货期内不同耗用量X的概率分布如下：Xi80 85 90 95 100 105 110 115 120 125 130Pi0.01 0.02 0.05 0.15 0.25 0.20 0.15 0.10 0.04 0.02 0.01要求：1）求最佳订货量及订货次数（设为不允许缺货的情形） 2）求最佳订货点和保险储备量（考虑订货期内需求量增加引起缺货，建立保险储备。订货期内缺货，采取缺货不处理方式，寻求目标函数使年度总费用最小）注释：保险储备：企业在经济活动中，

10、按照某一经济定货批量和在定货点发出订单后，如果需求量增大或送货延迟，就会发生缺货或供货中断。为防止由此造成的损失，需要多储备一些存货以备应急之需，称为保险储备（安全存量）。这些存货在正常情况下不动用，只有当存货过量使用或送货延迟时才动用。11题：适当换车真的省钱吗？ 本市出租车收费制度在98年进行了调整，由原来5公里起步价14.4元、每公里车费1.8元变为3公里起步价10元、每公里2元，并且10公里以上每公里增收50、特殊时段(23：006：00) 每公里增收30。制度改变后，一些精明的乘客在行驶一定里程后，利用换车或让司机重新计价的方法来节省车费。可现在，这种乘客越来越少见了。请问适当换车真

11、的省钱吗？建立数学模型解释上述现象。12、购房购车模型 “自备款只需七万元人民币，其余由银行贷款，五年还清，相当于每月只需付1200元，就可拥有属于自己的住房。”“首付三四万元，就可开走一辆桑塔纳车。”报纸上此类广告比比皆是，买房与购车是未来消费的两大热点。若考虑现金支付与银行贷款相结合的办法，利用数学建模方法为工薪阶层制定购房或购车的消费决策及还贷办法。13、食品加工一项食品加工业，为将几种粗油精炼，然后加以混合成为成品油。原料油有两大类，共5种：植物没2种，分别记作V1和V2；非植物油3种，记为O1、O2和O3。各种原料油均从市场采购。现在（一月份）和未来半年中，市场价格（元/吨）如下表所

12、示：月份 油V1V2O1O2O3一11001200130011001150二1300130011009001150三1100140013001000950四12001100120012001250五10001200150011001050六900100014008001350成品油售价1500元/吨植物油和非植物油要在不同的生产线精炼。每个月最多可精炼植物油200吨，非植物油250吨。精炼过程中没有重量损失。精炼费用可以忽略。每种原料油最多可存贮1000吨备用。存贮费为每吨每月50元。成品油和经过精炼的原料油不能存贮。对成品油限定其硬度在3至6单位之间。各种原料油的硬度如下表所示：油V1V2O

13、1O2O3硬度8861204250假设硬度是线性地合成的。为使公司获得最大利润，应取什么样的采购和加工方案。现存有5种原料油每500吨。要求在6月底仍然有这样多的存货。研究总利润和采购与加工方案适应不同的未来市场价格应如何变化。考虑如下的价格变化方式：2月份植物油价上升x%，非植物油价上升2x%；3月份植物油价上升2x%，非植物油价上升4x%；其余月份保持这种线性上升势头。对不同的x值（直到20），就方案的必要的变化及对总利润的影响，作出全面计划。14、食品加工（）对食品加工问题12.1，附加下列条件：（1）每个月最多使用3种原料油；（2）在一个月中，一种原料油如被使用，则至少要用20吨；（3

14、）如果某月使用了原料油V1和V2，则必须使用O3。扩展食品加工模型以包含这些限制条件，并求出新的最优解。15、工厂计划某厂拥有4台磨床、2台立式钻床、3台卧式钻床、一台镗床和一台刨床，用以生产7种产品，记作P1至P7。工厂收益规定作产品售价减去原材料费用之剩余。每种产品单件的收益及所需各机床的加工工时（以小时计）列于下表：产品P1P2P3P4P5P6P7收益106841193磨0.50.70000.30.20.5垂直钻孔0.10.200.300.60水平钻孔0.200.80000.6镗孔0.050.0300.070.100.08刨000.0100.0500.05本月（一月）和随后的5个月中，下

15、列机床停工维修：一月 磨床一台二月 卧式钻床2台三月 镗床一台四月 立式钻床一台五月 磨床一台，立式钻床一台上台下六月 刨床一台，卧式钻床一台各种产品各月份的市场容量如下表：产品P1P2P3P4P5P6P7一月 5001000300300800200100二月 6005002000400300150三月 30060000500400100四月 2003004005002000100五月 010050010010003000六月500500100300110050060每种产品存货最多可到100件。存费每件每月为0.5。现在无存货。要求到6月底每种产品有存货50件。工厂每周工作6天，每天2班，每

16、班8小时。不需要考虑排队等待加工的问题。为使收益最大，工厂应如何安排各月份各种产品的产量？考虑价格的某种变化及引入新机床对计划和收益的影响。注意，可假设每月仅有24个工作日。16、工厂计划（）在工厂计划问题中，各台机床的停工维修不是如问题12.3那样规定3月份，而是选择最合适的月份维修。除了磨床外，每台机床在这个月中的一个月必须停工维修；6个月中4台磨床只有2台需要维修。扩展工厂计划模型，以使可作上述灵活安排维修时间的决策。停工时间的这种灵活性价值如何？125人力计划某公司正经历一系列变化，这要影响到它的未来几年中的人力需求。由于装备了新机器，对不熟练工人的需求相对减少，对熟练和半熟练工人的需

17、求相对增加；同时，预期下一年度的贸易量交下降，从而减少对各类人力的需求。现有人数及对未来三年人力需求的估计数见下表：分类不熟练半熟练熟练现有人数200015001000第一年需求100014001000第二年需求50020001500第三年需求025002000为此，公司希望为未来三年确定（1）招工，（2）人员再培训，（3）解雇和超员雇用，（4）设半日工的计划方案。因工人自动离职和其他原因，存在自然减员问题。有不少人在受雇后干不满一年就自动离职；干满一年后，离职的情况就少了。考虑到这一因素，设自然减员率如下表：分类不熟练半熟练熟练工作不满一年25%20%10%工作一年以上10%5%5%现在没有

18、招工。所有的现有工人教师已受雇一年以上。招工 每年能新招的各类工人数熟练工和不熟练工各不超过500，半熟练工不超过800名。再培训 每年可培训200名不熟练工成为半熟练工，每培训一名费用开支为400元。培训半熟练工成为熟练工，培训一名开支500元；培训人数不能超过所训岗位当时熟练工人数的1/4。可以将工人降低熟练等级使用，这虽然不需公司支付什么费用，但这样的工人有50%将离职。（这一减员要另外加到上述的自然减员上）。解雇 解雇一名不熟练工需付他200元。解雇一名半熟练工或熟练工要付500元。超员雇用 全公司可超需要多雇用150人。额外费用每人每年为：不熟练工1500元；半熟练工2000元，熟练

19、工3000元。半日工 不熟练、半熟练和熟练工可以各有不超过50名作为半日工，完成半个人的生产任务。这样做公司对其每人每年支付费用为不熟练工500元，半熟练和熟练工400元。公司提出的目标为解雇人员最少。为此应如何运转？如果目标为费用最少，能多节省多少费用？导出每年每类岗位所节省的费用。26炼油厂优化问题17、 炼油厂优化问题某炼油厂购买两种原油（C1和C2），经过蒸馏、重整、裂解和混合等4种加工过程，生成汽油和燃料油出售。蒸馏 该过程将每种原油按沸点不同分离成下列分馏物:轻石油精、中石油精、重石油精、轻油、重油和残油。轻、中和重石油精的辛烷值分别为90、80和70。一桶原油生成分馏物的桶数如下

20、表所示： 分馏物原 油 石油精 轻 中 重 油轻 重 残油C1C20.1 0.2 0.2 0.15 0.25 0.18 0.12 0.2 0.08 0.10 0.13 0.12注：蒸馏过程中有少量损耗。重整 石油精可直接用于混合产生各种品级的汽油，也可以再经过一种称作重整的加工过程，生成一种称为重整汽油的产品，其辛烷值为115。不同石油精每桶产重整汽油的桶数如下表：石油精轻 中 重重整汽油0.6 0.52 0.45 裂解 轻油和重油可以直接混合生产飞机燃料和燃料油，也可以经过催化裂解，生成裂化油和裂化汽油，后者辛烷值为105。一桶轻油经裂解生成裂化油0.68桶和裂化汽油0.28桶；一桶重油相应

21、的生成量为0.75和0.2桶。裂化油用于混合生成飞机燃料和燃料油；裂化汽油用于混合生成汽油。 残油可用于生产润滑油，或混合入飞机燃料或燃料中。一桶残油产生0.5桶润滑油。 混合 汽油（发动机燃料） 汽油有两种：普通汽油和特级汽油，通过将石油精、重整汽油和裂化汽油得到。普通汽油必须有不小于84的辛烷值。特级汽油必须有不小于94的辛烷值。假设辛烷值是按体积线形地混合的，即混合物的辛烷值是各组分的辛烷值以足组分的体积为权的加权平均。 飞机燃料 飞机燃料的蒸发压不能超过1kg/cm2。轻油、重油、裂化油和残油的蒸发压依次为1.0，0.6，1.5和0.05 kg/cm2。同样假设蒸发是按体积线性地混合的

22、。 燃料油 轻油、裂化油、重油、和残渣按10：4：3：1的比例混合生成燃料油。 关于原料供应和加工能力的限制条件有（a） C1日供20000桶；（b） C2日供30000桶；（c） 日蒸馏原油最多45000桶；（d） 日重整石油精最多10000桶；（e） 日裂解油最多8000桶；（f） 日产润滑油必须在500桶至1000桶之间；（g） 特级汽油产量必须是普通汽油产量的40%。售出一桶产品，利润数如表所示：产品特级汽油普通汽油飞机燃料燃料油润滑油利润70元60元40元35元15元炼油厂当如何安排生产，总利润为最大？18、 采矿 某地区有4个矿，产同一种矿石。某采矿公司获得了这些矿在未来连续5年中

23、的开采权。但在每一年度中，该公司最多有能力开3个矿，而有一矿闲置。对于闲置的矿，如果在这5年期内随后的某年还要开采，则不能关闭；如果从闲置起在这5年内不再开采，就关闭。对开采和保持不关闭的矿，公司应交付土地使用费。各矿每年土地使用费额见表1第2行。各矿每年矿砂产量上限如表1第3行。不同矿所产矿砂质量不同。矿砂质量同一种质量指数表示，见表1第4行。将不同矿的矿砂混合所成的矿砂，其质量指数为各组份的质量指数的线性组合，组合系数为各组份在混成矿砂中所占的重量百分数。例如，等量的二矿砂混合，混成矿砂的质量指数为二组份指数的平均值。每一年度公司将各矿全年产出的矿砂混合，要生成具有约定质量指数的矿砂。不同

24、年度的约定质量指数如表2所示。各年度产品矿砂售价每吨10元。年度总收入和费用开支，为扣除物价上涨因素，以逐年9折计入5年总收入和总费用中。表一矿 1 2 3 4土地使用费（万元）产量上限（万吨） 质量指数 500 400 400 500 200 250 130 3001.0 0.7 1.5 0.5表二年度 1 2 3 4 5质量指数 0.9 0.8 1.2 0.6 1.0试问各年度应开采哪几个矿？产量应各为多少？19、 农场计划英国某农场主有200英亩土地的农场，用来饲养奶牛。现在要为五年制订生产计划。现在他有120头母牛，其中20头为不到2岁的幼牛，100头为产奶牛。每头幼牛需用2/3英亩土

25、地供养，每头产奶牛需用一英亩。产奶牛平均每头每年生1.1头牛，其中一半为公牛，生出后不久即卖掉。平均每头卖30英磅；另一半为母牛，可以在生出后不久卖掉，平均每头卖40英磅。也可以留下饲养，养至2岁成为产奶牛。幼牛年损失5%；产奶牛养到满12岁就卖掉，平均每头卖120磅。现有的20头幼牛，0岁和1岁各10头；100头产奶牛，从2岁至11岁，每一年龄的都有10头。应该卖掉的小母牛都已卖掉。所有20头是饲养成产奶牛的。 一头牛所产的奶提供年收入370英磅。现在最多只能养130头牛。超过此数每多养一头，要投资200英磅。每头产奶牛每年消耗0.6吨粮食和0.7 吨甜菜。粮食和甜菜可以由农场种植出来。每英

26、亩产甜菜1.5吨。只有80英亩的土地适于种粮食，且产量不同。按产量分作4组:第一组20英亩，亩产1.1吨；第二组30英亩，亩产0.9吨；第三组20英亩，亩产10吨；第四组10英亩，亩产0.65吨。从市场购买粮食每吨90英磅，卖粮食75英磅。买甜菜每吨70英磅，卖出50英磅。 养牛和种植所需劳动为：每头牛每年10小时；每头产奶每年42小时；种一英亩粮食每年需4小时；种一英亩甜菜需14小时。其他费用：每头幼牛每年50英磅；产奶牛每头每年100英磅；种粮食每英亩每年15英磅；种甜菜每亩每年10英磅。劳动费用现在每年为4000英磅，提供5500小时的劳动量。超过此数的劳动量每小时费用为1.20英磅。

27、任何投资本支出都从10年期贷款得到。贷款年利率15%，每年偿还本利息总和的1/10，十年还清。每年货币的收支之差不能为负值。此外，农场主不希望产奶牛的数目在五年末较现在减少超过50%，也不希望增量超过75%。 应如何安排5年的生产，使收益为最大？20、经济计划 一个经济系统，包括煤炭、钢铁和运输三种产业，生产煤炭、钢铁和提供运输服务。各产业产量以及价值计算，单位为“元”。一产业的单位产出，所需要的个产业产品的投入量。以及人力的投入量（也以价值元为单位计算）见表1.第t+1年度的产出需要的是第t年度的投入。表一年度（t+1）单位产出 煤炭 钢铁 运输年度 煤炭t 钢铁投 运输入 人力 0.1 0

28、.5 0.4 0.1 0.1 0.2 0.2 0.1 0.2 0.6 0.3 0.2 为提高生产能力，需要进一步投资。为使一产业第t+2年度较第t年度多产出一单位，所需在第t年度各产业产品和人力的投入量见表2。表二年度（t+2）增单位产出煤炭 钢铁 运输年度 煤炭t 钢铁投 运输入 人力 0.0 0.7 0.9 0.1 0.1 0.2 0.2 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1假设存货可以无费用地从一年转入下一年。现在（第0年）存货量和年生产能力见表3。人力的年供应量限制不超过4.7亿元。表3 （单位：亿元） 存货 生产能力煤炭钢铁运输1.5 3.00.8 3.51.0 2.8试研究该经济

29、系统未来五年的不同的增长模式。具体说，按下述的不同目标，分别求各产业各年度的长处应为何？目标：（i）第五年末生产能力总量最大，同时又满足外部每年消费0.6亿元煤炭、0.6亿元钢铁和0.3亿元运输的要求(第0年除外) 。(ii)第4年和第5年度总产出（不是生产能力）为最大，但忽略每年的外部消费。(iii)在满足如(i)的外部消费要求的同时，使人力需求最大（即就业机会最多），忽略人力供应量的限制。21、 电价问题几个发电站负责满足下述电力负荷要求。在一天中，0点至6点 15000（MW，兆瓦，下同）6点至9点 300009点至15点 2500015点至18点 4000018点至24点 27000有三种类型的发电机可投入运输。1型有12台，2型10台，3型5台。表1给出了有关的数据。 表1类型最低水平最高水平最低水平 每小时费用最低水平以上 每兆每小时费用开动费用123850MW1250MW1500MW2000MW17504000MMW1000 2600 3000 2 1.30 3 2000 1000 500表中第2、3两列分别给各类发电机运转的最低水平和最高水平。各发电机动转的水平不能超出这一范围。第4列给出在最低水平运转的每小时费用。第5列为在高手最低水平运转时，每高出一兆瓦，