三§3.1古典概型

1、1 3.1 古典概型古典概型问题提出问题提出1.古典概型有怎样的实际背景？它具有什么特点？2.古典概型有哪几种常见的模型？3解古典概型题时应注意什么？2一定义一定义 上面我们对掷硬币的例子是通过对称性的直观印象得到其出现正面、反面的可能性相等，而求得其概率。再如，有奖储蓄，每一张券的对奖号码的每一数码从09，其出现的机会是相等的，因此在开奖前谁都不能确定哪个号码得奖的可能性大。即每一数码出现在得奖号码中的可能性是相等的。这两个例子有一共同的特点，就是等可能性与基本事件仅有限个，把具有这种特征的试验归成一类得到一种概型古典概型古典概型：310古典概型的两个特征:1）样本空间的元素（即样本点）只有

2、有限个；而样本点互不相容，所以)()()(21nPPP)()()()(121nPPPP), 2 , 1(1)(ninPi由2）知所以得2）每个基本事件出现的可能性相等。由此容易知道，掷硬币试验中由此容易知道，掷硬币试验中,若表示若表示 出现正面出现正面,表示表示 出现反面出现反面, 则则21)()(01PP12,n 由1）知4例例如果某一对奖储蓄4个数码的头奖1个，2个数码的未100001而得未奖的概率是多少呢？奖2个，那么每张券得头奖的概率都是A中所含的基本事件数称为A的有利事件数。基本事件总数的有利事件数基本事件总数中所包含基本事件数AAnkAP)(在古典概型中,对一般事件A，若A包含k个

3、基本事件，则有每一奖券得未奖的概率是多少？我们知道每100张券中，有两张得奖，所以501pn=100，k=2，注意:基本事件总数和有利事件的计数都要在同一个样本空间中进行.5例例1.作试验E：将一枚硬币抛3次，观察正、反面出现的情况。1）写出E的样本空间；1A 恰好有一次出现正面)(1AP2A 至少有一次出现正面)(2AP1出现正面),( ,),(),(),(),(11100101010000032个基本事件。，求3）设事件 2）设事件，求解：1）抛3次，有3个结果，若用0出现反面，则共6 2） 001010100(,),(,),(,) 所以 3131283)(CAP3） 2至少有一次出现正面

4、A恰有三次正面恰有二次正面恰有一次正面33323132287)(CCCAP811)(一次都没有有时为了方便，不直接算 ),(AP而先求 )(AP使得求法更简便。 1恰好有一次出现正面A7例例2 有两付纸牌，各有52张，从每一付中任取一张，求至少有一张是红桃A的概率。CB2521)(,521)(,521)(BCPCPBP)()()()()(BCPCPBPCBPDP解：解：设B=从第一付牌中抽出一张得到红桃A C=从第二付牌中抽出一张得到红桃A则D=至少有一张红桃A=所以有：27041035215215212若利用对立事件求之更简单.8 三范例：三范例： 古典概型有着多方面的应用，产品抽样检验就是

5、其中之一。 产品抽样检查的技术，在各个生产部门中被广泛采用。许多大工厂产量很多，每天生产的数以万计，对这些产品的质量如果要进行全面的逐件检查经常是不可能的，或是不经济的；另外，在有些情况下，产品的检验方法带有破坏性（如电灯泡、电视机的寿命检验和棉纱强度试验），这样最适宜的方法是采用抽样检查，即从产品中随机地抽出若干件来检验，根据检验结果来判断整批产品的质量。9 关于产品的质量，可以多种多样的衡量标准，例如可能要求考虑产品的某种形状或尺寸，或把产品分成若干等级，我们先考虑最简单的情形，即把产品分成合格品与次品两个类型的场合。 假如产品的好坏从外形上看不出来，而且我们又是随机抽样，那么任何一件产品

6、被抽到的可能性都一样，这正是古典概型。10 有一个袋子，内装有一个袋子，内装a只黑球，只黑球，b只白球，它们只白球，它们除颜色不同外，外形完全一样。这样，当我们从除颜色不同外，外形完全一样。这样，当我们从袋子中任意摸出一球时，这袋子中任意摸出一球时，这a+b只球中任意一只被只球中任意一只被摸到的可能性都一样。摸到的可能性都一样。 若把黑球作为废品，白球作为正品，则这个摸若把黑球作为废品，白球作为正品，则这个摸球模型就可以描述产品抽样。假如产品分为更多等球模型就可以描述产品抽样。假如产品分为更多等级，如一等品、二等品、三等品等等，则可以用多级，如一等品、二等品、三等品等等，则可以用多种颜色的摸球

7、模型来描述。种颜色的摸球模型来描述。 这种模型化的方法能使用问题更清楚这种模型化的方法能使用问题更清楚,更容易看更容易看出其随机性本质出其随机性本质,而不致使个别情况下的具体属性所而不致使个别情况下的具体属性所蒙蔽。而且这种抽象化的模型带有普遍性蒙蔽。而且这种抽象化的模型带有普遍性,它还可以它还可以描述许多别的具体问题描述许多别的具体问题,从而有着广泛的应用。从而有着广泛的应用。11 例例3 一只袋装有6只球,其中4只白色,2只红色。从袋中取球二次,每次取一只。分两种情况考虑：1）第一次取一球，观察其颜色后放回袋中，第二次再取一球，这种情况叫做放回抽样； 2）第一次取一球不放回,第二次再取一球

8、，这种情况叫做不放回。试分析就上面两种情况，求：（1）取到两只球都是白球的概率；（2）取到两只球颜色相同的概率；（3）取到两只球至少有一只白球的概率。12解：设解：设A=取到两球都是白的取到两球都是白的， B=取到两球都是红球取到两球都是红球, 一对放回抽样一对放回抽样 44k(2)求 取到的两球颜色相同取到的两球颜色相同的概率: AB956264)B(P)A(P)BA(P2222所以因为所以所以 C=取到的两球至少有一只是白球取到的两球至少有一只是白球(1)求求A=取到两球都是白的取到两球都是白的的概率的概率: 即要求即要求P(AB)的概的概率率.13(3)C=取到的两只至少有一只白球=取到

9、球中有一只白球取到两只都是白球)()(),(白白白红红白，4 24 48( )26 66 69P C或取到的两只至少有一只白球=不全是红球= B 所以 98621)(1)()(22BPBPCP14 二对不放回抽样二对不放回抽样 56n3）1515612)(BP 或15141511)(1)()(BPBPCP15143028563456242)(CP1)A=取到两取到两球都是白的球都是白的2)取到两球取到两球同色同色3)至少一只至少一只白色白色15例例4 设有设有m件产品，其中有件产品，其中有k件次品，从中随机件次品，从中随机抽取抽取n件，问：恰有件件，问：恰有件j件件（jkjk）次品的概率是）次

10、品的概率是多少？多少？ 解：解：nmCV jkCjnkmCjnkmjkCCk抽到次品的方法数为抽到次品的方法数为:不放回取样。不放回取样。所以所以有利事件数有利事件数另外另外n-j件应抽到好品，取法数为件应抽到好品，取法数为nmjnkmjkCCCAP)(这 是 超 几 何 分这 是 超 几 何 分布布.16例例5 5在在0,1,2,0,1,2,9,9中不重复地任取中不重复地任取4个数进行个数进行排列，求它们能排成四位数且是排列，求它们能排成四位数且是首位非零首位非零的四位的四位偶数的概率偶数的概率解解设设 A为为“能排成能排成首位非零首位非零的四位偶数的四位偶数”5040410Pn四位四位偶数

11、的末位为偶数，故有偶数的末位为偶数，故有 种可能，种可能，而前三位数有而前三位数有 种取法，由于首位为零的种取法，由于首位为零的四位数有四位数有种取法，所以有利于种取法，所以有利于A发生发生的取法共有种的取法共有种15C39P2814PC229628143915PCPCnA904150402296)(AP基本事件总数基本事件总数解一：解一：17解法二：解法二： 从个位上放从个位上放0与不放与不放0来分辨来分辨281814391PCCPnA5040410Pn904150402296)(AP18例例6 某接待站在某一周曾接待过某接待站在某一周曾接待过12次来访次来访,已知所有这已知所有这12次次接

12、待都是在周二和周四进行的接待都是在周二和周四进行的,问是否可以推断接待时间是问是否可以推断接待时间是有规定的有规定的?解解:假设接待站的接待时间没有规定假设接待站的接待时间没有规定,而各来访者在一周的任而各来访者在一周的任一天中去接待站是等可能的一天中去接待站是等可能的,那么那么,12次接待来访者都在周二次接待来访者都在周二与周四的概率为与周四的概率为0003000. 0721212p这是一个很小的数值这是一个很小的数值.在长期的实践中我们总结得到在长期的实践中我们总结得到:”概率概率很小的事件在一次试验中实际上几乎是不发生的很小的事件在一次试验中实际上几乎是不发生的”.这个原这个原理称为理称

13、为小概率原理小概率原理.现在概率很小的事件在一次试验中竟然现在概率很小的事件在一次试验中竟然发生了发生了,我们有理由怀疑假设的正确性我们有理由怀疑假设的正确性,从而推断接待站不是从而推断接待站不是每天都接待来访者每天都接待来访者,即认为其接待时间是有规定的即认为其接待时间是有规定的.19例例7 将将n个球随机地放入个球随机地放入n个盒子中去，每个盒个盒子中去，每个盒子恰有一个球的概率是多少？子恰有一个球的概率是多少？解：解：的元素是的元素是n个球放入个球放入n个盒子中去的放法，个盒子中去的放法，每个球都可以放在每个球都可以放在n个盒子中的任个盒子中的任一个中去，所一个中去，所以有以有n种放法；

14、种放法；n个球共有个球共有nn种放法种放法, ,所以所以 nnV每个盒子中恰有一个球的放法种数：第一个球可有n种放法，第二个球只能有n-1种放法，以此类推，共有n！种放法。所以nnnP!20(1) 某指定的某指定的 k个盒子中各有一球；个盒子中各有一球； (2)恰有恰有 k个盒子中各有一球；个盒子中各有一球；(3)某指定的一个盒子恰有某指定的一个盒子恰有 m 个球个球( ) ;(4)某指定的一个盒子没有球；某指定的一个盒子没有球；(5) 至少有两个球在同一盒子中至少有两个球在同一盒子中；(6) 每个盒子至多有一个球；每个盒子至多有一个球； (7)(7)恰有恰有n n个盒子个盒子, ,其中有其中

15、有m m个球个球( ) 例例8 8 （分房模型（分房模型）设有设有 k 个不同的球个不同的球, , 每个每个球等可能地落入球等可能地落入 N 个盒子中个盒子中（ ）, 设每个设每个盒子容球数无限盒子容球数无限, , 求下列事件的概率：求下列事件的概率：Nk km Nnkm ,21解解:设设 (1) (7)的各事件分别为的各事件分别为则则(1) A1=某指定的某指定的 k 个盒子中各有一球个盒子中各有一球:kNn 17,AA1!AmkkANknmAP!)(114!kANmCkkkNNkCAP!)(2(2)A2=恰有恰有 k个盒子中各有一球个盒子中各有一球:由于未固定哪由于未固定哪k个盒子个盒子,

16、而先选出而先选出k个盒子个盒子,再将再将k个球投入其中且每盒不空个球投入其中且每盒不空22kkNNAP) 1()(45!kkANmNC k)(1!)(25APNkCNAPkkNk(4)A4=某指定的一个盒子没有球某指定的一个盒子没有球:(5)A5=至少有两个球在同一盒子中至少有两个球在同一盒子中:kmkmkNNCAP) 1()(3(3)A3=某指定的一个盒子恰有某指定的一个盒子恰有 m 个球个球:kANm) 1(4mkmkANCm) 1(13提示提示:与前面的哪个问题相关与前面的哪个问题相关?能否利用对立事件来做能否利用对立事件来做236!kANmC k)()(46APAP(6)A6=(6)A

17、6=每个盒子至多有一个球每个盒子至多有一个球:(7)A7=(7)A7=恰有恰有n n个盒子个盒子, ,其中有其中有m m个球个球:“恰有恰有n n个盒子个盒子”是从是从N N个盒中任意选取个盒中任意选取, ,而而m m个球是从个球是从k k个球中任意选出个球中任意选出, ,由于选出的由于选出的m m个球中任一个球可投到选出的个球中任一个球可投到选出的n n个盒中任个盒中任一个中去一个中去, ,而余下的而余下的k-mk-m个球可投到余下的个球可投到余下的N-nN-n个盒中个盒中, ,因此得到因此得到: :kmkmmknNNnNnCCAP)()(7mkmmknNAnNnCCm)(724例例9“9“

18、分房模型分房模型”的应用的应用信息学院三年级有信息学院三年级有 n (n365)个人，求至少有两个人，求至少有两人生日相同（设为事件人生日相同（设为事件A ）的概率的概率为为 n 个人的生日均不相同，这相当于每个个人的生日均不相同，这相当于每个盒子至多有一个球由上例盒子至多有一个球由上例(6)AnnnCAP365!)(365.365!1)(1)(365nnnCAPAP解：假定一年按解：假定一年按365天计算，把天计算，把365天当作天当作365个个“房间房间”，那么问题就可以归结为例，那么问题就可以归结为例5，把人，把人看作球，把房间看作盒子。这时看作球，把房间看作盒子。这时“n个人的生日个人

19、的生日全不相同全不相同”，就相当于例，就相当于例5中的中的“恰有恰有n个盒子个盒子其中各放一球其中各放一球”。 25997. 0)(62APn，若n102023304050P(A)0.120.410.510.710.890.97这个例子就是历史上有名的这个例子就是历史上有名的“生日问题生日问题”，对，对不同的一些不同的一些n值，计算得相应的值，计算得相应的值如下表值如下表: 从上表可知，当班级中人数为从上表可知，当班级中人数为23时，就时，就 一一半以上的班级会有半以上的班级会有“至少有两个人的生日相至少有两个人的生日相同同”。 当班级的人数达到当班级的人数达到50时，竟有时，竟有97%的班级

20、的班级会发生上述事件，这里会发生上述事件，这里“半数以上半数以上”、“97%”就概率而言，只有在大数次重复下才看得出来。就概率而言，只有在大数次重复下才看得出来。26注注: “投球模型投球模型”是一种抽象化的统计模型，它把是一种抽象化的统计模型，它把许多表面上提法不同的问题归结成同一类型的许多表面上提法不同的问题归结成同一类型的模型。如典型的分房问题、生日问题、装信封问模型。如典型的分房问题、生日问题、装信封问题（配对问题）。题（配对问题）。 在这个模型中，各个球是不同的。当我们把在这个模型中，各个球是不同的。当我们把每个球看成是一样时，即球是不可分辨时，其做每个球看成是一样时，即球是不可分辨

21、时，其做法是完全不同的。法是完全不同的。 处理实际问题时，要分清什么是处理实际问题时，要分清什么是“球球”，什么，什么是是“盒子盒子”。27作业作业 P 29-1 P30-228例例10 在在10件合格品和件合格品和4件次品中任取件次品中任取3件，试件，试求恰好取到求恰好取到2件次品的概率。件次品的概率。例例11 在在0,1,2,9这十个数字中一次任取两个这十个数字中一次任取两个数，求抽到数字数，求抽到数字5的概率。的概率。解：解： 31424110CCC解：解： 2101911)(CCCAP29例例12 有有10个电阻，其电阻值分别为个电阻，其电阻值分别为1、2、10，从中取出三个，要求取出

22、的，从中取出三个，要求取出的三个电阻，一三个电阻，一个大于个大于5，一个等于，一个等于5，一个小于，一个小于5。问取一次就。问取一次就能达到要求的概率。能达到要求的概率。 310CV141115CCCVA61)(310141115CCCCVVAPA解解：30例例13 13 随机地将随机地将15名新生平均分配到三个班级中名新生平均分配到三个班级中去，这去，这15名新生中有名新生中有3名是优秀生，求：名是优秀生，求：1）每一班级各分配到一名优秀生的概率）每一班级各分配到一名优秀生的概率 ；2）3名优秀生分在同一班级的概率名优秀生分在同一班级的概率 。 )(AP)(BP解解：! 5 ! 5 ! 5!

23、1555510515CCCV1）3名优秀生分在三个班级的分法有名优秀生分在三个班级的分法有3！种其余！种其余1212个人平均分到三个班级个人平均分到三个班级 。 ! 4! 4! 4!12! 3! 34448412CCCk9125)! 5! 5! 5!15(! 4! 4! 4!12! 3)(nkAP312）3 3名优秀生分在同一班级共有名优秀生分在同一班级共有3 3种分法种分法, ,其余其余1212名有名有2 2人分在同一个班人分在同一个班, ,另另2 2个班各分到个班各分到5 5名名. .所所以以555102123CCCk 55510515555102123)(CCCCCCBP32bab)!b

24、a()!1ba(b)A(Pk例例14. 14. 袋中有袋中有a只白球，只白球，b只黑球。现随机地将球一只只只黑球。现随机地将球一只只取出，问第取出，问第k(1ka+b)次取到黑球的概率是多少？次取到黑球的概率是多少？如果每次取后又把球放回如果每次取后又把球放回, ,那么概率又是多少那么概率又是多少? ? 解：将解：将a+b只球看作是可以识别的，而将球一只只取出就只球看作是可以识别的，而将球一只只取出就相当于把相当于把a+b 只球只球排成一列，这样的排列共有排成一列，这样的排列共有(a+b)!(a+b)!种，种，即即的样本点数为的样本点数为(a+b)!(a+b)!。 设设A Ak k为为“第第k

25、次取到黑球次取到黑球”，因为黑球有，因为黑球有b个，故第个，故第k次取到次取到黑球的方法有黑球的方法有b种。而除去第种。而除去第k次后，其他次后，其他a+b-1次取次取a+b-1个球的不同方法当然是个球的不同方法当然是(a+b-1)!种，所以中的样本点数为种，所以中的样本点数为 b (a+b-1)!。所以。所以 332)放回取样放回取样,显然有显然有babAPk)( 在这个问题中在这个问题中,不管是放回取样不管是放回取样,还是不放回还是不放回取样取样,事件的概率与取球的先后次序事件的概率与取球的先后次序 i 都无关都无关.34例例15 将3个不同色的球随机地放入4个杯子中去，问杯子中球的最大个

26、数为1，2，3的概率各是多少？解：总事件数：解：总事件数： 34V 最大个数为最大个数为1：! 3Ck34133414! 3CP 111323142CCCCk 313231424CCCP 最大个数为2：最大个数为最大个数为3：33143CCk 3331434CCP ，所以，所以35例例16 对一批产品（包含对一批产品（包含m件正品、件正品、n件次品）进行检查，件次品）进行检查，如果在该批产品中任意抽查如果在该批产品中任意抽查b件件(bn)结果全是次品，问在未结果全是次品，问在未被检查的产品中再任意地连续取被检查的产品中再任意地连续取两件，至少有一件是次品的两件，至少有一件是次品的概率是多少？概

27、率是多少？ 解：要解决的问题是：在已抽查了解：要解决的问题是：在已抽查了b件产品之后进行的，件产品之后进行的，2bnmC所以基本事件总数为：所以基本事件总数为：当当bn-1时时,（余下的至少还有两件次品）（余下的至少还有两件次品）) 1)() 12)()(2112bnmbnmbnmbnCCCCAPbnmmbnbn221bnmmCC对立事件当当 b=n-1时，（余下的仅一件是次品）时，（余下的仅一件是次品）1m2CCC)A(P2bnm1m1bn36解(1) 不放回情形记下颜色，放在一边，重复 m 次记事件记事件 A 为为m个球中有个球中有k个白球，则个白球，则例例1717袋中有袋中有a 只白球，

28、只白球，b 只红球，从袋中按不放只红球，从袋中按不放回与放回两种方式取回与放回两种方式取m个球个球（ )，求其中求其中恰有恰有 k 个个（ ）白球的概率白球的概率bammkak ,) 1() 1)()(mbababaPnmba：kmbkakmAPPCn)!(!)!(!)!( !kmbbkaakmkmE：球编号，任取一球，mkakPPPCAPmbakmbkakm,)(则37又解又解E1：球编号，一次取球编号，一次取 m 个球，记下颜色个球，记下颜色记事件记事件 A 为为m个球中有个球中有k个白球，则个白球，则不放回地逐次取不放回地逐次取 m 个球，与一次任个球，与一次任取取 m 个球算得的结果相

29、同个球算得的结果相同因此因此称超几称超几何分布何分布mbaCn11：kmbkaACCnmkakCCCAPmbakmbka,)(38(2) 放回情形放回情形E2：球编号，任取一球，记下颜色，放回去，球编号，任取一球，记下颜色，放回去，重复重复 m 次次记记 B 为取出的为取出的 m 个球中有个球中有 k 个白球，则个白球，则baap记称二项分布称二项分布mban)(22：kmkkmmkmkkmbabbaaCbabaCBP)()(),min(, 2 , 1)1 ()(makppCBPkmkkm39例例18 把把n个完全相同的球随机地放入个完全相同的球随机地放入N个盒子中。个盒子中。如果每一种放法都

30、是等可能的。求如果每一种放法都是等可能的。求( (1 ) )某一个指定的盒子中恰有某一个指定的盒子中恰有m个球的概率个球的概率P( (A)；( (2)指定的指定的m个盒中正好有个盒中正好有j个球的概率个球的概率P(B)。 解：因为题中的解：因为题中的n个球是完全相同的，所以认为球个球是完全相同的，所以认为球是不可分辨的。我们把是不可分辨的。我们把N个盒看成由个盒看成由N+1N+1个壁组成，个壁组成，故总的事件数：把外侧的两条壁固定，其余的故总的事件数：把外侧的两条壁固定，其余的N-1N-1条壁与条壁与n个球排在一起，共有个球排在一起，共有(N-1+n)(N-1+n)个位置，选个位置，选出出n个

31、位置放球，所以共放法个位置放球，所以共放法 n1nNC40（1）该指定的盒不妨设为第一个盒。在第一个）该指定的盒不妨设为第一个盒。在第一个盒中放盒中放m个球，而其余的个球，而其余的n-m个球与个球与N-2条壁放条壁放在一起，共有在一起，共有N+n-m-2个位置，选出个位置，选出n-m个放球，个放球，所以共有放法所以共有放法:mnmnNC2nm0 CC)A(Pn1nNmn2mnN于是于是种种41（2）指定的）指定的m个盒外侧有两条壁固定，有个盒外侧有两条壁固定，有m-1条壁与条壁与jjjmC1jnjnmNC1nj0 N,m1 CCC)B(Pn1nNjn1jmnNj1jm而其余的球必须放在另外的而

32、其余的球必须放在另外的n-j个球应放在另外的个球应放在另外的N-m于是于是的盒中，所以有放法的盒中，所以有放法个球放在一起，其中球有个球放在一起，其中球有j个，共有放法个，共有放法42例例19 从从5双不同的的鞋子中任意取双不同的的鞋子中任意取4只，只，4只鞋子中至少只鞋子中至少有有2只鞋子配成只鞋子配成一双的概率是多少？一双的概率是多少？ 为何用排列，而不是组合？因为将第一、二次为何用排列，而不是组合？因为将第一、二次取出的鞋子换一下顺序，在取出的鞋子换一下顺序，在k的计算中是作为不同的计算中是作为不同的，所以已考虑了次序。的，所以已考虑了次序。410141618110)(AAAAAAP21

33、13)(1)(APAP解：一解：一410Cn 252815CCCk2113)(AP二二.样本空间总计数样本空间总计数:有利事件数有利事件数:(先保证有两只配对先保证有两只配对,再考虑另外两只再考虑另外两只)43四对称性的使用及注意：四对称性的使用及注意： 古典概型的一个特点就是等可能性，其等可能性建立在对称性的基础上,是对称性的一种后果。所谓对称的两个事件，是指二者的结构一致，完全处于对称、平等的地位，因而两个对称的事件发生的可能性大小应该相同。从而在相应问题的求解中，可以利用对称性，而获得一个独立求解条件，使得有关概率计算更加简便。 44例例20 n对夫妇任意地排成一列,出现每一位丈夫都排在

34、他妻子后面这一事件的概率大小如何？分析：分析： 如未考虑对称性条件而按一般性方法处理，知基如未考虑对称性条件而按一般性方法处理，知基本事件的结构是本事件的结构是2n个人的一次排列，因此基本事件总数个人的一次排列，因此基本事件总数为（为（2n）！）！。 所关心事件的结构特点是所关心事件的结构特点是“每位丈夫必然在其妻之后每位丈夫必然在其妻之后”！值得注意的是值得注意的是“后面后面”一词的完整理解。先把一词的完整理解。先把n位丈夫进位丈夫进行排列，有行排列，有n！种可能，对每种这样的排列再按前后顺序！种可能，对每种这样的排列再按前后顺序逐一安排相应妻子的逐一安排相应妻子的“超前超前”位置，由位置，

35、由“乘法原理乘法原理”知有知有利的基利的基!)!1n2( !n)1n2(531!nn21)!n2(!)!1n2( !n从而知所求概率为从而知所求概率为 本事件数为本事件数为45另外，如果注意到研究简单事件另外，如果注意到研究简单事件“第第i对夫妻，夫在妻后对夫妻，夫在妻后”对称于简单事件对称于简单事件“第第i对夫妻，妻在夫后对夫妻，妻在夫后”，得知第，得知第i对夫对夫妻，妻，21P夫在妻后的概率夫在妻后的概率如如 Ai 记表示第记表示第 i对夫妻，夫在妻后事件，则我们所关心的对夫妻，夫在妻后事件，则我们所关心的niiA1nniiniiAPAP21)()(11事件为事件为任一对夫妻的位置不会影响其它对夫妻的位置安排，故任一对夫妻的位置不会影响其它对夫妻的位置安排，故而相互独立。从而有而相互独立。从而有46注注 古典概率利用“对称性”进行换率计算的时候，一定不能忽视它们之间的互逆关系