有限元 7-学生提问及解答2012秋

1、P-1土木工程学院有限单元法有限单元法学生问题及解答P-2土木工程学院有限单元法有限单元法三结点三角形单元的位移函数构造。轴对称问题，各项应变的含义。在描述板的内力方程时，微元体只表示出正应力合成了弯矩，剪应力合成了扭矩，为什么没有剪应力合成剪力？拿悬臂板和悬臂梁作对比，为什么微元体侧面的剪力不见了？在梁里面，弯矩和剪力是成对出现的，为什么板里面剪力和弯矩不成对出现？第4章 薄板问去问题。教材和讲义中，转角的方向有不对的地方，转角是挠度对坐标的偏导，根据右手螺旋法则，有些地方转角的正负号规定不对？P-3土木工程学院有限单元法有限单元法5. 在第4章计算例题部分，算内力时，那个S矩阵究竟是几乘几

2、阶？P-4土木工程学院有限单元法有限单元法1关于三结点三角形单元的位移函数构造，为关于三结点三角形单元的位移函数构造，为什么不宜取如下位移函数？什么不宜取如下位移函数？26542321),(),(xyyxvvyxyxuu(2)26543221),(),(yxyxvvyxyxuu(3)26542321),(),(yyyxvvxxyxuu(1)P-5土木工程学院有限单元法有限单元法学生的疑问： 三角形有3个顶点，有6个已知位移分量，则可以确定以上位移函数的6个待定系数，或者说只要待定系数是6个，都可以求出，那位移函数就可以求出来。也就是说，不管假设位移函数是x、y的几次多项式，都能求出位移函数。

3、位移函数是坐标x,y的函数，不是结点位移的函数，因为结点位移ui,uj,um,vi,vj,vm是位移在某个点的值，不是变量。 对于位移的协调性问题，在相邻单元公共边，只要两个结点位移确定了，就可以根据位移函数计算出边界上各个点的位移值，那相邻单元公共边的位移肯定是一样，为什么会不协调呢？P-6土木工程学院有限单元法有限单元法 在有限元里面，假设的位移函数是用来表达单元内任意点的位移和节点位移的关系。位移函数是坐标x,y的函数，同时也是节点位移的函数。不能说结点位移ui,uj,um,vi,vj,vm是位移在某个点的具体值，不是变量。相对于位移函数来说，它们当然是变量，因为位移函数要表达单元内部任

4、意点的位移和节点位移的关系，相对于位移函数来说，节点位移是自变量。 对于三结点三角形单元，任何假设的位移函数，只要待定系数是6个，肯定能解出6个待定系数，但是假定的位移函数是否合理，还要考虑位移模式的收敛性条件：完备性和连续性P-7土木工程学院有限单元法有限单元法(1) 完备性要求，即位移模式必须包含刚体位移和常应变。26542321),(),(yyyxvvxxyxuu26542321),(),(xyyxvvyxyxuu(2)(1)(1)(2)没有包含刚体转动位移00( , )( , )u x yuyv x yvx00如(1)，在单元内同一条竖直线上，u位移都相同，不能表达单元的刚体转动。如(

5、2)，当发生刚体转动时，在同一条竖直线上，u位移是y的二次函数，不是直线，不符合刚体位移的要求。刚体位移P-8土木工程学院有限单元法有限单元法 对于常应变问题，位移函数（1）（2）中没有剪应变的常应变项，（3）中没有正应变的常应变项。26542321),(),(xyyxvvyxyxuu(2)26542321),(),(yyyxvvxxyxuu(1)26543221),(),(yxyxvvyxyxuu(3)0 xvyuxyxyxvyuxy6322yyvxxuyx6222P-9土木工程学院有限单元法有限单元法(2) 连续性要求：对于位移函数是线性的情况，即单元中的一条直线变形后仍为直线，而相邻单元

6、在两个公共节点上的位移又应是相等的，所以位移协调。 检查位移函数(1)，对于图示的两个直角三角形单元，当节点3发生水平位移到3，根据位移函数，单元(1)和(2)在公共边23上的水平位移u是个常数，根本没法描述发生图示位移的情况，则23边上的水平位移究竟是多少？不能确定，或者说解不出来，那么如何满足相邻单元(1)和(2)在公共边23上的位移协调呢？存在矛盾。(1)26542321),(),(yyyxvvxxyxuuP-10土木工程学院有限单元法有限单元法2.轴对称问题，各项应变的含义？（在讲义2.7八结点曲线四边形等参元，介绍单刚时，列出了轴对称问题的应变） 在轴对称问题中，通常采用圆柱坐标 (

7、r,z) ，以对称轴作为z轴，所有应力、应变和位移都与无关，只是r和z的函数。任意点的位移只有两个方向的分量，即沿r方向的径向位移u和沿z方向的轴向位移w。由于轴对称，方向的环向为零。因此轴对称问题是二维问题 如果弹性体的几何形状、约束条件及荷载都对称于某一轴，例如z轴，则所有的位移、应变及应力也对称于此轴。这种问题称为轴对称应力问题。P-11土木工程学院有限单元法有限单元法 由于对称，只须取出一个截面进行分析，但在计算中应注意到所采用的单元是圆环。 zurwzwrururzzrrz 位移向量u,wrurrur22)(2P-12土木工程学院有限单元法有限单元法3. 在描述板的内力方程时，微元体

8、只表示出正应力合成了弯矩，剪应力合成了扭矩，为什么没有剪应力合成剪力？拿悬臂板和悬臂梁作对比，为什么微元体侧面的剪力不见了？在梁里面，弯矩和剪力是成对出现的，为什么板里面剪力和弯矩不成对出现？ 仔细考虑此问题，需要对薄板弯曲问题的基本假定描述做进一步细化，并修改一些表达。基本假定：、略去垂直于中面的法向应力。(z=0, 可以忽略z , 在薄板中面的任一根法线上，薄板全厚度内的所有各点都具有相同的位移，即以中面上沿z方向的挠度w代表板的挠度。)P-13土木工程学院有限单元法有限单元法、变形前垂直中面的任意直线，变形后仍保持为垂直中面的直线。（法向假定，忽略了沿z轴的剪应力zx和zy所对应的剪应变

9、，即zx=0 , zy=0。但是在考察薄板微分单元的平衡时zx和zy是必须的。这种应力和变形之间的矛盾在应用弹性力学中是经常出现的，如在杆件弯曲理论中也存在类似的情况，对于一般的梁，忽略剪切变形对挠度的影响，但是截面的剪应力是不能忽略的。）、板弯曲时，中面不产生应力。(中面中性层假定，在中面上，x=y=xy=0) P-14土木工程学院有限单元法有限单元法 z平面的应变分量和曲、扭率基本假定，由于 , 故板内任意点的应变与平面问题相同，剩下 0zyzxz0 xxyy0zyzxz原讲义内力方程（内力内力方程（内力挠度关系）挠度关系） 对于薄板弯曲问题，由垂直板面的荷载引起的剪应力一般较小，常常忽略

10、不计。但是在很大的集中荷载作用下，需要考虑冲切问题。P-15土木工程学院有限单元法有限单元法4. 第4章 薄板问去问题。教材和讲义中，转角的方向有不对的地方，转角是挠度对坐标的偏导，根据右手螺旋法则，有些地方转角的正负号规定不对？A点挠度为w, 则沿x方向倾角(绕y轴)沿y方向倾角(绕x轴) ywxxwy这里转角的方向按右手螺旋法则确定正负号时，以逆时针为正。P-16土木工程学院有限单元法有限单元法另外，也可以尝试假设挠度是x或y的一次多项式，则一次式的对x或y求导就是转角，也符合图示对应的正负号。对于 ，它要反映在xoz平面这条边的转角，x轴朝右，此时用右手螺旋法则时，大拇指要对着观察者。对于 ，它要反映在yoz平面这条边的转角，从右往左看过去，y轴要朝右，此时用右手螺旋法则时，也要大拇指要对着观察者。xwyywxP-17土木工程学院有限单元法有限单元法5. 在第4章计算例题部分，算内力时，那个S矩阵究竟是几乘几阶？根据内力计算公式， eedSdBDF 4321SSSSS 则s的阶数是3*12阶，而结点位移de是12*1阶的向量，相乘之后得到F是3*1阶的向量，而在算例中得到的内力是12*1阶的向量，如何解释这个矛盾，S究竟是几阶的矩阵？解释：表达单元的内力方程 eedSdBDF时， 时，单元