【教学随笔】线性规划另类题型面面观

1、；.线性规划另类题型面面观线性规划是高考经常考查的热点内容，题型灵活多变，在解题目时必须把握问题的实质，进行分析转化处理，就以下几种类型问题精析：一.线性约束条件不定型问题: 例1.当x,y满足约束条件(k为常数)时,能使z=x+3y的最大值为12的k的值为（ ）A-12 B.-9 C.12 D.9yoP(-y=xx2x+y+k=o 解析:易知,当z=x+3y经过直线y=x与直线2x+y+k=0的交点时,z取得最大值12,所以由求得k=-9,故选B. 二.最优解不唯一,有无穷多最优解型问题:例2.在如图所示的坐标平面的可行域(阴影部分包括边界在内),目标函数z=2x-ay取得最大值的最优解有无

2、穷多个,则a 为 ( )xy0A(1,1)B(5,1)C(4,2) A. 2 B.2 C.-6 D.6 解析: 如图,中,各边的斜率分别为:, 而目标函数:令z=2x-ay=0,得所在直线的斜率为:. 因为目标函数取得的最大值的最优解有无穷多个,所以必有目标函数所在的直线与三角形的边所在的直线重合:(1) 因为不可能等于0,所以目标所在直线不可能与边AB所在直线重合.(2) 当目标函数所在直线与边AC重合时,即时,得a=6,则目标函数的最优解z=.(3) 当目标函数所在直线与边BC重合时,即时,得a=-2, 则目标函数的最优解z=. 综上所述,当a=-2时, 目标函数z=2x-ay取得最大值为

3、12的最优解有无穷多个,故选A.三.分式型目标函数,转化为利用斜率求最值:例3实系数方程x2+ax+2b=0,的一根在（0,1）内，另一 个根在(1,2)内，求的值域.ab.P(1,2)OC(-1,0)B(-2,0)A(-3,1)a+b+2=0a+2b+1=0解: 由题意得知: 由此画出关于a,b为变量的可行域如图所示: 式子 可以理解为定点P（1，2）与区域内动点Q（a,b）连线的斜率 k=. 当Q（a,b）动到C（-1，0）时，则斜率k取最大值，即kmax=当Q（a,b）动到A（-3,1）时，则斜率k取最小值，即kmin= 综上所述 ，所求式子的值域：四.二次型目标函数,转化为利用距离求最

4、值:例4.已知:x,y ,且x+2y1,求二次函数式u=x2+y2+4x-2y的最小值。xy01-1-2.P(-2,1)Q(x,y)x+2y=1解：因为x,y ,且x+2y1,所以表示的平面区域如下图所示： 函数式u=x2+y2+4x-2y=(x+2)2+(y-1)2-5 当x=-2,y=1时，即取P（-2，1）时，u的值为 最小，但是点P（-2，1）不在区域x+2y1内， 所以函数u=x2+y2+4x-2y不在点P处取得最小值。 但是，当整体V=(x+2)2+(y-1)2取得最小值时， u就取得最小值，即取最小值。 可以理解为在区域x+2y1上任取一点Q（x,y）到点P（-2，1）的 距离的

5、最小值，故作直线PQ垂直于直线：x+2y=1,垂足为Q就是要求的符合条件的点。 又LPQ：2x-y+5=0, 由 得点Q的坐标为Q（ 把Q（代入u=x2+y2+4x-2y=(x+2)2+(y-1)2-5=（ 即为所求的最小值。xy0(2,2)C(-1,-2)BA例5.已知,求z=x2+y2+2x+4y的最大值和最小值.解析:作出满足不等式组的平面区域（如图）：目标函数z=（x+1）2+(y+2)2-5，可化为z+5=(x+1)2+(y+2)2 =看作平面区域上的点P(x,y)到定点C（-1，-2）的距离的平方，以点C（-1，-2）为圆心作圆C，使该圆经过平面区域内的点，由图知，当圆C与圆（x-

6、2）2+(y-2)2=1相外切时，圆的半径最小，即z最小，当圆C过点A或点B时，两圆的半径有一个最大。圆C与圆(x-2)2+(y 2)2=1相外切的充要条件为：+1=5，即z=11,所以zmin=11.解方程组,由两点间的距离公式得: ,点评：线性规划是新增内容，也是近几年高考必考内容，且考查愈来愈活跃，利用线性规划思想去理解高中数学中一些求最值问题，是从一个新的角度对求最值问题的理解，实际上是对数学形结合思想的提升。这类问题的求解关键在于能够正确理解非线性约束条件与非线性目标函数所表示的几何意义，利用非线性约束条件作出图形并利用非线性目标函数所表示的几何意义求出最优解及目标函数的最大值或最小

7、值。五重新确定线性约束条件： 例6.已知点M（a,b）在由不等式组确定的平面区域内，则点N（a+b,a-b）所在平面区域的面积是 （ ） A1 B.2 C.4 D.8 解析: 由题意得: 设得m-n=0m+n=0202nm 所以线性约束条件转化为：即 如图求得阴影部分的面积为： S=4。六含绝对值的二元一次不等式组的区域与面积积问题。xOxyy=xy= - xy=2xy=-2xOxy=xy=2xy=-2xOxy=xy= - xy=2xy=-2xOy=xy=-2xAy= - xy= - xBCDy=2xyy例7（1）不等式|x|y2|x|所表示的平面区域（均含边界）为图（ A ） （2）在坐标平

8、面内，由不等式组所确定的平面区域的面积为_16_.分析：先分段去绝对值，再划对应直线段，再找可行域，再求面积。七、非线性约束条件下的线性目标函数最值问题例8已知a,bR+,且方程x2+ax+2b=0与方程x2+2bx+a=0都有实数根，求a+b的最小值.解答：两方程均有实根等价于.所以P（a,b）在抛物线a2=8b与b2=a的外部且位于第一象限，所以问题转化为过阴影部分的点求a+b的最小值问题.由图知，当直线平行a+b=0且过两曲线在第一象限交点（4，2）时，a+b取最小值为6.八、线性规划创新交汇题线性规划是数学规划中理论较完整、方法较成熟、应用较广泛的一个分支，线性规划是直线方程的一个简单

9、应用，它与解析几何、向量、不等式、概率可交汇进行综合命题.1.线性规划与求轨迹的交汇x0例9 已知点M（a,b）在由不等式组 y0 确定的平面区域内的面积为S1，点x+y2N（a+b，a-b）所在平面区域内的面积为S2，在坐标系中表示出S1S2. x0解析 容易作出M（a,b）在由不等式组 y0 确定的平面区域内的面积为S1. x+y2见（图1）a0设 可化为 由题意得 b0 代入方程a+b2 xy组得可行域 x+y0， x2由此可确定N（a+b,a-b）的平面区域内的面积为S2，（见图2）S2S2为图中阴影部分（见图3）.2.线性规划与向量的交汇向量的另一种表示式“坐标表示式”的出现，与线性

10、规划的交汇显得自然.例10 ，=（0，1），则满足条件01,01的动点P的变动范围（图4中阴影部分，含边界）是解析 设点P的坐标P（x，y），则由已知得0（x，y）（1，）1，0（x，y）（0，1）1即0x+y1，0y1，新的思维：线性规划.因此动点P的变化范围是A中的阴影部分且包括边界，选A.可见线性规划问题中的可行域，是解决线性规划问题的基础，但它并不光是求线性目标函数z=ax+by的最大值或最小值问题，它的应用是广泛的.3.线性规划与函数中的“恒成立”交汇例11 f(x)=(3a-1)x+b-a,x0，1，若f(x)1恒成立，求a+b的最大值. b-a-10解析 使用数形结合思想，由已知f(x)1恒成立，可得 ，欲求a+b b+2a-20的最大值，新的思维：归结为线性规划问题.4.线性规划与概率的交汇学习了排列、组合以后学习概率，让学生去感受它在实际问题中的应用.要掌握求“概率”的思考方法，培养学生分析和解决实际问题的能力.有人认为概率相对独立，较少有交汇，其实不然.例12 在长为l的线段AB上任意地作两点L及M，求|LM|LA|的概率.图5解析 将线段AB放在数轴的正方向上，以A为原点，点B坐标为l.设点L、M的坐标分别为x、y，0xl，0y