坐标系与参数方程知识点总结与题型归纳

1、坐标系与参数方程知识点总结与题型归纳知识总结一、平面直角坐标系1. 平面直角坐标系(1) 数轴：规定了原点，正方向和单位长度的直线叫数轴.数轴上的点与实 数之间可以建立对应关系.(2) 平面直角坐标系： 定义：在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐 标系，简称为直角坐标系； 数轴的正方向：两条数轴分别置于水平位置与竖直位置， 取向右与向上的 方向分别为两条数轴的正方向； 坐标轴水平的数轴叫做x轴或横坐标轴，竖直的数轴叫做y轴或纵坐标轴， x轴或y轴统称为坐标轴； 坐标原点：它们的公共原点称为直角坐标系的原点； 对应关系：平面直角坐标系上的点与有序实数对 (x，y)之间可以建

2、立对应关系.(3) 距离公式与中点坐标公式：设平面直角坐标系中，点Pi(xi，yi)，P2(x2,y2)，线段P1P2的中点为P,填表：两点间的距离公式中点P的坐标公式|PiP2| =寸(xi x2) 2+(yi y2)2xi + x2x= 2yi + y2尸22. 平面直角坐标系中的伸缩变换x=入 x( 0)设点P(x, y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换:,的y =卩 y (p0)作用下，点P(x, y)对应到点Px(, y,)称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变 换，简称伸缩变换.二、极坐标系1极坐标系定义：在平面内取一个定点 0,叫做极点；自极点0引一条射线 Ox叫做极轴；再选定一个

3、长度单位、一个角度单位 (通常取弧度)及其正方向(通 常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系.2极坐标：(1) 极坐标的定义：设M是平面内一点，极点0与点M的距离|0M|叫做点M 的极径，记为p;以极轴Ox为始边，射线0M为终边的角xOM叫做点M的极 角，记为有序数对(p, 0)叫做点M的极坐标，记作M(p, 0).(2) 极坐标系中的点与它的极坐标的对应关系：在极坐标系中，极点 0的极坐标是(0, 0 , (0 R)，若点M的极坐标是M( p, 0，则点M的极坐标也可写成 M( p,9+ 2kn, (k Z).若规定p0, 092 n则除极点外极坐标系内的点与有序数对(p, 9之间才 是

4、一一对应关系.3. 极坐标与直角坐标的互化公式把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，且长度单位相同， 设任意一点M的直角坐标与极坐标分别为(x, y), (p, 0).x= pcos 9,p = x + y，(1)极坐标化直角坐标；(2)直角坐标化极坐标yy= pin 0W.tan 9=(x0 .x、简单曲线的极坐标方程1 曲线的极坐标方程一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程f(p, 0)=o,并且坐标适合方程f(p 9 = 0的点都在曲线C上，那么 方程f(p, 9=o叫做曲线C的极坐标方程.2.圆的极坐标方程(1)特殊情形如下表：圆心位置极

5、坐标方程图形圆心在极点(o, o)p=r（o 司2 n）圆心在点(r, o)p= 2rcos_0nn（2匹）t,0s圆心在点(r, np= 2rsin_0（o n）ai圆心在点(r, n)p= 2rcos_0n 3 n（2=92）1、亠-3 n圆心在点(r,刁)p= 2rsin_0（n 0)和 0= n+ a( p 0)/& *过点(a，0),且与nnJ V-J V-pos_ = a 2极轴垂直0”土n过点a，2，且与pin 0= a2极轴平行(0 0 n)0 *过点(a，0)倾斜角pi n( a 0= asin a为a(0 0b0)的参数方程是 的取值范围是0, 2n)2 2轴上的椭圆+器=

6、1(ab0)的参数方程是x= bcos (是参数)，规定参数的取值范围是0, 2 n )y= asin (x h) 2(y k) 2中心在(h，k)的椭圆普通方程为孑 +b2= 1,则其参数方程x= h + acos 为(是参数).y= k+ bsi n 2. 双曲线的参数方程x2 y2x= asec (1) 中心在原点，焦点在x轴上的双曲线子一1的参数方程是(y= bta n n 3 n 为参数)，规定参数的取值范围为 0，2 n且空，右.y2 x2x= bta n (2) 中心在原点，焦点在y轴上的双曲线字一1的参数方程是(y= asec 为参数).3. 抛物线的参数方程2 x= 2pt2

7、(1) 抛物线y2 = 2px的参数方程为(t为参数).y= 2pt(2) 参数t的几何意义是抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的 倒数.六、直线的参数方程1. 直线的参数方程X = xo+ tcos a 经过点Mo（xo, yo）,倾斜角为a的直线I的参数方程为（t为参y=yo+ tsin a数）2. 直线的参数方程中参数t的几何意义参数t的绝对值表示参数t所对应的点M到定点Mo的距离.（2）当 M0M与e（直线的单位方向向量）同向时，t取正数.当M0M与e反向时，t取负数，当M与Mo重合时，t = 0.3. 直线参数方程的其他形式对于同一条直线的普通方程，选取的参数不同，会得到不同

8、的参数方程.我们把过点Mo（xo，yo），倾斜角为a的直线，选取参数t= MoM得到的参数方程X= xo + tcos a（t为参数）称为直线参数方程的标准形式，此时的参数t有明确的几 y= yo + tsin a何意义.bx=xo+ at一般地，过点Mo（xo,yo）,斜率k=a（a,b为常数）的直线，参数方程为ay=yo+ bt（t为参数）,称为直线参数方程的一般形式，此时的参数t不具有标准式中参数的几何意义.题型归纳题型一：极坐标与直角坐标的互化。互化原理（三角函数定义）、数形结合。x 3 t1 .在直角坐标系xOy中，直线I的参数方程为（t为参数），以O为极y 1 t点，x轴的非负半轴

9、为极轴建立极坐标系，并在两种坐标系中取相同的长度单位，曲线C的极坐标方程为2cos 0 .（1）把曲线C的极坐标方程化为普通方程;（2）求直线I与曲线C的交点的极坐标（0,0试题解析：（1 ）由 2cos 0得 2 cos，两边同乘以 ，得x2 y2 2x ; （2 ）由直线1的参数方程为；i3tt（ t为参数）得直线的普通方程为x1x2x y 2 0，联立曲线C与直线I的方程得，或，化为极坐标为y1y 0（、2，L）或 （2,）.4考点：极坐标方程与直角坐标方程的互化，直线参数方程与普通方程的互化 考点： cos x, sin2 .在极坐标系中，设圆C经过点J3,，圆心是直线 sin 63与

10、极轴的交点，求圆C的极坐标方程.试题解析:转化为直角坐标为:2仝的直角坐标方程为:2.3x y .30它与x轴的交点也就是圆心为1,0 所以2 2所以圆的方程为x 1y21，得 x2y22x 0所以，圆的极坐标方程为:2cos法二：因为圆心为直线 sin.2sin 一3与极轴的交点，所以令0,得即圆心是1,0又圆C经过点气，圆的半径r圆过原点，圆C的极坐标方程是2cos .考点：(1 )转化为直角坐标，求出所求方程，再转化为极坐标；(2)先求圆心坐标，再运用余弦定理求半径，最后借助过原点写出圆的极坐标 方程题型二：曲线(圆与椭圆)的参数方程。(1)普通方程互化和最值问题。“ 1 ”的代换(co

11、ssin21)、三角解决x 2cos3 .已知曲线C的参数方程是 2cos ,(为参数)，以坐标原点为极点，x轴的 y sin正半轴为极轴建立极坐标系，A,B的极坐标分别为A(2, ),B(2,).3(I)求直线AB的直角坐标方程；(U)设M为曲线C上的点，求点M到直线AB距离的最大值.试题解析：(I)将 A、B 化为直角坐标为 A(2cos ,2sin ), B(2cos,2si n )， 33即 A( 2,0), B( 1,3)，kAB 3 -3，1 2 直线AB 的方程为 y 02)，即 3x y 2 3 0 .(U)设M(2cos ,sin )，它到直线AB的距离为2 3cos sin

12、 2 3213sin() 2 3(其中 tan2,3 )，d max13 2 32考点：1.椭圆的参数方程；2.点到直线的距离公式；3.三角函数求最值.x|t 2,45( t 为5参数）.设直线I与x轴的交点是M , N是曲线C上一动点，求MN的最大值.试题解析：曲线C的极坐标方程可化为2 sin2 2 2又 x y , x cos , ysin4 .已知曲线C的极坐标方程是 2sin ，直线I的参数方程是2 2所以曲线C的直角坐标方程为x y 2y将直线1的参数方程化为直角坐标方程，得y 4(x 2)令y 0，得x 56、5 1考点：极坐标化为直角坐标，参数方程化为普通方程，直线与圆位置关系

13、t 5 .已知在平面直角坐标系xOy中，直线I的参数方程是 L（t是参y 虫 t 42数），以原点0为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C的极坐标方程为 2cos. （1 ）判断直线I与曲线C的位置关系；（2）设M为曲线C上任意一点，求x y的取值范围.试题解析：（1）直线I的普通方程为x y 4、2 0，即M点的坐标为（2，又曲线C的圆心坐标为（1，0）， 半径r 1，则MC 屁，所以MN w MC法二：设N的坐标为cos ,1 sin2所以 |MN| J cos 2(1 sin )2曲线c的直角坐标系下的方程为x#2 y乎因为圆心子，子到直线 2y 1 y 4 2 0的距离为d所以

14、直线I与曲线C的的位置关系为相离.(2)设点 M 2 cos ,2 sin ，2 2则 x y cos sin 2sin 7.2.2 .考点：直线与圆的参数方程和圆的极坐标方程6 已知平面直角坐标系xOy，以0为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，p点的极坐标为x 2cos2- 3,），曲线C的参数方程为一6yV3 2sin（为参数）.（1）写出点P的直角坐标及曲线C的直角坐标方程;（2）若Q为曲线C上的动点，求PQ中点M到直线I :cos 2 sin距离的最小值.试题解析：（1）点P的直角坐标（3, 3），由yx 2cos3 2sin，得 x2 (y所以曲线C的直角坐标方程为x2(y 3

15、)24.（2）曲线C的参数方程为2cos、3 2sin（为参数），直线I的普通方程为设 Q(2cos3则 m(3 cos，sin），那么点M到直线I的距离|3 cos d -22s in 1|J5所以点M到直线I的最小距离为 1.2考点：1、极坐标和直角坐标的互化；2、参数方程和普通方程的互化；3、点到 直线的距离.(2)公共点问题。联立求解判别式，直线与圆d与r。x - 3 cos sin7 .在直角坐标系中曲线M的参数方程为厂2 (为y 2 3sin cos 2sin 2参数)若以直角坐标系中的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系， 曲线N的极坐标方程为 sin()-t .42(1

16、)求曲线M的普通方程和曲线N的直角坐标方程;试题解析：(1)由x3 cossin 得x 得辽 sin 2 cos 2，( . 3 cos2sin )22cos2、, 3 si n cos 1，又由 y 2、-3sincos2sin2 2 2 2所以 sin cos t， 所以曲线N的直角坐标方程为x (2)当直线N过点(2,3)时，与曲线M有公共点，此时tx y t2 得 2 3sin cosy 2sin22(2)若曲线M与曲线N有公共点，求实数t的取值范围.1，所以曲线M的普通方程为x2y 1，即 y x2又易知x 2,2，二曲线M的普通方程为yx21， x2,2 .由sin(匸)5，从该位

17、置向左下1 4(1 t)，令 1 4(1 t) 0 ,解得 t打5，所求实数t的取值5范围是 ,5 .4考点：1、参数方程与普通方程的互化；2、极坐标方程与直角坐标方程的互化;3、直线与抛物线的位置关系.xOy取相同的8.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为xa 3t,（t为参数）.在极坐标系（以原点0为极点，以x轴非负半轴为极轴，且与直角坐标系长度单位）中，圆c的方程为4cos（I）求圆C的直角坐标方程;（U）若直线I与圆C相切，求实数a的值.试题解析:（I）由 4cos24 cosx2y2 4x (x 2)2 y2圆C的直角坐标方程为（X 2）2 2.y 42 2(或x y 4x 0)

18、;（U）直线l的参数方程为xya 、3t,t圆C的圆心为C（2，），半径r 由直线l与圆C相切，得詔考点：简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程.9 .在极坐标系中，直线I的极坐标方程为-2 sin- mm4R ，以极点为原点极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线C的参数方程为x 、3cos（为参数，且0,）.y sin（1）写出直线I的直角坐标方程和曲线C的普通方程;（2）若直线I与曲线C有两个公共点，求m的取值范围.题型三：直线参数方程t的几何意义）。定点到动点的距离试题解析：（1）由直线l的极坐标方程得：、2 sin cos cos sin- m，44即直线1的直角坐标方程为:y

19、xm，由曲线C的参数方程 xa/3 cos (为参数，且0,).ysin2 2得：x得: 32 x2yy31,y0,1(2 )设曲线C上任意一点为J . 3 cos,sin，则m sin.3 cos2sin370,Q直线l与曲线C有两个公共点，m、3,2 .考点：极坐标系，参数方程，直角坐标方程的转换.定标图号联、韦达三定理x-ix2x1x2x(x210 .在直角坐标系xOy中，直线I的参数方程为1 222（t为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点0为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的极坐标方程为2.5sin .（1）求圆C的直角坐标方程；（2） 设圆C与直线I交

20、于点A,B，若点P的坐标为（1,75），求|PA |PB .试题解析：（1）由 2-、5sin ，得 x2 y2 2 5y 0，即 x2 （y ；5）25.(2)将I的参数方程代入圆C的直角坐标方程,得(1 t)2 ( 2t)25,2 2即 t2 、,2t 4 0.由于 0，故可设右花，是上述方程的两实根,所以tl t2tl t2又直线I过点p(i,、5)，故由上式及t的几何意义得PA| |PB| 材 |ti t2考点：1曲线的极坐标方程和普通方程的转化；2直线的参数方程的应用.11 在直角坐标系xoy中，过点P(i, 2)的直线I的斜率为1，以坐标原点为极 点，X轴正半轴为极轴建立极坐标系，

21、曲线 C的极坐标方程为 sin2 2cos 直线I和曲线C的交点为A, B (1) 求直线I的参数方程；(2) 求 |PA|PB|J2试题解析：(I)由条件知，直线I的倾斜角 45，所以cos sin -.2设点M (x,y)是直线I上的任意一点，点P到点M的有向向量为t，2(“)曲线C的直角坐标方程为/ 2x,由此得(2子t)2 2(1 l2t),即 t2 6 2t 4 0.设t1,t2为此方程的两个根，因为I和C的交点为A, B ,所以Lt分别是点代B所对应的参数，由韦达定理得 PA PB = |tit4考点：简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程12 在直角坐标系xOy中，以原点为0

22、极点，以x轴正半轴为极轴，圆C的极坐标方程为4-.2cos( ).4(1)将圆C的极坐标方程化为直角坐标方程;11PB的值.试题解析：(1)由 4-、2sin(3)，可得 4cos 4sin42 2 24 cos 4 sin ，二x y 4x 4y，即(x22)(y22)(2)过点P(0,2)作斜率为.3的直线I的参数方程为(t为参数).2 2 2代入(x 2) (y 2)8得t 2t 40，设点代B对应的参数分别为t1,t2，则t1t24.由t的几何意义可得tit2ti |t2t1 t2|t1t2(2)过点P(2,0)作斜率为1直线I与圆C交于代B两点，试求-pAPA, PB .)(注：此题

23、也可直接求A, B两点坐标，再用两点间的距离公式求出考点：1.曲线的极坐标方程、参数方程和普通方程的转化；2.直线与圆的位置关系.x 1 t cos13 在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，在极y 2 tsin坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点0为极点，以x轴非负 半轴为极轴）中，圆C的方程为 6sin（1）求圆C的直角坐标方程；（2）若点P 1,2，设圆C与直线I交于点A,B，求|PA |PB的最小值.试题解析：（1）由 6sin得2 6 sin ，化为直角坐标方程为x2 y2 6y， 即 x2y 3 $ 9 ；（2）将I的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得t2 2 cos sin