三角恒等变换、正余弦定理及应用5—7讲

1、第 5 讲 两角和与差的正弦、余弦和正切【2013 年高考会这样考】1考查利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式进行三角函数式的化简与求值2利用三角公式考查角的变换、角的范围【复习指导】本讲复习应牢记和、差角公式及二倍角公式，准确把握公式的特征，活用公式 (正用、逆用、变形用、创造条件用 )；同时要掌握好三角恒等变换的技巧，如变换角的技巧、变换函数名称的技巧等基础梳理1两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)C()： cos( )cos_cos_ sin_sin_；(2)C()： cos( )cos_cos_ sin_sin_；(3)S()：sin() sin_cos_cos_sin_；

2、(4)S()：sin() sin_cos_cos_sin_；tan tan (5)T()：tan()；tan tan (6)T()：tan().1tan tan 2 二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)S2：sin 2 2sin_cos_；(2)C2 ：cos 2cos2sin22cos2112sin2；2tan (3)T2：tan 22.1 tan 3 有关公式的逆用、变形等(1)tan tan tan()(1?tan_tan_)；(2)cos21cos 21cos 22，sin22；(3)1sin 2 (sin cos )2,1 sin 2(sin cos )2，sin cos 2sin .

3、44函数 f() acos bsin (a，b 为常数 )，可以化为 f()a2 b2sin( )或 f()a2 b2cos()，其中 可由 a，b 的值唯一确定两个技巧(1)拆角、拼角技巧： 2 ( )()； ( )； 2 2 ； 2 2 2.(2)化简技巧：切化弦、 “1”的代换等三个变化(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、 “逆用变用公式”、 “通分约分”、 “

4、分解与组合”、 “配方与平方”等双基自测1 (人教 A 版教材习题改编 )下列各式的值为1的是 ()422A 2cos 121B12sin752tan 22.5C.1tan222.5 D sin 15 cos 15 23232tan 22.5 解析 2cos1cos 2；12sincos 1502；126751 tan222.5 11tan 45 1； sin 15 cos 15 sin 30 .24答案 Dsin 22 (2011 福建 )若 tan 3，则2的值等于 ()cos A 2B3C4D 6解析sin 2 2sin cos 22 2tan a236，故选 D.coscos答案 D2

5、3已知 sin 3，则 cos(2)等于 ()5115A 3B9C.9D. 3解析 cos(2) cos2 (1 2sin22 411)2sin1 299.答案 B14 (2011 辽宁 )设 sin 4 3，则 sin 2( )7117A9B 9C.9D.921 27241解析 sin 2 cos 22sin1239.答案 A5 tan 20 tan 40 3tan 20tan40 .tan 20 tan 40 解析 tan 60 tan(20 40) ，1tan 20 tan 40 tan 20tan 40tan 60(1 tan 20 tan 40 )33tan 20 tan 40原式，

6、33tan20tan 40 3tan 20 tan 403.答案3考向一三角函数式的化简421【例 1】 ?化简2cos x2cos x2.22tan 4 x sin4x 审题视点 切化弦，合理使用倍角公式2sin2xcos2x1解 原式222sin 4x cos4xcos 4x12122 1sin 2x2cos 2x12cos 2x.2sin 4 x cos 4xsin 22x三角函数式的化简要遵循“三看”原则：(1)一看“角”，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；(2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式；(3)三看“结构特征”，分析结构特

7、征，找到变形的方向【训练 1】 化简： sin cos 1sin cos 1 .sin 2 2 22sin2cos2 2sin 22sin2cos2 2sin 2解 原式4sin 2cos 2cos cos2sin 2cos2sin2 sin2cos2cos cos22 sin22 sin2cos sin 2tan2.cos2cos cos 2cos 考向二 三角函数式的求值12【例 2】 ?已知 02，且 cos 2 9， sin 2 3，求 cos()的值 审题视点 拆分角：222，利用平方关系分别求各角的正弦、余弦解 02 ， 422，42，2 5cos 21sin2 3 ，sin 1

8、cos2 45，229 cos2 cos 2 2cos 2 cos 2 sin 2 sin 21545275 9 3 9 327 ，2495239cos() 2cos2 127291729.三角函数的给值求值，关键是把待求角用已知角表示：(1)已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和或差(2)已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍的关系”或“互余互补”关系【训练2】 已知 ，410，2 ，sin 5，tan() 3，求cos 的值解 ， 0，2， 22，1又 tan()30，2 0.211tan2 10cos ()9 .310，sin() 10cos()1010 .43又 sin 5， c

9、os 5. cos cos( ) cos cos()sin sin( )3310410105105 1010.考向三 三角函数的求角问题113【例 3】 ?已知 cos 7， cos()14，且 02，求 . 审题视点 由 cos cos( ) 解决13解 0 ， 02.又，2cos()14cos 1， ，722 4 3 sin 1cos 7sin()1cos233， 14cos cos( ) cos cos()sin sin( )11343331714714 2.02.3.通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，遵照以下原则：已知正切函数值，选正切函数；已知正、余弦函数值，选正弦或余弦

10、函数；若角的范围是0，2 ，选正、余弦皆可；若角的范围是 (0，)，选余弦较好；若角的范围为 2，2 ，选正弦较好【训练 3】 已知 ， 2，2 ，且tan ，tan 是方程2x33x 4 0 的两个根，求 的值解 由根与系数的关系得：tan tan 3 3，tan tan 4，tan 0，tan 0， 0.tan tan 3 3又 tan()3.1 tan tan 1 42 3 .考向四 三角函数的综合应用【例 4】 ?(2010 北京 )已知函数 f(x)2cos 2x sin2x.(1)求 f 3 的值；(2)求 f(x)的最大值和最小值 审题视点 先化简函数 yf(x)，再利用三角函数

11、的性质求解解 (1)f 2cos sin233323 1 14 4.(2)f(x)2(2cos2x1) (1cos2x) 3cos2 x 1， x R. cos x 1,1，当 cos x 1 时， f(x)取最大值 2；当 cos x0 时， f(x)取最小值 1.高考对两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式的考查还往往渗透在研究三角函数性质中需要利用这些公式，先把函数解析式化为 yAsin(x)的形式，再进一步讨论其定义域、值域和最值、单调性、奇偶性、周期性、对称性等性质【训练 4】 已知函数 f(x)2sin( x)cos x.(1)求 f(x)的最小正周期； (2)求 f(x)在

12、区间 6，2 上的最大值和最小值解： f(x)2sin xcos xsin 2x2(1)f(x)的最小正周期 T 2 .(2) 6 x 2， 32x.3 2 sin 2x 1.3f(x)的最大值为 1，最小值为2 .难点突破 10 三角函数求值、求角问题策略面对有关三角函数的求值、化简和证明，许多考生一筹莫展，而三角恒等变换更是三角函数的求值、求角问题中的难点和重点，其难点在于：其一，如何牢固记忆众多公式，其二，如何根据三角函数的形式去选择合适的求值、求角方法一、给值求值一般是给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如 ( )，2 ()( )等，把所求角用

13、含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论【示例】 ? (2011 江苏 )已知tantan xx4 2，则 tan 2x的值为 _二、给值求角“给值求角”：实质上也转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角【示例】 ? (2011 南昌月考)已知11tan()2，tan 7，且 ，(0，)，求2的值三角恒等变换与向量的综合问题(教师备选 )两角和与差的正弦、余弦、正切公式作为解题工具，是每年高考的必考内容，常在选择题中以条件求值的形式考查近几年该部分内容与向量的综合问题常出现在解答题中，并且成为高考的一个新考查方向【示例】?

14、(2011 温州一模 )已知向量 a(sin ，2)与 b(1，cos )互相垂直，其中 0， 2 .(1)求 sin 和 cos 的值；(2)若 5cos( )35cos ，02，求 cos 的值第 6 讲 正弦定理和余弦定理【2013 年高考会这样考】1考查正、余弦定理的推导过程2考查利用正、余弦定理判断三角形的形状3考查利用正、余弦定理解任意三角形的方法【复习指导】1掌握正弦定理和余弦定理的推导方法2通过正、余定理变形技巧实现三角形中的边角转换，解题过程中做到正余弦定理的优化选择基础梳理abc1正弦定理： sin Asin Bsin C2R，其中 R 是三角形外接圆的半径由正弦定理可以变

15、形为：(1)abcsin Asin Bsin C；(2)a2Rsin_A，b2Rsin_B， c 2Rsin_C；abc(3)sin A2R，sin B2R， sin C 2R等形式，以解决不同的三角形问题2余弦定理： a2b2 c22bccos_A，b2 a2c2 2accos_B，c2a2 b22abcos_C余弦定理可以变形为： cos Ab2c2 a22 c2b22b2 c22bc，cos Ba2ac，cos C a2ab.111abc1是三角形外接圆半径， r 是三3 S ABC2absin C2bcsin A2acsin B4R2(abc) r(R角形内切圆的半径 )，并可由此计算

16、 R，r .4已知两边和其中一边的对角，解三角形时，注意解的情况如已知a，b，A，则A 为钝角或A 为锐角直角图形关系absin Aabsin Absin Aababa bab式解的无解一解两解一解一解无解个数一条规律在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在 ABC 中， A B?ab?sin A sin B.两类问题在解三角形时，正弦定理可解决两类问题： (1)已知两角及任一边，求其它边或角； (2)已知两边及一边的对角，求其它边或角情况 (2)中结果可能有一解、两解、无解，应注意区分余弦定理可解决两类问题： (1)已知两边及夹角求第三边和其他两角；

17、 (2)已知三边，求各角两种途径根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：(1)化边为角； (2)化角为边，并常用正弦 (余弦 )定理实施边、角转换双基自测1 (人教 A 版教材习题改编 )在 ABC 中， A60，B75，a10，则 c 等于 ()A5 2B102C.10 63D5 6解析 由 A B C180，知 C 45，a c由正弦定理得： sin A sin C，10c10 6即 .c3.3222答案 C2在 ABC 中，若 sin Acos B，则 B 的值为 ()abA30B45C60D90解析 由正弦定理知：sin A cos B， sin Bcos B， B 45.sin

18、 Asin B答案 B3 (2011 郑州联考 )在 ABC 中， a3， b 1， c2，则 A 等于 ( )A30B45C60D75b2 c2a21 314解析 由余弦定理得： cos A2bc2 2，120A， A60.答案 C14在 ABC 中， a 3 2，b23， cos C3，则 ABC 的面积为 ()A33B23C43D.31解析 cos C3，0C ， sin C2 3 2，1SABC2absin C12223 22 3343.答案 C已知ABC三边满足2b2 c2 3ab，则此三角形的最大内角为 _5a解析 a2 b2c23ab，cos Ca2 b2c232ab2 ，故 C

19、150为三角形的最大内角答案 150考向一利用正弦定理解三角形【例 1】 ?在 ABC 中， a3，b2，B45.求角 A，C 和边 c. 审题视点 已知两边及一边对角或已知两角及一边，可利用正弦定理解这个三角形，但要注意解的判断解 由正弦定理得ab，32，sin Asin Bsin Asin 45sin A32 .ab， A60或 A120.当 A60时， C180456075，bsin C6 2c sin B2；当 A120时， C 18045 12015，bsin C6 2c sin B2.(1)已知两角一边可求第三角，解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可(2)已知两边和一边对角

20、，解三角形时，利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角，这是解题的难点，应引起注意【训练 1】 (2011 北京 )在 ABC 中，若 b 5， B4，tan A2，则 sin A _；a_.解析 因为 ABC 中， tan A2，所以 A 是锐角，且cossin AA2，sin2Acos2A1，2 5联立解得 sin A 5 ，a b再由正弦定理得 sin A sin B，代入数据解得 a 2 10.答案252105考向二 利用余弦定理解三角形cos Bb【例 2】 ?在 ABC 中， a、b、c 分别是角A、B、C 的对边，且 cos C2ac.(1)求角 B 的大小；(2)若 b13，

21、ac4，求 ABC 的面积 审题视点 cos Bb，利用余弦定理转化为边的关系求解由 cos C2ac2c2b2解 (1)由余弦定理知： cos B a2ac，a2b2 c2cos C2ab.cos Bb将上式代入 cos C 得：2aca2 c2b22abb，2ac222ab cc2a整理得： a2c2 b2 ac.cos Ba2 c2b2 ac12ac 2ac 2.2B 为三角形的内角， B3.(2)将 b13，ac4，2222B 3代入 b a c 2accos B，得 b2 (ac)22ac2accos B，113 162ac 1 2 ， ac3.1acsin B33SABC4.2(1

22、) 根据所给等式的结构特点利用余弦定理将角化边进行变形是迅速解答本题的关键(2)熟练运用余弦定理及其推论，同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运用【训练 2】 (2011 桂林模拟 )已知 A，B，C 为 ABC 的三个内角， 其所对的边分别为a，b，c，2 A且 2cos 2cos A0.(1)求角 A 的值；(2)若 a 2 3，bc4，求 ABC 的面积2 A解 (1)由 2cos 2cos A 0，得 1cos Acos A 0，即 cos A 1，20A， A23 .(2)由余弦定理得，a2 b2c2 2bccos A，A2，3则 a2 (bc)2bc，又 a23，b c 4

23、，有 1242bc，则 bc4，1故 S ABC 2bcsin A3.考向三 利用正、余弦定理判断三角形形状2222【例 3】 ?在 ABC 中，若 (a b )sin(AB) (a b )sin C，试判断 ABC 的形状解 由已知 (a2b2)sin(AB) (a2b2 )sin C，得 b2sin(AB)sin C a2sin Csin(A B) ，即 b2sin Acos Ba2cos Asin B，即 sin2Bsin Acos Bsin2Acos Bsin B，所以 sin 2Bsin 2A，由于 A， B 是三角形的内角故 02A2， 0 2B2.故只可能 2A2B 或 2A2B

24、，即 AB 或 AB2.故 ABC 为等腰三角形或直角三角形判断三角形的形状的基本思想是；利用正、余弦定理进行边角的统一即将条件化为只含角的三角函数关系式，然后利用三角恒等变换得出内角之间的关系式；或将条件化为只含有边的关系式，然后利用常见的化简变形得出三边的关系【训练3】 在 ABC 中，若abccos Acos Bcos C；则 ABC 是()A 直角三角形B等边三角形C钝角三角形D等腰直角三角形解析 由正弦定理得 a2Rsin A， b 2Rsin B，c 2Rsin C(R 为 ABC 外接圆半径 ) sin A sin B sin C cos Acos Bcos C.即 tan At

25、an Btan C， ABC.答案 B考向三正、余弦定理的综合应用【例3】 ?在 ABC 中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知c2，C3.(1)若 ABC 的面积等于3，求 a， b；(2)若 sin Csin(BA) 2sin 2A，求 ABC 的面积 审题视点 第 (1)问根据三角形的面积公式和余弦定理列出关于a，b的方程，通过方程组求解；第 (2)问根据 sin Csin(BA)2sin 2A 进行三角恒等变换，将角的关系转换为边的关系，求出边 a，b 的值即可解决问题解 (1)由余弦定理及已知条件，得a2 b2ab 4.又因为 ABC 的面积等于3，所以1a2b2 ab4

26、，2absin C3，得 ab4，联立方程组 ab 4，a2，解得b2.(2)由题意，得 sin(BA) sin(B A)4sin Acos A，即 sin Bcos A2sin Acos A. 当 cos A0，即 A2时， B 6， 43，b23；a33当 cos A0 时，得 sin B 2sin A，由正弦定理，得b2a.a2b2 ab4，联立方程组b 2a，2 3a 3 ，解得4 3 b 3 .所以 ABC 的面积 S1232a bsin C3 .正弦定理、余弦定理、三角形面积公式对任意三角形都成立，通过这些等式就可以把有限的条件纳入到方程中， 通过解方程组获得更多的元素， 再通过这

27、些新的条件解决问题【训练 3】 (2011 北京西城一模 )设 ABC 的内角 A，B，C 所对的边长分别为 a，b，c，且 cos4B 5， b 2.(1)当 A30时，求 a 的值；(2)当 ABC 的面积为 3时，求 ac 的值43解 (1)因为 cos B5，所以 sin B5.由正弦定理a b，可得a 10，sin Asin Bsin 3035所以 a 3.13(2)因为 ABC 的面积 S2acsin B，sin B5，3所以 10ac3，ac 10.由余弦定理得 b2a2 c22accos B，2282222得 4a c5aca c16，即 a c20.所以 (a c)22ac

28、20，(a c)240.所以 a c210.阅卷报告 4 忽视三角形中的边角条件致错【问题诊断】考查解三角形的题在高考中一般难度不大，但稍不注意，会出现“会而不对，对而不全”的情况，其主要原因就是忽视三角形中的边角条件.,【防范措施】 解三角函数的求值问题时，估算是一个重要步骤，估算时应考虑三角形中的边角条件 .【示例】?(2011 安徽 ) 在 ABC 中，a，b，c 分别为内角 A，B，C 所对的边长， a 3，b 2，1 2cos(B C)0，求边 BC 上的高错因 忽视三角形中“大边对大角”的定理，产生了增根实录 由 1 2cos(BC)0，1知 cos A2， A3，a b根据正弦定

29、理 sin Asin B得：bsin A2 3sin Ba2， B4或 4 .以下解答过程略正解 在 ABC 中， cos(B C) cos A，12cos(BC)1 2cos A0， A 3.a b在 ABC 中，根据正弦定理 sin A sin B，sin Bbsin A2a2 .5ab， B4， C (AB)12. sin Csin(BA) sin Bcos Acos Bsin A21236 2.422226231BC 边上的高为 bsin C2.42【试一试】(2011 辽宁 ) ABC 的三个内角 A，B， C 所对的边分别为 a，b，c，asin Asin Bbcos2 A2a.b

30、(1)求 a；(2)若 c2b2 3a2，求 B. 尝试解答 (1) 由正弦定理得，sin2Asin Bsin Bcos2A 2sin A，即sin B(sin2Acos2A) 2sin A.故 sin B 2sin A，所以 b 2.a222，得 cos B1 3 a(2)由余弦定理和 c b 3a2c.由(1)知 b2 2a2，故 c2 (2 3)a2.可得 cos2B12，又 cos B 0，故 cos B 22，所以 B45.第 7 讲正弦定理、余弦定理应用举例【 2013 年高考会这样考】考查利用正弦定理、余弦定理解决实际问题中的角度、方向、距离及测量问题【复习指导】1本讲联系生活实

31、例，体会建模过程，掌握运用正弦定理、余弦定理解决实际问题的基本方法2加强解三角形及解三角形的实际应用，培养数学建模能力基础梳理1用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等2实际问题中的常用角(1) 仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图 (1) (2) 方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B 点的方位角为 (如图 (2) (3)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30，北偏西 45，西偏东 60等(4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数一个步骤解三角形应用题

32、的一般步骤：(1) 阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系(2) 根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型(3) 根据题意选择正弦定理或余弦定理求解(4) 将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等两种情形解三角形应用题常有以下两种情形(1) 实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解(2) 实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组 )，解

33、方程 (组) 得出所要求的解双基自测数学 1618为您分享此文档，更多高质量素材尽在数学16181( 人教 A 版教材习题改编 )如图，设 A，B 两点在河的两岸， 一测量者在 A 所在的同侧河岸边选定一点C，测出 AC 的距离为 50 m， ACB 45， CAB 105后，就可以计算出A， B 两点的距离为 ()A 50 2 m B 50 3 m C 25 2 m D.25 2 m2解析 由正弦定理得AB AC ，又 B 30sin ACBsin B2 ABAC sinACB 50 2 50 2(m) sin B12答案A2从 A 处望 B 处的仰角为 ，从 B 处望 A 处的俯角为，则

34、， 的关系为A B C 90D 180解析根据仰角与俯角的定义易知 .()答案B3若点 A 在点 C 的北偏东 30，点 B 在点 C 的南偏东60，且 ACBC，则点 A 在点 B 的 ()A 北偏东15B 北偏西15C北偏东10D 北偏西10解析如图答案B4一船向正北航行，看见正西方向相距10 海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60，另一灯塔在船的南偏西75，则这艘船的速度是每小时()A5 海里B 53海里C 10 海里解析如图所示，依题意有D 103海里BAC 60， BAD 75，所以CAD CDA 15，从而CD CA10(海里 )，在 Rt

35、 ABC 中，得 AB 5(海里 ) ，于是这艘船的速度是05.5 10(海里 / 时 )答案C5海上有A， B， C 三个小岛，测得A， B 两岛相距10 海里，BAC 60，ABC75，则B， C间的距离是 _海里解析由正弦定理，知BCABsin 60sin?180 60 75 ?.解得 BC 56(海里 )答案5 6考向一测量距离问题【例 1】 ?如图所示，为了测量河对岸 A， B 两点间的距离，在这岸定一基线 CD ，现已测出 CD a 和 ACD 60， BCD 30， BDC 105， ADC 60，试求 AB 的长 审题视点 在 BCD 中，求出BC，在 ABC 中，求出AB.解 在 ACD 中，已知 CD a， ACD 60， ADC 60，所以 AC a. BCD 30， BDC 105 CBD 45在 BCD 中，由正弦定理可得 BC asin 105 31a.sin 452在 ABC 中，已经求得AC 和 BC，又因为 ACB30，所以利用余弦定理可以求得A，B 两点之间的距222离为 AB AC BC 2AC BC cos 30 2 a.(1) 利用示意图把已知量和待求量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解三角形的模型(2)利用正、余弦定理解出所需要的边和角，求得该数学模型的解【训