2.5.1 平面几何的向量方法

1、授课老师：张晴向量数量积的坐标表示向量数量积的坐标表示向量模的计算向量模的计算平面内两点间的距离公式平面内两点间的距离公式向量垂直的充要条件向量垂直的充要条件综合方法综合方法不使用其他工具，对几何元素及不使用其他工具，对几何元素及其关系直接进行讨论；其关系直接进行讨论；解析方法解析方法以数（代数式）和数（代数式）以数（代数式）和数（代数式）的运算为工具，对几何元素及其关系进行讨论；的运算为工具，对几何元素及其关系进行讨论；向量方法向量方法以向量和向量的运算为工具，对以向量和向量的运算为工具，对几何元素及其关系进行讨论；几何元素及其关系进行讨论；分析方法分析方法研究几何可以采用不同的方法例例1

2、1 平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型?,ADABBD,ADABAC邻邻边边长长度度之之间间的的关关系系吗吗形形对对角角线线的的长长度度与与两两条条你你能能发发现现平平行行四四边边 BADC分析分析baADAB,令,babaDBAC2222 ,baADAB涉及长度问题常常考虑向量的数量积涉及长度问题常常考虑向量的数量积BADC解：解： babaACACAC2bbabbaaa 222bbaa 2222bbaaBD+ + 2 2222222ADABBDACba平行四边形两条对角线的平方平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍和等于两条邻边平

3、方和的两倍222222BDACDACDBCAB“三步曲三步曲” 1.建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； 2.通过向量运算，研究几元素之间的关系，如距离、夹角等问题； 3.把运算结果“翻译”成几何关系即：形到向量即：形到向量 向量的运算向量的运算 向量和数到形向量和数到形ADCBEFRT 例例2 2 如图如图, ,连接连接ABCDABCD的一个顶点至的一个顶点至ADAD、DCDC边边的中点的中点E E、F,BEF,BE、BFBF分别与分别与ACAC交于交于R R、T T两点两点, ,你能你能发现发现ARAR、RTRT、TCTC之间的关系吗？之

4、间的关系吗？分析分析: :由于由于AR,RT,TCAR,RT,TC在在ACAC上上, ,只要判断只要判断AR,RT,TCAR,RT,TC与与ACAC的关系的关系.,之间的关系即可判断ACATARAD与解解: :batrbaACATARADAB则设,“转化转化”“运算运算”Rnn, bar设ba21AEABEBRmmEBmER,21 ba设ERAEAR ERAEAR babr2121mADCBEFRT利用实数与向量利用实数与向量的积证明共线、的积证明共线、平行、长度问题平行、长度问题babba2121mn0ba21mnmn0210mnmn31 mnACATACAR32 ,31TCRTARADCB

5、EFRT证明直径所对的圆周角是直角证明直径所对的圆周角是直角A AB BC CO O如图所示，已知如图所示，已知O O，ABAB为直径，为直径，C C为为O O上任意一点。求证上任意一点。求证ACB=90ACB=90分析：要证分析：要证ACB=90ACB=90，只须证向，只须证向量量 即即 。CBAC 0CBAC解：设解：设 则则 ，由此可得：由此可得：bOCaAO ,baCBbaAC,babaCBAC2222baba022rr即即 ，ACB=90ACB=900CBAC思考：能否思考：能否用向量坐标用向量坐标形式证明？形式证明？NoImageab 如图如图, ,ADAD、BEBE、CFCF是是

6、ABCABC的三条高的三条高. .求证：求证：ADAD、BEBE、CF CF 相交于一点相交于一点. .FABCDEABCDEH分析：分析：设设ADAD与与BEBE交于交于H H，只要证，只要证CHABCHAB，即高即高CFCF与与CHCH重合，即重合，即CFCF过点过点H H只须证只须证CHAB 由此可设由此可设aBCbCApCH如何证如何证 ？0ABp 利用利用ADBCADBC，BECABECA，对应向量垂直。，对应向量垂直。0apab0apb)(BCHA00)(bpabbpaCABH0)(0bapbpapBACHBACH0解：解：设设AD与与BE交于交于H，aBCbCApCH0(apab0ap)bBCHA0bpab0bp)(aCABH0b)(ap0bpapBACHBACH0即高即高CF与与CH重合重合,CF过点过点H,AD、BE、CF交于一点交于一点（1 1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；问题；（2 2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，）通过向量运