第三章复变函数的积分(与实函数中二型线积分类比)

1、第三章第三章 复变函数的积分复变函数的积分（与实函数中二型线积分类比与实函数中二型线积分类比）3.1 复积分的概念线积分线积分复积分复积分,ccF x yM x y iN x y jdrdxidyjF drMdxNdy ,ccf zu x yiv x yzxiy dzdxidyf z dzuivdxidyccudxvdyivdxudy ,F x ty trt dt ,f x ty tz t dt xx ttyy t 一个复积分的实质是一个复积分的实质是两个实二型线积分两个实二型线积分 ,A xy ,B xydxdycdrdz复积分存在的一个充分条件：复积分存在的一个充分条件：连续，的曲线上在逐

2、段光滑设函数Cyxivyxuzf),(),()( .f z dzc则必存在连续，连续),(),()(yxvyxuzf存在与CCudyvdxvdyudx( )Cf z dz存在.复积分的性质复积分的性质 ：上连续在逐段光滑的有向曲线、设Czgzf)()(1 线性性： CCCdzzgbdzzfadzzbgzaf)()()()()(为常数、baCC2 设为 的逆向曲线，则CCdzzfdzzf)()( 12123,CCCf z dzf z dzf z dzCCC4( )( )( )CCCf z dzf zdzf z dsML( )( ),f zCf zM LC(若在 上有界：为 的长度.)例题1 .C

3、z dz计算(1):Cii 的直线段；（2）C：左半平面以原点为中心逆时针方向的单位半圆周。解（1） :11zit t 线段的参数方程为 ,dzidtzitt10111011()22Cz dzt idtitdttdtii （2）参数方程为3,22ize,1iidzie dze3322222iiCz dzie dei ii可见积分与路径有关。例题2 ),Z()(I0nzzdzCn计算积分0:0rzzC解： 0:(02 ),iCzzreidzire d20)(Iniiredire21101i nniedr0,1,2,1.ni n例如 1zzdz,2 i例题3 ,811Cdzzz证明:12.Cz证明

4、： CCdzzzdzzz1111Cdzz21122CzdzCdz28 .1zzdz1zdz2例如 1zzdz练习1zzdz20diei020dei0例题4 2,Cz dz计算iC 如图所示：解：1:,0, :11Czx yx 112212;3Cz dzx dx 2:,:0iCze1C2C112220iiCz dzeie d330012.33iii ede 可见，积分与路径无关仅与起点和终点有关。2222222CCCz dzxydxxydyixydxxydyMNMN()yxyxMNuv yxyxMNvu20Cz dz 3.2 柯西积分定理定理1（Cauchy） 如果函数 f (z)在单连通域D内

5、处处解析, 则它在D内任何一条封闭曲线 C 的积分为零:( )d0.Cf zz 注1：定理中的曲线C可以不是简单曲线. 此定理成立的条件之一是曲线C要属于区域D。 注2：如果曲线C是D的边界, 函数 f (z)在D内与C上解析, 即在闭区域 D+C上解析, 甚至 f (z)在D内解析, 在闭区域D+C 上连续, 则 f (z)在边界上的积分仍然有( )d0.Cf zz 推论：如果函数 f (z)在单连通域D内处处解析, C属于D， f z dzc则与路径无关仅与起点和终点有关。于是 0zCCzf z dzfdfd F z Fzf z 0zzF zfd是解析函数。解析函数的导数仍为解析函数解析函

6、数的导数仍为解析函数特别地 1010.zzfdF zF z例如：23331133z dzz21,13 注：以上讨论中D为单连通域。内解析，在区域azDazzf01)(0211idzazaz这里D为复连通域。可将柯西积分定理推广到多连通域的情况定理定理2 假设C及C1为任意两条简单闭曲线, C1在C内部,设函数 f (z)在C及C1所围的二连域D内解析, 在边界上连续，则 1.CCf z dzf z dzC1CDAB证明：取1CAB CBA 1CABCBA10CC11CCC 这说明解析函数沿简单闭曲线积分不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值。 -闭路变形原理闭路变形原理推论（复合闭路定理）：

7、为简单闭曲线设nCCC,21(互不包含且互不相交)， 的简单闭曲线，为包含nCCCC,21nCCCCD21为由边界曲线所围成的多连通区域， 内解析，在Dzf)(则上连续在,DD0)(dzzf1( )( ).inCCif z dzf z dz或CiCD例题121,Cdzz求C 如图所示：i3ii解： 存在 f (z)的解析单连通域D包含曲线 C ，故积分与路径无关，仅与起点和终点有关。从而0,0,20, 30, 3111iiCiidzdzzz 11433iii 例题221,Cdzzz求C为包含0与1的任何正向简单闭曲线。解： 21111zzzzC1C2C0121(1)1CCCdzdzdzzzzz

8、（由闭路变形原理）211CCdzdzzz220ii(2) (由复合闭路定理)122221CCCdzdzdzzzzzzz112211CCCCdzdzdzdzzzzz0220ii0 3.3 柯西积分公式0,zD设若 f (z) 在D内解析，则000( )( )ddCz zf zf zzzzzzz闭路变形原理DC0z 00f zf z 00001()d2().z zf zzif zzz分析：分析：.定理定理 (柯西积分公式) 如果 f (z)在区域D内处处解析, C为D内的任何一条正向简单闭曲线, 它的内部完全含于D, z0为C内的任一点, 则001( )()d .2Cf zf zzizz 12Cf

9、or f zdiz-解析函数可用复积分表示。 证 由于f (z)在 z0连续, 任给e 0, 存在 (e) 0, 当 |zz0| 时, | f (z)f (z0)| e. 设以 z0为中心, R 为半径的圆周K : |zz0|=R全部在C的内部, 且R .DCKzz0R00( )( )ddCKf zf zzzzzzz0000()( )()ddKKf zf zf zzzzzzz000( )()2()dKf zf zif zzzz00( )()dKf zf zzzzd2.KsRee00|( )()|d|Kf zf zszz 002Cf zdzif zzz根据闭路变形原理, 该积分的值与R无关, 所

10、以只有在对所有的R 积分为值为零才有可能。推论1 如果C是圆周z=z0+Rei, 则柯西积分公式成为2000(e )1()e d2eiiif zRf ziRiR2001(e )d2if zR0Reif z- 一个解析函数在圆心处的值等于 它在圆周上的平均值.推论2 设 f (z)在二连域 D内解析，在边界上连续，则 100012CCf zf zf zdzdzizzzz0.zDD0zC1C例题1 CzrrzCdzzzze)2 , 1(:)2)(1(计算积分解： , 10 rCzdzzzze)2)(1(izzeizz0)2)(1(2, 21 r 21CC21)2(Czdzzzzei1)2(2zzz

11、zeiiiei32, 2r321CCC1C2C3C01232) 1(32Czdzzzzeiei2) 1(232zzzzeiieiieiei3322 3.4 解析函数的高阶导数 一个解析函数不仅有一阶导数, 而且有各高阶导数, 它的值也可用函数在边界上的值通过积分来表示. 这一点和实变函数完全不同. 一个实变函数在某一区间上可导, 它的导数在这区间上是否连续也不一定,更不要说它有高阶导数存在了.定理定理 解析函数f(z)的导数仍为解析函数, 它的n阶导数为:( )010!( )()d(1,2,)2()nnCnf zfzznizz 其中C为在函数 f (z)的解析区域D内围绕 z0的任何一条正向简

12、单曲线, 而且它的内部全含于D.证 设z0为D内任意一点, 先证n=1的情形, 即 因此就是要证0000( )()()lim,zf zzf zfzz按定义0.z 在时也趋向于零0201( )()d2()Cf zfzzizz0020( )()1( )d2()Cf zzf zf zzizzz按柯西积分公式有001( )()d .2Cf zf zzizz001( )( )d2Cf zf zzzizzz0000( )()1( )d2()( )Cf zzf zf zzzizzzzz因此0020( )()1( )d2()Cf zzf zf zzizzz20001( )1( )dd2()2()( )CCf

13、zf zzzizzizzzzz2001( )d2() ( )Czf zzIizzzzz现要证当z0时I0, 而2001( )d|2() ( )Czf zzIzzzzz2001| |( )|d2| | |Czf zszzzzz f (z)在C上连续, 则有界, 设界为M, 则在C上有| f (z) | M. d为 z0 到C上各点的最短距离, 则取 |z| 适当地小使其满足 |z| 1.CzCzzzzzd)1(e)2;d)1(cos)1225解 1) 函数 在C内的z=1处不解析, 但cosz在C内却是处处解析的. 5)1(coszz.12)(cos)!15(2d)1(cos51)4(5|izi

14、zzzzC222)(1)zCedzz 12CCC2C1C12CC212222)()()()(CzCzdzizizedzizizeizzizzizeizei22)()(2)41sin(2 i0( )RRf zCzzRC在内解析，在上连续，则)(max(!)(0)(zfMRnMzfRCnnCauchy不等式： 证明：RCnndzzzzfinzf100)()()(2!)(RCnndzzzzfnzf100)()(2!)(nnRnMRRMn!22!1注1：解析函数的导数模的估计与区域的大小有关；注2： )(max)(00zfMzfnRCLiouville定理：全平面的有界解析函数必为常数。证明：对复平面上任一点z ， RRCzRCint, ,)()(21)(2RCdzfizfMf)(RCdzfzf2)(21)(0)(0)(222RzRRM0)(zf.)(constzf( )Re( ),f zf zM注:在全平面解析，且