9刚体力学1(2008) ppt

1、第五章第五章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动 有大小、有形状，在外力作用下不有大小、有形状，在外力作用下不变形的物体。变形的物体。理想模型理想模型归为质点力学归为质点力学刚体的运动刚体的运动平动平动转动转动定轴定轴非定轴非定轴刚体的一般运动刚体的一般运动定轴定轴非定轴非定轴. .o ocv平动平动+ +转动转动 刚体刚体一一. .刚体定轴转动运动学刚体定轴转动运动学视为特殊的质点组。视为特殊的质点组。遵从质点力学规律；遵从质点力学规律；特殊的规律。特殊的规律。遵从质点组力学规律；遵从质点组力学规律； 过刚体上某点过刚体上某点p p垂垂直于转轴的平面。直于转轴的平面。转动平面与轴的交点转动平面与轴

2、的交点 o o圆周运动的角量描述刚体的运动。圆周运动的角量描述刚体的运动。 p p在转动平面内绕在转动平面内绕o o作圆周运动，作圆周运动，刚体力学的研究方法：刚体力学的研究方法：每一个质点每一个质点质点组质点组特殊质点组特殊质点组转动中心：转动中心：转动平面：转动平面：转动平面转动平面po.o转动平面转动平面 1.1.角位置角位置 ： 矢径与参考方向的夹角；矢径与参考方向的夹角；2.2.角速度：角速度：大小：大小：dtd 右手螺旋法则确定。右手螺旋法则确定。仅有两个方向仅有两个方向（沿轴或反于轴）（沿轴或反于轴）任一点的线速度与角速度的关系：任一点的线速度与角速度的关系：vorrv 参考方向

3、参考方向方向：方向：定轴：定轴：rv pr3.3.角加速度：角加速度：22dtddtd 角速度变化的方向。角速度变化的方向。仅有两个方向仅有两个方向（沿轴或反于轴）（沿轴或反于轴）方向：方向：定轴：定轴：+0+00+0+00 00 00 00 000如如: :0rat 2nra dt) rd(dtvda dtrdrdtd vr ntaa vor4.4.匀变速转动公式匀变速转动公式t0 200t21t )(20202 （可自己推导）（可自己推导） 二二. . 刚体定轴转动定律刚体定轴转动定律1.1.对定轴的力矩：对定轴的力矩：对对z z轴的力矩轴的力矩: :F FrMz大小：大小： sinFrM

4、 dF 右手螺旋法则定右手螺旋法则定 FFF/使刚体绕使刚体绕Z Z轴转动轴转动只有只有 FZ F/FZM 可以证明：可以证明：以下把以下把 记作记作zMM（定轴也仅有两个方向）（定轴也仅有两个方向）方向：方向：d pF.ro 是是 沿沿z z 轴的投影轴的投影zMoM o .r oM zoirim 即：合力对即：合力对z z轴的力矩，等于各分力对轴的力矩，等于各分力对z z轴力轴力矩之和。矩之和。若刚体受多个力的作用，若刚体受多个力的作用， 可以证明：可以证明：iMM 合合iiisinrF 2. 2.转动定律：转动定律：iiiiamfF 受合外力为受合外力为 ，iF合内力为合内力为ifiii

5、isinfsinF 切向：切向：第第i i个质点个质点 ： , ,、imirifiFi i i iitiam iirm （1）（2）对质点对质点 应用牛顿第二定律：应用牛顿第二定律：im （设均在转动平面内）（设均在转动平面内）式：式：(2)ri 2iiiiiiiirmsinrfsinrF )rm(sinrfsinrFi2iiiiiiiiii 对全部质点取和对全部质点取和: :(2)rmamsinfsinFiiitiiiii dtdJJM 合合外外定轴转动定律定轴转动定律转动惯量转动惯量oirjrjifijfjm im i2iirmJ令令=0刚体所受的合外力矩刚体所受的合外力矩. .表述：表述

6、： 刚体所受的合外力矩等于转动惯量与刚体所受的合外力矩等于转动惯量与角加速度之积。角加速度之积。注意：注意： 所受力矩和转动惯量都是所受力矩和转动惯量都是对同一轴的对同一轴的. .3.3.转动惯量：转动惯量：2iirmJ 若质量连续分布：若质量连续分布： dmrJ2(1) (1) 转动惯量是转动惯性大小的量度转动惯量是转动惯性大小的量度; ;(2) (2) 转动惯量取决于刚体的总质量及其对轴的转动惯量取决于刚体的总质量及其对轴的质量分布质量分布; ;同一刚体对不同的轴的转动惯量一般不相同同一刚体对不同的轴的转动惯量一般不相同. . 说明：说明：(kgm(kgm2 2) ) 例一：轻质杆，长例一

7、：轻质杆，长 ，两物块质量分别为，两物块质量分别为mm、2m2m , , 轴过轴过o o点且垂直于杆。点且垂直于杆。l2221ml43)2l(m2)2l(mJ 2222ml)3l2(m2)3l(mJ 求：转动惯量求：转动惯量 、1J2J解：解：若：若：1.1.若：若：2.2.3lmm23l 2o.mm2o2l2l. 例二：细例二：细圆环，圆环，半径为半径为R R，质量为质量为mm，轴过轴过环心且垂直环面。环心且垂直环面。oR dmRJ22mR oR 例三：均匀例三：均匀圆盘圆盘，半径为，半径为R R，质，质量为量为mm，轴过盘心且垂直盘面。，轴过盘心且垂直盘面。r一环：一环：drr2rdJ2

8、)Rm(2 求：转动惯量求：转动惯量解：解：解：解：整个盘：整个盘： R03drr2J R214 2mR21 求：转动惯量求：转动惯量 l020dxxJ)lm( 3l31 2ml31 例四：均匀细杆，长为例四：均匀细杆，长为 ，质量为，质量为mm。l(1)(1)轴过杆的一端轴过杆的一端o o且与杆垂直且与杆垂直; ;oxxdx 2l2l2cdxxJ求：转动惯量求：转动惯量 、oJcJ2l2l33x )8l8l(31lm33 2ml121 (2)(2)轴过杆的中心轴过杆的中心c c且与杆垂直；且与杆垂直；cxxdx解：解：平行轴定理：平行轴定理：2cmdJJ J刚体对与过质心轴平行的另一轴的刚体

9、对与过质心轴平行的另一轴的转动惯量；转动惯量；Jc刚体对过质心轴的转动惯量；刚体对过质心轴的转动惯量；m刚体质量；刚体质量；d两平行轴之间的距离。两平行轴之间的距离。2cml121J 2oml31J oc mld 可以证明可以证明组合体的转动惯量：组合体的转动惯量：22)2Lm(ML121J 222211Rm21Rm21J 组合体对某定轴的组合体对某定轴的J J，等于各刚体对同一转，等于各刚体对同一转轴转动惯量之和。轴转动惯量之和。 常见的刚体转动惯量如下表常见的刚体转动惯量如下表MMmm2L2L1. 1. 匀质杆与质点球，匀质杆与质点球，11,mR22,mR2 . 2 . 匀质盘匀质盘+ +

10、匀质盘（如滑轮组）匀质盘（如滑轮组）1.2.R2MRJ 2J2MRR22MRJ Rr)(222rRMJR RL22MRJ RL124J22MRMR2R52J2MR球体球体2R32J2MR薄球壳薄球壳4.4.转动定律的应用举例：转动定律的应用举例： 例一例一: :定滑轮定滑轮, ,质量质量mm, ,半径为半径为R R（轴光滑），（轴光滑），轮缘绕细绳、以力轮缘绕细绳、以力 向下拉。向下拉。FmRF求：轮的角加速度。求：轮的角加速度。以轮为研究对象以轮为研究对象mR21RF2 例二：上题中以例二：上题中以 的物体代替的物体代替力，力，gMF 仍求轮的角加速度。仍求轮的角加速度。解：解：mR21TR

11、2 对轮：对轮：mR2F 对物块：对物块：MaTMg R)(a 求出：求出：2M)R(m2Mg mRg gM MT TT T 解：解：2Ta2GB2m试求试求: :物体的加速度和绳的张力。物体的加速度和绳的张力。1T1GA1ma受力分析如图（隔离体）受力分析如图（隔离体）：如图装置、绳两端分别悬挂质量为：如图装置、绳两端分别悬挂质量为mm1 1、mm2 2的物体的物体A A、B B( (mm1 1 mm2 2), ),滑轮质量为滑轮质量为mm，半径为，半径为R R，在转动过程中受摩擦阻力矩为在转动过程中受摩擦阻力矩为MMr r ，并设绳与滑，并设绳与滑轮之间无相对滑动，轮之间无相对滑动，.oR

12、rM 1T2T mAB1m2mRmo(3)JMRTRTr12 )4( Ra 可解出：可解出：2/mmmRMg)mm(a21r12 ;)(11agmT )mR21(J2 )(22agmT (1)amGT111 对对A:A:(2)amTG222 对对B:B:对滑轮：对滑轮：1T1GA1ma2Ta2GB2m.oRrM 1T2T m绳质量忽略绳质量忽略;11TT 22TT 求：轴瓦对轮压力求：轴瓦对轮压力N N=?=?解：解：)(rad/s20.9t20 rad/s,7 .104min/r10000 0, 0,根据转动定律：根据转动定律： JNRfRM RJN RmR2 mR m R 例四：例四：已知

13、飞轮已知飞轮 R R =0.25m,=0.25m,mm=60kg,=60kg, 0 0=1000r/min=1000r/min, ,要求要求t t=5.0s=5.0s内均匀减速而停止内均匀减速而停止. .（轴瓦与轮的滑动摩擦系数（轴瓦与轮的滑动摩擦系数 ) )8 . 0k N)(392N 由运动学：由运动学：分析分析fNF利用转动定律的解题方法：利用转动定律的解题方法：质点：质点：牛顿定律牛顿定律; ;刚体：刚体：转动定律转动定律; ;+ +角量、线量关系。角量、线量关系。选取研究对象选取研究对象1 1隔离体示力隔离体示力2 2列方程列方程3 3zo设外力垂直于设外力垂直于Z Z轴轴iiirdFdA ,2 iisincos dsinrFdAiiii ii0dMA ii0dMAA cosdrFii dMi i0dM 0dM合合1.1.力矩的功：力矩的功：三三. .定轴转动的动能定理定轴转动的动能定理: :piriFi dird合力矩的功：合力矩的功：（力矩的空间累计）（力矩的空间累计）2.2.转动动能：转动动能：第第i i个质点的动能：个质点的动能：2iikivm21E 整个刚体：整个刚体：22iikikrm2