第二十七章相似知识点总结及经验

1、相似1、 相似知识点：1、 相似的判定：相似多边形的判定；相似三角形的判定：ABCABC；2、 平行线分线段成比例定理3、 相似三角形的判定：ABCABC的5种方式4、 相似三角形的周长与面积：周长（及对应的高）相似比等于K；面积相似比等于K25、 位似：位似图形的判定利用位似，将一个图形放大或缩小位似图形在平面坐标系中的坐标关系：如果以原点为位似中心，相似比为K，那么位似图形对应的坐标的比等于K或K2、 相似图形的特征：1、相似比例的多项式动算（主要是分式）：2、平行线分线段成比例，及成比例线段的相关计算：3、相似三角形在几何组合图形内的存在特点，及相关的证明，计算：1、 相似知识点：1、相

2、似的判定，如图： 相似多边形的判定：对应角相等，对应边的比相等；相似三角形的判定：在ABC和ABC中，如果：AA，BB，CC，k， （ABk.AB，BCk.BC，ACk.AC）则： ABCABC，ABC与ABC的相似比为k，ABC与ABC的相似比为。2、平行线分线段成比例定理，如图：（ ， 的距离决定k的大小）平行线分线段成比例定理：如右图，则：k1，2，3，平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得对应线段的比相等，如右图：3、 相似三角形的判定：（只要是相似三角形，就可以按对应角的安装在一起)平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；如图：ADEAB

3、C 类似SSS：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似； 在ABC和ABC中，如果 k， 那么： ABCABC，相似比为k；类似SAS：两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似； 在ABC和ABC中，如果 k，AA， 那么： ABCABC，相似比为k；AA方式：如果两个角对应相等，那么这两个三角形相似； 在ABC和ABC中，如果AA，BB， 那么： ABCABC； 例a：两个等腰三角形的任一个角相等（无论底角或顶角），那么这两个三角形相似； 例b：RtABC斜边上的高将三角形分成三个三角形，都相似；例c：一次函数y=k.x，（k为定值），由x，y，斜边组成

4、的三角形，无论x为何值，所有的三角形都相似；类似HL：斜边的比等于一组直角边的比的直角三角形相似；（不当成定理）。4、 相似三角形的周长，对应高与面积：周长比：如果ABCABC，相似比为k，那么k，因此：ABk.AB，BCk.BC，ACk.AC，从而 k由此我们得到：相似三角形周长的比等于相似比； 相似多边形周长的比等于相似比；对应高比：相似三角形对应高的比等于相似比；如果ABCABC，相似比为k，AD与AD分别是边BC，BC上的高，那么k面积比：相似三角形面积的比等于相似比的平方； 相似多边形面积的比等于相似比的平方；如果ABCABC，相似比为k，AD与AD分别是边BC，BC上的高，那么 S

5、ABCSABC.k.kk ；5、 位似，如图：（只要是相似三角形，就可以相应的安装成位似的形式）图（1） 图（2） 图（3）位似图形的判定：a、两个多边形（包括三角形）相似，如图（1）的ABCDABCD；b、图形的对应顶点的连线相交于一点：如图（1）、（2）、（3）的位似中心点O；c、对应边互相平行，如图（1）ABAB，ADAD等；d、位似图形存在三种形式：取决于位似中心点O的位置，同侧，中间，两侧，如图： 利用位似，将一个图形放大或缩小：a、 如图（1），首先任取一点O作位似中心点（可取同侧，中间，两侧），根据K值的大小分别定各个相似点，具体参考课本；b、 如图（2）、（3），通过坐标轴将图

6、形放大或缩小，具体参考课本；位似图形在平面坐标系中的坐标关系：如果以原点为位似中心，相似比为K，那么位似图形对应的坐标的比等于K或K，（同侧为K，两侧为K）如图（3）：同侧：线段AB与AB位似，k；两侧：线段AB与AB位似，k，；如图（2）：ABC与ABC位似，相似比为k，原点为位似中心点O，则： ABCABC，ABAB，ACAC，BCBC，那么： ，还有：2、 相似图形的特征：1、 相似比例的多项式动算（主要是分式）：已知：k，（例如： 等），则以下的等式成立：a、k+1；k1；b、 ；c、（）2（）2k2；（k0）；d、 ，k，即：ke、；k2；k1应用比例进行运算：例a：已知，求：，解法

7、1、（奥数法） ，假设，代入以上各式：，1解法2、设k，则，代入以上各式，（略）解法3、 ， k，k115，12、 平行线分线段成比例，及成比例线段的相关计算：平行线分线段成比例的几种形式，及之间的相互转换关系：如右图：，可以得到，另还有：，等等，根据多项式运算可相互转换；比例关系的转换举例： ， ， ，即：， 上面的比例关系也适用于右图：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段的比相等；成比例线段的形式及相关计算：例a：如右图，线段AB10cm，则CD_cm。 ， 1，即：AB10cm， ，CB4， ， 1，即：，AB10cm， ，BD20， CDCBBD24例b：

8、如右图，DE2cm，EF3cm，N是AC的中点，求：_cm。 由 ，AMAB由N是AC的中点，ANAC，DE2cm，EF3cm， (AB)(AC)22例c：如图，平行四边形ABCD中，E是AB的中点，G是AC上一点，连EC延长交AD于F，求的值。解：过点E作EH平行于AD，交AC于点H求出的值，再求的值，组合图形中线段比例的引用，进行相关的证明及计算：例a：如图，ABC中，AD2DC，G是BD中点，AC延长线交BC于E，求的值。解：过点D作DF平衡于BC，交AE于点F，证明DGFBEG DFBE求的值，（DF与BE存在数量关系，被BE引用）例b：如右图所示，ABC中，EFBC，FDAB，AE1

9、8，BE12，CD14，求线段EF的长。例c：如图，ABC中，C90，AD是BAC的平分线，DECA，CD12，BD15，求线段AE、BE的长。解：证明AEED；求ABAE，ACEDAE；AB2AC2BC2272；例d：如图，ABC中，C90，DEFC是内接正方形，BC4cm，AC3cm，则正方形面积为_cm2。3、 相似三角形在几何组合图形内的存在特点，及相关的证明，计算：相似三角形在几何组合图形内的存在形式：平行线内相交的三角形：基本形式，由平行线转化而来；例a：如图ABCD是平行四边形，图中相似三角形（包括全等的）有：（6对）一角重叠，另一角相等，或重叠角的对应边平行：如图A重叠，左图ACDB，ABCACD 右图 DEBC，ABCADE直角三角形的斜边上的高分割成三个相似三角形：如图：ABCADCBCD圆内相交两弦形成的三角形相似；如图：ABOCDO组合图形中，由题目的已知，及含有的平行线，等边，等腰，直角三角形，平行四边形等的配合，形成的三角形相似；例a：如图，锐角三角形ABC的高CD和高BE相交于O，则与DOB相似的三角形是：DOBABECOEACD例b：如图，已知矩形ABCD中，AB10cm，BC12cm，E为DC中点，AFBE于点F，求AF长。解：可证明BCEABF， ，例c：如图，ABC