《理论力学》09章

1、第第3章章 点的复合运动点的复合运动运运 动动 学学91 基本概念基本概念92 点的点的速度合成定理速度合成定理运运 动动 学学93 牵连运动是平移时点的加牵连运动是平移时点的加速度合成定理速度合成定理9 4 牵连运动是定轴转动时点牵连运动是定轴转动时点的加速度合成定理的加速度合成定理第第 9 9章章点点的的合合成成运运动动 三种运动三种运动 牵连点牵连点动点和动系的选择动点和动系的选择 两种两种参考系参考系9 91 基基 本本 概概 念念 物体运动的描述结果与所选定的参考系有关。同物体运动的描述结果与所选定的参考系有关。同一物体的运动，在不同的参考系中，可以具有不同的运一物体的运动，在不同的

2、参考系中，可以具有不同的运动学特征（具有不同的轨迹、速度、加速度等）。动学特征（具有不同的轨迹、速度、加速度等）。实例分析实例分析实例分析实例分析1. 两种两种参考系参考系静参考系（定系或静系）：静参考系（定系或静系）：固定在地球上的坐标固定在地球上的坐标系。系。动参考系（动系）：动参考系（动系）：固定在其他相对于地球运动的参考体固定在其他相对于地球运动的参考体上的坐标系。上的坐标系。9 91 基基 本本 概概 念念绝对运动绝对运动: 动点动点相对于相对于的运动。的运动。相对运动相对运动: 动点动点相对于相对于的运动。的运动。牵连运动牵连运动: 动参考系动参考系相对于相对于的运动。的运动。3.

3、 两种运动轨迹两种运动轨迹相对运动轨迹：相对运动轨迹：动点动点相对于相对于的运动轨迹。的运动轨迹。绝对运动轨迹：绝对运动轨迹：动点动点相对于相对于的运动轨迹。的运动轨迹。静参考系静参考系？动参考系动参考系？绝对运动绝对运动？牵连运动牵连运动？相对运动相对运动？工程实例工程实例静参考系静参考系？动参考系动参考系？绝对运动绝对运动？牵连运动牵连运动？相对运动相对运动？静参考系静参考系？动参考系动参考系？绝对运动绝对运动？相对运动相对运动？ 牵连运动牵连运动？大梁不动时大梁不动时静参考系静参考系？动参考系动参考系？绝对运动绝对运动？牵连运动牵连运动？相对运动相对运动？复合运动复合运动 物体的绝对运动

4、可以看成是牵连运动和相对运动的合物体的绝对运动可以看成是牵连运动和相对运动的合成结果，称为成结果，称为复合运动或合成运动复合运动或合成运动。几几点说明点说明研究研究点的复合运动点的复合运动理论，通过牵连运动来建立绝对运动和相对运动理论，通过牵连运动来建立绝对运动和相对运动之间的联系，给出这些运动特征量（之间的联系，给出这些运动特征量（轨迹、速度、加速度轨迹、速度、加速度）之间的关）之间的关系。系。 在复合运动的研究中，在复合运动的研究中，参考系的选择是问题的关键参考系的选择是问题的关键。恰当的选择。恰当的选择参考系，能把复杂的运动分解为若干种简单运动，或由若干种简单参考系，能把复杂的运动分解为

5、若干种简单运动，或由若干种简单运动组成各种不同的复杂运动。运动组成各种不同的复杂运动。绝对运动、绝对运动、相对运动都是指相对运动都是指点点的运动，可能是直线运动，也可能是的运动，可能是直线运动，也可能是曲线运动；而牵连运动是指曲线运动；而牵连运动是指刚体刚体的运动，可能是平动、定轴转动或下的运动，可能是平动、定轴转动或下一章的平面运动等。一章的平面运动等。 动参考系给动点直接影响的是该动系上与动点相重合的那一动参考系给动点直接影响的是该动系上与动点相重合的那一点，这点称为点，这点称为瞬时重合点瞬时重合点或动点的或动点的牵连点牵连点。 牵连运动一方面是动系的绝对运动，另一方面对动点来说起牵连运动

6、一方面是动系的绝对运动，另一方面对动点来说起着着“牵连牵连”作用。但是带动动点运动的只是动系上在所考察的瞬作用。但是带动动点运动的只是动系上在所考察的瞬时与动点相重合的那一点，该点称为时与动点相重合的那一点，该点称为瞬时重合点瞬时重合点或或牵连点牵连点。 （2）、进一步说明）、进一步说明 （1）、定）、定 义义 由于相对运动，动点在动系上的位置随时间改变，所以牵连点由于相对运动，动点在动系上的位置随时间改变，所以牵连点具有瞬时性。具有瞬时性。 （3）、注）、注 意意复合运动实例复合运动实例（1 1）. .动点对动系要有相对运动。动点对动系要有相对运动。（1 1）. .选择持续接触点为动点。选择

7、持续接触点为动点。（2 2）. .对没有持续接触点的问题，一般不选择接触点为动点。对没有持续接触点的问题，一般不选择接触点为动点。根据选择原则具体问题具体分析。根据选择原则具体问题具体分析。基本基本原则：原则：具体选择方法：具体选择方法：动点和动系的选择动点和动系的选择（2 2）. .动点的相对运动轨迹要明确、容易确定。动点的相对运动轨迹要明确、容易确定。动动 点点？动参考系动参考系？绝对运动绝对运动？牵连运动牵连运动？相对运动相对运动？动动 点点？动参考系动参考系？绝对运动绝对运动？牵连运动牵连运动？相对运动相对运动？动动 点点？动参考系动参考系？绝对运动绝对运动？牵连运动牵连运动？相对运动

8、相对运动？动动 点点？动参考系动参考系？绝对运动绝对运动？牵连运动牵连运动？相对运动相对运动？速度合成定理速度合成定理绝对速度绝对速度va ：相对于相对于的速度。的速度。三种速度牵连速度牵连速度ve ：某瞬时，动系上与动点相重合的点某瞬时，动系上与动点相重合的点（）相对于）相对于的速度。的速度。相对速度相对速度vr ：相对于相对于的速度。的速度。 三种运动轨迹三种运动轨迹三种运动轨迹 设动点设动点M在动系中沿某一曲线在动系中沿某一曲线AB作相对运动，而动系本身相对静作相对运动，而动系本身相对静系作某种运动，相应的运动轨迹如下系作某种运动，相应的运动轨迹如下:牵连点运动轨迹牵连点运动轨迹zxyO

9、zxyM (m)M(m)绝对运动轨迹绝对运动轨迹相对运动轨迹相对运动轨迹 M1(m1)三种运动轨迹三种运动轨迹 M2(m2)(1) limlimlim10100tMMtMMtMMttteravvvMMMMMM11a0limvtMMtr2010limlimvtMMtMMtte1010limlimvmttvtmmtMM动点动点M在时间在时间t 内的绝对位移内的绝对位移则有则有分析其中各项分析其中各项代入（代入（1）式可得）式可得zxyrr1r M(m)M (m) M1(m1) M2(m2)vevavr绝对速度绝对速度牵连速度牵连速度相对速度相对速度某瞬时动点的绝对速度等某瞬时动点的绝对速度等于其相

10、对速度与牵连速度于其相对速度与牵连速度的矢量和。的矢量和。9 92 点的点的速度合成定理速度合成定理eravvvzxyrr1r M(m)M (m) M1(m1) M2(m2)vevavr 速度合成定理速度合成定理几点说明几点说明9 92 点的点的速度合成定理速度合成定理eravvv 牵连运动牵连运动是指刚体是指刚体(动系动系)的运动；而的运动；而牵连速度牵连速度是指刚体是指刚体 上牵连点上牵连点(与动点相重合的点与动点相重合的点)的速度。的速度。 速度合成定理为速度合成定理为平面矢量方程平面矢量方程，可画出，可画出速度平行四边形速度平行四边形，所以可以求解两个未知量。所以可以求解两个未知量。速

11、度合成定理对任意形式的牵连运动都适用。速度合成定理对任意形式的牵连运动都适用。 例例1 1 军舰以军舰以20节（节（1knot=1.852 km/h）的速度前进，直升）的速度前进，直升飞机以每小时飞机以每小时18 km的速度垂直降落。求直升飞机相对于军的速度垂直降落。求直升飞机相对于军舰的速度。舰的速度。 9 92 点的点的速度合成定理速度合成定理解：O1xy1、选择动点与动系、选择动点与动系2、运动分析、运动分析 动系动系动点动点直升飞机。直升飞机。定系定系O1xy3、分析三种速度，画出速度矢量图、分析三种速度，画出速度矢量图 绝对速度绝对速度va：va大小已知大小已知，方向铅方向铅垂向下。

12、垂向下。 牵连速度牵连速度ve：ve大小即为舰艇的前进大小即为舰艇的前进速度速度，方向水平向右。方向水平向右。应用速度合成定理应用速度合成定理eravvv 相对速度相对速度vr：大小方向均未知，为所大小方向均未知，为所要求的量。要求的量。hkm 18.41324137218)04.37(222a2ervvv,486.004.3718taneavv92.25可得飞机的相对速度大小可得飞机的相对速度大小方向可用方向可用 vr 与水平线夹角表示为与水平线夹角表示为 例例2 2 已知正弦机构中，曲柄已知正弦机构中，曲柄OAl，匀角速度匀角速度 ， 30o 。求求T型杆型杆BCD的速度。的速度。OADC

13、BOADCB解：解：1. 选择动点与动系。选择动点与动系。动点动点曲柄上的曲柄上的A点；点；动系动系固连于杆固连于杆BC上。上。2. 运动分析。运动分析。 绝对运动绝对运动以以O为圆心为圆心 、l为半径的等速圆为半径的等速圆 周运动。周运动。 相对运动相对运动沿沿BC方向的直线运动。方向的直线运动。牵连运动牵连运动铅垂方向的平移。铅垂方向的平移。定系定系OADCB3. 速度分析。速度分析。vrveva 牵连速度牵连速度ve： ve？, 方向沿铅垂方向向上。方向沿铅垂方向向上。l21sineaBCvvvsin30l绝对速度绝对速度 va ： va l，方向方向垂直于垂直于OC相对速度相对速度vr

14、： vr？，方向沿方向沿BC。T型杆型杆BCD的速度的速度eravvv方向铅垂向上方向铅垂向上 例3 3 刨床的急回机构如图所示。刨床的急回机构如图所示。曲柄曲柄OA的一端的一端A与滑块用铰链连接。与滑块用铰链连接。当曲柄当曲柄OA以匀角速度以匀角速度绕固定轴绕固定轴O转动时，滑块在摇杆转动时，滑块在摇杆O1B上滑动，上滑动，并带动摇杆并带动摇杆O1B绕固定轴绕固定轴O1摆动。摆动。设曲柄长设曲柄长OA=r，两间距离两间距离OO1= l。求当曲柄在水平位置时摇杆的角速求当曲柄在水平位置时摇杆的角速度度1。 运运 动动 演演 示示相相 对对 运运 动动 轨轨 迹迹解：1. 选择动点，动系与定系。

15、选择动点，动系与定系。动系动系O1xy，固连于摇杆固连于摇杆 O1B。2. 运动分析。运动分析。 绝对运动绝对运动以以O为圆心的圆周运动。为圆心的圆周运动。 相对运动相对运动沿沿O1B的直线运动。的直线运动。牵连运动牵连运动摇杆绕摇杆绕O1轴的摆动。轴的摆动。动点动点滑块滑块 A 。y x定系定系固连于机座。固连于机座。reavvv应用速度合成定理应用速度合成定理3. 速度分析。速度分析。 绝对速度绝对速度va：vaOA r ，方，方 向垂直于向垂直于OA，沿铅垂沿铅垂 方向向上。方向向上。 相对速度相对速度vr：大小未知，方向沿摇杆大小未知，方向沿摇杆 O1B 。 牵连速度牵连速度ve：ve

16、为所要求的未知量，为所要求的未知量， 方向垂直于方向垂直于O1B 。vavevrreavvv sinaevv 22211erlrAOv, sin22rlr， arv 因为因为222erlrv所以所以设摇杆在此瞬时的角速度为设摇杆在此瞬时的角速度为1，则则,221rlAO2221rlr其中其中所以可得所以可得可得可得应用应用vavevr（逆时针）。（逆时针）。 例4 4 如图所示，半径为如图所示，半径为R，偏心距为偏心距为e的凸轮，以匀的凸轮，以匀角速度角速度绕绕O轴转动，杆轴转动，杆AB能在滑槽中上下平动，杆的能在滑槽中上下平动，杆的端点端点A始终与凸轮接触，且始终与凸轮接触，且OAB成一直线

17、。求在图示位成一直线。求在图示位置时，杆置时，杆AB的速度。的速度。 eOCB解：1. 选择动点，动系与定系。选择动点，动系与定系。动系动系Oxy，固连于凸轮。固连于凸轮。2. 运动分析。运动分析。 绝对运动绝对运动直线运动。直线运动。 相对运动相对运动 以以C为圆心的圆周运动。为圆心的圆周运动。牵连运动牵连运动 绕绕O 轴的定轴转动。轴的定轴转动。动点动点 AB杆的端点杆的端点A 。yx定系定系固连于机座。固连于机座。eOCABreavvv应用速度合成定理应用速度合成定理3. 速度分析。速度分析。 绝对速度绝对速度va： va为所要求的未知量，为所要求的未知量， 方向沿杆方向沿杆AB。 相对

18、速度相对速度vr：大小未知，方向沿凸轮大小未知，方向沿凸轮 圆周的切线圆周的切线 。 牵连速度牵连速度ve： veOA ，方向垂直，方向垂直 于于OA 。eOAeOAvvcotea杆杆AB的速度的速度方向向上。方向向上。 例5 5 如图所示为裁纸板的如图所示为裁纸板的简图。纸板简图。纸板ABCD放在传送带放在传送带上，并以匀速度上，并以匀速度v1=0.05 ms-1与传送带一起运动。裁纸刀固定传送带一起运动。裁纸刀固定在刀架在刀架K上，刀架上，刀架K以匀速度以匀速度v2=0.13 ms-1沿固定导杆沿固定导杆EF运运动。试问导杆动。试问导杆EF的安装角的安装角应应取何值才能使切割下的纸板成取何

19、值才能使切割下的纸板成矩形。矩形。 ABCDEFK运运 动动 演演 示示ABCDEFK 1. 选择动点，动系与定系。选择动点，动系与定系。相对运动相对运动垂直于纸板的运动方向垂直于纸板的运动方向 的直线运动。的直线运动。牵连运动牵连运动 随纸板一起作水平向随纸板一起作水平向 左的平动。左的平动。绝对运动绝对运动 沿导杆的直线运动。沿导杆的直线运动。动系动系固连于纸板固连于纸板ABCD上。上。动点动点取刀架取刀架K为动点。为动点。 2. 运动分析。运动分析。解：定系定系固连于机座。固连于机座。EABCDFKreavvv385. 0 sin21aevvvv6 .22故导杆的安装角故导杆的安装角3.

20、 速度分析。速度分析。 绝对速度绝对速度va： va=v2， 方向沿杆方向沿杆EF向向 左上。左上。 牵连速度牵连速度ve： ve=v1 ，方向水平向左。，方向水平向左。 相对速度相对速度vr： 大小未知，方向垂直于大小未知，方向垂直于 纸板的运动方向。纸板的运动方向。由几何关系可得由几何关系可得应用速度合成定理应用速度合成定理 例例6 6 仿形机床中半径为仿形机床中半径为R的半圆形靠模凸轮以等速度的半圆形靠模凸轮以等速度v0沿水平轨道向右运动，带沿水平轨道向右运动，带动顶杆动顶杆AB沿铅垂方向运动，沿铅垂方向运动，如图所示。试求如图所示。试求=60时时，顶顶杆杆AB的速度。的速度。 ABnR

21、运运 动动 演演 示示相相 对对 运运 动动 轨轨 迹迹ABnR 解：1. 选择动点，动系与定系。选择动点，动系与定系。动系动系 固连于凸轮。固连于凸轮。2. 运动分析。运动分析。 绝对运动绝对运动直线运动。直线运动。牵连运动牵连运动水平平移。水平平移。动点动点 AB 杆的端点杆的端点A 。 相对运动相对运动沿凸轮轮廓曲线运动。沿凸轮轮廓曲线运动。定系定系固连于水平轨道。固连于水平轨道。ABnR3. 速度分析。速度分析。绝对速度绝对速度va：大小未知，方向沿大小未知，方向沿 杆杆AB向上。向上。 相对速度相对速度vr： 大小未知，方向沿大小未知，方向沿 凸轮圆周的切线凸轮圆周的切线 。 牵连速

22、度牵连速度ve：ve= v0，方向水平向右。方向水平向右。00ea577. 060 cot cotvvvvreavvv应用速度合成定理应用速度合成定理ABnR方向向上。方向向上。 可得可得因为杆因为杆AB作平动，所以此瞬时它的速作平动，所以此瞬时它的速度大小：度大小： 0577.0vvvABa 例7 7 船船A和船和船B分分别沿夹角是别沿夹角是的两条直的两条直线行驶。已知船线行驶。已知船A的速的速度是度是v1，船，船B始终在船始终在船A的左舷正对方向。试求的左舷正对方向。试求船船B的速度的速度v2和它对船和它对船A的相对速度。的相对速度。1. 选择动点，动系与定系。选择动点，动系与定系。相对运

23、动相对运动沿沿AB的直线运动。的直线运动。牵连运动牵连运动 随动系随动系Ax y的直线平动。的直线平动。绝对运动绝对运动 沿沿OB的直线运动。的直线运动。动系动系 Ax y固连于船固连于船A上。上。动点动点取船取船B上任一点为动点。上任一点为动点。 2. 运动分析。运动分析。yx解：定系定系固连于海岸。固连于海岸。3. 速度分析。速度分析。4. 求速度。求速度。, cos12vv tan1rvv reavvv应用速度合成定理应用速度合成定理 绝对速度绝对速度va： va =v2，大小待求，方向沿大小待求，方向沿OB。 相对速度相对速度vr：大小未知，方向沿大小未知，方向沿AB 。 牵连速度牵连

24、速度ve： ve = v1 ，方向沿轴，方向沿轴Ox正向。正向。得船得船B的绝对速度和对于船的绝对速度和对于船A的相对速度的大小的相对速度的大小yx 例8 8 曲杆曲杆OBC以匀角速度以匀角速度绕固定轴绕固定轴O转动，使圆环转动，使圆环M沿固沿固定直杆定直杆OA上滑动。设曲柄长上滑动。设曲柄长OB=10 cm，OB垂直BC,。 =0.5 rad/s，求求=60时时，小环的绝对速度小环的绝对速度。OABMCOABMC解：1. 选择动点，动系与定系。选择动点，动系与定系。动系动系 固连于摇杆固连于摇杆 OBC。2. 运动分析。运动分析。 绝对运动绝对运动沿沿OA的直线运动。的直线运动。 相对运动相

25、对运动沿沿CB的直线运动。的直线运动。牵连运动牵连运动绕绕O轴的定轴转动。轴的定轴转动。动点动点 小环小环M 。定系定系固连于机座。固连于机座。OABMCy xreavvv应用速度合成定理应用速度合成定理3. 速度分析。速度分析。 绝对速度绝对速度va：大小未知，方大小未知，方 向沿向沿OA向右。向右。 相对速度相对速度vr：大小未知，方向沿杆大小未知，方向沿杆 BC。 牵连速度牵连速度ve：ve= OM 方向垂直于方向垂直于OA。vavevr30cos30sineavvcm/s 17.330 cotea vv投影到投影到x轴，可得轴，可得所以，所求小环的绝对速度所以，所求小环的绝对速度OAB

26、MCy xvavevrreavvv应用速度合成定理应用速度合成定理水平向右。水平向右。 例9 9 圆盘半径为圆盘半径为R，以角速度，以角速度1绕水平轴绕水平轴CD转动，支承转动，支承CD的框架又以角速度的框架又以角速度2绕铅直的绕铅直的AB轴转动，如图所示。圆盘垂直轴转动，如图所示。圆盘垂直于于CD、圆心在、圆心在CD与与AB的交点的交点O处。求当连线处。求当连线OM在水平位置时，在水平位置时，圆盘边缘的点圆盘边缘的点M的绝对速度。的绝对速度。 解：1. 选择动点与动系。选择动点与动系。动系动系Axyz ，固定框架上。固定框架上。2. 运动分析。运动分析。 绝对运动绝对运动空间曲线运动空间曲线

27、运动 。牵连运动牵连运动绕绕z轴的定轴转动。轴的定轴转动。动点动点 点点M 。 相对运动相对运动以以O为圆心的圆周为圆心的圆周运动运动 。xzyreavvv应用速度合成定理应用速度合成定理3. 速度分析。速度分析。绝对速度绝对速度va：va为所要求的未知量，为所要求的未知量，方向未知。方向未知。相对速度相对速度vr： vr 1R ，垂直于，垂直于M，方向向下方向向下 。牵连速度牵连速度ve： ve 2R，在水平面，在水平面内，方向垂直于内，方向垂直于OM 。21222r2eaRvvv12retanvv得得reavvv 加速度加速度合成定理合成定理 三种加速度三种加速度绝对加速度绝对加速度相对于

28、相对于的加速度称为绝对加速度，的加速度称为绝对加速度，用用aa表示。表示。相对加速度相对加速度相对于相对于的加速度称为相对加速度，的加速度称为相对加速度，用用ar表示。表示。牵连加速度牵连加速度动系上与动点相重合的那一点（动系上与动点相重合的那一点（）相对于相对于的加速度称为牵连加速度，用的加速度称为牵连加速度，用ae表示。表示。93 93 点的加速度合成定理点的加速度合成定理动点动点M在定系和动系中的矢径分别用在定系和动系中的矢径分别用r和和r表示。表示。kjirrrr zyxookjirra2222222222addddddddddtztytxtto上式在定系中对时间上式在定系中对时间t

29、求二阶导数，有求二阶导数，有OiOkjxryrOyzxzM(m)r有关系式有关系式OiOkjxryrOyzxzM(m)root ar22ddaOaearreaaaakjirra2222222222adddddddddtzdtytxtto 加速度合成定理加速度合成定理 时，时，点的绝对加速度等点的绝对加速度等于牵连加速度、相对加速度的矢量和。于牵连加速度、相对加速度的矢量和。 设刚体以角速度设刚体以角速度和角加速度和角加速度 绕定绕定系系Oxyz的轴的轴z转动；动系转动；动系Ox y z 固连于刚固连于刚体，动点体，动点M沿相对轨迹沿相对轨迹AB运动。运动。OOzyxrrOrikjvevrABM

30、(m)(1) vr与与 ar相对矢径相对矢径kjir zyxkjiv zyxrkjia zyx r相对速度相对速度相对加速度相对加速度(2) ve与与 ae 牵连速度牵连速度rvvmenetenteaaaaaammmevr牵连加速度牵连加速度OOzyxrrOrikjvevrABM(m)(3) va与与 aa由点的速度合成定理由点的速度合成定理reavvvrvakji zyx在定系中求上式对时间在定系中求上式对时间 t 的导数的导数 tttddddddreavvvtttdd)(ddddarv)(kji zyxkjiv zyxrrve得得avr)(revvrrevvrreeddvavtt ddaa

31、va ttddddrr)(ddddervtteevrareavvvtttddddddreavvvtttdd)(ddddarv)(kji zyx)(kzjyix )dddddd(tztytxkjikjia zyx rrv)(kji zyx)()()(kji zyxiit ddjjt ddkkt dd泊松公式泊松公式artttdd)(ddddarv)(kji zyxttddddrv)(kji zyxrrrddvavtkjiv zyxrtttaddddddrevvv点的加速度合成定理，点的加速度合成定理，rrea2vaaarC2vaCreaaaaa上式右端的最后一项称为上式右端的最后一项称为，并用，

32、并用aC表示，即表示，即最后得到动点绝对加速度的表达式最后得到动点绝对加速度的表达式, ddreevavtrrrddvavt, ddaatva 代入代入(3) 在一些特殊情况下科氏加速度在一些特殊情况下科氏加速度aC等于零：等于零： =0 的瞬时，或的瞬时，或牵连运动为平移牵连运动为平移时；时； vr=0 的瞬时；的瞬时； vr 的瞬时。的瞬时。(1) 科氏加速度是牵连转动（科氏加速度是牵连转动（）和相对运动（）和相对运动（vr）相互影响的结果。）相互影响的结果。rC2vasin2rCva (2) aC的大小：的大小：aC的方向：的方向： 垂直于垂直于与与vr所确定的平面，指向由右手规则确定。

33、所确定的平面，指向由右手规则确定。Carvrnvrvvr 例1010 具有曲面具有曲面AB的靠模沿水平方向运动时，推动顶杆的靠模沿水平方向运动时，推动顶杆MN沿铅直固定沿铅直固定导槽运动。已知在图中瞬时靠模具有水平向右的速度导槽运动。已知在图中瞬时靠模具有水平向右的速度v1，水平向右的加速度，水平向右的加速度a1，曲线，曲线AB在杆端在杆端M接触点的切线与水平线的夹角为接触点的切线与水平线的夹角为；曲线；曲线AB在杆端接触在杆端接触点点M的曲率半径是的曲率半径是；试求顶杆；试求顶杆 MN 在这瞬时的速度及加速度。在这瞬时的速度及加速度。 1. 选择动点，动系与定系。选择动点，动系与定系。动点动

34、点顶杆端点顶杆端点M。动系动系固连于靠模上。固连于靠模上。2. 运动分析。运动分析。绝对运动绝对运动M点点沿铅直方向的直线运动。铅直方向的直线运动。牵连运动牵连运动 靠模水平向右的平动。靠模水平向右的平动。相对运动相对运动相对于靠模沿其表面相对于靠模沿其表面 AB 的的 曲线运动。曲线运动。解：定系定系固连于机座。固连于机座。3. 速度分析。速度分析。 绝对速度绝对速度va： 大小未知，方向沿杆大小未知，方向沿杆MN 向上。向上。 牵连速度牵连速度ve： ve= v1 ，方向水平向右。方向水平向右。 相对速度相对速度vr：大小未知，方向沿大小未知，方向沿AB的的 切线方向。切线方向。reavv

35、v tan tan1evvvasecsec1ervvv根据点的速度合成定理，有根据点的速度合成定理，有可求得动点可求得动点 M 的绝对速度即顶杆的绝对速度即顶杆 MN 速速度的大小度的大小也可求得相对速度的大小也可求得相对速度的大小方向是铅直向上。方向是铅直向上。nrtreaaaaatranra4. 加速度分析。加速度分析。由点的加速度合成定理由点的加速度合成定理绝对加速度绝对加速度aa：大小待求，方向铅直大小待求，方向铅直。牵连加速度牵连加速度ae： ae= a1 ，方向水平向右。方向水平向右。相对加速度切向分量相对加速度切向分量art：大小未知大小未知，沿相沿相 对轨迹的切线。对轨迹的切线

36、。相对加速度法向分量相对加速度法向分量arn： arn = vr 2 / 沿相对轨迹的法线沿相对轨迹的法线。将上式投影到与将上式投影到与atr相垂直的轴相垂直的轴x1上，得上，得nrea sin cosaaa可求得顶杆在该瞬时的加速度可求得顶杆在该瞬时的加速度若上式求得若上式求得aa是负值，说明是负值，说明aa的实际指向与图示假定指向相反。的实际指向与图示假定指向相反。x1tranranrtreaaaaa由点的加速度合成定理由点的加速度合成定理32112r1nreasectancostancostanvavaaaa 例11 11 曲柄曲柄OA绕固定轴绕固定轴O转动，丁字形杆转动，丁字形杆BC沿

37、水平方向往复平动，沿水平方向往复平动，如图所示。铰链在曲柄端如图所示。铰链在曲柄端A的滑块，可在丁字形杆的铅直槽的滑块，可在丁字形杆的铅直槽DE内滑动。内滑动。设曲柄以角速度设曲柄以角速度作匀角速转动，作匀角速转动，OA=r，试求杆，试求杆BC 的加速度。的加速度。 OABDEC运运 动动 演演 示示OABDE解：1. 选择动点，动系与定系。选择动点，动系与定系。动系动系固连于丁字形杆。固连于丁字形杆。2. 运动分析。运动分析。 绝对运动绝对运动以以O为圆心的圆周运动。为圆心的圆周运动。 相对运动相对运动沿槽沿槽ED的直线运动。的直线运动。 牵连运动牵连运动丁字形杆丁字形杆BC 沿水平方沿水平

38、方 向的平动。向的平动。动点动点滑块滑块A 。定系定系固连于机座。固连于机座。COABDE应用加速度合成定理应用加速度合成定理3. 加速度分析。加速度分析。 绝对加速度绝对加速度aa： aa = OA 2 ，沿着，沿着 OA，指向指向O。 相对加速度相对加速度ar：大小未知大小未知，方向沿方向沿 铅直槽铅直槽DE。 牵连加速度牵连加速度ae：大小未知大小未知，为所要，为所要 求的量，沿水平方求的量，沿水平方向。向。reaaaa cos cos2aeraaaBC得杆得杆BC 的加速度的加速度C水平向左。水平向左。 例13 13 已知已知曲柄曲柄OAr ，以角速度以角速度0匀速转动。求曲柄匀速转动

39、。求曲柄OA 水平，摇杆水平，摇杆AB与铅垂线夹角为与铅垂线夹角为30o时，摇杆时，摇杆AB的角加速度。的角加速度。1. 选择动点，动系与定系。选择动点，动系与定系。动系动系O1xy，固连于摇杆固连于摇杆 O1B。2. 运动分析。运动分析。 绝对运动绝对运动以以O为圆心的圆周运动。为圆心的圆周运动。 相对运动相对运动沿沿O1B的直线运动。的直线运动。牵连运动牵连运动摇杆绕摇杆绕O1轴的摆动。轴的摆动。动点动点滑块滑块 A 。定系定系固连于机座。固连于机座。x1y1解：解：2. 速度分析速度分析0ae21cos60rvv0ar23sin60rvvreavvvvavrve由前面例子，根据速度合成定

40、理由前面例子，根据速度合成定理 已经求得牵连速度已经求得牵连速度相对速度相对速度1摇杆的角速度摇杆的角速度2221rlr3. 加速度分析加速度分析 aa: aa= r 02，沿着沿着OA，指向指向O； ar : 大小未知大小未知，沿着沿着O1B，指向指向B； aen : aen = (O1A) 1 2 ，沿着沿着O1A，指向指向O1； aet : ae t = (O1A) ， 为未知，垂直于为未知，垂直于O1A，指向未知指向未知，假设指向左上，假设指向左上； aC : 垂直于垂直于O1B，指向左上。指向左上。 432322 2001er1CrrAOvvaaraaaCaetaen 加速度分析加速

41、度分析 1 加速度分析加速度分析 araaaCaetaen 将上式沿将上式沿aet 方向投影，得方向投影，得Cteacos30aaa202043223rrr2083Creaaaaa由加速度合成定理由加速度合成定理 即即求得求得摇杆摇杆AB 的角加速度的角加速度（逆时针）。（逆时针）。 例14 14 已知凸轮的偏心距已知凸轮的偏心距OCe，凸轮半径凸轮半径 ，并且，并且以等角速度以等角速度绕绕O轴转动，轴转动， 图示瞬时，图示瞬时，AC垂直于垂直于OC， 30o。求顶杆的速度与加速度。求顶杆的速度与加速度。er3解：解：1. 选择动点，动系与定系。选择动点，动系与定系。动系动系固连于凸轮。固连于

42、凸轮。2. 运动分析。运动分析。 绝对运动绝对运动直线运动。直线运动。 相对运动相对运动 以以C为圆心的圆周运动。为圆心的圆周运动。牵连运动牵连运动 绕绕O 轴的定轴转动。轴的定轴转动。动点动点 AB的端点的端点A 。定系定系固连于机座。固连于机座。3. 速度分析。速度分析。reavvv应用速度合成定理应用速度合成定理 绝对速度：绝对速度： va为所要求的未知量，为所要求的未知量， 方向沿杆方向沿杆AB。 相对速度相对速度：大小未知，方向沿凸轮大小未知，方向沿凸轮 圆周的切线圆周的切线 。 牵连速度牵连速度： veOA 2e ， 方向垂直于方向垂直于OA 。AB杆速度杆速度e332va vet

43、an30o相对速度相对速度evv3342ar4. 加速度分析加速度分析 aa: 大小未知大小未知，为所要求的量，为所要求的量， 沿着沿着AB，假设假设指向上方指向上方； ar n: arn=vr2/AC，沿着沿着AC， 指向指向C； aen : aen = OA 2 ，沿着沿着OA， 指向指向O； ar t ： 大小未知大小未知，垂直于，垂直于AC， 指向未知指向未知，假设指向右上，假设指向右上； aC : 沿着沿着CA，指向左上。指向左上。 2 rCva arnaaaCartaenarnaaaCartaenCaaaaaanrtnre根据加速度合成定理根据加速度合成定理将上式沿将上式沿aC方向

44、投影，得方向投影，得cos30cos30nenrCaaaaa2a92ea从而求得顶杆的加速度从而求得顶杆的加速度 例15 15 在滑块导杆机构中，由一绕固定轴在滑块导杆机构中，由一绕固定轴O作顺钟向转动的导杆作顺钟向转动的导杆OB带动滑块带动滑块A沿水平直线轨道运动，沿水平直线轨道运动，O到导轨的距离是到导轨的距离是h。已知在图示瞬时导杆的倾角是。已知在图示瞬时导杆的倾角是，角速度大小是，角速度大小是 ，角加速度，角加速度 =0。试求该瞬时滑块。试求该瞬时滑块A的绝对加速度。的绝对加速度。1. 选择动点，动系与定系。选择动点，动系与定系。相对运动相对运动沿导杆沿导杆OB的直线运动。的直线运动。

45、牵连运动牵连运动 导杆导杆OB绕轴绕轴O的匀速转动。的匀速转动。绝对运动绝对运动 沿导轨的水平直线运动。沿导轨的水平直线运动。动系动系 固连于导杆。固连于导杆。动点动点取滑块取滑块A为动点。为动点。 2. 运动分析。运动分析。2ersincoscotsincothhvv解：定系定系固连于机座。固连于机座。reavvv应用速度合成定理应用速度合成定理速度合成图如图所示。速度合成图如图所示。求得求得3. 加速度分析。加速度分析。,sinaCaa32Casincos2sinhaacreaaaaa投影到投影到Oy轴上，得轴上，得绝对加速度绝对加速度aa：大小待求大小待求，方向水平。方向水平。相对加速度

46、相对加速度ar：大小未知，方向沿大小未知，方向沿BO。 科氏加速度科氏加速度aC： , 方向方向OB 偏上方偏上方。rC2va根据加速度合成定理根据加速度合成定理求得滑块求得滑块A的加速度的加速度yx牵连加速度牵连加速度ae： , 方向沿方向沿BO 指向指向O。 sineha 2 例16 16 空气压缩机的工作以角速度空气压缩机的工作以角速度 绕垂直于图面的绕垂直于图面的O轴匀速运动，轴匀速运动，空气以相对速度空气以相对速度vr沿弯曲的叶片匀速流动，如图所示。如曲线沿弯曲的叶片匀速流动，如图所示。如曲线AB在在C点的曲率半径为点的曲率半径为，通过点，通过点C的法线与半径间夹的角为的法线与半径间

47、夹的角为，CO=r，求气，求气体微团在体微团在C点的绝对加速度点的绝对加速度aa。 运运 动动 演演 示示解：1. 选择动点，动系与定系。选择动点，动系与定系。动系动系Oxy，固连于工作轮。，固连于工作轮。2. 运动分析。运动分析。 绝对运动绝对运动平面曲线运动。平面曲线运动。牵连运动牵连运动绕轴绕轴O定轴转动。定轴转动。动点动点取气体微团。取气体微团。 相对运动相对运动沿曲线沿曲线AB运动。运动。定系定系固连于机座。固连于机座。3. 加速度分析。加速度分析。绝对加速度绝对加速度aa：大小方向均未知大小方向均未知。牵连加速度牵连加速度ae： ae = 2 r ，沿沿OC 指向指向O ；相对加速

48、度相对加速度ar： ar = vr 2 / ，方向方向如图如图。科氏加速度科氏加速度aC： 垂直于垂直于vr ，指向指向如图。如图。rr290sin2vvaC分别投影到分别投影到x ，y轴上轴上所以，绝对加速度的大小所以，绝对加速度的大小 sin)2(sin2sin02rrr2rCreavvvvaaaaxxxxrvvvvraaaayyyy2r2rr2r2Creacos)2(cos2cos2a2aayxaaa方向可由其方向余弦确定。方向可由其方向余弦确定。Creaaaaa根据加速度合成定理根据加速度合成定理 例17 17 凸轮在水平面上凸轮在水平面上向右作减速运动，如图所向右作减速运动，如图所示

49、。设凸轮半径为示。设凸轮半径为R，图示，图示瞬时的速度和加速度分别瞬时的速度和加速度分别为为v和和a。求杆。求杆AB在图示位在图示位置时的加速度。置时的加速度。 ABnRABnR 解：1. 选择动点，动系与定系。选择动点，动系与定系。动系动系Oxy，固连于凸轮。，固连于凸轮。2. 运动分析。运动分析。 绝对运动绝对运动直线运动。直线运动。牵连运动牵连运动水平平动。水平平动。动点动点 AB的端点的端点A 。 相对运动相对运动沿凸轮轮廓曲线运动。沿凸轮轮廓曲线运动。Oxy定系定系固连于机座。固连于机座。ABnROxy3. 速度分析。速度分析。 绝对速度绝对速度va：大小未知，方向沿杆大小未知，方向

50、沿杆AB 向上。向上。 相对速度相对速度vr：大小未知，方向沿凸轮大小未知，方向沿凸轮 圆周的切线圆周的切线 。 牵连速度牵连速度ve： ve= v ，方向水平向右。，方向水平向右。根据速度合成定理根据速度合成定理sinsinervvvreavvv可求得：可求得：ABnROxy 4. 加速度分析。加速度分析。绝对加速度绝对加速度aa：大小未知大小未知，为所要求的量，为所要求的量， 方向沿直线方向沿直线AB。相对加速度切向分量相对加速度切向分量art：大小未知大小未知，垂直于垂直于 OA，假设，假设指向指向右下。右下。牵连加速度牵连加速度ae： ae= a ，沿水平方沿水平方向向。相对加速度法向

51、分量相对加速度法向分量arn： aen = vr 2 / R，沿沿 着着OA，指向指向O。aeaanratra根据加速度合成定理根据加速度合成定理nrea cossinaaa上式投影到法线上式投影到法线 n 上，得上，得解得杆解得杆AB在图示位置时的加速度在图示位置时的加速度3222asin cot)sin cos( sin1RvaRvaarnrteaaaaaABnROxyaeaanratra铅直向下。铅直向下。 例18 18 火车火车M以等速以等速v0沿子午线自南往北行驶，如图所沿子午线自南往北行驶，如图所示。为了考虑地球的自转，设定坐标系以地心为原点，坐示。为了考虑地球的自转，设定坐标系以地心为原点，坐标轴分别指向恒星。地球的平均半径为标轴分别指向恒星。地球的平均半径为R。求火车求火车M在北纬在北纬度处的绝对加速度。度处的绝对加速度。 解：1. 选择动点与动系选择动点与动系动系动系O xy z ， 固结在地球固结在地球上，原点上，原点O 与地心重合，并使坐与地心重合，并使坐标面标面O y z与铁轨所在的子午与铁轨所在的子午面重合，面重合，O z轴与地轴重合轴与地轴重合。2. 运动分析运动分析 绝对运动绝对运动 空间曲线运动。空间曲线运动。 相对运动相对运动 M点在子