导数及其应用 1变化率与导数、导数的计算

1、3.1 3.1 变化率与导数、导数的计算变化率与导数、导数的计算第三编第三编 导数及其应用导数及其应用要点梳理要点梳理1.1.函数函数y y= =f f( (x x) )从从x x1 1到到x x2 2的平均变化率的平均变化率 函数函数y y= =f f( (x x) )从从x x1 1到到x x2 2的平均变化率为的平均变化率为 ， 若若x x= =x x2 2- -x x1 1,y y= =f f（x x2 2）- -f f（x x1 1），则平均变化率可），则平均变化率可表示为表示为 . .1212)()(xxxfxfxy基础知识基础知识 自主学习自主学习2.2.函数函数y y= =f

2、f（x x）在）在x x= =x x0 0处的导数处的导数 （1 1）定义）定义 称函数称函数y y= =f f（x x）在）在x x= =x x0 0处的瞬时变化率处的瞬时变化率 = = 为函数为函数y y= =f f（x x）在）在x x= =x x0 0处的导数，记作处的导数，记作f f（x x0 0）或）或y y|x x= =x x0 0， 即即f f(x x0 0)= =)= = . . （2 2）几何意义）几何意义 函数函数f f( (x x) )在点在点x x0 0处的导数处的导数f f(x x0 0) )的几何意义是在曲的几何意义是在曲线线y y= =f f（x x）上点）上点

3、 处的处的 . .相应相应地，切线方程为地，切线方程为 . .xxfxxfx)()(00lim0 xyxlim0 xyxlim0 xxfxxfx)()(00lim0( (x x0 0, ,f f( (x x0 0)切线的斜率切线的斜率y y- -y y0 0= =f f(x x0 0)()(x x- -x x0 0) )3.3.函数函数f f( (x x) )的导函数的导函数 称函数称函数f f(x x)=)= 为为f f（x x）的导函）的导函 数，导函数有时也记作数，导函数有时也记作y y.4.4.基本初等函数的导数公式基本初等函数的导数公式 xxfxxfx)()(lim0原函数原函数 导

4、函数导函数 f f（x x）= =c c f f(x x)=)=f f( (x x)=)=x xn n ( (n nQ Q* *) ) f f(x x)=)=f f( (x x)=sin )=sin x x f f(x x)=)=f f( (x x)=cos )=cos x x f f(x x)=)=f f( (x x)=)=a ax x f f(x x)=)=cos cos x x0 0-sin -sin x xa ax xln ln a a( (a a0)0)nxnxn n-1-1e ex x5.5.导数运算法则导数运算法则 （1 1）f f（x x）g g( (x x) )= = ; ;

5、 (2) (2)f f( (x x)g g( (x x) )= = ; ; (3) = ( (3) = (g g( (x x)0).)0).6.6.复合函数的导数复合函数的导数 复合函数复合函数y y= =f f( (g g( (x x)的导数和函数的导数和函数y y= =f f( (u u),),u u= =g g( (x x) )的的 导数间的关系为导数间的关系为y y = = ，即，即y y对对x x的的 导数等于导数等于 的导数与的导数与 的导数的乘积的导数的乘积. . f f( (x x)=e)=ex x f f(x x)=)=f f( (x x)=log)=loga ax x f

6、f(x x)=)=f f( (x x)=ln )=ln x x f f(x x)=)=( (a a0,0,且且a a1)1)axln1x1f f(x x) )g g(x x) )f f(x x) )g g( (x x)+)+f f( (x x) )g g(x x) )()(xgxf2)()()()()(xgxgxfxgxfy yu uy y对对u uu u对对x xx xu ux x基础自测基础自测1.1.在曲线在曲线y y= =x x2 2+1+1的图象上取一点（的图象上取一点（1 1，2 2）及附近一点）及附近一点 （1+1+x x，2+2+y y），则），则 为为（） A.A.x x+

7、+2+ +2B.B.x x- -2- -2 C. C.x x+2+2D.2+D.2+x x- - 解析解析 y y= =（1+1+x x）2 2+1-1+1-12 2-1=(-1=(x x) )2 2+2+2x x, , = =x x+2.+2.Cxyx1x1x1xy2.2.设正弦函数设正弦函数y y=sin =sin x x在在x x=0=0和和x x= = 附近的平均变化率附近的平均变化率为为k k1 1, ,k k2 2, ,则则k k1 1, ,k k2 2的大小关系为的大小关系为（） A.A.k k1 1k k2 2B.B.k k1 1k k2 2 C. C.k k1 1= =k k

8、2 2D.D.不确定不确定 解析解析 y y=sin =sin x x,y y=(sin =(sin x x)=cos )=cos x x, , k k1 1=cos 0=1=cos 0=1，k k2 2=cos =0=cos =0，k k1 1k k2 2. .2A23.3.曲线曲线y y= =x x3 3-3-3x x2 2+1+1在点（在点（1 1，-1-1）处的切线方程为）处的切线方程为（） A.A.y y=3=3x x-4-4B.B.y y=-3=-3x x+2+2 C. C.y y=-4=-4x x+3+3D.D.y y=4=4x x-5-5 解析解析 由由y y=3=3x x2

9、2-6-6x x在点（在点（1 1，-1-1）的值为）的值为-3-3，故切，故切线方程为线方程为y y+1=-3(+1=-3(x x-1)-1)，即，即y y=-3=-3x x+2.+2.B4.4.若函数若函数y y= =f f( (x x) )在在R R上可导且满足不等式上可导且满足不等式xf xf(x x) )- -f f( (x x) )恒成立，且常数恒成立，且常数a a, ,b b满足满足a ab b, ,则下列不等式一定成则下列不等式一定成立的是立的是（） A.A.af af( (b b) )bf bf( (a a) )B.B.af af( (a a) )bf bf( (b b) )

10、 C. C.af af( (a a) )bf bf( (b b) )D.D.af af( (b b) )bf bf( (a a) ) 解析解析 令令g g( (x x)=)=xf xf( (x x),),g g(x x)=)=xf xf(x x)+)+f f( (x x) )0.0. g g( (x x) )在在R R上为增函数，上为增函数，a ab b, , g g（a a) )g g( (b b),),即即af af( (a a) )bf bf( (b b).).B5.5.设设P P为曲线为曲线C C：y y= =x x2 2+2+2x x+3+3上的点，且曲线上的点，且曲线C C在点在点

11、P P处处切线倾斜角的取值范围是切线倾斜角的取值范围是00， ，则点，则点P P横坐标的横坐标的取值范围为取值范围为（） A. A. B.B.-1-1，0 0 C.C.0 0，1 1D.D. 解析解析 y y= =x x2 2+2+2x x+3+3，y y=2=2x x+2.+2. 曲线在点曲线在点P P( (x x0 0, ,y y0 0) )处切线倾斜角的取值范围是处切线倾斜角的取值范围是 0, ,0, , 曲线在点曲线在点P P处的切线斜率处的切线斜率00k k1. 1. 02 02x x0 0+21,-1+21,-1x x0 0 . .A421, 11 ,21421题型一题型一 利用导

12、数的定义求函数的导数利用导数的定义求函数的导数【例例1 1】求函数求函数y y= = 在在x x0 0到到x x0 0+x x之间的平均变化之间的平均变化 率率. . 紧扣定义紧扣定义 进行进行 计算计算. . 解解xxfxxfxy)()(00思维启迪思维启迪11)(2020 xxxy.11)(211)()(211)(11)(2020020202020202020 xxxxxxyxxxxxxxxxxxx12x题型分类题型分类 深度剖析深度剖析探究提高探究提高 求函数求函数 f f（x x）平均变化率的步骤：）平均变化率的步骤：求函数值的增量求函数值的增量f f = = f f（x x2 2）-

13、 - f f（x x1 1）；）；计算平均变化率计算平均变化率解这类题目仅仅是简单套用公式，解答过程相对简解这类题目仅仅是简单套用公式，解答过程相对简单，只要注意运算过程就可以了单，只要注意运算过程就可以了. .)()(1212xxxfxfxf知能迁移知能迁移1 1 利用导数定义，求函数利用导数定义，求函数 在在x x=1=1处处的导数的导数. . 解解 方法一方法一 （导数定义法）（导数定义法）.21,21111lim,11111, 1110 xyxxxxxyxyxxy方法二方法二 （导函数的函数值法）（导函数的函数值法）.21.211lim,1,10 xyxxxxxxxxxxxxyxxxy

14、x题型二题型二 导数的运算导数的运算【例例2 2】求下列函数的导数求下列函数的导数. . （1 1）y y=2=2x x3 3+ +x x-6-6； （2 2）y y= = ； （3 3）y y=(=(x x+1)(+1)(x x+2)(+2)(x x+3)+3)； （4 4）y y=-sin (1-2cos=-sin (1-2cos2 2 ）；）； （5 5） . . 如式子能化简的，可先化简，再利用导如式子能化简的，可先化简，再利用导数公式和运算法则求导数公式和运算法则求导. .25sinxxxx2x4xxxy1111思维启迪思维启迪解解 （1 1）y y=6=6x x2 2+1.+1.c

15、ossin2323)sin()()(,sinsin)2(23225232323232521xxxxxxxxxxyxxxxxxxxy(3)(3)方法一方法一 y y=(=(x x2 2+3+3x x+2)(+2)(x x+3)+3)= =x x3 3+6+6x x2 2+11+11x x+6+6，y y=3=3x x2 2+12+12x x+11.+11.方法二方法二y y=( (x x+1)(+1)(x x+2)+2)(x x+3)+(+3)+(x x+1)(+1)(x x+2)(+2)(x x+3)+3)= =( (x x+1)(+1)(x x+2)+(+2)+(x x+1)(+1)(x x

16、+2)+2)( (x x+3)+(+3)+(x x+1)(+1)(x x+2)+2)=(=(x x+2+2+x x+1)(+1)(x x+3)+(+3)+(x x+1)(+1)(x x+2)+2)=(2=(2x x+3)(+3)(x x+3)+(+3)+(x x+1)(+1)(x x+2)+2)=3=3x x2 2+12+12x x+11.+11.)1 (2)1 ()1 (2)12(,12)1)(1 (111111)5(22xxxxyxxxxxxxy.cos21)(sin21)sin21(,sin21)2cos(2sin)4(xxxyxxxy 求函数的导数要准确地把函数分割为基本求函数的导数要

17、准确地把函数分割为基本函数的和、差、积、商及其复合运算，再利用运算法函数的和、差、积、商及其复合运算，再利用运算法则求导数则求导数. .在求导过程中，要仔细分析函数解析式的在求导过程中，要仔细分析函数解析式的结构特征，紧扣求导法则，联系基本函数求导公式结构特征，紧扣求导法则，联系基本函数求导公式. .对于不具备求导法则结构形式的要适当恒等变形，如对于不具备求导法则结构形式的要适当恒等变形，如（3 3）小题）小题; ;对于比较复杂的函数，如果直接套用求导对于比较复杂的函数，如果直接套用求导法则，会使求导过程繁琐冗长，且易出错，此时，可法则，会使求导过程繁琐冗长，且易出错，此时，可将解析式进行合理

18、变形，转化为较易求导的结构形将解析式进行合理变形，转化为较易求导的结构形式，再求导数，如（式，再求导数，如（2 2）、（）、（4 4）、（）、（5 5）都是如此）都是如此. .但但必须注意变形的等价性，避免不必要的运算失误必须注意变形的等价性，避免不必要的运算失误. .探究提高探究提高知能迁移知能迁移2 2 求下列函数的导数求下列函数的导数. . （1 1）y y=5=5x x2 2-4-4x x+1+1；(2)(2)y y=(2=(2x x2 2-1)(3-1)(3x x+1)+1)； （3 3）y y= .= . 解解 (1)(1)y y=(5=(5x x2 2-4-4x x+1)+1)

19、=(5 =(5x x2 2)-(4)-(4x x)+(1)=10)+(1)=10 x x-4.-4. (2) (2)y y=(2=(2x x2 2-1)(3-1)(3x x+1)=6+1)=6x x3 3+2+2x x2 2-3-3x x-1,-1, y y=(6=(6x x3 3+2+2x x2 2-3-3x x-1)-1) =(6 =(6x x3 3)+2()+2(x x2 2)-(3)-(3x x)-(1)-(1) =18 =18x x2 2+4+4x x-3.-3.xxxxsincos.)sin(1cossinsincos)sin()cos1)(cos()sin)(sin1 ()sin

20、()sin)(cos()sin()cos()3(222xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxy【例例3 3】求下列复合函数的导数求下列复合函数的导数. . (1) (1)y y=(2=(2x x-3)-3)5 5; ; (2) (2)y y= ;= ; (3) (3)y y=sin=sin2 2（2 2x x+ + ）; ; (4) (4)y y=ln(2=ln(2x x+5).+5).3x3思维启迪思维启迪 先正确地分析函数是由哪些基本函数经过先正确地分析函数是由哪些基本函数经过怎样的顺序复合而成怎样的顺序复合而成; ;求导时求导时, ,可设出中间变量可设出中间变量, ,注意注

21、意要逐层求导不能遗漏要逐层求导不能遗漏, ,每一步对谁求导每一步对谁求导, ,不能混淆不能混淆. .解解 (1)(1)设设u u=2=2x x-3,-3,则则y y=(2=(2x x-3)-3)5 5由由y y= =u u5 5与与u u=2=2x x-3-3复合而成复合而成, ,y y=f f(u u)u u(x x)=()=(u u5 5)(2)(2x x-3)=5-3)=5u u4 422=10=10u u4 4=10(2=10(2x x-3)-3)4 4. .（2 2）设）设u u=3-=3-x x, ,则则y y= = 由由y y= =u u 与与u u=3-=3-x x复合而成复合

22、而成. .x321.62332121) 1(21)3()()()(212121xxxuuxuxuufy 由复合函数的定义可知，中间变量的选择由复合函数的定义可知，中间变量的选择应是基本函数的结构，解这类问题的关键是正确分析应是基本函数的结构，解这类问题的关键是正确分析函数的复合层次，一般是从最外层开始，由外向内，函数的复合层次，一般是从最外层开始，由外向内，一层一层地分析，把复合函数分解成若干个常见的基一层一层地分析，把复合函数分解成若干个常见的基本函数，逐步确定复合过程本函数，逐步确定复合过程. .探究提高探究提高(3)(3)设设y y= =u u2 2, ,u u=sin =sin v v

23、, ,v v=2=2x x+ ,+ ,（4 4）设）设y y=ln =ln u u, ,u u=2=2x x+5,+5,则则32cos2 vvvuuyyxux则).324sin(2)32cos()32sin(4xxxxuxuyy .522)52(521xxxy知能迁移知能迁移3 3 求下列复合函数的导数求下列复合函数的导数. . (1) (1)y y= ;= ; (2) (2)y y= =x x ; ; (3) (3) 解解 (1)(1)y y=-3(1-3=-3(1-3x x) )-4-4(1-3(1-3x x)= .)= . 3)31 (1x12x).0()3cos(xy4)31 (9x)

24、0)(3sin(3) 3(.11212211)2(2222xyxxxxxxy题型三题型三 导数的几何意义导数的几何意义【例例4 4】 （1212分）已知曲线方程为分）已知曲线方程为y y= =x x2 2, , （1 1）求过）求过A A（2 2，4 4）点且与曲线相切的直线方程；）点且与曲线相切的直线方程； （2 2）求过）求过B B（3 3，5 5）点且与曲线相切的直线方程）点且与曲线相切的直线方程. . （1 1）A A在曲线上在曲线上, ,即求在即求在A A点的切线方程点的切线方程. . （2 2）B B不在曲线上，设出切点求切线方程不在曲线上，设出切点求切线方程. . 解解 （1 1

25、）A A在曲线在曲线y y= =x x2 2上上, , 过过A A与曲线与曲线y y= =x x2 2相切的直线只有一条，且相切的直线只有一条，且A A为切点为切点. . 2 2分分 由由y y= =x x2 2, ,得得y y=2=2x x,y y|x x=2=2=4, 4=4, 4分分 因此所求直线的方程为因此所求直线的方程为y y-4=4(-4=4(x x-2),-2), 即即4 4x x- -y y-4=0.-4=0. 6 6分分 思维启迪思维启迪（2 2）方法一方法一 设过设过B B（3 3，5 5）与与曲线曲线y y= =x x2 2相切的直线相切的直线方程为方程为y y-5=-5

26、=k k( (x x-3),-3),即即y y= =kxkx+5-3+5-3k k, 8, 8分分 y y= =k kx x+5-3+5-3k k, , y y= =x x2 2得得x x2 2- -k kx x+3+3k k-5=0,=-5=0,=k k2 2-4(3-4(3k k-5)=0.-5)=0.整理得整理得:(:(k k-2)(-2)(k k-10)=0,-10)=0,k k=2=2或或k k=10.=10.1010分分所求的直线方程为所求的直线方程为2 2x x- -y y-1=0,10-1=0,10 x x- -y y-25=0.-25=0.1212分分方法二方法二 设切点设切

27、点P P的坐标为的坐标为( (x x0 0, ,y y0 0),),由由y y= =x x2 2得得y y=2=2x x, , x x= =x x0 0=2=2x x0 0, ,8 8分分由已知由已知k kPAPA=2=2x x0 0, ,即即 =2=2x x0 0. .又又y y0 0= = 代入上式整理得代入上式整理得: :x x0 0=1=1或或x x0 0=5,=5,1010分分切点坐标为切点坐标为(1,1),(5,25),(1,1),(5,25),所求直线方程为所求直线方程为2 2x x- -y y-1=0,10-1=0,10 x x- -y y-25=0.-25=0.1212分分0

28、035xy20 x由由|y 探究提高探究提高 （1 1）解决此类问题一定要分清）解决此类问题一定要分清“在某点在某点处 的 切 线处 的 切 线” ， 还是， 还是 “过某点的切线过某点的切线 ” 的 问 法的 问 法 . .（2 2）解决）解决“过某点的切线过某点的切线”问题，一般是设出切点问题，一般是设出切点坐标为坐标为P P（x x0 0，y y0 0），然后求其切线斜率），然后求其切线斜率k k= =f f(x x0 0),),写出其切线方程写出其切线方程. .而而“在某点处的切线在某点处的切线”就是指就是指“某某点点”为切点为切点. .（3 3）曲线与直线相切并不一定只有一个公共点，

29、当）曲线与直线相切并不一定只有一个公共点，当曲线是二次曲线时，我们知道直线与曲线相切，有且曲线是二次曲线时，我们知道直线与曲线相切，有且只有一个公共点，这种观点对一般曲线不一定正确只有一个公共点，这种观点对一般曲线不一定正确. .知能迁移知能迁移4 4 已知曲线已知曲线 . .(1)(1)求曲线在求曲线在x x=2=2处的切线方程；处的切线方程；(2)(2)求曲线过点（求曲线过点（2 2，4 4）的切线方程）的切线方程. .解解 （1 1）y y=x x2 2, ,在点在点P P（2 2，4 4）处的切线的斜率）处的切线的斜率k k= =y y|x x=2=2=4.=4.曲线在点曲线在点P P

30、（2 2，4 4）处的切线方程为）处的切线方程为y y-4=4(-4=4(x x-2),-2),即即4 4x x- -y y-4=0.-4=0.34313xy（2 2）设曲线）设曲线 与过点与过点P P（2 2，4 4）的切线）的切线相切于点相切于点 ，则切线的斜率则切线的斜率k k= =y y|x x= =x x = .= .切线方程为切线方程为y y- -即即34313xy)3431,(300 xxA0 0),()3431(02030 xxxx.34323020 xxxy20 x点点P P（2 2，4 4）在切线上，）在切线上，4=4=即即( (x x0 0+1)(+1)(x x0 0-2

31、)-2)2 2=0,=0,解得解得x x0 0=-1=-1或或x x0 0=2,=2,故所求的切线方程为故所求的切线方程为4 4x x- -y y-4=0-4=0或或x x- -y y+2=0.+2=0.,343223020 xx, 0432030 xx. 0) 1)(1(4) 1(, 04400020202030 xxxxxxx方法与技巧方法与技巧1.1.在对导数的概念进行理解时，特别要注意在对导数的概念进行理解时，特别要注意f f( (x x0 0) )与与( (f f( (x x0 0)是是不一不一样的，样的，f f( (x x0 0) )代表函数代表函数f f( (x x) )在在x

32、x= =x x0 0处的导数处的导数值值，不一定不一定为为0 0；而；而( (f f( (x x0 0)是是函函数值数值f f( (x x0 0) )的导数，而函数的导数，而函数值值f f( (x x0 0) )是是一一个常量，个常量，其其导数导数一一定为定为0 0，即，即( (f f( (x x0 0)=0.=0.2.2.对对于于函数求导，函数求导，一一般般要遵要遵循先化简，循先化简，再再求导的基本求导的基本原则原则，求导，求导时时，不但，不但要重要重视视求导法求导法则则的的应用应用，而且，而且要要特特别别注意注意求导法求导法则则对求导的对求导的制约作制约作用用，在实在实施施化化简简时时，首

33、首先必须先必须注意注意变换的等价性，避免不必变换的等价性，避免不必要要的的运运算失算失误误. .思想方法思想方法 感悟提高感悟提高3.3.复合函数的求导方法复合函数的求导方法 求复合函数的导数，一般是运用复合函数的求导法求复合函数的导数，一般是运用复合函数的求导法 则，将问题转化为基本函数的导数解决则，将问题转化为基本函数的导数解决. . （1 1）分析清楚复合函数的复合关系是由哪些基本函）分析清楚复合函数的复合关系是由哪些基本函数复合而成的，适当选定中间变量；数复合而成的，适当选定中间变量； （2 2）分步计算中的每一步都要明确是对哪个变量求）分步计算中的每一步都要明确是对哪个变量求导，而其

34、中特别要注意的是中间变量的关系；导，而其中特别要注意的是中间变量的关系； （3 3）根据基本函数的导数公式及导数的运算法则，）根据基本函数的导数公式及导数的运算法则，求出各函数的导数，并把中间变量转换成自变量的求出各函数的导数，并把中间变量转换成自变量的函数；函数； （4 4）复合函数的求导熟练以后，中间步骤可以省略，）复合函数的求导熟练以后，中间步骤可以省略，不必再写出函数的复合过程不必再写出函数的复合过程. .失误与防范失误与防范1.1.利用导数定义求导数时，要注意到利用导数定义求导数时，要注意到x x与与x x的区别，的区别，这里的这里的x x是常量，是常量，x x是变量是变量. .2.

35、2.利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆防止与乘法公式混淆. .3.3.求曲线切线时，要分清点求曲线切线时，要分清点P P处的切线与过处的切线与过P P点的切点的切 线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者. .4.4.曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差别和研究直线与二次曲线相切时有差别. .一、选择题一、选择题1.1.一质点沿直线运动，如果由始点起经过一质点沿直线运动，如果由始点起经过t t秒后的

36、位秒后的位 移为移为 ，那么速度为零的时刻是，那么速度为零的时刻是 （） A.0A.0秒秒B.1B.1秒末秒末 C.2C.2秒末秒末D.1D.1秒末和秒末和2 2秒末秒末 解析解析 v v= =s s（t t）= =t t2 2-3-3t t+2+2， 令令v v=0=0，得，得t t1 1= =1 1,t ,t2 2= =2.2.ttts2233123D,2233123ttts定时检测定时检测2.2.若点若点P P是曲线是曲线y y= =x x2 2-ln -ln x x上任意一点，则点上任意一点，则点P P到直线到直线y y= =x x-2-2的最小距离为（的最小距离为（）A.1A.1B.

37、 B. C. C. D.D. 解析解析 过点过点P P作作y y= =x x-2-2的平行直线的平行直线, ,且与曲线且与曲线y y= =x x2 2-ln-lnx x 相切，设相切，设P P（x x0 0, ,x x -ln -ln x x0 0）, ,则则k k= =y y|x x= =x x0 0=2=2x x0 0- - 2 2x x0 0- =1,- =1,x x0 0=1=1或或x x0 0= (= (舍去舍去).). P P(1,1),(1,1),222B20,10 x01x21. 211|211 |d33.3.若曲线若曲线y y= =x x4 4的一条切线的一条切线l l与直线

38、与直线x x+4+4y y-8=0-8=0垂直，则垂直，则l l的的 方程为方程为（） A.4A.4x x- -y y-3=0-3=0B.B.x x+4+4y y-5=0-5=0 C.4 C.4x x- -y y+3=0+3=0D.D.x x+4+4y y+3=0+3=0 解析解析 y y=4=4x x3 3=4,=4,得得x x=1,=1,即切点为（即切点为（1 1，1 1），所以），所以过该点的切线方程为过该点的切线方程为y y-1=4(-1=4(x x-1),-1),整理得整理得4 4x x- -y y-3=0.-3=0.A4.4.曲线曲线y y=e=ex x在点（在点（2 2，e e2

39、 2）处的切线与坐标轴所围三角）处的切线与坐标轴所围三角 形的面积为形的面积为 （ ） A. B.2eA. B.2e2 2 C.eC.e2 2 D.D. 解析解析 点（点（2 2，e e2 2）在曲线上，）在曲线上， 切线的斜率切线的斜率k k= =y y|x x=2=2=e=ex x| |x x=2=2=e=e2 2, , 切线的方程为切线的方程为y y-e-e2 2=e=e2 2( (x x-2).-2). 即即e e2 2x x- -y y-e-e2 2=0.=0. 与两坐标轴的交点坐标为（与两坐标轴的交点坐标为（0 0，-e-e2 2），（），（1 1，0 0），）， S S= =D2

40、e492e2.2ee121225.5.（20092009全国全国理，理，9 9）已知直线已知直线y y= =x x+1+1与曲线与曲线y y=ln(=ln(x x+ +a a) )相切，则相切，则a a的值为的值为（）A.1A.1B.2B.2C.-1C.-1D.-2D.-2 解析解析 设直线设直线y y= =x x+1+1与曲线与曲线y y=ln(=ln(x x+ +a a) )的切点为的切点为（x x0 0, ,y y0 0）, ,则则y y0 0=1+=1+x x0 0, ,y y0 0=ln(=ln(x x0 0+ +a a),),又又y y= 即即x x0 0+ +a a=1.=1.又

41、又y y0 0=ln(=ln(x x0 0+ +a a),), y y0 0=0,=0,x x0 0=-1,=-1,a a=2.=2.B,1ax, 11|00axyxx6.6.（20092009安徽文，安徽文，9 9）设函数设函数 其中其中 ，则导数，则导数f f(1)(1)的取值范围的取值范围是是 （ ） A.A.-2-2，2 2B.B. ， C.C. ，2 2D.D. ，2 2 解析解析 由已知由已知f f(x x)=sin )=sin x x2 2+ cos + cos x x, ,D,tan232cos33sin)(xxxf125, 023323.2)1(2,1)3sin(22,433

42、3.125,03sin2cos3sin)1(f，f又二、填空题二、填空题7.7.如图所示，函数如图所示，函数f f( (x x) )的图象是折线段的图象是折线段ABCABC，其中，其中A A，B B, ,C C的坐标分别为（的坐标分别为（0 0，4 4）, ,（2 2，0 0）, ,（6 6， 4 4），），则则f f（f f（0 0）= = ； . .（用数字作答）（用数字作答）xfxfx) 1 ()1 (lim0解析解析 由由A A（0 0，4 4），），B B（2 2，0 0）可得线段）可得线段ABAB所在直所在直线的方程为线的方程为f f( (x x)=-2)=-2x x+4 (0+4

43、 (0 x x2).2).同理同理BCBC所在直线所在直线的方程为的方程为f f( (x x)=)=x x-2 (2-2 (2x x6).6). -2 -2x x+4(0+4(0 x x2),2), x x-2(2-2(2x x6),6),所以所以f f(0)=4,(0)=4,f f(4)=2.(4)=2. f f(1)=-2.(1)=-2.答案答案 2 -22 -2所以所以f f( (x x)=)=xfxfx) 1 ()1 (lim08.8.（20092009福建理，福建理，1414）若曲线若曲线f f( (x x)=)=axax5 5+ln +ln x x存在垂存在垂直于直于y y轴的切线

44、，则实数轴的切线，则实数a a的取值范围是的取值范围是 . . 解析解析 f f(x x)=5)=5axax4 4+ ,+ ,x x(0,+),(0,+), 由题知由题知5 5axax4 4+ =0+ =0在（在（0 0，+）上有解）上有解. . 即即a a=- =- 在（在（0 0，+）上有解）上有解. . x x(0,+), (-,0).(0,+), (-,0). a a(-,0).(-,0).(-,0)(-,0)x1x1551x551x9.9.（20092009江苏，江苏，9 9）在平面直角坐标系在平面直角坐标系xOyxOy中，点中，点P P在曲线在曲线C C：y=xy=x3 3- -1

45、010 x+x+3 3上，且在第二象限内，已知上，且在第二象限内，已知曲线曲线C C在点在点P P处的切线斜率为处的切线斜率为2 2，则点，则点P P的坐标为的坐标为 . . 解析解析 设设P P（x x0 0, ,y y0 0）( (x x0 00),0),由题意知由题意知 =2,=2, =4.=4.x x0 0=-2,=-2,y y0 0=15.=15. P P点的坐标为（点的坐标为（-2-2，1515）. .（-2-2，1515）103|200 xyxx20 x三、解答题三、解答题10.10.求曲线求曲线f f( (x x)=)=x x3 3-3-3x x2 2+2+2x x过原点的切线方程过原点的切线方程. . 解解 f f(x x)=3)=3x x2 2-6-6x x+2.+2.设切线的斜率为设切线的斜率为k k. . （1 1）当切点是原点时）当切点是原点时k k= =f f(0)=2,(0)=2, 所以所求曲线的