论积分学中微元法思想及其应用

1、目 录摘要2关键字2Abstract2Key Words 2绪论1、微积分学中微元法思想的起源与发展3 1.1微元法思想的起源31.2 微积分的现代发展51.3中国古代数学对微积分创立的贡献62、微元法的基本思想2. 1 微元法的概念及理论2.2 微元法使用的一般条件2.3 微元法的解题步骤3、几何学中微元法思想及其应用3.1 定积分中平面图形微元法的思想及几何应用3.2 二重积分中微元法的思想及几何应用4、微元法在其他学科中的应用总结参考文献答谢论积分学中的微元法思想及其应用专业：数学与应用数学 摘 要: 积分学中微元法思想是这一学科的非常重要的思想，它的合理运用可以使原本复杂的问题变得更为

2、简单易行,并且在实际生活中此理论也得到了非常广泛的应用，本论文将重点论述微元法的思想和它的几何应用,使读者对微元法有更深刻的理解,然后介绍微元法在物理学，经济学上的应用,解决一些具体的实际问题关键词： 微元法，定积分，几何应用，面积，基本思想ABSTRACTIntegral micro-element method is a very important ideological thinking of the discipline ，It can make rational use of the original problem becomes more complicated simple,

3、 And in real life, this theory has also been a very wide range of applications, This thesis focuses on the ideas of micro element method and its geometric applications, Micro-element method for the reader a deeper understanding ，Then describes the application of micro-element method in physics, econ

4、omics ，Solve some specific practical problems Key Words: Micro-element method，Definite integral，Geometry ，Area，The basic idea绪 论微元法的使用使原本复杂的积分问题变得容易处理。本论文将给出微元法的思想、使用条件及几何应用,使对微元法有更深刻的认识,然后介绍微元法在其他上的应用,解决一些具体的实际问题,并研究如何使用微元法更加简单、高效.现阶段微元法思想已经被广泛的使用在微积分学理论及其他学科中，解决了定积分方面和生活中数学问题等问题，显示出微元法的方便之处，但对于微元法

5、思想及其应用各个书籍都介绍的较少，尽管微元法思想既是极限思想较为简单，但通过对微元法的思想的深入研究可以使这种思想深入到人们思想中，更好的把微元法思想使用到实际生活中。1、 微积分学中微元法思想的起源与发展1.1微元法思想的起源微积分是微分学和积分学的统称，而微元法思想则是微分学的主要思想，它的萌芽、发生与发展经历了漫长的时期。公元前300年左右，希腊的数学家、物理学家阿基米德在解决抛物弧形的面积、球行面积和双曲旋转体的体积等问题时就已经有了关于微分再积分的初步想法，但后来的数学们都没能对这种微积分思想进行突破和发展，直到到1800年前后，由于社会的发展、工业革命的进行出现了火松制造，矿山的开

6、发，开普勒发现行星运动规律和航海的需要等一系列的力学和有关数学的问题，迫切的需要运用数学工具去解决这些问题，于是微积分学就开始得到了发展。总的来说，可有四个种类的问题：1.研究运动的时候直接出现的，也就是求瞬时速度的问题。2.求切线的问题。3.求函数的最值问题。4.求不规则曲线弧长、不规则图形的面积、不规则物体的体积、以及物理学中的万有引力等问题。在十七世纪的许多著名科学家都对微积分的创立做出重要贡献如，而牛顿和莱布尼茨是这些科学家中对微积分的创立做出的贡献最为突出：1.牛顿牛顿研究的微积分是从物理学的角度进行的，他为了解决其中的运动问题，创造了“流数术”的理论，这其实即是后来的微积分理论。牛

7、顿还创作了许多关于微积分著作这些理论是力的数学反映，牛顿一切变量都看作是流量。 牛顿给出的“流数术”大致上包含三个方面的内容：1. 已知的流量关系，求流数之间的关系，为积分的内容。2.已知流数的关系，求相应的流量之间的关系。为微分学的内容。3. 流技术的应用包括计算极值曲线，需求曲线的切线和曲率，需求曲线并计算曲边图形区面积。最终牛顿建立了积分与微分的互逆关系的理论，即微积分的最后一步。2.莱布尼茨德国数学家莱布尼茨则是通过在几何方面的研究的微积分。与牛顿创立的微积分不同，莱布尼茨是经过研究不规则曲线的切线和不规则曲线所围的面积，同时还引入了一种沿用到至今的简洁的数学符号，运用分析学的方法引进

8、了微积分概念，得出运算法则的，使得微积分更具有可读性和运用性。而牛顿在微积分的研究上更多地结合了物理学，从理论上看牛顿的研究更加先进，但莱布尼茨所采用的表达方式及运算符号更加简洁，方便，从而使得微积分更容易被读者理解和接受。 尽管牛顿与莱布尼茨各自都创立了微积分且较为完整，但在某些方便仍存在缺点，如对于无穷小量的说明没有解释清楚，甚至说是混乱，这也使得起初的微积分理论被很多数学家质疑和批判，这也使得第二次数学危机的产生。直到19世纪早期，科学家对微积分的基础工作重新研究并使其根基完善，其中法国科学家柯西就是对微积分研究的一个代表，他建立了极限理论，后来又经过德国数学家维尔斯特拉斯进一步的完善与

9、补充，最终运用极限理论来巩固了微积分这座大厦的根基，才使微积分进一步的发展开来。微积分在发展的过程中与数学的其他的分支结合交融，形成了一个庞大的数学学科。1.2微积分的现代发展由于19世纪科学家已经将微积分这座大厦的根基巩固了，所以随着后来时代的发展，微积分也得到了不断地发展与完善，下面将举例说明微积分得到不断地发展与完善。 法国数学家柯西在原有微积分基础上进行进一步完善了微积分，他的极数理论使得微积分的根基得到了巩固，而德国数学家黎曼又将柯西的积分理论进行了补充和扩展，后来法国数学家拉格朗日引如了测度理论，同时黎曼积分也得到扩充。像著名的狄利克雷函数在黎曼积分下不可积，而在拉格朗日积分下便可

10、积。前苏联数学家所伯列夫给出了广义函数及广义导数的理论，从而他也证明了偏微分方程解的存在性和唯一性定理。而偏微分方程解的存在性和唯一性这样定理的成功证明使得微分方程得到了空前的补充与完善，更具意义的是，它把现有的数学工具如泛函分析等应用到微分方程里面成为了可能，即而微分方程理论得到了空前的发展。随着时间的进行只局限于研究欧式空间下的微积分已经满足不了数学本身发展和解决问题的需要，这也促使打破欧式空间下的微积分研究的局限，把欧式空间下的微积分的研究拓展的一般的微积分的研究，即是微分流形上的研究。对于微分流形上的微积分的研究，外微分式有着重要的地位，从而外微分式的积分和微分流形上的Stokes公式

11、产生了。 从微积分的发展可以看出，人对事物的认识是从表象到本质的认识，继而产生抽象的认识。而人们对事物的认识是具有时代性的，不同的时代对事物有着不同的认识，因为科学是不断在发展的，人们对事物的认识也是在不断地深入，不断地完善和全面。人类对事物的认识和对知识的渴望是没有终点的。1.3中国古代数学对微积分创立的贡献对于微积分的重要组成部分极限概念和求积的无限小方法的研究古代中国丝毫不落后于西方，甚至在西方之前中国就已经对微积分开始研究了。公元前7世纪在老子和庄子哲学思想和著作中就已经有无限可分性和极限思想的理论；到了公元前4世纪在墨经中已经出现了较为成熟的无穷大（最大无外），无穷，有穷，无限小（最

12、小无内）的定义以及瞬时，极限等概念。魏晋南北朝数学家刘徽根据自己开创的割圆术求圆面积，已经将圆周率的计算精确到小数点四位，他的极限理论和无穷小方法已经在当时世界是最先进的，而这种微积分思想在17世纪初的西方国家才开始初步的出现和发展。 这种极限理论和无穷小方法理论的研究在古代中国不仅仅只有刘徽在研究，公元5世纪的祖恒在求球的体积时就已经用到了极限理论和无穷小方法。而对于高阶的等差级数求和问题在古代中国的北宋时期就已经有了研究且得到了较为成熟的发展和运用，其中代表人物是沈括，他创立的“隙积术”，“会圆术”，“棋局都数术”等数学方法就可以体现到当时对高阶等差级数求和理论的深入研究。到了南宋秦九韶的

13、数书九章的问世具有划时代意义，其中的增乘开方法解任意次数字（高次）方程近似解即大衍求一术的方法更是闻名世界。在十四世纪前后可以说是中国古代数学发展的一个高峰，有被称为贾宪三角形的开方作法本源图， 组合数学，大衍求一术，招差术（高次差内差法），大衍总数术（一次同余式组解法），勾股数学，四元术（四元高次方程组解法），垛积术（高阶等差级数求和），珠算，天元术（数字高次方程一般解法），正负开方术，弧矢割圆术，增乘开方法，计算技术改革等数学理论在当时的中国乃至世纪都是非常著名的，这也使得古代数学在世纪有了举足轻重的地位。总体来说古代中国的微积分理论比西方早了500多年，中国古代数学家出色的完成了创立微积

14、分的前两个阶段即极限概念和求积的无限小方法，也是最关键的阶段，然而对于最后一个阶段积分与微分的互逆关系的理论却由于中国元朝时代的体制而导致了无法圆满的完成这一理论，元朝的八股取士制度在学术发展上产生的极大的阻碍，尤其是数学的研究，古代的中国已经无限的接近微积分理论的完成，可就在微积分创立的关键时刻这一理论被阻碍了，从而导致了微积分发展的停滞，最后使得在微积分方面的研究落伍了。2、微元法的基本思想abx图2.1 微元法的意义 2.1微元法的概念及理论微元法的概念从定积分的角度来看，其主要思想是：在微观条件下，对于曲线，曲顶和不均匀物体经过无穷次得微分之后在微小部分都可以看做是直线，平面和均匀的。

15、简单地说，就是以“直”代“曲”，以“不变”代“变”的思想.从宏观的角度，对于求y=f（x）在a, b上与x轴所围的面积S时，如图2.1所示，在区间a, b上任取一点x，取宽度为，当很小时，可以认为在区间上f（x）是一条直线，于是有这个小矩形的面积可表示为：此时把称作为“面积微元”。把所以的小矩形面积dS全部累加求和便得到图形的面积S值。这种累加是通过积分来实现的，即此求面积S的问题可用定积分来计算应具有的两个特点：1.区间的可加性，此条件是显然的；2.表达出小矩形面积，即 （2.1）对于其中的是很好表达出的既是“长乘宽”。但对于却是很难表示出，其实即为高阶的无穷小量，故此项就可以忽略舍去，所以

16、也就可以表示为： （2.2）其中的既是,则称为面积S的面积微元，简称微元。所以用定积分求面积问题其关键在于求出面积微元即可。设在是连续的函数，作它的上限可变的积分表达式： （2.3）是的一个原函数，即.于是， （2.4）这表明连续函数的定积分就是（2.1）的微分的定积分.由理论依据（2.2）可知，所求总量就是其微分从到的无限累加得，这种取微元计算积分的方法称为微元法.如求在公路上做非匀速行驶的汽车位移的时候，去任意时间段从到内，在，内任取一时刻，去时间增量，当区非常小时，即趋于0时，汽车的运动可视为匀速运动，即汽车在时间段，+内作匀速运动，速度用时刻的速度代替为，其运行的路程即可表达为：即为路

17、程微元，对所以的进行累加求和，得：运用这种微元法思想，同理还有求出“弧长微元”、“体积微元”、“质量微元”和“功微元”等等。这样我们就可以试图求出生活中许多实际问题，且这种方法方便，有效，可行。微元法的理论在理解微元法理论之前我们先来了解一下定积分的定义: 设函数在区间上是有界,若对任意分,令任取,只要时,定值A,则极限A为函数在区间上的定积分,记作,即,此时称在上可积.计算曲边梯形面积的具体步骤:1）分割在区间中任意插入n-1个分点, ,用直线将曲边梯形分成n个小曲边梯形;2）近似替代在第个小区间上取,以为宽,以为长的小矩形,则小矩形面积为，用来近似替代相应小不规则梯形面积,即有：.3）求和

18、 4）取极限令,则有:从上面定积分的定义可以看出，如果要求定积分使用以上步骤：分割、近似替代、求和、去极限，来求工作量太大且较为麻烦，对于生活中大多数的定积分问题我们通常使用微元法来求其表达式，这样问题就变得极其简单了而微元法则是通过定积分的定义演变过来的的。.2.2 微元法的使用条件 对于使用定积分求解问题S应具有以下条件：（1）由连续函数和直线x=a，x=b及x轴所围成的图形是确定的，即S是确定的；（2）S在区间上具有可累加性, 也就是说如果acb,则对同一个，与相关的量S可表示为S的与相关的量和S的与相关的量之和。（3）S具有单调性，即若在上,则S在上由所确定的量不大于S在上由所确定的量

19、；在一般情况下,问题的变量都是非均匀变化的,但当把变化过程微分，即在变化的一瞬间,变量还没有来得及变化时，此时在微小的局部我们可以看做变量是均匀变化的,这样额话就可以用 近似代替,但要求误差是的高阶无穷,即微分的非常非常细小，即上述（3）的=0成立.可是对于一些特殊问题,通过微分得到的可能是不正确的,所以使用微元法应特别注意检验是否为的高阶无穷小量便是一件很必要的过程,当然这个过程也不是很简单就能办到的,这就需要对的合理性判断更加小心.对于此问题进行简单讨论：在任一小区间,若能够把所求量S的微分近似表示成关于的表达式： 其中为某一连续函数,而当时, ,这样只要将定积分计算出来，即为所求S的值.

20、下面需要说明一下当时，就可以得到，因为知道这个问题可以更好的懂得微元法的思想。下面证明：当时有证：因为，所以： 再根据积分第一中值定理可得:其中是介于与之间的常量,则：因为是连续的,所以：当时,有,从而有也就是：,故,问题得证.2.3 微元法的解题步骤设有一个函数 , 在区间上连续，所求量S可以表示为: ，然后进行以下三步:第一步：取 , 并确定其定义域;第二步：将区间微分成无数个小区间, 取其中任一个小区间, 对于这个小区间所对应的小矩形能近似地表示为与的乘积即,即为所求面积S的微元并记作dS, 所以第三步：在区间上积分, 得到其中即是的导数。既是我们以后要学习的牛顿莱布尼茨公式。例1 求二

21、次抛物线与区间0,2所围的面积.解：1.因在0,2上连续,所以在0,2可积.对0,2进行等分,记其分割为取为区间的右端点，。2. =3.3、几何学中微元法思想及其应用3.1定积分中平面图形面积微元法思想及几何应用3.1.1 微元法求平面图形面积由曲线，直线x=a, x=b及x轴围成的平而图形的面积S. 在上任取长为小区间，该区间小曲边梯形可近似表示为以f (x)的长度为高以dx为底的乘积，从而面积微元素为dS=f(x)dx,因此所求的面积为: 设平面图形由连续曲线及直线x=a，x=b所围成，并且如右图所示，求所围平面图形的面积。 取为积分变量，它的变化区间为，在上任取一个小区间。由于在上变化很

22、小，故与之对应的小矩形面积可以以为底，为高的小矩形面积来近似替代： 则平面图形面积的微元为 dS=从而所求平面图像的面积为 例1 计算两条抛物线与所围图形的面积。解 两条抛物线所围成图形如右图，两函数方程联立，解方程组： (1,1)得交点（0,0），（1,1）取为积分变量，变化区间，于是有： S= = = （8,4）（2，-2）例2 计算由抛物线与所围成的平面图形的面积S 。 解 解方程组： 得两曲线的交点（2，-2），（8,4）。取为积分变量，它的变化区间为，于是有： 3.1.2 微元法求立体体积（1）切面面积已知的几何体体积设一几何体位于过点x=a, x=b且夹在x轴的两个面之间， x轴的

23、平面与立体相交的切面面积为已知的连续函数S（x），求此几何体的体积。ab令x为积分变量，它的变化区间为a，b，与此几何体体积相关的是切面面积函数S（x）。在a，b上任一小区间x,x+dx的小体积近似等于截面积为S（x）乘以宽为dx的体积，即 得所求立体的体积微元 dV= 于是所求立体的体积 .(1)例1 计算以半径R的圆为底，以平行于底且长度为该圆半径的线段为顶，高为h的正劈锥体的体积。 解 取底圆直径所在直线为x轴，以底圆中心为坐标原点，过原点垂直于x轴的直线选为y轴，则底圆方程为 过点x作垂直于x轴的平行截面均为等腰三角形，于是截面面积函数 由公式（1）的正劈锥体体积 （2）旋转体体积讨论

24、旋转体体积是由连续曲线，直线x=a，x=b及x轴所围成的曲边梯形，绕x轴旋转一周而成的立体，由于垂直于x轴的旋转体的截面是一个半径为y的圆，所以平行于截面面积函数为 由公式（1）的旋转体体积 (2) 例2 求椭圆方程为：，它所围成的平面图形再绕x轴旋转一周所成的立体图形的体积。解 以x轴为旋转轴的椭球体可看做曲线绕x轴旋转而成，由公式可得所求立体图形的体积 3.2二重积分中微元法的思想及几何应用设为有界函数，且定义域是在有界区域D上，有界区域D等分成n个小区域，其中表示第i个小区域，在每个小区域上取上一点，作乘积得到n个小立体体积，可表示为，然后对于这n个小立体体积求和为，当n趋于无穷时，这个

25、和式的极限存在为一定值，则此定值称为函数在区域D上的二重积分，记作，即 =其中称为被积函数，D为积分区域，称为被积表达式，称为面积微元，x与y称为积分变量。这里的如果没有特殊说明都认为是在闭区域D上连续。由二重积分的定义可知，当，曲顶柱体的体积是曲顶上的竖坐标在底D上的二重积分： V=二重积分的几何意义当时，曲顶柱体的体积为V=所以，二重积分的几何意义即为不规则柱体的体积；如果是负值，则曲顶柱体在xOy面的下方，这时二重积分的值也即为负的，二重积分的值就等于曲顶柱体体积的负数。XXY22O例1 计算，D是由直线y=x，y=1和x=2所围成的封闭的区域。解 积分区域D的图形如右图，由积分公式得：

26、 = = =对于此题我们用了先对y积分再对x积分，当然也可以先对x积分后对y积分，同样方法也可以解决本题，在此就不在赘述。、 例 2 计算，D由y=x，y=及y=2围成。解 积分区域D的图形如右图，本题可先对x积分后再对y积分，所以有： = = = =4、微元法在其他学科中的应用定积分中微元法思想在许多学科上都得到了应用，它有力的推动了这些学科的发展，如在物理学，经济学，生物学，化学、工程学天文学等学科都有着广泛的应用。微积分是为了解决实际生活中的问题而诞生的是一门学科，且它得到不段得完善和补充，成为了一门理论性较强的学科，然而它的一切工作还是为了实际的应用，所有应用又是重中之重，随着社会的发展微积分的应用也空前的普遍了。（1）微元法在物理学中的应用在我们常见的物理学问题中，对于物体的某