投影与直观图

1、1.1.4投影与直观图投影与直观图.)(.,皮影戏等如手影表演利用投影的例子生活中有许多象抽象出来的是由这类自然现就投影现象种自然这是一子生影就会在地面或墙壁上产射下物体在灯光或日光的照project.,)(,方法并在该面上得到图形的投射向选定的面通过物体投影是光线投射线投射面知识探究（一）：知识探究（一）：中心投影与平行投影中心投影与平行投影 1. 1.光是直线传播的，一个不透明物体光是直线传播的，一个不透明物体在光的照射下，在物体后面的屏幕上会在光的照射下，在物体后面的屏幕上会留下这个物体的影子，这种现象叫做留下这个物体的影子，这种现象叫做投投影影. .其中的光线叫做其中的光线叫做投影线投

2、影线，留下物体影，留下物体影子的屏幕叫做子的屏幕叫做投影面投影面. . 2. 2.我们把光由一点向外散射形成的我们把光由一点向外散射形成的投影叫做投影叫做中心投影中心投影，把在一束平行光，把在一束平行光线照射下形成的投影叫做线照射下形成的投影叫做平行投影平行投影. .太阳光线（假定太阳光线是平行的）太阳光线（假定太阳光线是平行的）把一个长方形形状的窗框投射到地把一个长方形形状的窗框投射到地板上，变成了什么图形？板上，变成了什么图形？向向方方射射投投ABBACC斜投影斜投影向向方方射射投投ABBACC正投影正投影.,所示图如两种和可分为方向是否正对着投影面射平行投影按投称为投影线相互平行的投影2

3、111平行投影斜投影正投影平行投影2111图一、平行投影一、平行投影（1） 点的平行投影点的平行投影：已知：已知图形图形F，直线，直线l与平面与平面相交，相交，过过F上任一点上任一点M作直线作直线l平平行于行于l，交平面，交平面于点于点M，则，则M叫做点叫做点M在平面在平面内关于内关于直线直线l的平行投影的平行投影.（2）图形的平行投影图形的平行投影：如果图形：如果图形F上的所上的所有点在平面有点在平面内关于直线内关于直线l的平行投影构成的平行投影构成图形图形F，则，则F叫做图形叫做图形F在在内关于直线内关于直线l的平行投影，平面的平行投影，平面叫做投射面，叫做投射面，l叫做投叫做投射线。射线

4、。三、平行投影的性质三、平行投影的性质1 、直线或线段的平行投影仍是直线或线段、直线或线段的平行投影仍是直线或线段.当图形中的直线或线段不平行于投射线时当图形中的直线或线段不平行于投射线时，平行投影具有下列性质平行投影具有下列性质.2、平行直线的平行投影是平行或重合的直线、平行直线的平行投影是平行或重合的直线.3、平行于投射面的线段，它的平行投影与这条线段平行且等长、平行于投射面的线段，它的平行投影与这条线段平行且等长.4、与投射面平行的平面图形，它的投影与这个图形全等、与投射面平行的平面图形，它的投影与这个图形全等.5、在同一直线或平行直线上，两条线段平行投影的比等于这两条线段的比、在同一直

5、线或平行直线上，两条线段平行投影的比等于这两条线段的比.FF练习练习1 1：下列说法是否正确？：下列说法是否正确？ （1 1）水平放置的正方形的平行投影可能是梯形）水平放置的正方形的平行投影可能是梯形. .（2） 两条相交直线的平行投影可能平行两条相交直线的平行投影可能平行. (3) (3) 互相垂直的两条直线的平行投影仍然互相垂互相垂直的两条直线的平行投影仍然互相垂直直.（）（）（）（4 4）等腰三角形的水平放置的平行投影仍是等腰）等腰三角形的水平放置的平行投影仍是等腰三角形三角形. .（）注意：注意：当图形中直线或线段平行于投射线时当图形中直线或线段平行于投射线时.2. 两条不平行的直线，

6、其平行投影不可能两条不平行的直线，其平行投影不可能是（是（ ）（A）两条平行线）两条平行线. （B）一点和一条直线）一点和一条直线 （C）两条相交直线）两条相交直线 （D）两个点）两个点D1. 直线的平行投影可能是（直线的平行投影可能是（ ） （A）点）点 （B）线段）线段 （C）射线）射线 （D）曲线）曲线A投影规律投影规律：1.1.平行性不变平行性不变;但形状、长度、夹角会改变；但形状、长度、夹角会改变；2.2.平行直线段平行直线段或同一直线上的两条线段的或同一直线上的两条线段的比不变比不变；3.3.在太阳光下在太阳光下，平行于地面平行于地面的直线在地面上的的直线在地面上的投投影长不变影长

7、不变；等等等等。学生活动学生活动ADCBDCB二、中心投影：二、中心投影：一个点光源把一个图形照射到一个平一个点光源把一个图形照射到一个平面上，这个图形的影子就是它在这个平面的中心投影面上，这个图形的影子就是它在这个平面的中心投影. 注意：注意：投射线交于一点投射线交于一点.2. 将一个水平放置的平面图形将一个水平放置的平面图形 画在纸上画在纸上,怎样画才有立体感呢怎样画才有立体感呢?1.如何将一个直立放置的平面图形画在纸上如何将一个直立放置的平面图形画在纸上?(立体图形立体图形)想一想想一想感受立体图感受立体图直观图直观图: : 表示空间图形的平面图形，表示空间图形的平面图形， 叫做空间图形

8、的叫做空间图形的直观图直观图. .如何画空间图形的直观图如何画空间图形的直观图?斜二测画法斜二测画法归纳总结归纳总结斜二测画法斜二测画法规则：（3 3）已知图形中平行于）已知图形中平行于x x轴的线段，在直观图中轴的线段，在直观图中保持长度不变；平行于保持长度不变；平行于y y轴的线段，长度为原来的轴的线段，长度为原来的一半一半（2 2）已知图形中平行于）已知图形中平行于x x轴、轴、y y轴的线段，在直观轴的线段，在直观图中分别画成平行于图中分别画成平行于 或轴或轴 轴的线段；轴的线段； x y（1 1）在已知图形中取互相垂直的）在已知图形中取互相垂直的x x轴和轴和y y轴轴, ,两轴相两

9、轴相交于点交于点O.O.画直观图时画直观图时, ,把它们画成对应的把它们画成对应的 轴和轴和 轴轴, ,两轴相交于两轴相交于O O, ,且使且使 , ,它们确定的平它们确定的平面表示水平面；面表示水平面；0013545或yox x y.直直观观图图的的画画水水平平放放置置的的正正三三角角形形例例1:画法按如下步骤完成xyOABCCAB,中在已知的正三角形第一步ABC.,轴为取对称轴轴所在的直线为取yCOxAB使轴轴、画对应的,yx.045yOx使./,OCCOOBBOOAAOx21轴上取在第二步Oxy045.,的直观图就是正三角形形角三的所得连结第三步ABCCBACBCAABC2911图(1)

10、“斜斜”：互相垂直的：互相垂直的OX、OY轴画线轴画线OX、OY轴，使轴，使0013545或yox“二侧二侧”：横不变，纵折半。：横不变，纵折半。(2)画空间图形时，首先画与坐标轴平行的画空间图形时，首先画与坐标轴平行的线段线段(平行性不变平行性不变)，与坐标轴不平行的线，与坐标轴不平行的线段通过与坐标轴平行的线段确定它的两个段通过与坐标轴平行的线段确定它的两个端点，然后连接成线段。端点，然后连接成线段。平行性不变，相交及交点不变。但垂直性会平行性不变，相交及交点不变。但垂直性会变，形状、长度、夹角也会改变；变，形状、长度、夹角也会改变；ABCDEF/OOxGHy/x/y/D/H/G/A/B/

11、C/E/F/A/B/C/E/F/D例题解析例题解析例例2 画水平放置的正六边形的直观图画水平放置的正六边形的直观图.例例3 画正五棱锥的直观图画正五棱锥的直观图.OxyABCDEFGHOxy例题解析例题解析规则：（1 1）在已知图形中取水平平面，取互相垂直的轴）在已知图形中取水平平面，取互相垂直的轴oxox、oy,oy,再取再取ozoz轴，使轴，使xoy=45xoy=450 0，且，且xoz=90 xoz=900 0 ；（4 4）已知图形中平行于）已知图形中平行于x x轴和轴和z z轴的线段，在直观轴的线段，在直观图中保持长度不变；平行于图中保持长度不变；平行于y y轴的线段，长度为原轴的线段

12、，长度为原来的一半来的一半（2 2）画直观图时，把它们画成对应的）画直观图时，把它们画成对应的 轴，使轴，使 所确定所确定的平面表示水平平面；的平面表示水平平面； , , zoyoxo .90,13545000yoxzoxyox或（3 3）已知图形中平行于）已知图形中平行于x x轴、轴、y y轴或轴或z z轴的线段，在轴的线段，在直观图中分别画成平行于直观图中分别画成平行于 轴轴 轴或轴或 轴的线段；轴的线段； x y z.正正方方体体的的直直观观图图画画棱棱长长为为例例cm22.画法按如下步骤完成解.,cmADcmABBADABCD12450使直观图作水平放置的正方形的第一步.,.,cmDD

13、CCBBAAzzDCBBAzzA2900组平行线上分别截取轴及这在轴的平行线作过点分别使轴作过第二步.,形直观图的图形就是所求的正方得到连结第三步ADDCCBBAACDByx045zDCBA2911图.,3011如图如图擦去补助线擦去补助线图画好后图画好后ABCDDABC例例2.2.用斜二测画法画长用斜二测画法画长, ,宽宽, ,高分别是高分别是4cm,3cm,2cm4cm,3cm,2cm的长方体的直观图的长方体的直观图xyZ 1,90.xOz画轴.画x轴,y轴,z轴,三轴交于点O,使 xOy=45OxyZOABCDMNPQ41.5画底面画底面. .以以O O为中心为中心, ,在在x x轴上取

14、线段轴上取线段MN,MN,使使MN= cm;MN= cm;在在Y Y轴上取线段轴上取线段PQ,PQ,使使PQ= cm;PQ= cm;分别过点分别过点M M和和N N作作y y轴的平行线轴的平行线, ,过点过点P P和和Q Q作作x x轴的平行线轴的平行线, ,设它们的交设它们的交点分别为点分别为A,B, A,B, C,D四边形四边形ABCDABCD就是长方形的底就是长方形的底面面ABCDABCDxyZOABCD 3 画侧棱.过A,B,C,D,各点分别作z轴的平行线,并在这些平行线上分别截取2cm长的线段AA,BB,CC,DD.ABCDMNPQxyZOABCDABCD ,4 成图.顺次连接A,B

15、,C,D,并加以整理去掉辅助线,将被遮挡住的部分改为虚线就可得到长方体的直观图.MNPQABCDABCD ,4 成图.顺次连接A,B,C,D,并加以整理去掉辅助线,将被遮挡住的部分改为虚线就可得到长方体的直观图.3、画长、宽、高分别为4cm、3cm、2cm的 长方体的直观图.xoyzNMPQADCA1BB1C1D1例例2.画出高与底面边长相等的正三棱柱. 接上例接上例: ( ) A. B. C. D.如图，直观图所示的平面图形是任意四边形直角梯形任意梯形等腰梯形oxyDCBAB例题解析例题解析例例5oxyCBAC( ) A. B. C. D.2 2：如如图图，直直观观图图所所示示的的平平面面图

16、图形形是是任任意意三三角角形形锐锐角角三三角角形形直直角角三三角角形形钝钝角角三三角角形形课内练习课内练习( ) A . B . C . D .3 3 ： 如如 图图 ， 直直 观观 图图 所所 示示 的的 平平 面面 图图 形形 是是正正 三三 角角 形形锐锐 角角 三三 角角 形形钝钝 角角 三三 角角 形形直直 角角 三三 角角 形形DoxyCBA课内练习课内练习归纳整理 直观图最常用的画法是斜二测法，由其规则能画出水平放置的图形的直观图，其实质就是在坐标系中确定点的其实质就是在坐标系中确定点的位置的画法位置的画法，其基本步骤如下：、建系： 在已知图形中取互相垂直的的轴和轴，得到直角坐标系，直观图中画成斜坐标系，两轴的夹角为，轴水平 在空间坚直方向上的线段画成垂直于轴需要画立体图时，过点画轴，且使其垂直于轴、平行不变： 已知图形中平行于轴或轴的线段，在直观图中分别画成平行于轴或的线段。、长度规则： 已知图形中平于轴的的线段，在直观图中保持长度不变；平行于轴的线段，长度变为原来的一半。 在空间坚直方向上的长度也不变。（1）先作一个正三角形 （2）然后以BC所在直线为x轴，以BC边上的高为y轴建立坐标系，画对应的x、y轴，使夹角为45画直观图时与x轴平行的线段长度保持不变，与y轴平行的线段程度变为原来的一半 由直观图恢复到平面