材料力学 附录A+平面图形的几何性质

1、A1 A1 静矩与形心静矩与形心A2 A2 惯性矩、惯性积、极惯性矩惯性矩、惯性积、极惯性矩A3 A3 惯性矩和惯性积的平行移轴定理惯性矩和惯性积的平行移轴定理A4 A4 转轴公式转轴公式 主惯性矩主惯性矩附录附录A A 平面图形的几何性质平面图形的几何性质平面图形的几何性质平面图形的几何性质 反映平面图形的形状与尺寸的几何量。反映平面图形的形状与尺寸的几何量。如：如： 平面图形几何性质的定义、计算方法和性质平面图形几何性质的定义、计算方法和性质在轴向拉（压）中：在轴向拉（压）中：AFN EAlFlN一、静矩（面积矩、一次矩，对轴）：一、静矩（面积矩、一次矩，对轴）：( (与力矩类似与力矩类似

2、) ) 是面积与它到轴的距离之积。是面积与它到轴的距离之积。yASxddxASyddAAyyAAxxAxSSAySSddddxydAyx整个图形整个图形 A 对对 y 轴的静矩：轴的静矩：整个图形整个图形 A 对对 x 轴的静矩：轴的静矩：微面积微面积 dA 对对 y 轴的静矩轴的静矩微面积微面积 dA 对对 x 轴的静矩轴的静矩 单位：单位：m3, 其值：其值：+、-、0附录附录A1 静矩与形心静矩与形心二、形心：二、形心：( (等厚均质板的质心与形心重合。等厚均质板的质心与形心重合。) )(:正负面积法公式累加式AAyyAAxxiiiiiixiiyyAyASxAxAS等厚等厚均质均质mmy

3、ymmxxmmdd质质心心ASAAyAtAytASAAxAtAxtxAAyAAdddd等于形心坐标等于形心坐标dAxyyxxy静矩的性质静矩的性质形心轴形心轴 通过图形形心的坐标轴通过图形形心的坐标轴xyOACxyCc性质性质1:1: 图形对形心轴的静矩为零。反之，图形对某轴的静矩为图形对形心轴的静矩为零。反之，图形对某轴的静矩为 零，则该轴必为形心轴。零，则该轴必为形心轴。xSyS0 CyA CxA 0 0 Cx0 Cy212121AAAxAxAAxxii3 .2010801101011010357 .341080110101101060y例例1 1 试确定下图的形心。试确定下图的形心。解：

4、组合图形，用正负面积法求解。解：组合图形，用正负面积法求解。1.1.用正面积法求解，图形分割及用正面积法求解，图形分割及 坐标如图坐标如图(a)801201010 xyC2图图(a)C1C1(0,0)C2(-35,60)2.2.用负面积法求解，图形分割及坐标如图用负面积法求解，图形分割及坐标如图(b)3 .201107080120)11070(5212121AAAxAxAAxxii图图(b)C1C1（0,0）C2（5,5）C2负面积负面积xy一、惯性矩：一、惯性矩：( (与转动惯量类似）与转动惯量类似） 是面积与它到轴的距离的平方之积。是面积与它到轴的距离的平方之积。 AyAxAxIAyIdd

5、22dAxyyxy2dA微面积微面积 dA 对对 x 轴的惯性矩轴的惯性矩x2dA微面积微面积 dA 对对 y 轴的惯性矩轴的惯性矩整个图形整个图形 A 对对 x 轴的惯性矩轴的惯性矩整个图形整个图形 A 对对 y 轴的惯性矩轴的惯性矩单位：单位：m4, 其值：其值：+附录附录A2 惯性矩、惯性积、极惯性矩惯性矩、惯性积、极惯性矩1. 1. 矩形截面矩形截面 12 3hbIy xI 12 3bh 222dhhyby AAy d21xI AAy d2 hyby02d33bh 常用图形的惯性矩：常用图形的惯性矩：22xCyydydAOx1yh2_h2_b _b _2.2.圆形截面圆形截面324D

6、pIIIyx 由对称性由对称性 444416464 DdD yxII 21pI 644D 3.3.环形截面环形截面DdxyO p21 IIIyx整个图形整个图形 A 对对 x 轴和轴和 y 轴的惯性积轴的惯性积定义：定义：xydA微面积微面积 dA 对对 x 轴和轴和 y 轴的惯性积轴的惯性积 单位：单位：m4，其值：，其值：+、-、0 AxyAxyId假设：假设：x 轴和轴和 y 轴为一对轴为一对 相互垂直的坐标轴相互垂直的坐标轴二、惯性积：二、惯性积：面积与其到两轴距离之积。面积与其到两轴距离之积。xyOAydAx惯性惯性积的性质积的性质当当 x 、 y 轴中有一轴为对称轴轴中有一轴为对称

7、轴 AxyAxyId niiiiiiiAAyxAyxi10lim niiiiAAyxi210lim0 xyOxyA xyA -性质性质2 2：在一对正交轴中，只要有一个对称轴，则该图形对这对在一对正交轴中，只要有一个对称轴，则该图形对这对轴的惯性积为零。轴的惯性积为零。惯性惯性矩与极惯性矩的关系矩与极惯性矩的关系即：即： AAId2p xyIII p AAAyAxdd22性质性质3 3：平面图形对任意一点的极惯性矩等于该图形对通过该点平面图形对任意一点的极惯性矩等于该图形对通过该点的任意一对相互垂直的坐标轴的惯性矩之和。的任意一对相互垂直的坐标轴的惯性矩之和。 AAyxd22若若 x 、 y

8、轴为一对正交坐标轴轴为一对正交坐标轴三、极惯性矩：三、极惯性矩：是面积对极点的二次矩。是面积对极点的二次矩。xyOAydAx AAId2p 特别指出：特别指出：惯惯 性性 矩矩对某一对某一轴轴而言而言惯惯 性性 积积对某一对对某一对正交轴正交轴而言而言极极 惯惯 性性 矩矩对某一对某一点点而言而言图形对图形对 x x 轴的惯性半径轴的惯性半径单位单位： mAIixx AIiyy 2 AIxxi2 AIyyi四、惯性半径四、惯性半径在力学计算中，有时把在力学计算中，有时把惯性矩惯性矩写成写成即：即：图形对图形对 y y 轴的惯性半径轴的惯性半径注意：注意：试问试问即：即：? Cxyi ? d 2

9、22CxAxyAiAAyI Cxyi Cyxi bxxC 2AaIICxx ayyC CxI AxAyId2 ACAayd)(2 AACAaaAyd 2d22 ACAy d0 Aa2 即：即：一、平行移轴定理：一、平行移轴定理：（与转动惯与转动惯量的平行移轴定理类似）。以量的平行移轴定理类似）。以形心为原点，建立与原坐标轴形心为原点，建立与原坐标轴平行的坐标轴如图平行的坐标轴如图yOAxCdAyxxccybacyxc附录附录A3 惯性矩和惯性积的平行移轴定理惯性矩和惯性积的平行移轴定理 2AaIIcxx 2abAIIAbIICCCyxxyyy CyyII CxxII 显然：显然：性质性质4 4

10、：在平面图形对所有相互平行的坐标轴的惯性矩中，以对形心在平面图形对所有相互平行的坐标轴的惯性矩中，以对形心轴的惯性矩为最小。轴的惯性矩为最小。同理同理注意注意: : C点必须为形心点必须为形心AbaIIC2)( 例例2 2 求图示圆对其切线求图示圆对其切线AB的惯性矩。的惯性矩。解解 ：求解此题有两种方法：求解此题有两种方法： 一是按定义直接积分；一是按定义直接积分； 二是用平行移轴定理等知识求。二是用平行移轴定理等知识求。建立形心坐标如图建立形心坐标如图, ,求图形对求图形对形心轴的惯性矩。形心轴的惯性矩。6424dIIIPyx645166424442dddAdIIxAB）（xyxIIIdI

11、2324圆圆BAxyOd规定：规定： 角逆时针转向为角逆时针转向为 + 两组坐标系之间的关系：两组坐标系之间的关系： sincos1yxx sincos1xyy 代入代入 AyxAyAxAyxIAxIAyId ,d ,d1121211111xyOdAyxA 1111xyxy一、一、 惯性矩和惯性积的转轴定理惯性矩和惯性积的转轴定理附录附录A4 惯性矩和惯性积的转轴定理惯性矩和惯性积的转轴定理* 截面的主惯性轴和主惯性矩截面的主惯性轴和主惯性矩 2cos2sin2 2sin2cos22 2sin2cos22 1111xyyxyxxyyxyxyxyyxyxxIIIIIIIIIIIIIIII 显然显

12、然 11yxyxIIII const pI 性质性质5 5：平面图形对通过一点的任意一对正交轴的两个惯性矩之平面图形对通过一点的任意一对正交轴的两个惯性矩之和为常数，且等于图形对该点的极惯。和为常数，且等于图形对该点的极惯。1.1.定义定义主惯性轴主惯性轴惯性积为零的一对坐标轴，简称主轴惯性积为零的一对坐标轴，简称主轴主惯性矩主惯性矩图形对主惯性轴的惯性矩图形对主惯性轴的惯性矩形心主惯性轴形心主惯性轴通过图形形心的主惯性轴通过图形形心的主惯性轴形心主惯性矩形心主惯性矩图形对形心主惯性轴的惯性矩图形对形心主惯性轴的惯性矩性质性质6 6：图形的对称轴是形心主惯性轴。图形的对称轴是形心主惯性轴。二、

13、截面的形心主惯性轴和形心主惯性矩二、截面的形心主惯性轴和形心主惯性矩2.2.主惯性轴和主惯性矩：主惯性轴和主惯性矩：坐标旋转坐标旋转到到 = 0 时；恰好有时；恰好有与与 0 对应的旋转轴对应的旋转轴x0 、y0 称为称为主惯性轴；平面图形对主轴主惯性轴；平面图形对主轴之惯性矩为主惯性矩。之惯性矩为主惯性矩。 22tg 0yxxyIII 220422sinxyyxxyIIII 22042cosxyyxyxIIIII xyxyxyxy22002cos2sin20000 xyyxyxIIII 4)(212 2200 xyyxyxyxIIIIIII 2cos2sin2 2sin2cos22 2sin

14、2cos22 1111xyyxyxxyyxyxyxyyxyxxIIIIIIIIIIIIIIII 主惯性矩的性质主惯性矩的性质当当Ix1取极值时，取极值时，对应对应的方位为的方位为 1 得到得到 11dd xI0 112cos22sin)( xyyxIIIyxxyIII 22tg1 02tg 即：即：01 性质性质7 7：主惯性矩为极值惯性矩，其中一个为极大惯性矩主惯性矩为极值惯性矩，其中一个为极大惯性矩Imax，另一个为极小惯性矩另一个为极小惯性矩Imin。令令 3.3.形心主轴和形心主惯性矩：形心主轴和形心主惯性矩：主轴过形心时，称其为形心主轴。平面图形对形心主轴主轴过形心时，称其为形心主轴

15、。平面图形对形心主轴之惯性矩，称为形心主惯性矩之惯性矩，称为形心主惯性矩yCxCyCxCIII22tg022)2(200 xCyCyCxCyCxCyCxCIIIIIII形心主惯性矩：形心主惯性矩：4.4.求截面形心主惯性矩的方法求截面形心主惯性矩的方法建立坐标系建立坐标系计算面积和静矩计算面积和静矩求形心位置求形心位置建立形心坐标系；求建立形心坐标系；求：IyC ， IxC ， IxCyC求形心主轴方向求形心主轴方向 0 0 求形心主惯性矩求形心主惯性矩AAyASyAAxASxiixiiy22)2(2 00 xCyCyCxCyCxCyCxCIIIIIIIyCxCxCyCIII22tg0例例3 3 在矩形内挖去一与上边内切的圆，求图形的形心在矩形内挖去一与上边内切的圆，求图形的形心 主轴。主轴。(b=1.5d)解：解： 建立坐标系如图。建立坐标系如图。求形心位置。求形心位置。 建立形心坐标系；求：建立形心坐标