第一节第2讲抛体运动 极坐标及自然坐标

1、Inner Mongolia University Rong J Hoxy0v maxymaxx0000cossinxyvvvv gaayx0而而 抛体运动：抛体运动：从地面上某点向空中抛出的物体在从地面上某点向空中抛出的物体在空中所做的运动称为空中所做的运动称为抛体运动抛体运动。 以抛射点为坐标原点建立坐标系，水平方向为以抛射点为坐标原点建立坐标系，水平方向为x x轴，竖直方向为轴，竖直方向为y y轴。设抛出时刻轴。设抛出时刻t=0的速率为的速率为v0，抛抛射角为射角为 ， 则初速度分量分别为：则初速度分量分别为：(2) 抛体运动抛体运动Inner Mongolia University R

2、ong J H0000cos , sinxyvvvva= ggj 物体在空中任意时刻的速度为物体在空中任意时刻的速度为00(cos )(sin)vvivgt j物体的运动学方程为物体的运动学方程为 20001(cos )(sin)2trvdtv tiv tgtj 抛体运动抛体运动是由沿是由沿x轴的轴的匀速匀速直线运动直线运动和沿和沿y轴的轴的匀变速直线匀变速直线运动运动叠加而成的。叠加而成的。 抛体运动方程的抛体运动方程的矢量形式矢量形式oxy0v maxymaxxInner Mongolia University Rong J H运动学方程可改写为运动学方程可改写为 2001(cossin)

3、2rv tiv tjgt j即即 这就是说，这就是说，抛体运动抛体运动还还可看作由可看作由沿初速度沿初速度方向的匀方向的匀速直线运动和速直线运动和沿竖直沿竖直方向的方向的自由落体运动叠加而成。自由落体运动叠加而成。0vxy221t grt0vPO矢量的另一种分解方法矢量的另一种分解方法2012rv tgt2001(cos )(sin)2rv tiv tgtjInner Mongolia University Rong J H020cos1sin2xvtyvtgt00dcosddsindxyxvvtyvvgtt任意时刻任意时刻的速度的速度运动方程运动方程讨论：讨论：略去抛体在运动过程中空气的阻力

4、作用，求略去抛体在运动过程中空气的阻力作用，求 抛体运抛体运动的动的轨迹方程轨迹方程、抛体在、抛体在空中运动所需时间空中运动所需时间、最大射程最大射程以及以及上上升最大高度升最大高度。2001(cos )(sin)2rv tiv tgtj00(cos )(sin)vvivgt jInner Mongolia University Rong J H 物体在空中飞行回落到抛出点高度时所用的时物体在空中飞行回落到抛出点高度时所用的时间为间为: : gvT sin20 飞行的射程（即回落到与抛出点的高度相同时所飞行的射程（即回落到与抛出点的高度相同时所经过的水平距离）为经过的水平距离）为: : gvx

5、 2sin20max 运动方程消去时间参数运动方程消去时间参数t，得到抛体运动的轨得到抛体运动的轨迹方程为：迹方程为： 2202cos21tanvgxxy Inner Mongolia University Rong J H若若 ，则，则 ， 此时为平抛运动；此时为平抛运动； 0 0max y若若 ，则，则 ，此时射程最大；，此时射程最大； 4 gvx20max 若若 ，则，则 ，此时为竖直抛体运动。，此时为竖直抛体运动。 2 0max x飞行的射高飞行的射高（即高出抛射点的距离即高出抛射点的距离）为为 gvy2sin220max 实际飞行曲线实际飞行曲线 空气阻力、风向和风速空气阻力、风向和

6、风速Inner Mongolia University Rong J HOA( , )P 取参考系上一固定点取参考系上一固定点O作作为极点，过极点所作的一条固为极点，过极点所作的一条固定射线定射线 OA称为极轴。称为极轴。 于是点于是点P的位置可用两个量的位置可用两个量（，）来表示，来表示，这两个量就称为点这两个量就称为点P的的极坐标极坐标。 连线连线 OP称为点称为点P的的极径极径 ，用用表示表示。自自OA到到OP所转过的角称所转过的角称为点为点P的的极角极角。 Inner Mongolia University Rong J H平面极坐标系中质点的位矢可表示为：平面极坐标系中质点的位矢可表

7、示为：( )( )( )r tt e tddd( )()dddev teettt式中式中 ddet是是 e的方向随时间的变化率。的方向随时间的变化率。 00ddlimlimddtteeeeetttt 进而得：进而得：ddddveett径向速度径向速度横向速度横向速度e ( ) t是极径方向的单位矢量。是极径方向的单位矢量。 质点的速度表示为：质点的速度表示为： O( )et()ett eAB如右图所示：如右图所示：进而得：进而得：vv ev eInner Mongolia University Rong J H 根据加速度的定义，质点运动的加速度可以表示为根据加速度的定义，质点运动的加速度可以

8、表示为 2222dd()ddddddddddddddddddvav ev etteeeeetttttttt00ddlimlimddtteeeetttt 其中其中ddddeett结合结合22222ddddd() 2dddddaeettttt得得Inner Mongolia University Rong J H说明：说明： 弧长弧长s 称为平面自然坐标。称为平面自然坐标。 根据原点与正方向的规定，根据原点与正方向的规定，s可正可负。可正可负。POs( )ss t自然坐标系中，质点运动学方程为：自然坐标系中，质点运动学方程为： 建立在已知轨迹上的坐标建立在已知轨迹上的坐标系，系， 称为平面称为平面

9、自然坐标系自然坐标系。Inner Mongolia University Rong J H使用自然坐标对矢量进行正交分解使用自然坐标对矢量进行正交分解Pnete 沿曲线切线且指向自然坐沿曲线切线且指向自然坐标增加的方向的切向单位矢量，标增加的方向的切向单位矢量，用用et t表示。表示。 沿曲线法线且指向曲线凹沿曲线法线且指向曲线凹侧的法向单位矢量，用侧的法向单位矢量，用en表示。表示。 注意：注意：沿轨迹上各点，自然坐标轴的方位沿轨迹上各点，自然坐标轴的方位是不断变化着的。是不断变化着的。Inner Mongolia University Rong J H在自然坐标系中，速度可以表示为在自然坐

10、标系中，速度可以表示为t( )( ) ( )v tv t e t加速度加速度 dddd()ddddtttevvaveevtttt切向加速度法向加速度切向加速度：切向加速度： ddttvaet 由于速度由于速度大小变化大小变化所引起的加速度分量，大所引起的加速度分量，大小等于速率的变化率，方向沿轨道的切向。小等于速率的变化率，方向沿轨道的切向。 其物理意义：其物理意义： Inner Mongolia University Rong J H加速度加速度 法向加速度：法向加速度： ddtneavt 由速度方向变化所引起的加速度分量由速度方向变化所引起的加速度分量, 指向法向单位矢量指向法向单位矢量

11、。ne其物理意义：其物理意义： dddd()ddddtttevvaveevtttt切向加速度法向加速度Inner Mongolia University Rong J H 一般曲线运动中，质点的加一般曲线运动中，质点的加速度矢量表示为速度矢量表示为 即与即与 同向，所以同向，所以ned,ttee因为因为ddtneeddddtneettddtneavtBRd AvdvvtdetetedBRd AvdvvddddtnvaevettInner Mongolia University Rong J H圆周运动法向加速度圆周运动法向加速度ddnetddnnavetddddnsestnveR2nnvaeR

12、2n2taaa大小大小ntaaatn1tanaa方向方向 一般圆周运动加速度一般圆周运动加速度vtenexyoatanaAInner Mongolia University Rong J HOxR 1v2vs ABt Att+qq+B角位移角位移沿沿逆时针逆时针转动，角位移取转动，角位移取正正值值沿沿顺时针顺时针转动，角位移取转动，角位移取负负值值角位置角位置角速度角速度角加速度角加速度 0dlimdttt 单位：单位：rad/s220ddlimddtttt 单位：单位：rad/s2 Inner Mongolia University Rong J H 线量和角量的关系线量和角量的关系ABRd

13、sddRs RtRtsddddvd 22nRRavRtRtaddddtvxyo2tnaR eR eInner Mongolia University Rong J H1、匀速率圆周运动匀速率圆周运动讨论：讨论：t02nt0raa ，n2nnereaa常量，常量，如如 时时,0t0故故，t dd由由有有，t dd可得：可得：0，Inner Mongolia University Rong J H2、匀变速率圆周运动匀变速率圆周运动ddttdd如如 时时,0t00 ，常量，常量，2ntrara，故故20021ttt0)(20202可得：可得：，t ddInner Mongolia Universi

14、ty Rong J H与匀变速率与匀变速率直线运动直线运动类比类比20021ttt0)(20202匀变速率匀变速率圆周运动圆周运动at0vv20021attssv)(00ssa222vvInner Mongolia University Rong J HoABAvBvr例例 一歼击机在高空一歼击机在高空 点点A时的水平速率为时的水平速率为1 940 kmh-1 ,沿近似圆弧曲线俯沿近似圆弧曲线俯冲到点冲到点B，其速率为，其速率为2 192 kmh-1 , 经历时间为经历时间为3 s , 设设 的半径约为的半径约为 3.5 km , AB飞机从飞机从A到到B过程视为匀变速率圆周运动，不过程视为匀

15、变速率圆周运动，不计重力加速度的影响，求：计重力加速度的影响，求：( (1) ) 飞机在点飞机在点B的的加速度；加速度；( (2) )飞机由点飞机由点A到点到点B所经历的路程所经历的路程。Inner Mongolia University Rong J H解（解（1）tta0tddBAvvvtaABvv t1hkm9401Av1hkm1922Bvra2Bvn而而B点点m105 . 3s33rt，解得：解得：2n2tsm106sm3 .23aa，oABAvBvratanaInner Mongolia University Rong J H22n2tsm109aaaont4 .12arctanaa

16、（2）矢径矢径 所转过的角度所转过的角度r221ttAm7221212ttatrsAvoABAvBvratanaInner Mongolia University Rong J H例例1-4质点以初速度质点以初速度 沿半径为沿半径为R的圆周运动，已知的圆周运动，已知其加速度方向与速度方向的夹角其加速度方向与速度方向的夹角恒量，求质点速率恒量，求质点速率与时间的关系。与时间的关系。 0v解：解：质点的切向加速度和法向加速度的大小分别为质点的切向加速度和法向加速度的大小分别为2d,dtnvvaatR2dtandntavtaRv分离变量分离变量2ddtanvtvR020ddtanvtvvtvRtan

17、110RtvvInner Mongolia University Rong J H例题例题1-5汽车在半径为汽车在半径为200m的圆弧形公路上刹车，刹车的圆弧形公路上刹车，刹车开始阶段的运动学方程为开始阶段的运动学方程为 （m）。）。求汽求汽车在车在t=1 s时的加速度。时的加速度。 32 . 020tts222ddntvsaaRt2d200.6dsvtt故故解：解：质点的加速度公式质点的加速度公式22(200.6 )ntaR1.2tat 21.88m/s ,21.2m/s 2222.23m/s ,ntaaatan1.5677ntaa 331220Inner Mongolia Universi

18、ty Rong J H物体运动的轨迹依赖于观察者所处的参考系物体运动的轨迹依赖于观察者所处的参考系Inner Mongolia University Rong J H 考虑两个参照系考虑两个参照系K和和K(即即Oxyz和和Oxyz)，它们它们相对作匀速直线运动。相对作匀速直线运动。 在在t t=0=0时刻两坐标时刻两坐标系重合。任意时刻同系重合。任意时刻同一质点一质点P P在两个参照系在两个参照系中对应的位矢满足：中对应的位矢满足：（1 1）伽利略坐标变换）伽利略坐标变换Rrrt vr 成立的条件成立的条件: :空间两点空间两点距离的测量与参照系的距离的测量与参照系的选择无关选择无关空间绝对性

19、空间绝对性。Inner Mongolia University Rong J HP点在点在K系和系和K系的空间坐系的空间坐标、时间坐标的对应关系标、时间坐标的对应关系为为tt vtxx yy zz tt 伽利略伽利略(坐标坐标)变换式。变换式。OxyzvOxyzPrrRrrt vrInner Mongolia University Rong J H 分别表示质点在两个坐标系中的速度分别表示质点在两个坐标系中的速度、KvK vt ddKrvd()drRtvv Ktddr vvv KK即即（2 2）速度变换与加速度变换）速度变换与加速度变换 为了便于记忆，通常把速度变换式写成为了便于记忆，通常把速

20、度变换式写成下面的形式：下面的形式：KKKKvvvInner Mongolia University Rong J H绝对速度绝对速度trddv相对速度相对速度trdd v牵连速度牵连速度uuvvu vv 伽利略速度变换伽利略速度变换 aatu0dd若若加速度关系加速度关系tuttddddddvv注意：注意： 当物体运动速度当物体运动速度接近光速时，速度变换接近光速时，速度变换不成立。不成立。绝对绝对速度速度牵连牵连速度速度相对相对速度速度Inner Mongolia University Rong J H例例1-6 一执行空投任务的飞机，以速度一执行空投任务的飞机，以速度 水平飞行。水平飞行

21、。以地面为参考系，求空投物对地面坐标系的位矢、速以地面为参考系，求空投物对地面坐标系的位矢、速度和加速度（不考虑空投物与空气的相互作用）。度和加速度（不考虑空投物与空气的相互作用）。0v解：选解：选地面为静止参考系地面为静止参考系，飞机为运动参考系飞机为运动参考系，水平飞行水平飞行方向为方向为x轴正向，竖直向下为轴正向，竖直向下为 y轴正向轴正向21j2rgt相物体相对飞机的运动为相对运动，其位矢为物体相对飞机的运动为相对运动，其位矢为：Inner Mongolia University Rong J H飞机对地面的运动为牵连运动，其位矢为飞机对地面的运动为牵连运动，其位矢为 0 rv t i

22、物体对地面的运动为绝对运动，其位矢为物体对地面的运动为绝对运动，其位矢为201 ij2rrrv tgt绝相牵对上式求导，得物体对地面的速度为对上式求导，得物体对地面的速度为0dijdrvvgtt绝绝将上式对时间求导，得物体对地面的加速度为将上式对时间求导，得物体对地面的加速度为d jdvagtInner Mongolia University Rong J H补充例题补充例题 一货车在行驶过程中，遇到一货车在行驶过程中，遇到5m/s竖直下落竖直下落的大雨，车上仅靠挡板平放有长为的大雨，车上仅靠挡板平放有长为l=1m的木板。如的木板。如果木板上表面距挡板最高端的距离果木板上表面距挡板最高端的距离

23、h=1m，问货车以，问货车以多大的速度行驶，才能使木板不致淋雨？多大的速度行驶，才能使木板不致淋雨？lh解：解：车在前进的过程中，雨车在前进的过程中，雨相对于车向后下方运动，使相对于车向后下方运动，使雨不落在木板上，挡板最上雨不落在木板上，挡板最上端处的雨应落在木板的最左端处的雨应落在木板的最左端的左方。端的左方。雨雨地地v雨雨车车v地车地车v45 45 地车地车车车vv 雨地v 5m/sInner Mongolia University Rong J H力学的力学的基本单位基本单位 1984年年2月月27日，我国国务院颁布实行以国际日，我国国务院颁布实行以国际单位制单位制（SISI）为基础的

24、法定单位制。为基础的法定单位制。物理量物理量长度长度质量质量时间时间单位名称单位名称米米千克千克秒秒符号符号mkgs（1 1）单位制）单位制国际单位制规定了国际单位制规定了七个基本单位。七个基本单位。 Inner Mongolia University Rong J H 1 m是光在真空中是光在真空中( (1/299 792 458) )s时间间时间间隔隔内所经路径的长度。内所经路径的长度。 1s是铯的一种同位素是铯的一种同位素133 Cs原子发出的一原子发出的一个特征频率光波周期的个特征频率光波周期的9 192 631 770倍。倍。 “千克标准原器千克标准原器” ” 是用铂铱合金制造的是用铂铱合金制造的一个金属圆柱体，保存在巴黎度量衡局中。一个金属圆柱体，保存在巴黎度量衡局中。其它力学物理量都是其它力学物理量都是导出量。导出量。力学还有力学还有辅助量：辅助量：弧度弧度 rad。Inn