常数项级数的概念与性质

1、6/17/2021111111123nnn 级级数数 -1211 (0)nnnaqaaqaqaqa 级级数数 021nnxxx 1 ( 11)1xx 231( 1), (ln(1,12)31nnxxxxxnx 收敛发散6/17/20212无穷级数无穷级数 从从18世纪以来，无穷级数就被认为是微积分的世纪以来，无穷级数就被认为是微积分的一个不可缺少的部分，是高等数学的重要内容，同一个不可缺少的部分，是高等数学的重要内容，同时也是有力的数学工具，在时也是有力的数学工具，在表示函数、研究函数表示函数、研究函数性性质等方面有巨大作用，在自然科学和工程技术领域质等方面有巨大作用，在自然科学和工程技术领域

2、有着广泛的应用有着广泛的应用. 本章主要内容包括本章主要内容包括常数项级数常数项级数和两类重要的函和两类重要的函数项级数数项级数幂级数幂级数和三角级数，主要围绕三个问题和三角级数，主要围绕三个问题展开讨论：展开讨论： 级数的收敛性判定问题，级数的收敛性判定问题， 把已知函数表示成级数问题，把已知函数表示成级数问题， 级数求和问题级数求和问题.6/17/202138.1 常数项级数的概念与性质常数项级数的概念与性质8.2 正项级数敛散性的判别正项级数敛散性的判别第八章第八章 无穷级数无穷级数8.3 任意项级数敛散性的判别任意项级数敛散性的判别8.4 幂级数幂级数8.5 函数的幂级数展开函数的幂级

3、数展开6/17/202148.1 常数项级数的概念与性质常数项级数的概念与性质1. 级级数数的的基基本本概概念念2. 级级数数的的重重要要性性质质6/17/202151. 级级数数的的基基本本概概念念()称称为为级级数数的的或或通通项项一一般般项项 。 1 nu数数列列的的各各项项依依次次相相加加所所定定义义得得的的表表达达式式121nnnuuuu nu uu12(). ,数数项项级级数数称称为为或或简简无无穷穷级级数数级级数数称称等等依依nnu次次称称为为级级数数的的第第一一项项，第第二二项项， ，第第 项项， ，其其中中又又12 (2 2 1, ,)nnSuuun定定义义1nnun 称称为

4、为级级数数的的前前 项项部部分分和和。部分和数列部分和数列,11us ,212uus ,3213uuus ,21nnuuus 6/17/202161nnu 则则称称级级数数发发散散。 3 nnS 若若级级数数的的部部分分和和数数列列定定收收敛敛，即即当当义义时时存存在在nnnnuSSS 1lim极极限限，则则称称级级数数，并并称称极极限限值值收收敛敛为为该该级级 limnnnSS若若级级数数的的部部分分和和数数列列，即即发发散散不不存存在在，nnuS 1 1数数的的和和，记记为为。当级数收敛时当级数收敛时, , 称差值称差值21nnnnuuSSr为级数的为级数的余项余项. .显然显然0limn

5、nr 1nnnuS 常常数数项项级级数数与与其其部部分分和和数数列列具具有有相相同同的的敛敛散散性性。6/17/20217-12111 () 0nnnaqaaqaqaqa 讨讨论论级级数数例例的的敛敛散散性性。 aq该该级级数数称称为为（或或) )等等比比级级数数几几何何级级数数首首，称称为为，称称项项为为公公比比. .解解 1) 若若12nnqaqaqaaSqqaan1时，当1q, 0limnnq由于从而从而limnnaSq 1因此级数收敛因此级数收敛 ,;aq 1,1时当q,limnnq由于从而从而,limnnS则部分和则部分和因此级数发散因此级数发散 .其和为其和为1,q 6/17/20

6、2182) 若若,1q,1时当qanSn因此级数发散因此级数发散 ;,1时当qaaaaan 1) 1(因此因此nSn 为奇数为奇数n 为偶数为偶数从而从而nnSlim综合综合 1)、2)可知可知,1q时时, 等比级数等比级数收敛收敛 ;1q时时, 等比级数等比级数发散发散 .则则,级数成为级数成为,a,0不存在不存在 , 因此级数发散因此级数发散.-12111 () 0nnnaqaaqaqaqa 讨讨论论级级数数例例的的敛敛散散性性。6/17/2021911 ln(1)2 nn 讨讨论论级级数数的的敛敛散散性性。例例解解 lnn 11lnnn 1ln()lnnn1ln()nnkSn 111ln

7、ln 21lnln 32ln()ln nn1lnln 43ln()n1lim,nnS 故原级数发散故原级数发散1(2)(1)nnn 判判别别下下列列级级数数的的敛敛散散性性，并并求求收收敛敛级级练练习习1 1 数数的的和和。11(1);(1)nn n 6/17/2021101(2)(1)nnn 判判别别下下列列级级数数的的敛敛散散性性，并并求求收收敛敛级级练练习习1 1 数数的的和和。11(1);(1)nn n ( )()1111nn n 1111nnn 解解 112nS111n 1( n ）所以级数收敛所以级数收敛, 其和为其和为 1 .11231134111nn (2) 21nS 11n(

8、 n ）所以级数发散所以级数发散 32 43 1nn6/17/20211111111 3 123nnn 讨讨论论级级数数 的的例例敛敛散散性性. .yx xn nnnnnn ln , ,1,11ln(1)ln, 1 由由拉拉格格朗朗日日中中值值定定理理，nSn111123 ln2ln1 n ln1)（lim,nnS 故原级数发散故原级数发散解解ln3ln2ln4ln3ln(1)lnnn6/17/202112p 该该级级数数称称为为。它它是是级级数数的的特特调调和和级级数数殊殊形形式式。1(0)101pppnpp n=1n=1级级数数称称为为，当当 时时 ， 收收敛敛 级级数数 当当 时时发发散

9、散。11111 3 123nnn 讨讨论论级级数数 的的例例敛敛散散性性. .6/17/2021131 1,nnu （级级数数收收敛敛的的）若若定定理理必必要要条条数数件件级级收收敛敛 则则该该命命题题的的逆逆否否命命题题如如注注1 1 何何叙叙述述？1lim0 nnnnuu 若若（包包括括这这个个极极限限不不存存在在), ), 则则级级数数必必发发散散。1lim0 nnnnuu 即即使使，级级数数也也未未注注2 2必必收收敛敛。例如例如,1) 1(544332211nnn1) 1(1nnunn发散发散6/17/20211411 nnnnuv（收收敛敛级级数数的的线线性性运运算算性性质质）若若

10、级级数数与与性性质质1 1都都 1+nnnABAuBv 收收敛敛， 与与 是是两两常常数数，则则级级数数必必收收敛敛，且且 111 +nnnnnnnuvAuBv若若级级数数注注1 1 收收敛敛，发发散散，则则级级数数必必发发散散。例如例如: ,) 1(2nnu取,) 1(12 nnv0nnvu而反证法反证法 2. 级级数数的的重重要要性性质质 111 +nnnnnnnuvAuBv 注注2 2 级级数数与与都都发发散散是是发发散散的的。6/17/202115121111( 1)2,5,4 nnnnnnnuuu 已已知知 求求 例例. .112341( 1)+2 nnnuuuuu 解解 nnuuu

11、uu 2113571+=5uuuu24685-23 nnuuuuuu 123451538 6/17/202116 3 从从级级数数中中任任意意去去掉掉有有限限项项，或或添添加加有有限限项项，或或改改变变有有限限项项，都都不不影影响响级级性性质质数数的的敛敛散散性性. .相相比比原原级级数数新新级级数数是是有有的的和和注注 变变化化的的。 1111 1,22, nnnnnnnnnnuvuvnuv 若若级级数数与与都都收收敛敛，且且性性质质则则6/17/2021171 ,4nnu （收收敛敛级级数数的的顺顺项项可可括括性性质质）若若级级数数则则不不改改变变级级数数各各项项的的顺顺序序所所得得的的任

12、任何何新新级级数数仍仍收收敛敛，且且级级收收敛敛加加括括数数的的性性号号质质和和不不变变. .32313212111(+) (+) = nnnnnnnnnuuuuuu nnu 1 若若级级数数收收敛敛，则则将将其其相相继继两两项项或或相相继继三三项项加加括括号号所所得得nnnnnnnuuuuu2123231311(+) (+) 的的级级数数与与都都收收敛敛，且且若若某某级级数数有有一一个个顺顺项项加加括括号号所所注注1 1 得得的的级级逆逆否否命命题题：数数发发散散，则则该该级级数数必必发发散散。某某级级数数有有一一个个顺顺项项括括号号所所得得的的级级数数收收敛敛，原原级级数数注注2 2 未未

13、必必收收敛敛。,0) 11 () 11 (1111发散发散.例如例如6/17/202118nnuS ,1 1收收敛敛于于则则nnuSu 111 1收收敛敛于于，nnuSuu 2121 1收收敛敛于于121122 ()()nnnnuuuSSuSuuSu 1 1收收敛敛于于 12,()_2nnnnnnuSuuu 1 11 1若若级级数数收收敛敛于于则则收收敛敛于于练练习习 . .Su 26/17/202119判判定定下下列列说说法法是是否否正正确确，并并说说明明理理由由练练习习 或或举举例例。=1nnnuu （1 1）数数列列和和级级数数同同时时收收敛敛或或同同时时发发散散；=1=1nnnnkku

14、u（2 2）设设 为为常常数数，如如果果级级数数收收敛敛，则则级级数数收收敛敛；=1=1=1()nnnnnnnuvuv （3 3）如如果果级级数数收收敛敛，级级数数发发散散，则则级级数数一一定定发发散散；=1=1=1()nnnnnnnuvuv （4 4）如如果果级级数数和和级级数数都都发发散散，那那么么级级数数可可能能收收敛敛； 212=1=1=15nnnnnnuuu （ ）如如果果级级数数和和级级数数都都收收敛敛，那那么么级级数数收收敛敛212=1=1()nnnnnuuu （6 6）如如果果级级数数收收敛敛，则则级级数数收收敛敛。 0k 6/17/202120小小 结结一、级数的概念与性质一、级数的概念与性质无穷级数无穷级数部分和部分和二、级数收敛与发散二、级数收敛与发散级数与级数与部分和部分和具有相同的敛散性具有相同的敛散性nnu =1nnSuuuu1236/17/202121三、性质三、性质性质性质1 1级数收敛的必要条件级数收敛的必要条件nnu =1收收敛敛nnulim=0=0nnu =1发发散散nnu lim0 0逆否命题判断级数发散逆否命题判断级数发散性质性质2 2nnus =1= =nnkuks =1= =nnus =1,