第1章_线性规划应用

1、1生产计划问题生产计划问题l明兴公司生产甲、乙、丙三种产品，都需要经过铸造、机加工和装配三个车间。甲、乙两种产品的铸件可以外包协作，亦可以自行生产，但产品丙必须本厂铸造才能保证质量。数据如表。问：公司为了获得最大利润，甲、乙、丙三种产品各生产多少件？甲、乙两种产品的铸造中，由本公司铸造和由外包协作各应多少件？甲乙丙资源限制铸造工时(小时/件)51078000机加工工时(小时/件)64812000装配工时(小时/件)32210000自产铸件成本(元/件)354外协铸件成本(元/件)56-机加工成本(元/件)213装配成本(元/件)322产品售价(元/件)2318162l解：设 x1，x2，x3分

2、别为三道工序都由本公司加工的甲、乙、丙三种产品的件数， x4，x5 分别为由外协铸造再由本公司机加工和装配的甲、乙两种产品的件数。 求 xi 的利润：利润 = 售价 各成本之和 可得到 xi （i= 1,2,3,4,5） 的利润分别为 15、10、7、13、9 元。 这样我们建立如下的数学模型: 目标函数： max 15x1 + 10 x2 + 7x3 + 13x4 + 9x5 约束条件： s.t. 5x1 + 10 x2 + 7x3 8000 6x1 + 4x2 + 8x3 + 6x4 + 4x5 12000 3x1 + 2x2 + 2x3 + 3x4 + 2x5 10000 x1,x2,x

3、3,x4,x5 03市场应用市场应用l某房地产开发公司正在建造一个湖边小区，公司准备投入3万元进行广告媒体宣传，希望能够吸引周围的中高收入家庭前来购房。目前有5种媒体可供选择，相关信息如表所示：4市场应用市场应用媒体被告知的潜在顾客数（人/次）广告费用（元/次）媒体最高使用次数（次）每次宣传的质量日间电视100015001565夜间电视200030001090日末新闻杂志25001000460电台广播30010030205市场应用市场应用l要求：1）至少进行10次电视广告播放；2）至少有5万名潜在顾客被告知；3）电视广告收入不超过18000元。如何进行媒体组合，才能使

4、广告质量最高？6l解（1）确定决策变量：设 分别表示日间电视、夜间电视、日报、周末新闻杂志、电台广播五种媒体的使用次数。 （2）确定约束条件： 1）预算资金约束。 2）潜在顾客被告知度的限制。 3）电视广告播放次数的限制。 12345,xxxxx1234515003000400100010030000 xxxxx12345100020001500250030050000 xxxxx1210 xx74）电视广告投入资金的限制。5）媒体最高使用次数约束（3）确定目标函数121500300018000 xx12345151025430 xxxxx12345max6590406020zxxxxx8l综

5、上所述，该问题的线性规划问题模型为123451234512345121212345max65904060201500300040010001003000010002000150025003005000010150030001800015.10254300,1,7izxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxstxxxxxi9金融计划金融计划l连续投资问题 某部门在今后五年内考虑给下列项目投资，已知： 项目A，从第一年到第四年每年年初需要投资，并于次年末回收本利115 % ； 项目B，第三年初需要投资，到第五年末能回收本利125 % ，但规定最大投资额不超过4万元； 项目C，第二年初需要投资，到第

6、五年末能回收本利140 % ，但规定最大投资额不超过3万元； 项目D，五年内每年年初可购买公债，于当年年末归还，并加利息6%。 该部门现有资金10万元，问它应如何确定给这些项目每年的投资额，使到第五年末拥有的资金的本利总额为最大？10(1),(1,2,3,4,5), ,iAiBiCiDxxxxiiA B C D解： 确定变量：设分别表示第 年年初给项目的投资额。12345A x1Ax2Ax3Ax4ABx3BCx2CDx1Dx2Dx3Dx4Dx5D年份项目111122213331244235343(2)1000001.06(1 15%)(1 6%)1.151.061.151.06,ADACDDA

7、BDADADADDADBxxxxxxxxxxxxxxxxxxB Cx投资额应等于手中拥有的资金额，手中不应当有剩余的呆滞资金。第一年：该部门年初拥有100000元，所以有第二年：第三年：第四年：第五年：此外，项目的投资有限额的规定：即：243254000030000(3)1.151.251.401.06CABCDxMaxzxxxx目标函数：要求第五年末该部门手中拥有的资金额达到最大。12432511122212333234434532(4)1.151.251.401.06. .1000001.0601.151.0601.151.0601.151.0604000030000,ABCDADDACD

8、ADABDADADADDBCiAiBiMaxzxxxxstxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx数学模型,0,1,5.CiDxi 1311222333445(5)3478365217391306521700,40000045000,0014375043 75%.ADACDABDADDxxxxxxxxxxx用单纯形法计算结果得到第一年：元，元第二年：元，元,元第三年：元元,元第四年：元元第五年：元到第五年末该部门拥有资金总额为元，即盈利.14套裁下料套裁下料l合理利用线材问题。现要做100套钢架，每套用长2.9m，2.1m和1.5m的元钢各一根。已知原料长7.4m，问应如何下料，使用的原

9、材料最省。15l解：写出所有可能的下料方案（从剪裁的一种思路考虑）方案 1方案 2方案 3方案 4方案 5方案 6方案 7方案 82.9 m211100002.1 m021032101.5 m10130234合计7.37.16.57.46.37.26.66.0剩余料头0.10.30.901.10.20.81.4整理为剩余料头从小到大的方案顺序方案 1方案 2方案 3方案 4方案 5方案 6方案 7方案 82.9 m120101002.1 m002211301.5 m31203104合计7.47.37.27.16.66.56.36.0剩余料头00.10.20.30.80.91.11.416考虑下

10、列考虑下列 5 种下料方案种下料方案abcde2.9120102.1002211.531203合计合计7.47.37.27.16.6料头料头00.10.20.30.81712345123451243451235123451234512 3 4 5,min210022100333100,030100500.x x x x xzxxxxxxxxxxxxxxxx x x x xxxxxx设按方案 ， ， ， ， 下料的原材料分别为，可列出下面的数学模型。可验证最优解为： =，=，= ，=，=18l一个木材储运公司有很大的仓库用以储运出售木材。由于木材季度价格的变化，该公司于每季度初购进木材，一部分于

11、本季度内出售，一部分储存起来以后出售。已知该公司仓库的最大储存量为2000万米3，储存费用为（70+100u）千元/万米3，u为存储时间（季度数）。已知每季度的买进卖出价及预计的销售量如下表所示。 季度季度 买进价买进价(万元万元/万米万米3) 卖出价卖出价(万元万元/万米万米3) 预计销售量预计销售量(万米万米3)冬冬4104251000春春4304401400夏夏4604652000秋秋4504551600由于木材不宜久贮，所有库存木材应于每年秋末售完。为使售后利润最大，试建立这个问题的线性规划模型。 生产存储问题生产存储问题19解：解：设yi分别表示冬、春、夏、秋四个季度采购的木材数，x

12、ij代表第i季度采购的用于第j季度销售的木材数。1112131222324233343444111112131411121314222223241222131423243max(425423438410)(440448428430)(465438460)(455450)200001000200001400zxxxyxxxyxxyxyyyxxxxxxxxyyxxxxxxxxxy33334132333142434444414243444200002000200001600,0i jyxxxxxxxxyyxxxxxx季季度度买进价买进价（万元（万元/万万米米3）卖出价卖出价（万元（万元/万万米米3）

13、预计销售预计销售量（万米量（万米3）冬冬4104251000春春4304401400夏夏4604652000秋秋450455160020有一艘货轮，分前、中、后三个舱位，它们的容积与最大允许载重量如表1所示。现有三种货物待运，已知有关数据列于表2。为了航运安全，要求前、中、后舱在实际载重量上大体保持各舱最大允许载重量的比例关系，具体要求前、后舱分别与中舱之间载重量比例上偏差不超过15%，前、后舱之间不超过10%。问该货轮应装载A，B，C各多少件，运费收入为最大？试建立这个问题的线性规划模型。 前舱中舱后舱最大允许载重量（吨）200030001500容积（立方米）400054001500表1商品

14、数量（件）每件体积（立方米/件） 每件重量（吨/件） 运价（元/件）A6001081000B100056700C8007560021解：设表示xij装于第j(j=1,2,3)舱位的第i(i=1,2,3)种商品的数量111213212223313233112131122232132333112131122232132333111213212223max1000()700()600()865200086530008651500105740001057540010571500600zxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx31323311213112223213233312

15、2232112131132333100080086522(10.15)(10.15)3865386511(10.15)(10.15)2865286544(10.10)(10.10)38653xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx舱位载重限制舱位体积限制商品数量限制平衡条件前舱中舱后舱重量200030001500容积400054001500商品数量体积重量运价A6001081000B100056700C8007560022仓库租用问题仓库租用问题l 捷运公司拟在下一年度的1-4月的4个月内需租用仓库堆放物资。已知各月份所需仓库面积数列于表1。仓库租借费用随合同期而定，期限越长，折扣越大，具体

16、数字见表2。租借仓库的合同每月初都可办理，每份合同具体规定租用面积数和期限。因此该厂可根据需要，在任何一个月初办理租借合同。每次办理时可签一份，也可签若干份租用面积和租借期限不同的合同，试确定该公司签订租借合同的最优决策，目的是使所付租借费用最小。月份1234所需仓库面积(100m2)15102012表表1合同租借期限1个月2个月3个月4个月所需仓库面积(元/100m2)2800450060007300表表22311x12x13x14x21x22x23x31x32x41x151020121514131211xxxx10232221141312xxxxxx1241322314xxxx203231

17、23221413xxxxxx2800Z)(41312111xxxx4500)(322212xxx6000)(2313xx 147300 x24解:1)设决策变量xij表示捷运公司在第i(i=1,2,3,4)个月初签订的租借期为j(j=1,2,3,4)个月的仓库面积的合同(单位为100m2)。因5月份起该公司不需要租借仓库，故x24,x33,x34,x42,x43,x44均为零2)目标函数:使总的租借费用最小xxxxxxxxxxZ142313322212413121117300)(600)(4500)(2800min3)约束条件:每个月份所需仓库面积的限制)4 , 3 , 2 , 1; 4 ,

18、3 , 2 , 1(0122010154132231432312322141323222114131214131211jixxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxij25混和配料问题混和配料问题l某糖果厂用原料A、B、C加工成三种不同牌号的糖果甲、乙、丙。已知各种牌号糖果中A、B、C含量，原料成本，各种原料的每月限制用量，三种牌号糖果的单位加工费及售价如表所示。问该厂每月生产这三种牌号的糖果各多少kg，使其获利最大。试建立这个问题的线性规划的数学模型。原料甲乙丙原料成本(元/kg)每月限制用量(kg)A60%30%2.002000B1.502500C20%50%60%1.001200加工费(元/kg)0.50.400.30售价(元/kg)3.402.852.25261,2,3, ,1,2,3ijiA B Cjxijkg解：用分别代表原料，用分别代表甲、乙、丙三种糖果，为用第 种原料生产第 种糖果所耗用的数量。112131122232132333xxxxxxxxxxxxxxx乙甲丙甲乙丙三种糖果的生产量，分别为工厂的获利为三种牌号糖果的售价减去相应的加工费和原料成本。27112131122232132333111213212223313233m