上海市长宁、嘉定区高三下学期4月二模考试理科数学试题及答案

1、上海市长宁、嘉定区2014届高三4月第二次模拟考试数学试卷（理）2014年4月考生注意：本试卷共有23道试题，满分150分考试时间120分钟解答必须写在答题纸上的规定区域，写在试卷或草稿纸上的答案一律不予评分一填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分1已知为虚数单位，计算：_2已知集合，集合，则_3函数的最小正周期是_4展开式中含项的系数是_5某校选修篮球课程的学生中，高一学生有名，高二学生有名，现用分层抽样的方法在这名学生中抽取一个样本，已知在高一学生中抽取了人，则在高二学生中应抽取_人6在直角三角形中，则_7对于任

2、意，函数的反函数的图像经过的定点的坐标是_8已知函数将的图像与轴围成的封闭图形绕轴旋转一周，所得旋转体的体积为_9已知点在曲线：（为参数）上，则到曲线的焦点的距离为_10已知抛物线型拱桥的顶点距水面米时，量得水面宽为米则水面升高米后，水面宽是_米（精确到米）11设随机变量的概率分布律如下表所示：其中，成等差数列，若随机变量的的均值为，则的方差为_12若不等式在时恒成立，则实数的取值范围是_13设（），若的内角满足，则_14定义函数，其中表示不小于的最小整数，如，当（）时，函数的值域为，记集合中元素的个数为，则_二选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个选项正确，考生应在答题纸相应编

3、号上，将代表答案选项的小方格涂黑，每题选对得5分，否则一律得零分开始结束输出否是15运行如图所示的程序框图，则输出的所有实数对所对应的点都在函数（ ）a的图像上b的图像上c的图像上d的图像上16下列说法正确的是（ ）a命题“若，则”的否命题是“若，则”b“”是“”的必要不充分条件c命题“若，则”的逆否命题是真命题d“”是“”的充分不必要条件17设、是双曲线：（，）的两个焦点，是上一点，若，且最小内角的大小为，则双曲线的渐近线方程是（ ）a b c d18设函数的定义域为，若对于任意、，当时，恒有，则称点为函数图像的对称中心研究函数的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到的值为（ ）a

4、 b c d三解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤19（本题满分12分，本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分在中，角、所对的边分别为、，已知（），且（1）当，时，求，的值；（2）若为锐角，求实数的取值范围20（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分在如图所示的多面体中，四边形为正方形，四边形是直角梯形，平面，（1）求证：平面；abcdpq（2）求平面与平面所成的锐二面角的大小21（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分已知椭圆：（）的右焦点为，且椭圆过点（1）求

5、椭圆的方程；（2）设斜率为的直线与椭圆交于不同两点、，以线段为底边作等腰三角形，其中顶点的坐标为，求的面积22（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分设数列，已知，（）（1）求数列的通项公式；（2）求证：对任意，为定值；（3）设为数列的前项和，若对任意，都有，求实数的取值范围23（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分设是实数，函数（）（1）求证：函数不是奇函数；（2）当时，求满足的的取值范围；（3）求函数的值域（用表示）上海市长宁、嘉定区2014届高三4月第二次模拟考试数学试卷（理）参考答案与评分

6、标准2014年4月注：解答题评分标准中给出的为各小题的累计分，请阅卷老师注意一填空题（每小题4分，满分56分）1 2 3 4 5 6 78 9 10 11 12 13 14二选择题（每小题5分，满分20分）15d 16c 17b 18d三解答题（共5题，满分74分）19（本题满分12分，本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分（1）由正弦定理得，所以， （2分）又，所以或 （5分）（少一组解扣1分）（2）由余弦定理，（1分）即， （2分）所以 （4分）由是锐角，得，所以 （6分）由题意知，所以 （7分）20（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分（1）

7、由已知，两两垂直，可以为原点，、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系 （1分）设，则，故， （3分）因为，故，即， （5分）所以，平面 （6分）（2）因为平面，所以可取平面的一个法向量为， （1分）点的坐标为，则，（2分）设平面的一个法向量为，则，故即取，则，故 （5分）设与的夹角为，则 （7分）所以，平面与平面所成的锐二面角的大小为 （8分）解法二：（1）因为平面，所以， （1分）作，为垂足，则四边形是正方形，设，则，又，所以是的中点，所以， 所以，所以 （5分）所以，平面 （6分）（2）连结，由（1）知，又，所以平面，（2分）所以，所以为所求二面角的平面角 （4分）因为是等腰直角三角

8、形，所以 （7分）所以，平面与平面所成的锐二面角的大小为 （8分）21（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分（1）由已知得，因为椭圆过点，所以 （2分）解得 （5分）所以，椭圆的方程为 （6分）（2）设直线的方程为， （1分）由得 （2分）因为直线与椭圆交于不同两点、，所以，所以 （3分）设，则，是方程的两根，所以， 设的中点为，则， （4分）因为是等腰三角形的底边，所以，向量是直线的一个法向量，所以向量，即向量，所以，解得 （5分）此时方程变为，解得，所以又到直线：的距离， （7分）所以的面积 （8分）22（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，

9、第2小题满分6分，第3小题满分6分（1）因为，所以（）， （分）所以，（2分）即数列是首项为，公比为的等比数列， （3分）所以 （4分）（2）解法一：， （1分）因为，所以，猜测：（） （2分）用数学归纳法证明：当时，结论成立； （3分）假设当（）时结论成立，即，那么当时，即时结论也成立 （5分）由，得，当时，恒成立，即恒为定值（6分）解法二：， （1分）所以，（4分）而，所以由上述递推关系可得，当时，恒成立，即恒为定值（6分）（3）由（1）、（2）知，所以，（1分）所以，所以， （2分）由得，因为，所以， （3分）当为奇数时，随的增大而递增，且，当为偶数时，随的增大而递减，且，所以，的最大值为，的最小值为 （4分）由，得，解得 （6分）所以，所求实数的取值范围是23（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分（1）假设是奇函数，那么对于一切，有，从而，即，但是，矛盾所以不是奇函数（也可用等证明） （4分）（2）因为，所以当时，由，得，即，（2分）因为，所以，即 （3分）当，即时，恒成立，故的取值范围是；（4分）当，即时，由，得，故的取值范围