债券价格波动性衡量

1、Loading债券价格波动性的衡量债券价格波动性的衡量目录CONTENTS债券价格与收益率的关系01债券价格波动性的特点02价格波动性的衡量：基点价格值和价格变化的收益值03价格波动性的衡量：凸性和久期04 NO.01债券价格与收益率的关系债券价格与收益率的关系 输入文字输入文字 输入文字输入文字 输入文字输入文字 输入文字输入文字输入1文字输入1文字输入1文字 输入文字输入文字输入文字输入文字 输入文字输入文字输入文字输入文字 输入文字输入文字输入文字输入文字 输入文字输入文字输入文字输入文字 输入文字输入文字 输入文字输入文字 输入文字输入文字 输入文字输入文字p想一想：想一想：到目前为止

2、，我们已经学习完了到目前为止，我们已经学习完了债券债券价值价值与与债券收益率债券收益率的计算，思考的计算，思考一下这两者之间有什么关系？一下这两者之间有什么关系？请看下面的例题并观察图表，思考总请看下面的例题并观察图表，思考总结规律。结规律。例例1.11.1：一种债券的一种债券的面值为面值为10001000元元，票面利率为票面利率为6%6%，20092009年年1010月月1515日到期，日到期，每年的每年的4 4月月1515日和日和1010月月1515日分别付息一次日分别付息一次，在，在20022002年年1010月月1515日计日计算该债券的价格。要求计算不同的投资者算该债券的价格。要求计

3、算不同的投资者要求的收益率下债券的价格。要求的收益率下债券的价格。1 1 债券价格与收益率的关系债券价格与收益率的关系收益率收益率息票现值（元）息票现值（元） 面值现值（元）面值现值（元） 债券价格（元）债券价格（元）5.0%350.73707.731058.465.5%344.73684.001028.736.0%338.88661.121000.006.5%333.18639.06972.247.0%327.62617.78945.407.5%322.19597.26919.458.0%316.89577.48894.378.5%311.73558.39870.129.0%306.6853

4、9.97846.659.5%301.76522.21823.97表一：表一：1 1 债券价格与收益率的关系债券价格与收益率的关系5 6 7 8 910501000950900850债券价格（元）收益率（%）图一 债券价格与收益率的反向关系1 1 债券价格与收益率的关系债券价格与收益率的关系1 1 债券价格与收益率的关系债券价格与收益率的关系由表一中的计算结果和图一可知，由表一中的计算结果和图一可知，债券价格与收益率存在如下重要关系：债券价格与收益率存在如下重要关系：债券价格与其收益率呈反方向变动。债券价格与其收益率呈反方向变动。究其原因，是由于债券的价格是根究其原因，是由于债券的价格是根据投资

5、者要求的收益率对现金流进行贴据投资者要求的收益率对现金流进行贴现得到的，当贴现率提高时，现金流的现得到的，当贴现率提高时，现金流的现值必然会降低，债券价格也就会下降，现值必然会降低，债券价格也就会下降，反之，贴现率降低时，债券价格就会上反之，贴现率降低时，债券价格就会上升。升。我们还可以发现，当市场利率和票面利率相等时，我们还可以发现，当市场利率和票面利率相等时，债券的价格与其面值相等，当市场利率大于债券票面债券的价格与其面值相等，当市场利率大于债券票面利率时，由于在这种票面利率下购买债券不利，因此利率时，由于在这种票面利率下购买债券不利，因此债券价格就会下降，相反，当市场利率低于票面利率债券

6、价格就会下降，相反，当市场利率低于票面利率时，由于购债有利，人们会倾向于购买债券，这就会时，由于购债有利，人们会倾向于购买债券，这就会导致债券价格的上扬。导致债券价格的上扬。债券价格低于面值的这一部分价差对于投资者来说债券价格低于面值的这一部分价差对于投资者来说是一种资本利得，是对投资者获得的票面利率低于市是一种资本利得，是对投资者获得的票面利率低于市场利率，即投资者要求的收益率的补偿。场利率，即投资者要求的收益率的补偿。价格低于面价格低于面值的债券被称为折价债券。值的债券被称为折价债券。相对应的，当债券价格高于其面值时，投资者为了相对应的，当债券价格高于其面值时，投资者为了获得高于市场利率的

7、票面利率，应该支付的价格不得获得高于市场利率的票面利率，应该支付的价格不得不高于债券面值。不高于债券面值。价格高于面值的债券被称为溢价债价格高于面值的债券被称为溢价债券。券。1 1 债券价格与收益率的关系债券价格与收益率的关系我们可以总结如下规律：我们可以总结如下规律：市场利率市场利率= =票面利率，价格票面利率，价格= =面值面值市场利率市场利率 票面利率，价格票面利率，价格 面值面值市场利率市场利率 面值面值1 1 债券价格与收益率的关系债券价格与收益率的关系例例1.21.2：一种一种面值为面值为100100元元的债券，的债券，票面利票面利率为率为8%8%，一年付息一次，下一次，一年付息一

8、次，下一次支付在支付在1 1年后，年后，1010年后到期年后到期，假设，假设投资者要求的投资者要求的收益率收益率分别为分别为6%6%和和10%10%，分别计算债券价格随到期，分别计算债券价格随到期日临近的变化。日临近的变化。图二：图二：1 1 债券价格与收益率的关系债券价格与收益率的关系通过上图，我们可以得出如下结论：通过上图，我们可以得出如下结论：随着到期日的临近，债券的价格向随着到期日的临近，债券的价格向面值趋近面值趋近对于折价债券，本金现值的增加大对于折价债券，本金现值的增加大于息票利息现值的减少，债券价格上于息票利息现值的减少，债券价格上升升对于溢价债券，本金现值的增加不对于溢价债券，

9、本金现值的增加不足以抵消息票利息现值的减少，债券足以抵消息票利息现值的减少，债券价格降低。价格降低。1 1 债券价格与收益率的关系债券价格与收益率的关系究其原因，是因为债券的价格究其原因，是因为债券的价格由本金的现值和利息的现值两部由本金的现值和利息的现值两部分构成，随着到期日的临近，投分构成，随着到期日的临近，投资者所能获得的息票支付越来越资者所能获得的息票支付越来越少，息票支付的现值降低，而本少，息票支付的现值降低，而本金的现值却增加了，在二者的共金的现值却增加了，在二者的共同作用之下导致债券的价格随着同作用之下导致债券的价格随着到期日的临近而向其面值趋近。到期日的临近而向其面值趋近。90

10、90秒解释为何债券收益为负还有人买秒解释为何债券收益为负还有人买1 1 债券价格与收益率的关系债券价格与收益率的关系债券价格波动性的特点债券价格波动性的特点NO.2 输入文字输入 输入文字输入 输入文字输入票面利率票面利率大小与债券价格波动大小与债券价格波动12到期时间到期时间与债券价格波动与债券价格波动3债券价格债券价格波动的不对称性波动的不对称性4初始收益率初始收益率与债券价格波动与债券价格波动2 2 债券价格波动性的特点债券价格波动性的特点引言2 2、价格风险的大小用、价格风险的大小用价格的利率敏感性价格的利率敏感性来衡量。来衡量。3 3、影响价格的利率敏感性有三个重要因素：、影响价格的

11、利率敏感性有三个重要因素：票面利票面利率率、到期时间到期时间以及以及初始收益率初始收益率。它们与价格的利。它们与价格的利率敏感性之间呈现出这样一些率敏感性之间呈现出这样一些规律规律：（1 1）价格的利率敏感性与）价格的利率敏感性与债券的票面利率债券的票面利率具有具有反向反向关系关系。其他因素相同时，低票面利率债券比高票。其他因素相同时，低票面利率债券比高票面利率债券价格的利率敏感性更强。面利率债券价格的利率敏感性更强。2 2 债券价格波动性的特点债券价格波动性的特点（2 2）价格的利率敏感性与）价格的利率敏感性与债券的到期时间债券的到期时间具有具有正向正向关系关系。其他因素相同时，长期债券比短

12、期债券价。其他因素相同时，长期债券比短期债券价格的利率敏感性更强。格的利率敏感性更强。（3 3）随着到期时间的增长，价格的利率敏感性增加）随着到期时间的增长，价格的利率敏感性增加，但是增加得越来越慢。，但是增加得越来越慢。（4 4）收益率）收益率上升上升导致价格导致价格下跌下跌的幅度比等规模的收的幅度比等规模的收益率益率降低降低带来的价格带来的价格上涨上涨的的幅度小幅度小，这被称为，这被称为价价格波动的不对称性格波动的不对称性。（5 5）价格的利率敏感性与）价格的利率敏感性与债券的初始收益率水平债券的初始收益率水平具具有有反向关系反向关系。其他因素相同时，债券的初始收益。其他因素相同时，债券的

13、初始收益率较低时，价格的利率敏感性更强。率较低时，价格的利率敏感性更强。2 2 债券价格波动性的特点债券价格波动性的特点n有有A A、B B、C C、D D四种债券，它们的相关资料如下所四种债券，它们的相关资料如下所示：示：债券债券票面利率票面利率到期时间到期时间初始收益率初始收益率A A10%10%5 5年年9%9%B B10%10%2020年年9%9%C C4%4%2020年年9%9%D D4%4%2020年年5%5%p债券价格的利率敏感性的大小关系是：债券价格的利率敏感性的大小关系是：ABCDABCD2 2 债券价格波动性的特点债券价格波动性的特点2.1 票面利率大小与债券价格波动票面利

14、率大小与债券价格波动p 思考：思考： 保持其他因素不变，票面利率越低，债保持其他因素不变，票面利率越低，债券价格的利率敏感性越大，利率风险也券价格的利率敏感性越大，利率风险也就越大。也就是说收益率变动时，其他就越大。也就是说收益率变动时，其他条件相同的债券，票面利息越小，其价条件相同的债券，票面利息越小，其价格波动越大。我们用下面的例子来验证格波动越大。我们用下面的例子来验证2 2 债券价格波动性的特点债券价格波动性的特点AB票面利率票面利率8%10%面值（元）面值（元）100100信用评级信用评级AaAa到期时间到期时间10年年10年年收益率收益率8%8%价格（元）价格（元）100.0011

15、3.59收益率收益率10%10%价格（元）价格（元）87.54100价格变动的百分比价格变动的百分比-12.46%-11.96%例例2.12.1：有：有A A、B B两种债券，半年付息一次，下一次付息在半年以后，相关资料如两种债券，半年付息一次，下一次付息在半年以后，相关资料如下，分别计算并比较收益率上升下，分别计算并比较收益率上升2 2个百分点时两者的价格波动百分比个百分点时两者的价格波动百分比2 2 债券价格波动性的特点债券价格波动性的特点2.2 到期时间与债券价格波动到期时间与债券价格波动p 思考：思考： 保持其他因素不变，长期债券的价格对利保持其他因素不变，长期债券的价格对利率变动的敏

16、感性比短期债券更强。因此，率变动的敏感性比短期债券更强。因此，债券的到期时间越长，利率风险也就越大债券的到期时间越长，利率风险也就越大。 随着到期时间的增长，价格的利率敏感性随着到期时间的增长，价格的利率敏感性以递减的速度增加。以递减的速度增加。2 2 债券价格波动性的特点债券价格波动性的特点 例例2.22.2：有三种息票债券：有三种息票债券A A、B B、C C，半年付息一次，下一次付息在半，半年付息一次，下一次付息在半年以后，其他资料如下，分别计算收益率上升年以后，其他资料如下，分别计算收益率上升2 2个百分比时三者的个百分比时三者的价格波动百分比价格波动百分比ABC票面利率票面利率8%8

17、%8%面值（元）面值（元）100100100信用评级信用评级AaAaAa到期时间（年）到期时间（年）51015收益率收益率8%8%8%价格（元）价格（元）100.00100.00100.00收益率收益率10%10%10%价格（元）价格（元）92.2887.5484.63价格变动的百分比价格变动的百分比-7.72%-12.46%-15.37%价格波动比较价格波动比较B-A=4.74%C-B=2.91%2 2 债券价格波动性的特点债券价格波动性的特点2.3 债券价格波动的不对称性债券价格波动的不对称性p 思考：思考： 债券的价格对于债券的价格对于收益率的降低收益率的降低比对收比对收益率的益率的上升

18、上升更加更加敏感敏感。2 2 债券价格波动性的特点债券价格波动性的特点ABC票面利率票面利率8%8%8%面值（元）面值（元）100100100信用评级信用评级AaAaAa到期时间（年）到期时间（年）51015收益率收益率8%8%8%价格（元）价格（元）100.00100.00100.00收益率收益率10%10%10%价格（元）价格（元）92.2887.5484.63价格变动的百分比价格变动的百分比-7.72%-12.46%-15.37%收益率收益率6%6%6%价格（元）价格（元）108.53114.88119.60价格变动的百分比价格变动的百分比8.53%14.88%19.60%2 2 债券价

19、格波动性的特点债券价格波动性的特点不对称性就越明显。幅度越大，这种的幅度相比价格下降的升收益曲线越凸，价格上而且，价格格下降的幅度；上升的幅度大于价格价，即价格)(）可以看出，（21PPPP2 2 债券价格波动性的特点债券价格波动性的特点2.4 初始收益率与债券价格波动初始收益率与债券价格波动p 思考：思考： 其他因素不变时，其他因素不变时，初始收益率水平初始收益率水平越低，债越低，债券价格的利率敏感性越强。券价格的利率敏感性越强。2 2 债券价格波动性的特点债券价格波动性的特点 例例2.42.4：有：有A A、B B两种债券，半年付息一次，下一次付息在半年以后，相关两种债券，半年付息一次，下

20、一次付息在半年以后，相关资料如下，分别计算并比较收益率上升资料如下，分别计算并比较收益率上升1 1个百分比时两者价格波动百分比个百分比时两者价格波动百分比AB票面利率票面利率8%8%面值（元）面值（元）100100信用评级信用评级AaAa到期时间到期时间10年年10年年收益率收益率8%10%价格（元）价格（元）100.0087.54收益率收益率9%11%价格（元）价格（元）93.5082.07价格变动的百分比价格变动的百分比-6.50%-6.25%2 2 债券价格波动性的特点债券价格波动性的特点动的幅度更大。变初始收益率较高时价格时价格变动的幅度相比收益率较低收益率曲线越凸，初始而且，价格格变

21、动的幅度；于初始收益率较高时价大较低时价格变动的幅度可以看出即初始收益率),()()(）图表中，（2121HHHHPPPP2 2 债券价格波动性的特点债券价格波动性的特点p回忆总结回忆总结 债券价格波动性的特点四大方面债券价格波动性的特点四大方面：1 1、票面利率票面利率大小与债券价格波动？大小与债券价格波动？2 2、到期时间到期时间与债券价格波动？与债券价格波动？3 3、债券价格债券价格波动的不对称性？波动的不对称性？4 4、初始收益率初始收益率与债券价格波动？与债券价格波动？2 2 债券价格波动性的特点债券价格波动性的特点1NO.03价格波动性的衡量：2基点价格值价格变化的收益值一、基点价

22、格值1基点价格值指收益率变化一个基点，也就是0.01个百分点时，债券价格的变动值。基点价格值是价格变化的绝对值。2价格变动百分比指价格变化的绝对值相对于初始价格的百分比。它是价格变化的相对值，用式子表示就是： 价格变动百分比价格变动百分比= =基点价格值基点价格值/ /初始价初始价格格例5-7：有A、B、C三种债券，半年付息一次，下一次付息在半年以后，相关资料如下：ABC票面利率8%8%8%面值（元）100100100信用评级AaAaAa到期时间（年）51015收益率8%8%8%价格（元）100.00100.00100.00收益率8.01%8.01%8.01%价格（元）99.959599.93

23、2199.9136价格变动-0.0405-0.0679-0.0864基点价格值-0.0405-0.0679-0.0864收益率7.99%7.99%7.99%价格（元）100.0406100.0680100.0865价格变动0.04060.06800.0865基点价格值0.04060.06800.0865例5-8：有A、B、C三种债券，半年付息一次，下一次付息在半年以后，相关资料如下：ABC票面利率8%8%8%面值（元）100100100信用评级AaAaAa到期时间（年）51015收益率8%8%8%价格（元）100.00100.00100.00收益率8.1%8.1%8.1%价格（元）99.595

24、599.323599.1406价格波动值-0.4045-0.6765-0.8594基点价格值（例5-7）-0.0405-0.0679-0.0864收益率7.9%7.9%7.9%价格（元）100.4066100.6825100.8699价格波动值0.40660.68250.8699基点价格值（例5-7）0.04060.06800.0865 例5-9：一个债券组合由例5-7中的三种债券组成。其中，投资者持有债券A100张，债券B300张，债券C1000张。计算该债券组合的基点价格值。 解题步骤： 首先根据每张债券的基点价格值，求出每种债券的基点价格值； 然后加总得到整个债券组合的基点价格值。ABC

25、每张债券的基点价格值（元）0.04060.06800.0865持有量1003001000每种债券的基点价格值（元）4.0620.4086.50债券组合的基点价格值（元）110.96二、价格变化的收益值价格变化的收益值价格变化的收益值是指债券价格变动一定数量时，对应的收益率变动值。价格变化的收益值越小，意味着价格变动一定数量时，收益率的变动越小；反过来，收益率变动一个基点时，价格的变动越大，即基点价格值越大。例5-10 ：利用例5-7中的资料，如果价格变动0.125%，分别求出三种债券价格变化的收益值。ABC票面利率票面利率8%8%8%面值（元）面值（元）100100100信用评级信用评级AaA

26、aAa到期时间（年）到期时间（年）51015价格（元）价格（元）100.00100.00100.00收益率收益率8%8%8%价格（元）价格（元）100.125100.125100.125收益率收益率7.9692%7.9816%7.9856%收益率变动收益率变动-0.0308%-0.0184%-0.0144%价格（元）价格（元）99.87599.87599.875收益率收益率8.0308%8.0184%8.0144%收益率变动收益率变动0.0308%0.0184%0.0144%基点价格值基点价格值0.04060.06800.0865价格波动性的衡量：凸性和久期NO.0413425久期久期与价格波

27、动的关系资产组合的久期凸性债券的久期与凸性的近似求法一、久期久期的定义久期也称为持续期或有效期限，就是价格变化的百分比除以收益率变化的百分比。)1/(/)/()1/()1 (/)/(yyppyyPPDp债券的初始价格p债券价格变化值y初始收益率)(1 (yy或收益率变化值式中为什么加一个式中为什么加一个负号？负号？注意点！之所以加负号，是因为之所以加负号，是因为债券价格债券价格与与收益收益率率变化方向相反。变化方向相反。久期包含了关于债券久期包含了关于债券到期收益率到期收益率、票面利率票面利率和和到期时间到期时间的信息。的信息。收益率变化收益率变化会导致会导致债券价格变化债券价格变化，因此可以

28、利用，因此可以利用久期久期来衡量来衡量债券债券价格的收益率敏感性价格的收益率敏感性。久期是久期是债券债券或者是或者是债券组合债券组合在一个在一个时点时点上的特征，持续期上的特征，持续期与时俱进与时俱进。久期计算公式：TtttyCFtPD1)1(1如何计算普通债券的久期TtttTtttyCFytCFD11)1()1(计算公式：t现金流发生的时间T距到期日的期数；tCF第t期的现金流；y每期的到期收益率。PyCFWttt)1( TtttyCFP1)1(TttWtD1令：其中：那么： 是现金流时间的权重，是第t期现金流的现值占债券价格的比重。权重之和等于1，因为按到期收益率贴现的现金流之和就等于债券

29、的价格。注意：从上式中求出的久期是以期数为单位，我们还要把它除以每年付息的次数，转化成以年为单位的久期。tW例题5-11面值为100元，票面利率为8%的三年期债券，半年付息一次，下一次付息在半年后。如果到期收益率为10%，计算它的久期时间（期数）现金流（元）现金流的现值（元）权重时间权重143.80950.04010.0401243.62810.03820.0764343.45540.03640.1092443.29080.03470.1388543.13410.03300.1650610477.60640.81674.9056总计94.924315.4351该债券的久期是5.4351，也就是

30、5.4351/2=2.7176（年）久期的规则票面利率、到期时间、到期收益率是影响债券价格的利率敏感性的三个重要因素，它们与久期之间的关系也表现出一些规则。一、二、三、保持其他因素不变，票面利率越低，息票债券的久期越长保持其他因素不变，到期收益率越低，息票债券的久期越长一般来说，保持其他因素不变，到期时间越长，息票债券的久期越长浮动利率债券的久期在每个利息支付日（即刚刚支付完利息），浮动利率债券的价格都等于面值。而在下一个利息支付日，浮动利率债券的价值则等于面值加上利息。所以，这种每隔一定时期重新设定票面利率的浮动利率债券，完全等同于零息债券，该零息债券的期限则等于重新设定票面利率所经历的期限

31、。二、久期与价格波动的关系如果两个债券到期时间相同，但票面利率不同，它们的价格对于利率变动的反应程度是不相同的。然而，如果两个债券的久期相等，即使票面利率不同，它们价格的利率敏感性也是相同的。债券价格波动与久期成比例，而不是与到期时间成比例。)1/(/)/()1/()1 (/)/(yyppyyPPD由公式：得：yyDPP)1/(/该式清楚地表达了价格波动价格波动与久期久期的关系定义 为修正久期，用 表示，那么上式可以转换为)1/( yD DyDPP/上式表明，债券价格的变动百分比（相对数）等于修正久期与到期收益率变动值（绝对数）的乘积。修正久期越大，利率变动时价格的波动越大，利率风险就越大。

32、修正久期例题5-13有一种息票债券，面值为100元，票面利率为8%的三年期债券，半年付息一次，下一次付息在半年后。到期收益率为10%。久期是2.7176年。还有一种面值为100元，到期收益率为10%，距到期日还有2.7176年的零息债券，它的久期也是2.7176年。比较两者价格的利率敏感性。解析：修正久期=5.4352/（1+5%）=5.1764（半年）假设收益率上升一个基点，则：yDPP/即 -5.17640.005%=-0.0259%两种债券的久期相等，如果久期确实是利率风险的度量的话，两者价格的利率敏感性应当相等。注意：当收益率变动较小时，用修正久期估计的价格波动百分比是比较准确的，而当

33、收益率的变动越来越大时，这种估计的误差也就越来越大。另外，这种估计也不能体现价格波动的不对称性。不论收益率上升或下降，用修正的久期计算出来的价格波动百分比大小都是相同的。而实际情况是收益率下降时价格上升的幅度比收益率上升时价格下降的幅度大。 价格变动百分比0APP2收益率曲线的变动（y）实际的曲线久期估计的直线（斜率=-D*）实际价格波动久期估计的价格波动图5-8 实际价格波动与久期估计的价格波动结论当收益率上升时，实际价格波动较小，使用久期会高估价格的下降幅度；当收益率下降时，实际价格波动较大，使用久期又会低估价格的上升幅度。三、资产组合的久期资产组合的久期是资产组合的有效平均到期时间。计算

34、方法： 对组合中所有资产的久期求加权平均数，权重是各种资产的市场价格占资产组合总价值的比重。四、凸性可赎回债券的凸性凸性与价格波动的关系凸性计算凸性定义凸性的定义 在收益率变化比较大的情况下，为了更精确地估计债券价格的变化，必须考虑价格收益率曲线的凸性性质。 可以用泰勒级数的前两项更准确地计算收益率变化导致价格的变化：222)(2/1dydyPddydydPdP其中，为误差项。将上式两边同时除以债券价格P，得价格变化百分比的表达式：PdyPdyPddyPdydPPdP222)(12/11用C表示凸性，则：PdyPdC122可见，凸性与价格收益率函数的二阶导数相对应。（比较：久期对应于价格收益率函数的一阶导数的绝对值。）凸性的计算 为了更准确地计算债券价格的变化，需要计算债券的久期和凸性。 对于普通债券而言，凸性C的计算公式为：TtttttyCFyPC122)()1 ()1 (1式中： t 现金流发生的时间； CFt 第t期的现金流； y 每期的到期收益率； T 距到期日的期数； P 债券的市场价格。令：PyCFWttt)1(则：tTtWttyC)()1 (1122比较TttWtD1可以发现，凸性的计算与久期的计算非常相似，区别在于它是t2+t（