稳定性与李雅普诺夫方法PPT学习教案

1、会计学1稳定性与李雅普诺夫方法稳定性与李雅普诺夫方法第1页/共51页),(txfx 设所研究系统的齐次状态方程为一般为时变非线性函数。如果不显含t，则为定常的非线性系统。如果存在状态矢量xe，对所有的t，都使式0),(texf成立，则称xe为系统的平衡状态。),;(00tt xx 上式描述了从初始条件(t0,x0)出发的一条状态运动的轨迹，称为系统的运动或状态轨迹。第2页/共51页平衡状态的各分量不再随时间变化；若已知所求得的解 x ,状态方程，令0 x 平衡状态。对任意一个系统，不一定都存在平衡点，即使有，也不一定是唯一的；由于任意一个已知的平衡状态，都可以通过坐标变换将其移到坐标原点，以后

2、就只讨论系统在坐标原点处的稳定性。便是第3页/共51页李雅普诺夫意义下稳定0如果系统对任意选定的实数，都对应存在另一个实数0),(0t，使当),(00te xx时，从任意初始状态x0出发的解都满足：ttte0,)(xx则称平衡状态xe为李雅普诺夫意义下稳定。实数 与 有关，一般情况下也与t0有关。如果 与t0无关，则称平衡状态xe为一致稳定。第4页/共51页如果平衡状态xe是稳定的，而且当t无限增长时，轨线不仅不超出 ，而且最终收敛于xe，则称平衡状态xe是渐近稳定的。)(s大范围渐近稳定如果平衡状态xe是稳定的，并且从状态空间中所有初始状态出发的轨线都是具有渐近稳定性，则称平衡状态xe是大范

3、围渐近稳定的。第5页/共51页如果对于某个实数 和任一实数 ，不管 这个实数多么小，由 内出发的状态轨线，至少有一个轨线越过 ，则称平衡状态xe不稳定。00)(s)(s第6页/共51页（a）李雅普诺夫意义下的稳定性 （b）渐近稳定性 （c）不稳定性第7页/共51页线性系统的稳定判据线性定常系统:(A,b,c)cxbuAxxy平衡状态xe=0渐近稳定的充要条件是矩阵A的所有特征根均具有负实部。 这里的稳定是指系统的状态稳定性，或者称内部稳定。第8页/共51页如果系统对于有界输入u所引起的输出y是有界的，则称系统为输出稳定。线性定常系统:(A,b,c）输出稳定的充要条件是其传递函数：bAIc1)(

4、)(ssW的极点全部位于s的左半平面。第9页/共51页设系统的状态空间表达式为：xxx01111001yu试分析系统的状态稳定性和输出稳定性。解:（1）有A阵的特征方程0) 1)(1(1001特征值为-1 和1，所以系统的状态不是渐近稳定的。第10页/共51页（2）系统的传递函数为：11) 1)(1(111100101)()(11ssssssssWbAIc传递函数的极点位于s平面的左半平面，所以系统的输出稳定。第11页/共51页第12页/共51页),(txfx 设系统的状态方程为：xe为其平衡状态；f(x,t)为与x同维的矢量函数，且对x具有连续的偏导数。为讨论系统在xe处的稳定性，可将线性矢

5、量函数f(x,t)在xe邻域内展成泰勒级数，得：)()(xRxxxfxxee为级数展开式中的高阶导数项第13页/共51页nnnnnnxfxfxfxfxfxfxfxfxf212221212111xfexxx若令 ，并取一次近似，可以得到系统的线性化方程：xAx式中exxxfA第14页/共51页exxxfA1）系数矩阵A的所有特征值都具有负实部，则原非线性系统在xe是渐近稳定的，且系统的稳定性与R(x)无关；2）如果A的特征值，至少有一个具有正实部，则原非线性系统在xe是不稳定的。3）如果A的特征值，至少有一个的实部为零。系统处于临界情况，原非线性系统的平衡状态xe的稳定性将取决于高阶导数项R(x

6、)。第15页/共51页21222111xxxxxxxx试分析系统在平衡状态处的稳定性。21221100 xxxxxx得系统的平衡状态为11,0021eexx在1ex处线性化，得221122121121)1 ()1 (xxxxxxxxxxxx状态矩阵为1001A特征根为-1 和1，所以原非线性系统在1ex解：解方程第16页/共51页处是不稳定的。121122221121)1 ()1 (xxxxxxxxxxxx状态矩阵为0110A特征值为j1，实部为0，不能由线性化方程得出原系统在2ex处稳定性的结论。2ex处线性化，得在第17页/共51页基本思路：从能量的观点分析，借助于一个李雅普诺夫函数来直接

7、对系统平衡状态的稳定性作出判断。一个系统被激励后，其存储的能量随着时间的推移逐渐衰减，达到平衡状态时，能量将达最小值。这个平衡状态是渐近稳定的。反之，如果系统不断从外界吸收能量，储能越来越大，那么这个平衡状态是不稳定的。李雅普诺夫函数是正定的标量函数，是虚构的广义能量函数，通过能量函数对时间的导数的符号来判断稳定性。第18页/共51页x标量函数的符号性质设V(x)为有n维矢量x所定义的标量函数，且在x=0处，恒有V(x)=0。所有在域中的任何非零矢量x，如果0)(xV0)(xV1） ，则称V(x)为正定的，如：2） ，则称V(x)为半正定（或非负定）的。3） ，则称V(x)为负定的。4） ，则

8、称V(x)为半负定（非正定）的。5） 或 ，则称V(x)为不定的。0)(xV0)(xV0)(xV0)(xV第19页/共51页设 为n个变量，定义二次型标量函数为：nxxx,21nnnnnnnnTxxxpppppppppxxxV2121222211121121)(Pxxx第20页/共51页PxxxTV)(对二次型函数 ，若P为实对称阵，则必存在正交矩阵T,通过变换 ，使之化成：xTxx00 xxPxxPTTxxPTTxPxxxnTTTTTTV211)()(称为二次型函数的标准型。V(x)正定的充要条件是对称阵P的所有特征值均大于0.第21页/共51页设P为nn的实对称方阵， 为由P所决定的二次型

9、函数。1） 若V(x)为正定，则称P为正定，记做P0.2） 若V(x)为负定，则称P为负定，记做P0,使得ATP+PA0. C)(A第34页/共51页xPAPAxPAxxPxAxxPxPxxxPxxx)()()()(TTTTTTTVV设PxxxTV)(为李雅普诺夫函数必须满足的条件是V(x)是正定的，P 为正定实对称阵。如果系统是渐近稳定的，实对称阵满足不等式ATP+PA0这就给出了一种构造李雅普诺夫函数的方法，难点就是求解正定实对称阵P第35页/共51页求满足不等式ATP+PA0实对称阵P把不等式求解转换为求解等式Q是任意正定实对称阵，如果满足李雅普诺夫方程，一定满足李雅普诺夫不等式ATP+

10、PA=-Q李雅普诺夫方程ATP+PA0求解P的matlab函数P=lyap(A,B,Q) AP+PB=-QP=lyap(A,Q) ATP+PA=-Q李雅普诺夫不等式第36页/共51页n判据给出的条件是充分必要的。判据给出的条件是充分必要的。第37页/共51页xx3210试分析系统平衡点的稳定性。解：状态矩阵是非奇异的，系统的平衡状态为原点。设IQP,22211211PPPP将P和Q代入李雅普诺夫方程得第38页/共51页1001321031202221121122211211PPPPPPPP41414145P将上式展开，按照对应元素相等，可解得根据希尔维斯特判据知04141414145, 045

11、21矩阵P是正定的，系统是大范围渐近稳定的。第39页/共51页xx10120010K试确定系统增益K的稳定范围。解：因为是线性系统，且det(A)=-K,系统原点是唯一的平衡点。假设选取半正定阵Q为100000000Q第40页/共51页为了说明选取Q为半正定是正确的，还需要证明V(x)的导数不恒为零。由于23)(xVTQxxx0)(xV条件是03x000002211131333xxxxxxKxxxx所以只有在原点平衡状态，才能是V(x)的导数恒等于零，而沿任意轨迹V(x)的导数都不会恒等于零。因此可以取Q为半正定的。第41页/共51页根据李雅普诺夫方程100000000101200101100

12、2100333231232221131211333231232221131211KppppppppppppppppppKKKKKKKKKKKKKKK212621202122123212602126212122P可解P阵得为使P为正定矩阵，充要条件是60 K满足0K6时，系统是大范围渐近稳定 的。第42页/共51页雅可比矩阵法（克拉索夫斯基法）对一非线性系统，构造李雅普诺夫函数设非线性系统的状态方程为：)(xfx 假设原点xe=0是平衡状态，f(x)对xi(i=1,2, ,n)可微，系统的雅可比矩阵为：第43页/共51页nnnnnnxfxfxfxfxfxfxfxfxf212221212111)(

13、xfxJ)()()(xPJPxJxQT则系统在原点渐近稳定的充分条件是：任给正定对称矩阵，使下列矩阵为正定的。并且xPxxTV)(是系统的一个李雅普诺夫函数。第44页/共51页证明： 选取二次型函数：)()()(xPfxfxPxxTTV为李雅普诺夫函数，其中P为正定对称矩阵，因此V(x)是正定的。f(x)是x的显函数，不是时间t的显函数，因而有)()()()()()(xfxJxxxfxxxfxfxfdtddtd将V(x)沿状态轨迹对t求全导数，得：第45页/共51页)()()()()()()()()()()()()()()()()()(xfxQxfxfPxJxPJxfxPfxfxJxfxPJxfxPfxfxfPxfxTTTTTTTV如果Q(x)是正定的，那么 一定是负定的。系统在原点是渐近稳定的。注意：雅可比矩阵的主对角元素不能恒为零。)(xV第46页/共51页)()()(xJxJxQT如果取P=I，则)()()(xfxfxTV上式称为克拉索夫斯基表达式。这时有)()()()()(xfxJxJxfxTTV和推论 对于线性定常系统 ，若矩阵A非奇异，且矩阵(AT+A)为负定，则系统的平衡状态xe=0是大范围渐近稳定的。Axx 第47页/共51页322122113xxxxxxx322121213)()(xxxxxffxx试用克拉索夫斯基