3幂零矩阵的Jordan 标准型高等代数毕业论文

1、3-幂零矩阵的jordan 标准型 摘要：本文主要对2-幂零矩阵，3-幂零矩阵的jordan标准型进行探讨，对2-幂零矩阵，给出了2-幂零矩阵的jordan标准型的形式，并指出若固定秩，则有唯一的jordan标准型，对n阶3-幂零矩阵，文中推导出其秩的范围和其jordan标准型的个数，并给予证明，若其秩为一固定值，文中推导出了它的jordan标准型的个数，并给予证明。关键词：k-幂零矩阵征值；2-幂零矩阵；3-幂零矩阵；若当形矩阵；jordan标准型；特征多项式；特征根；初等因子；秩0、引言定义1：设（表示复数域c上全体矩阵），若存在正整数k，使得，则称a是幂零指数为k的幂零矩阵记为k-幂零矩

2、阵特别地，当k=2时，即矩阵a满足，称a为2-幂零矩阵当k=3时，即矩阵a满足，称a为3-幂零矩阵。定义2：形式为的矩阵称为j块，其中是复数，由若干个若当块组成的准对角矩阵称为若当形矩阵。定义3：每个阶的复数矩阵a都与一个若当形矩阵相似，这个若当形矩阵除去其中若当块的排列次序外是被矩阵a唯一决定的，它称为a的jordan标准型。目前关于幂零矩阵的jordan标准型，仅有文1的关于2-幂零矩阵的研究探讨，有以下三个性质：性质1：当k=2即复数域c上的n阶2-幂零矩阵a的jordan标准型为，其中（），且至少存在一个j，使即至少存在一个性质2：设c是复数域，而a是c上2-幂零矩阵，设a的秩为r，则

3、，而a的jordan标准型为，其中对角线上有r个。性质3：两个2-幂零矩阵相似的充要条件是它们的秩相同。1、引理引理1.1：a为幂零矩阵的充要条件是a的特征值全为0。 证明：可见文2引理1.2：设，则，而。引理1.3：复数域c上的k-幂零矩阵a的标准型具有形式，其中（），且至少存在一个若当块，使。证明：因为a为幂零矩阵，故a的特征值全为0，于是a的特征多项式为。设幂零矩阵的a的初等因子为可能相同，且），每一个初等因子对应一个j块（），这些j块构成一个若当形矩阵因为a为k-幂零矩阵，所以j中存在即至少存在一个j，使即命题成立。由引理1.3，易证得关于2-幂零矩阵的那三个性质是成立的2、主要结果及

4、证明由引理1.3我们知道n阶k-幂零矩阵a的jordan标准型为，其中（），且至少存在一个j，使当k=2，由推论3，任一个2-幂零矩阵，若它的秩确定，则它有唯一的一种jordan标准型。那么对于k ，（k为大于2的正整数）任一个k-幂零矩阵,若它的秩固定，它是否也有唯一的jordan标准型，若不唯一，它又含有多少种的jordan标准型？下面我们对3-幂零矩阵进行探讨：设a为n 阶3-幂零矩阵，由引理1.3知a的jordan标准型为，（），且，至少存在一个j，使 不妨设，则下面我们对讨论的值的情况（）及所对应的a的秩r(下面括号里的数表示秩的大小)n=3n=4n=5n=6n=7n=83=3(2)

5、4=3+1(2)5=3+1+1(2)6=3+1+1+1(2)7=3+1+1+1+1(2)8=3+1+1+1+1+1(2)5=3+2(3)6=3+2+1(3)7=3+2+1+1(3)8=3+2+1+1+1 (3)7=3+2+2(4)8=3+2+2+1(4)6=3+3(4)7=3+3+1(4)8=3+3+1+1(4)8=3+3+2(5)n=9n=10n=11(2)(2)(2)(3)(3)(3)(4)(4)(4)(5)(5)(6)(4)(4)(4)(5)(5)(5)(6)(6)(6)(6)(7)同理我们可以得出的情况将列表，得到阶数为n的3-幂零矩阵，当其秩为r时所含有的不同的jordan标准型的个

6、数（空格表示0）23456789101112131415161718192021222324314151161117112811219112211011222待添加的隐藏文字内容2111122311211223211311223321411223331151122334211611223343217112233443118112233444211911223344532201122334454312111223344554212211223344555322311223344556431241122334455654212511223344556653226112233445566643127

7、11223344556675421281122334455667653229112233445566776431301122334455667775421311122334455667786532321122334455667787643133112233445566778875421341122334455667788865323511223344556677889764313611223344556677889875421由上述表格，我们可以得出定理2.1：n阶3-幂零矩阵，它的秩 证明：利用引理1.3及秩的性质显然。定理2.2：设秩为r的n阶3-幂零矩阵的jordan标准型共有种，其中则

8、若e=1,2,3时，当，则当，若为整数，即存在一个正整数b,使得a+b若不是整数，则为整数，因为所以即存在一个正整数b,使得=a+b则若（e=1,2,3）若当则,当则若 即若，当，则当 若，当，则当 若当，则当 若，若则,若当其中b表示正整数。证明：当时，1） 若讨论的值及秩r（表格中括号里的数表示秩的个数） 令即j（0，3）表示3阶jordan块的值（2）（3）（4）（6c+1）即含1个的a的jordan标准型为的各一个（4）（5）（6）（6c+1）含2个的a的jordan标准型为的各一个（6）（7）（8）（6c+2）含3个的a的jordan标准型为的各一个（4）（5）（6）（6c+1）含4

9、个的a的jordan标准型为的各一个（4）（5）（6）（6c+1）含5个的a的jordan标准型为的各一个同理可得含7个的a的jordan标准型为的jordan形矩阵各一个含8个j（0，3）的a的jordan标准型为的jordan形矩阵各一个含9个j（0，3）的a的jordan标准型为的jordan形矩阵各一个含10个j（0，3）的a的jordan标准型为的jordan形矩阵各一个不妨设可看到数列，当设至少存在x个j（0，3），则有，设至少存在y个j（0，3），则有，即含个j（0，3）的a的jordan标准型为的jordan形矩阵各一个含个j（0，3）的a的jordan标准型为的jordan形

10、矩阵各一个含个j（0，3）的a的jordan标准型为的jordan形矩阵各一个含个j（0，3）的a的jordan标准型为的jordan形矩阵各一个含个j（0，3）的a的jordan标准型为的各一个含个j（0，3）的a的jordan标准型为的一个所以，当即若若2)若同上，讨论的值及秩r，可得含1个j（0，3）的a的jordan标准型为的矩阵各一个含2个j（0，3）的a的jordan标准型为的矩阵各一个含3个j（0，3）的a的jordan标准型为的矩阵各一个含4个j（0，3）的a的jordan标准型为的矩阵各一个含个j（0，3）的a的jordan标准型为的矩阵各一个含个j（0，3）的a的jorda

11、n标准型为的矩阵各一个含个j（0，3）的a的jordan标准型为的矩阵各一个含个j（0，3）的a的jordan标准型为的矩阵各一个含个j（0，3）的a的jordan标准型为的矩阵各一个含个j（0，3）的a的jordan标准型为的矩阵各一个所以，当即若若3)若，同上，可得含1个j（0，3）的a的jordan标准型为的矩阵各一个含2个j（0，3）的a的jordan标准型为的矩阵各一个含3个j（0，3）的a的jordan标准型为的矩阵各一个含4个j（0，3）的a的jordan标准型为的矩阵各一个含个j（0，3）的a的jordan标准型为的矩阵各一个含个j（0，3）的a的jordan标准型为的矩阵各一

12、个含个j（0，3）的a的jordan标准型为的矩阵各一个含个j（0，3）的a的jordan标准型为的矩阵各一个含个j（0，3）的a的jordan标准型为的矩阵各一个含个j（0，3）的a的jordan标准型为的矩阵一个所以，当即若若综上，当时， 若，则若时，若同上讨论可得当时， 1）若时，含1个j（0，3）的a的jordan标准型为的矩阵各一个含2个j（0，3）的a的jordan标准型为的矩阵各一个含3个j（0，3）的a的jordan标准型为的矩阵各一个含4个j（0，3）的a的jordan标准型为的矩阵各一个含个j（0，3）的a的jordan标准型为的矩阵各一个含个j（0，3）的a的jordan

13、标准型为的矩阵各一个含个j（0，3）的a的jordan标准型为的矩阵各一个含个j（0，3）的a的jordan标准型为的矩阵各一个含个j（0，3）的a的jordan标准型为的矩阵各一个含个j（0，3）的a的jordan标准型为的矩阵各一个所以，当即若若 2）若时含1个j（0，3）的a的jordan标准型为的矩阵各一个含2个j（0，3）的a的jordan标准型为的矩阵各一个含3个j（0，3）的a的jordan标准型为的矩阵各一个含4个j（0，3）的a的jordan标准型为的矩阵各一个含个j（0，3）的a的jordan标准型为的矩阵各一个含个j（0，3）的a的jordan标准型为的矩阵各一个含个j（

14、0，3）的a的jordan标准型为的矩阵各一个含个j（0，3）的a的jordan标准型为的矩阵各一个含个j（0，3）的a的jordan标准型为的矩阵各一个含个j（0，3）的a的jordan标准型为的矩阵一个所以，当即若若3）若时含1个j（0，3）的a的jordan标准型为的矩阵各一个含2个j（0，3）的a的jordan标准型为的矩阵各一个含3个j（0，3）的a的jordan标准型为的矩阵各一个含4个j（0，3）的a的jordan标准型为的矩阵各一个含个j（0，3）的a的jordan标准型为的矩阵各一个含个j（0，3）的a的jordan标准型为的矩阵各一个含个j（0，3）的a的jordan标准型

15、为的矩阵各一个含个j（0，3）的a的jordan标准型为的矩阵各一个含个j（0，3）的a的jordan标准型为的各一个含个j（0，3）的a的jordan标准型为的一个所以，当即若若综上，当时， 若，则时，若当时1）若时， 含1个j（0，3）的a的jordan标准型为的矩阵各一个含2个j（0，3）的a的jordan标准型为的矩阵各一个含3个j（0，3）的a的jordan标准型为的矩阵各一个含4个j（0，3）的a的jordan标准型为的矩阵各一个含个j（0，3）的a的jordan标准型为的矩阵各一个含个j（0，3）的a的jordan标准型为的矩阵各一个含个j（0，3）的a的jordan标准型为的矩

16、阵各一个含个j（0，3）的a的jordan标准型为的矩阵各一个含个j（0，3）的a的jordan标准型为的矩阵各一个含个j（0，3）的a的jordan标准型为的矩阵一个所以，当时，所以当即若若2）若时含1个j（0，3）的a的jordan标准型为的矩阵各一个含2个j（0，3）的a的jordan标准型为的矩阵各一个含3个j（0，3）的a的jordan标准型为的矩阵各一个含4个j（0，3）的a的jordan标准型为的矩阵各一个含个j（0，3）的a的jordan标准型为的矩阵各一个含个j（0，3）的a的jordan标准型为的矩阵各一个含个j（0，3）的a的jordan标准型为的矩阵各一个含个j（0，3

17、）的a的jordan标准型为的矩阵各一个含个j（0，3）的a的jordan标准型为的矩阵各一个含个j（0，3）的a的jordan标准型为的矩阵一个所以，当时，所以，即若若3）若含1个j（0，3）的a的jordan标准型为的矩阵各一个含2个j（0，3）的a的jordan标准型为的矩阵各一个含3个j（0，3）的a的jordan标准型为的矩阵各一个含4个j（0，3）的a的jordan标准型为的矩阵各一个含个j（0，3）的a的jordan标准型为的矩阵各一个含个j（0，3）的a的jordan标准型为的矩阵各一个含个j（0，3）的a的jordan标准型为的矩阵各一个含个j（0，3）的a的jordan标准

18、型为的矩阵各一个含个j（0，3）的a的jordan标准型为的矩阵各一个含个j（0，3）的a的jordan标准型为的矩阵各一个所以，当时，即若若综上，当时， 若，则时，若当时1）若时，同上，可得含1个j（0，3）的a的jordan标准型为的矩阵各一个含2个j（0，3）的a的jordan标准型为的矩阵各一个含3个j（0，3）的a的jordan标准型为的矩阵各一个含4个j（0，3）的a的jordan标准型为的矩阵各一个含个j（0，3）的a的jordan标准型为的矩阵各一个含个j（0，3）的a的jordan标准型为的矩阵各一个含个j（0，3）的a的jordan标准型为的矩阵各一个个j（0，3）的a的j

19、ordan标准型为的矩阵各一个含个j（0，3）的a的jordan标准型为的矩阵各一个含个j（0，3）的a的jordan标准型为的矩阵一个所以，当时，即即若若2）若时， 含1个j（0，3）的a的jordan标准型为的矩阵各一个含2个j（0，3）的a的jordan标准型为的矩阵各一个含3个j（0，3）的a的jordan标准型为的矩阵各一个含4个j（0，3）的a的jordan标准型为的矩阵各一个含个j（0，3）的a的jordan标准型为的矩阵各一个含个j（0，3）的a的jordan标准型为的矩阵各一个含个j（0，3）的a的jordan标准型为的矩阵各一个含个j（0，3）的a的jordan标准型为的矩

20、阵各一个含个j（0，3）的a的jordan标准型为的矩阵各一个含个j（0，3）的a的jordan标准型为的矩阵一个所以，当时，当即若若3）若时，同上，可得含1个j（0，3）的a的jordan标准型为的矩阵各一个含2个j（0，3）的a的jordan标准型为的矩阵各一个含3个j（0，3）的a的jordan标准型为的矩阵各一个含4个j（0，3）的a的jordan标准型为的矩阵各一个含个j（0，3）的a的jordan标准型为的矩阵各一个含个j（0，3）的a的jordan标准型为的矩阵各一个含个j（0，3）的a的jordan标准型为的矩阵各一个含个j（0，3）的a的jordan标准型为的矩阵各一个含个j

21、（0，3）的a的jordan标准型为的矩阵各一个含个j（0，3）的a的jordan标准型为的矩阵各一个所以，当时，所以，当即 若若综上，当时， 若，则时，若推论1：若n阶3-幂零矩阵的秩为r，则它至多存在种jordan标准型; 特别地，当r=2及r=3时，它只有一种jordan标准型。 则有下面推论：推论2：秩不大于3的两个3-幂零矩阵相似的充要条件是它们的秩相等。 由定理2.2，我们还可以得到n阶3-幂零矩阵的所有jordan标准型的个数，即下面定理：定理2.3：设n阶3-幂零矩阵的jordan标准型共有m种，则： 当，若当，若 当，若 当，若 证明：当时，r234567112233-3所以

22、当时当时当时当时，r234567112233所以当时当时当时时，所以r234567112233所以当时当时当时当时，r234567112233-1所以当时 当时当时综上，命题得证。3、 例题22阶3-幂零矩阵，它的秩最大可能达到多少？共存在多少种jordan标准型？若它的秩为8，则存在多少种jordan标准型？若秩为13呢？解：因为，而，所以=14而所以22阶3-幂零矩阵，它的秩最大可能达到多14，共存在40种jordan标准型，若它的秩为8，则存在4种jordan标准型，若秩为13，存在3种jordan标准型 参考文献：1：李殿龙，隋思涟.2-幂零矩阵的jordan标准型j.青岛建筑工程学报

23、.2001，223，（8385）2：韩道兰，罗雁，黄宗文.幂零矩阵的性质及其应用j.玉林师范学院学报（自然科学）.2003，244.3：北京大学数学系.高等代数m.高等教育出版社.2001（318319，35055）4：袁秉成.高等代数m.东北师大出版社.1992（180222）5：华罗庚，万哲先.典型群m.科技出版社.1963（4560）6：赵树嫖.线性代数m.中国人民出版社.1997（107）7：张远达.线性代数原理m.上海教育出版社。1997（140）8：陈景良，陈向辉.特殊矩阵m.清华大学出版社.2001（205236）9：程云鹏.矩阵论（第二版）m.西北工业大学出版社.2000（168196）10：p.lancaster and m.tismenetsky. the theory of matrix with applicationm. 2nd edn. acaden press, new york, 19