机械动力学-9

1、 轴和轴系的振动 轴是机械中常见零件之一。因为绝大多数轴类零件呈细长形轴是机械中常见零件之一。因为绝大多数轴类零件呈细长形状，柔度较大，固有频率低；而且机械的高速化，首先导致状，柔度较大，固有频率低；而且机械的高速化，首先导致处于传动系统的高速端的轴高速运转。因而，轴和轴系的振处于传动系统的高速端的轴高速运转。因而，轴和轴系的振动是最早引起人们注意的弹性动力学问题。动是最早引起人们注意的弹性动力学问题。轴和轴系在工作时主要会产生两类振动：轴和轴系在工作时主要会产生两类振动：横向振动横向振动和和扭转振动扭转振动。1.轴的横向振动：轴在转动时，其质心会偏离回转轴线。轴的横向振动：轴在转动时，其质心

2、会偏离回转轴线。产生原因：产生原因：1)材质不均与制造误差产生的偏离。材质不均与制造误差产生的偏离。2)动态下的弹性变形。动态下的弹性变形。 临界转速：产生横向振动共振现象时的工作转速称为轴的。临界转速：产生横向振动共振现象时的工作转速称为轴的。当机械转速通过或接近临界转速时，会发生强烈振动使机器当机械转速通过或接近临界转速时，会发生强烈振动使机器工作质量严重降低，甚至发生损坏。为避免强烈的横向振动，工作质量严重降低，甚至发生损坏。为避免强烈的横向振动，设计人员应计算轴的临界转速，并使工作转速远离临界转速；设计人员应计算轴的临界转速，并使工作转速远离临界转速；如工作转速不能改变，就需改变轴的几

3、何尺寸和机构，来改如工作转速不能改变，就需改变轴的几何尺寸和机构，来改变临界转速。变临界转速。9.1 概述概述9.1 概述概述2.轴和轴系的扭转振动轴和轴系的扭转振动传动轴系中受到变化的力矩的作用时产生的振动称为扭转传动轴系中受到变化的力矩的作用时产生的振动称为扭转振动。一方面，外力矩本身会具有周期性变化的特性。另振动。一方面，外力矩本身会具有周期性变化的特性。另一方面，当系统内有齿轮传动时，轮齿间的冲击会产生周一方面，当系统内有齿轮传动时，轮齿间的冲击会产生周期性变化的冲击力矩，作用于整个系统。期性变化的冲击力矩，作用于整个系统。 在轴的振动问题中，多数情况下只要求算出固有频率，在轴的振动问

4、题中，多数情况下只要求算出固有频率，而不进行振动相应分析。而不进行振动相应分析。求解固有频率的方法：求解固有频率的方法：1)特征值法特征值法2)传递矩阵法传递矩阵法本章中，对扭转振动和横向振动都介绍用集中质量模型和本章中，对扭转振动和横向振动都介绍用集中质量模型和传递矩阵法相结合的方法，此外对横向振动还介绍有限元传递矩阵法相结合的方法，此外对横向振动还介绍有限元模型和特征值方法模型和特征值方法。9.2 轴系的扭转振动固有频率计算轴系的扭转振动固有频率计算一、轴系扭转振动的力学模型一、轴系扭转振动的力学模型 如图所示，取如图所示，取I为等效构件。将系统中各轴上的惯性、弹性、力矩和角位为等效构件。

5、将系统中各轴上的惯性、弹性、力矩和角位移都折算到等效构件上去，用等效构件上的等效量来代替，即可得到如图移都折算到等效构件上去，用等效构件上的等效量来代替，即可得到如图b的力学模型。的力学模型。 等效刚度根据等效弹簧的变形等效刚度根据等效弹簧的变形能与原来轴上的变形能相等的原能与原来轴上的变形能相等的原则来确定。则来确定。1、等效刚度、等效刚度（1）等截面轴的扭转刚度系数）等截面轴的扭转刚度系数由材料力学可知：由材料力学可知：（2）阶梯轴的等效刚度系数）阶梯轴的等效刚度系数阶梯轴相当于串联的扭转弹簧阶梯轴相当于串联的扭转弹簧（如图）。各段轴的刚度（如图）。各段轴的刚度k1、k2可用上式计算，等效

6、刚度系数可用上式计算，等效刚度系数ke可用下式导出：可用下式导出：lGIk/21111kkke2121kkkkke9.2 轴系的扭转振动固有频率计算轴系的扭转振动固有频率计算一、轴系扭转振动的力学模型一、轴系扭转振动的力学模型 如图所示，取如图所示，取I为等效构件。将系统中各轴上的惯性、弹性、力矩和角位为等效构件。将系统中各轴上的惯性、弹性、力矩和角位移都折算到等效构件上去，用等效构件上的等效量来代替，即可得到如图移都折算到等效构件上去，用等效构件上的等效量来代替，即可得到如图b的力学模型。的力学模型。（3）刚度由一轴向另一轴的折算）刚度由一轴向另一轴的折算令传动比令传动比i为从动轴为从动轴的

7、转速与主动轴的转速与主动轴的转速之比的转速之比式中，式中， 和和 分别为相啮合的一对从动轮和主动轮的齿数。分别为相啮合的一对从动轮和主动轮的齿数。2222zzi2z2z2、串联传动系统的力学模型、串联传动系统的力学模型二、求固有频率的传递矩阵法二、求固有频率的传递矩阵法1、状态变量、状态变量 将第将第i段轴和第段轴和第i个盘取出来，单元的两端仍称为节点。每个节点处可用该个盘取出来，单元的两端仍称为节点。每个节点处可用该处的力矩和转角来反映该节点的运动与受力状态，称为处的力矩和转角来反映该节点的运动与受力状态，称为状态变量状态变量。将盘单元左节点处的变量标以上标将盘单元左节点处的变量标以上标“L

8、”，右节点处的变量标以上标，右节点处的变量标以上标“R”。2、点传递矩阵、点传递矩阵 现在看第现在看第i个盘单元，其左、右两端各作用有扭矩，根据欧拉公式有个盘单元，其左、右两端各作用有扭矩，根据欧拉公式有RiRiiiMMJ 3、场传递矩阵、场传递矩阵4、频率方程、频率方程5、固有频率计算、固有频率计算9.3 轴的横向振动临界转速计算（传递矩阵法）轴的横向振动临界转速计算（传递矩阵法）一、单元传递矩阵一、单元传递矩阵 这个模型中包含三种单元：质量单元、梁单元和支承单元。如同扭转振这个模型中包含三种单元：质量单元、梁单元和支承单元。如同扭转振动的情况一样，先来建立各种单元的传递矩阵。动的情况一样，

9、先来建立各种单元的传递矩阵。1、质量单元、质量单元如图所示如图所示9.3 轴的横向振动临界转速计算（传递矩阵法）轴的横向振动临界转速计算（传递矩阵法）一、单元传递矩阵一、单元传递矩阵 这个模型中包含三种单元：质量单元、梁单元和支承单元。如同扭转振这个模型中包含三种单元：质量单元、梁单元和支承单元。如同扭转振动的情况一样，先来建立各种单元的传递矩阵。动的情况一样，先来建立各种单元的传递矩阵。1、质量单元、质量单元如图所示如图所示9.3 轴的横向振动临界转速计算（传递矩阵法）轴的横向振动临界转速计算（传递矩阵法）一、单元传递矩阵一、单元传递矩阵2、梁单元、梁单元3、支承单元、支承单元二、轴的传递矩

10、阵二、轴的传递矩阵三、固有频率的三、固有频率的计计算算轴两端的边界条件和相应的频率方程如表所示轴两端的边界条件和相应的频率方程如表所示例题例题1.划分单元，建立广义坐划分单元，建立广义坐一般常见的轴多呈阶梯状，划分单元时注意如下几点：一般常见的轴多呈阶梯状，划分单元时注意如下几点：1）将轴大体依阶）将轴大体依阶梯划分为轴单元，某一段阶梯很长时要适当分为几个轴单元；梯划分为轴单元，某一段阶梯很长时要适当分为几个轴单元；2）轴上安有轮）轴上安有轮、盘的部分要单独划为单元，称为盘单元；、盘的部分要单独划为单元，称为盘单元；3）支承点必须取为节点，且节点）支承点必须取为节点，且节点设在轴承宽度的中点处

11、。若单元数目为设在轴承宽度的中点处。若单元数目为Ne，则节点数目，则节点数目Nn为为9.4 轴的横向振动临界转速计算（有限元法）轴的横向振动临界转速计算（有限元法）一、建立有限元模型一、建立有限元模型1enNNnuNN2单元和节点自左至右编号。每个节点处建立两个广义坐标：横向弹性位移和单元和节点自左至右编号。每个节点处建立两个广义坐标：横向弹性位移和弹性转角。在第弹性转角。在第i个节点处建立的广义坐标编号为：横向弹性位移个节点处建立的广义坐标编号为：横向弹性位移U2i-1和弹性和弹性转角转角 U2i广义坐标数目广义坐标数目Nu为为如图所示的轴可划分为如图所示的轴可划分为4个单元，即个单元，即3

12、个轴单元和个轴单元和1个盘单个盘单元。设置元。设置5个节点，共个节点，共10个广义坐标。需作为原始数据输个广义坐标。需作为原始数据输入计算机的有：单元数目入计算机的有：单元数目 ，各单元的基本参数，各单元的基本参数长度长度 ，轴的内外直径、，圆盘单位长度上对直径的转动惯量，轴的内外直径、，圆盘单位长度上对直径的转动惯量、单元的类型，材料密度、单元的类型，材料密度和弹性模量和弹性模量E 2.单元动力学矩阵的计算单元动力学矩阵的计算轴单元的质量矩阵轴单元的质量矩阵m和刚度矩阵和刚度矩阵k可按第八章中梁单元的相应公式可按第八章中梁单元的相应公式(8.2.46）和）和(8.2.41)计算。计算。盘单元

13、的动力学矩阵有一个特殊问题要处理。轴上的盘状零件的转盘单元的动力学矩阵有一个特殊问题要处理。轴上的盘状零件的转动轴线与静态位置相比，不仅有一个横向线位移，还存在一个角位移动轴线与静态位置相比，不仅有一个横向线位移，还存在一个角位移，如图，如图9.4.2所示。因此在计算动能时不所示。因此在计算动能时不仅需计算横向移动动能，还应计算角位移引起的转动动能仅需计算横向移动动能，还应计算角位移引起的转动动能EdxdttxdJEld20,21xtxutx,txu, tuxtxiii41, dxxdxi式中，式中，Jd为圆盘单位长度上对直径的转动惯量。由材料力学可知为圆盘单位长度上对直径的转动惯量。由材料力

14、学可知式中，式中，为单元上任意点的横向位移。有为单元上任意点的横向位移。有式中：式中：得得 umutudxxxJtuETjljidiji212104141式中，式中， 为仅考虑横向线性位移的质量矩阵，计算方法同轴单元。为仅考虑横向线性位移的质量矩阵，计算方法同轴单元。盘状零件是以一定的配合形式安装在轴上的，如果配合较紧，则限制了轴的盘状零件是以一定的配合形式安装在轴上的，如果配合较紧，则限制了轴的变形从而提高了刚度。考虑这一影响，可作如下近似处理：若轴孔间为静配变形从而提高了刚度。考虑这一影响，可作如下近似处理：若轴孔间为静配合，计算刚度式按轮毂直径考虑；若为动配合，则仍按轴的直径计算。合，计

15、算刚度式按轮毂直径考虑；若为动配合，则仍按轴的直径计算。 m dxxxJmjildij022243363433633630lllllllJmdmmmyym式中式中，为基于圆盘角位移的质量矩阵，其元素可依下式计算：，为基于圆盘角位移的质量矩阵，其元素可依下式计算：得得因而，盘单元的总质量矩阵为因而，盘单元的总质量矩阵为3 系统动力学矩阵的组集系统动力学矩阵的组集 在第八章中已经介绍过进行系统矩阵组集的原理。由于单在第八章中已经介绍过进行系统矩阵组集的原理。由于单元、节点和广义坐标均由左向右排列编号，图元、节点和广义坐标均由左向右排列编号，图9.4.1所示的轴，所示的轴，其四个单元的质量矩阵在系统

16、质量矩阵中的配置如图所示。其四个单元的质量矩阵在系统质量矩阵中的配置如图所示。这一组集过程由于其规律性，便于用计算机程序自动完成。第这一组集过程由于其规律性，便于用计算机程序自动完成。第i个单元的左、右节点编号个单元的左、右节点编号i、i+1，因而它的，因而它的4个单元广义坐标个单元广义坐标u1、u2、u3、u4就是系统广义坐标就是系统广义坐标U2i-1、U2i、 U2i+1、U2i+2。这样，就应当将第这样，就应当将第2i-1列到第列到第2i+2列上去。按这一方法可逐一地列上去。按这一方法可逐一地将各个单元的质量矩阵都组集到系统质量矩阵中去。系统刚度矩将各个单元的质量矩阵都组集到系统质量矩阵

17、中去。系统刚度矩阵也按同样方法组集。阵也按同样方法组集。 4支承条件的处理支承条件的处理 由于在划分单元时，总是将支承点取为节点，因而支由于在划分单元时，总是将支承点取为节点，因而支承点处也设有两个广义坐标。由于假定支承处有横向位移，承点处也设有两个广义坐标。由于假定支承处有横向位移，刚体运动的自由度未能消除。这样，按上面的方法组集起来刚体运动的自由度未能消除。这样，按上面的方法组集起来的刚度矩阵是奇异的。当有刚体运动的自由度存在时，存在的刚度矩阵是奇异的。当有刚体运动的自由度存在时，存在零值固有频率，所以应消除刚度矩阵的奇异性。这可以通过零值固有频率，所以应消除刚度矩阵的奇异性。这可以通过对

18、支承条件进行处理来完成。对支承条件进行处理来完成。 当支承点处理为刚性铰链时，横向位移被约束，因而当支承点处理为刚性铰链时，横向位移被约束，因而这个广义坐标就可以不设置。当支承点的节点号为这个广义坐标就可以不设置。当支承点的节点号为j，则广义，则广义坐标坐标U2j-1可以去点，相应的系统动力学矩阵可以去点，相应的系统动力学矩阵M、K中的第中的第2j-1行、第行、第2j-1列的全部元素均可去掉。若轴有两个这样的支承，列的全部元素均可去掉。若轴有两个这样的支承，则系统矩阵由则系统矩阵由Nu阶降为阶降为Nu-2阶。阶。当支承为弹性时，则该支承处有一支承反力为当支承为弹性时，则该支承处有一支承反力为-kjU2j-1，kj为为支承的刚度系数。为此可在总刚度矩阵的第支承的刚度系数。为此可在总刚度矩阵的第2j-1行、第行、第2j-1列列元素元素K2j-1，2j-1上加一个上加一个kj即可。即可。二、临界转速计算二、临界转速计算在组集完系统动力学矩阵以后，可求解如下特征值问题：在组集完系统动力学矩阵以后，可求解如下特征值问