理学D微积分学基本定理计算PPT学习教案

1、会计学1理学理学D微积分学基本定理计算微积分学基本定理计算第一节、定积分概念第一节、定积分概念第三节、可积条件第三节、可积条件本章内容：本章内容：第二节、牛顿第二节、牛顿-莱布尼兹公式莱布尼兹公式第四节、定积分的性质第四节、定积分的性质 第五节、第五节、微积分学基本定理微积分学基本定理-定积分计算定积分计算 定积分*第六节、可积性理论补叙第六节、可积性理论补叙 第1页/共38页二、定积分的换元法二、定积分的换元法 一、变限积分与原函数的存在性一、变限积分与原函数的存在性微积分学基本定理定积分计算（续）三、定积分的分部积分法三、定积分的分部积分法四、泰勒公式的积分型余项四、泰勒公式的积分型余项

2、第2页/共38页)(tfy tbaoy)(xx一、变限函数与原函数的存在性，上可积在设,baf上可导，在,ba)(x则,)(上连续在若baxf,d)(xattf定理定理1. （2）.,上连续在ba（1）)(x变上限函数记)(x.,bax而且有).()()(xfdttfxddxxa第3页/共38页xaxxattfttfxxxd)(d)()()(证明：证明：, ,baxxxxxxttfd)(,x.,Mm,)(xf.,xxxxxx或)(可积若xf)(连续若xf（1）.0lim0 x，显然.,上连续在ba)(x即第4页/共38页, 0, ,xbaxxx且则有xxxxttfxd)(1, )(fxxx)(

3、lim0)(lim0fx).(xf)(x(2) .,xxxxxx或xfttfxxxxxx)(d)()()(证毕证毕.第5页/共38页上可导，在,ba)(x则,)(上连续在若baxf定理定理1. (2) ,d)(xattf)(x.,bax而且有原函数的存在性定理).()()(xfdttfxddxxa第6页/共38页上的一个原在是连续函数设,)()(baxfxF)()(d)(aFbFxxfba证明证明:根据定理 1,)(d)(的一个原函数是xfttfxa故CttfxFxad)()(定理定理2.函数 , 则第7页/共38页证明证明:故的一个原函数是,)(d)(xfttfxaCttfxFxad)()(

4、,ax 令因此得, )(aFC )()(d)(aFxFttfxa,bx 再令得)()(d)(aFbFttfba记作)(xFab)(xFabxxfd)(证毕证毕.第8页/共38页u 微积分学基本定理u 微积分学基本公式小小 结结牛顿牛顿 莱布尼兹公式莱布尼兹公式原函数存在定理原函数存在定理)()(d)(aFbFxxfba.,d)()(baxttfxxa第9页/共38页?d)(dd)(xattfx、2xexxsin的原函数如何表示？两函数第10页/共38页1) 定理 1 证明了连续函数的原函数是存在的.2) 变限积分求导:bxttfxd)(dd)(xf)(d)(ddxattfx)()(xxf)()

5、(d)(ddxxttfx)()()()(xxfxxf)()(d)(d)(ddxaaxttfttfx第11页/共38页)sin(2cosxex0limxtextd1cos22x解解:原式0limx00 x2e21例例2. 确定常数 a , b , c 的值, 使).0(d)1ln(sinlim20ccttxxaxbx解解:,0sin0 xxax时,0c. 0 b00原式 =)1ln(coslim20 xxaxcxxax20coslim c 0 , 故. 1a又由221cos1xx, 得.21c第12页/共38页例例3(1)123)1ln(xtdtt)1ln(23xx(2)321xxtdtxxxx

6、21312232321213xxxx(3) 设函数)(xyy 是由方程xytdtyx022cos所确定求.y解：解：方程两边同时对x求导得：) 1)(cos212yxyyyyxyscxyy2)(01)(cos22第13页/共38页 .0 xFtdtfxxFx求解解 xtdtfxxF0 xtdtfx0 )(0 xtdtfxxF xtdtf0 xfx第14页/共38页 ttf txfxd)()(0,0)(,),0)(xfxf且内连续在设证明)(xFttf txd)(0ttfxd)(0在),0(内为单调递增函数 . 证证:)(xF20d)(ttfxttfxfxxd)()(020d)(ttfxttfx

7、fxd)()(0)(tx0.)0)(内为单调增函数，（在xF只要证0)( xF 20d)(ttfxxfx)()( )(xf)0(x第15页/共38页定理定理2. （积分第二中值定理）设函数f1）若函数g在 上可积，,ba, 0g在 上单调减，且,ba则存在, ,ba使xxfagxxgxfabad)()(d)()(2）若函数g, 0g在 上单调增，且,ba则存在, ,ba使xxfbgxxgxfbbad)()(d)()(证略！证略！第16页/共38页推论推论. 设函数f若函数g在 上可积，,ba在 上单调，,ba则存在, ,ba使xxfagxxgxfabad)()(d)()(xxfbgbd)()(

8、证明：证明：不妨设函数g在 上单调减，令,ba)()()(bgxgxh则h为非负、递减函数，由定理2-1）知，存在, ,ba使xxfahxxhxfabad)()(d)()(xxfbgagdxbgxgxfabad)()()()()()(即整理即得。第17页/共38页定理定理3. 设函数, ,)(baCxf函数)(tx满足:1), ,)(1Ct 2) 在,上,)(bta;)(,)(batfxxfbadd)()(t)(t证证: 所证等式两边被积函数都连续, 因此积分都存在 ,且它们的原函数也存在 .,)()(的一个原函数是设xfxF是的原函数 , 因此有则baxxfd)()()(aFbF)(F)(F

9、tfd)(t)(tF)(tf)(t)(t则第18页/共38页f1) 当 , 即区间换为，时,定理 1 仍成立 .2) 必需注意换元必换限换元必换限 , 原函数中的变量不必代回 .3) 换元公式也可反过来使用 , 即) )(tx令xxfbad)(或配元f)(t)(dt配元不换限tfd)(t)(ttfd)(t)(t4）如果定理条件中只假设为可积函数，但还要求是单调函数，则结论仍然成立。说明说明第19页/共38页).0(d022axxaa解解: 令,sintax 则,dcosdttax ;0,0tx时当.,2tax时 原式 =2attad)2cos1 (2202)2sin21(22tta0242a2

10、0ttdcos222xayxoyaS且第20页/共38页.d12240 xxx解解: 令, 12 xt则,dd,212ttxtx,0时当x,4时x.3t 原式 =ttttd231212ttd)3(21312)331(213tt 13322; 1t且 第21页/共38页21ln11edxxx21ln1) 1(lnexxdxln122e1) 13(2 换元必换限换元必换限不换元则不换限不换元则不换限第22页/共38页, ,)(aaCxf设证证:(1) 若, )()(xfxfaaaxxfxxf0d)(2d)(则xxfaad)(2) 若, )()(xfxf0d)(aaxxf则xxfad)(0 xxfa

11、d)(0ttfad)(0 xxfad)(0 xxfxfad )()(0,d)(20 xxfa时)()(xfxf时)()(xfxf,0偶倍奇零偶倍奇零tx令第23页/共38页xdxxxI222sin1cos. 1xdxxI222sin1xdxx222sin1cos解解xdxx220sin1cos2)narctan(si2x022xdxxI21. 2解解xdxxI11xdxx21xdx232105225x12) 124(52第24页/共38页定理定理4. , ,)(, )(1baCxvxu设则)()(d)()(xvxuxxvxubaabbaxxvxud)()(证证:)()()()( )()(xvx

12、uxvxuxvxu)()(xvxuabxxvxuxxvxubabad)()(d)()(baxxvxud)()()()(xvxuabbaxxvxud)()(上积分两端在,ba第25页/共38页.darcsin210 xx解解: 原式 =xx arcsin021210 xxxd1212)1 (d)1 (212022121xx1221)1 (2x02112231第26页/共38页20dcosttn20dcosxxn20dsinxxInn证证: 令20dcosxxn,22143231nnnn n 为偶数, 13254231nnnn n 为奇数,2xt则20dsinxxn022d)(sinttn令,si

13、n1xun,sin xv 则,cossin) 1(2xxnunxvcossincos1xxInn022022dcossin) 1(xxxnn0第27页/共38页2022dcossin) 1(xxxnInn2022d)sin1 (sin) 1(xxxnn2) 1(nInnIn) 1( 由此得递推公式21nnnnII于是mI2mm21212mI122mm而0I20dx,220dsinxxInn201dsinxxI1故所证结论成立 .0I1I22mI2232mm42mI214312mI1222mm32 mI3254第28页/共38页06sin xdx206sintdt解：解：26sin xdx第二项

14、用换元积分法：令dtdxtx2则26sin xdx206)2(sindtt206costdt206sinxdx206sin2xdx16522143652一般：一般：0sin xdxn20sin2xdxn第29页/共38页)(xf)(0 xf)(00 xxxf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)()(xRn1）佩亚诺）佩亚诺(Peano)型型 余项余项)()(0nnxxoxR四、泰勒公式的积分型余项四、泰勒公式的积分型余项2）拉格朗日）拉格朗日(Lagrange)型余项型余项10) 1()(! ) 1()()(nnnxxnfxR第30页/共38页3）积分型余项）积分型余项1

15、)(nIxf内有区间若阶的连续导数 ,dttxtfnxRnxxnn)( )(!1)(0)1(4）柯西）柯西(Cauchy)型余项型余项1)(nIxf内有区间若阶的连续导数 ,1000)1()()1)(!1)(nnnnxxxxxfnxR第31页/共38页 基本积分法换元积分法分部积分法换元必换限配元不换限边积边代限思考与练习思考与练习1.提示提示: 令, txu_d)(sindd0100ttxxx则ttxxd)(sin0100ud0 xu100sinx100sin第32页/共38页,0) 1 (,)(1fCtf,lnd)(31xttfx).(ef求解法解法131d)(lnxttfx) 1 ()(

16、3fxf)(3xf,3xu 令3ln)(uuf得uln3131)(ef解法解法2 对已知等式两边求导,xxfx132)(3,3xu 令uuf31)(得) 1 (d)()(1fuufefeeuu1131d31思考思考:若改题为xttfxlnd)(313?)(ef提示提示: 两边求导, 得331)(xxfexxfef1d)()(得第33页/共38页, 1 ,0)(连续在xf ,3)2(, 1)0(ff且,5)2( f求.d)2(10 xxfx 解解: xxfxd)2(10)2(d2110 xfx10)2(21xfx xxfd)2(102510)2(41xf2(分部积分分部积分)第34页/共38页P229 3；4奇数题 ; 5； 6 ;7 第35页/共38页1. 证明 证：2dsin)(xxxxx