理学高数向量及其线性运算PPT学习教案

1、会计学1理学高数向量及其线性运算理学高数向量及其线性运算.a或表示法表示法:向量的向量的模模 : 向量的大小向量的大小,21MM记作记作向量向量:(又称又称矢量矢量). 1M2M既有既有大小大小, 又有又有方向方向的量称为的量称为向量向量向径向径 (矢径矢径):自由向量自由向量: 与起点无关的向量与起点无关的向量.起点为原点的向量起点为原点的向量.单位向量单位向量: 模为模为 1 的向量的向量,.a或或记作记作 a零向量零向量: 模为模为 0 的向量的向量,.00 或或，记作记作有向线段有向线段 M1 M2 ,或或 a ,a或或.a或或第1页/共33页规定规定: 零向量与任何向量平行零向量与任

2、何向量平行 ;若向量若向量 a 与与 b大小相等大小相等, 方向相同方向相同, 则称则称 a 与与 b 相相等等,记作记作 ab ;若向量若向量 a 与与 b 方向相同或相反方向相同或相反,则称则称 a 与与 b 平行平行, ab ;与与 a 的模相同的模相同, 但方向相反的向量称为但方向相反的向量称为 a 的的负向量负向量,记作记作因平行向量可平移到同一直线上因平行向量可平移到同一直线上, 故两向量平行又称故两向量平行又称 两向量共线两向量共线 .若若 k (3)个向量经平移可移到同一平面上个向量经平移可移到同一平面上 , 则称此则称此 k 个向量个向量共面共面 .记作记作a ;第2页/共3

3、3页1. 向量的加法向量的加法三角形法则三角形法则:平行四边形法平行四边形法则则:运算规律运算规律 : 交换律交换律结合律结合律三角形法则可推广到多个向量相加三角形法则可推广到多个向量相加 .bbabba cba )()(cba cba abcba cb )(cba cba )(aaba ba 第3页/共33页机动 目录 上页 下页 返回 结束 s3a4a5a2a1a54321aaaaas 第4页/共33页三角不等式三角不等式ab )( ab 有有时时特别当特别当,ab aa )( aa baba ab abab a 0 baba 第5页/共33页aa 是一个数是一个数 ,.a规定规定 :时，

4、时，0 ，同向同向与与aa ,0时时 ,0时时 .0 a ;aa ;1aa可见可见;1aa;aa 与与 a 的乘积是一个新向量的乘积是一个新向量, 记记作作，反向反向与与aa 总之总之:运算律运算律 :结合律结合律)(a )( a a 分配律分配律a)( aa )(ba ba , 0 a若若 a则有单位向量则有单位向量.1aa因此因此aaa 第6页/共33页设设 a 为非零向量为非零向量 , 则则( 为唯一实数为唯一实数)证证: “ ”., 取取 且且再证数再证数 的唯一性的唯一性 .则则,0 故故. 即即abab 设设 abba取正号取正号, 反向时取负号反向时取负号, a , b 同向时同

5、向时则则 b 与与 a 同向同向,设又有设又有 b a ,0)( a a a baab .ab 故故,0 a而而第7页/共33页“ ”则则,0时时当当 例例1. 设设 M 为为MBACD解解:ABCD 对角线的交点对角线的交点,0时时当当 ba,0时时当当 ,aAB ,bDA ACMC2 MA2 BDMD2 MB2 已知已知 b a ,b0a , b 同同向向a , b 反反向向ab .,MDMCMBMAba表示表示与与试用试用 ba ab)(21baMA )(21abMB )(21baMC )(21abMD 第8页/共33页xyz由三条互相垂直的数轴按右手规则由三条互相垂直的数轴按右手规则组

6、成一个空间直角坐标系组成一个空间直角坐标系. 坐标原点坐标原点 坐标轴坐标轴x轴轴(横轴横轴)y轴轴(纵轴纵轴)z 轴轴(竖轴竖轴)过空间一定点过空间一定点 o ,o 坐标坐标面面 卦限卦限(八个八个)面xoy面yozzox面面1. 空间直角坐标系的基本概念空间直角坐标系的基本概念第9页/共33页xyzo向径向径 11坐标轴上的点坐标轴上的点 P, Q , R ;坐标面上的点坐标面上的点 A , B , C点点 M特殊点的坐标特殊点的坐标 : :有序数组有序数组),(zyx 11)0 , 0 ,(xP)0 , 0(yQ), 0 , 0(zR)0 ,(yxA), 0(zyB),(zoxC(称为点

7、称为点 M 的的坐标坐标)原点原点 O(0,0,0) ;rrM第10页/共33页坐标轴坐标轴 : 轴x00zy00 xz轴y轴z00yx坐标面坐标面 :面yox0 z面zoy0 x面xoz0 yxyzo第11页/共33页八个卦限八个卦限zyx0第12页/共33页八个卦限八个卦限zyx01. 第13页/共33页八个卦限八个卦限zyx0MxyNz(x,y,z)M (x,y,z)点的坐标点的坐标1. 第14页/共33页0zyx0MxyNz(x,y,z)(x,y,z)坐标和点坐标和点 M1. 第15页/共33页0zyx0NM点到坐标面的距离点到坐标面的距离M点到原点的距离点到原点的距离M点到坐标轴的距

8、离点到坐标轴的距离PQ到到z轴轴:221yxd 到到x轴轴:到到y轴轴:222yzd 223zxd M(x,y,z)d1d2d3.1. 第16页/共33页x0zyM点的对称点点的对称点关于关于xoy面面:(x,y,z) (x,y,-z)关于关于x轴轴:(x,y,z) (x,-y,-z)Q0关于原点关于原点:(x,y,z) (-x,-y,-z)1. M(x,y,z)xRP(x,y,-z)(x,-y,-z)(-x,-y,-z)第17页/共33页在空间直角坐标系下在空间直角坐标系下,设点设点 M , ),(zyxM则则沿三个沿三个坐标轴方向的分向量坐标轴方向的分向量.kzjyixr ),(zyx x

9、oyzMNBCijkA,轴上的单位向量轴上的单位向量分别表示分别表示以以zyxkji的坐标为的坐标为此式称为向量此式称为向量 r 的的坐标分解式坐标分解式 ,rkzjyix称为向量称为向量,r任意向量任意向量 r 可用向径可用向径 OM 表示表示.NMONOM OCOBOA , ixOA , jyOB kzOC 第18页/共33页设设),(zyxaaaa , ),(zyxbbbb 则则 ba),(zzyyxxbababa a ),(zyxaaa ab,0时时当当 aab xxab yyab zzab xxab yyabzzab平行向量对应坐标成比例平行向量对应坐标成比例:，为实数为实数 第19

10、页/共33页求解以向量为未知元的线性方程组求解以向量为未知元的线性方程组ayx 35byx 23.211,212），（），（其中其中 ba解解: 2 3 , 得得bax32 )10,1,7( 代入得代入得)3(21bxy )16,2,11( 第20页/共33页在在AB直线上求一点直线上求一点 M , 使使解解: 设设 M 的坐标的坐标为为, ),(zyx如图所示如图所示ABMo11MAB, ),(111zyxA),(222zyxB及实及实数数,1 得得),(zyx 11),(212121zzyyxx 即即.MBAMAMMBAMOAOM MBOMOB AOOM )(OMOB OM OBOA (第

11、21页/共33页得得定比分点公式定比分点公式:,121 xx,121 yy 121zz,1时当点点 M 为为 AB 的中点的中点 ,于是得于是得 x,221xx y,221yy z221zz ABMoMAB ),(zyx 11),(212121zzyyxx x y z中点公式中点公式:第22页/共33页1. 向量的模与两点间的距离公式向量的模与两点间的距离公式222zyx ),(zyxr 设设则有则有OMr 222OROQOP xoyzMNQRP由勾股定理得由勾股定理得),(111zyxA因因AB得两点间的距离公式得两点间的距离公式:),(121212zzyyxx 212212212)()()

12、(zzyyxx 对两点对两点与与, ),(222zyxB, rOM 作作OMr OROQOP BABA OAOBBA第23页/共33页)3,2,5(, )2,1 ,7(, )1 ,3,4(321MMM证证:1M2M3M 21MM 2)47( 2)31( 2)12( 14 32MM 2)75( 2)12( 2)23( 6 31MM 2)45( 2)32( 2)13( 6 3132MMMM 即即321MMM 为等腰三角形为等腰三角形 .的三角形是等腰三角形的三角形是等腰三角形 . 为顶点为顶点第24页/共33页)7,1 ,4( A等距等距解解: 设该点为设该点为, ),0,0(zM,BMAM 因为

13、因为 2)4( 21 2)7(z 2325 2)2(z 解得解得,914 z故所求点为故所求点为及及)2,5,3( B. )914,0,0(M思考思考: (1) 如何求在如何求在 xoy 面上与面上与A , B 等距离之点的轨迹方等距离之点的轨迹方程程?(2) 如何求在空间与如何求在空间与A , B 等距离之点的轨迹方程等距离之点的轨迹方程 ?离的点离的点 . 第25页/共33页(1) 设动点为设动点为, )0,(yxM利用利用,BMAM 得得,028814 yx(2) 设动点为设动点为, ),(zyxM利用利用,BMAM 得得014947 zyx且且0 z例例6. 已知两点已知两点)5,0,

14、4(A和和, )3,1 ,7(B解解:求求141 )2,1,3( 142,141,143 .BA BABABA第26页/共33页oyzx设有两非零向量设有两非零向量 ,ba任取空间一点任取空间一点 O ,aOA 作作,bOB OAB称称 =AOB (0 ) 为向量为向量 ba,的的夹角夹角. ),(ab或或类似可定义向量与轴类似可定义向量与轴, 轴与轴的夹角轴与轴的夹角 . ,0),( zyxr给定给定与三坐标轴的夹角与三坐标轴的夹角 , , rr称为其为其方向角方向角. cosrx 222zyxx 方向角的余弦称为其方向角的余弦称为其方向余弦方向余弦. 记作记作 ),(ba第27页/共33页

15、oyzxr cosrx 222zyxx cosry 222zyxy cosrz 222zyxz 1coscoscos222 方向余弦的性质方向余弦的性质:的单位向量的单位向量向量向量 rrrr )cos,cos,(cos 第28页/共33页)2,2,2(1M和和, )0,3,1(2M的模的模 、方向余弦和方向角、方向余弦和方向角 . 解解:,21 ,23 )20 计算向量计算向量)2,1,1( 222)2(1)1( 2 ,21cos ,21cos 22cos ,32 ,3 43 21MM(21 MM 21MM第29页/共33页解解: 已知已知角依次为角依次为,4,3 求点求点 A 的坐标的坐标 . ,4,3 则则 222coscos1cos 41 因点因点 A 在第一卦限在第一卦限 ,故故,21cos 于是于是(6 ,21,22)21)3,23,3( 故点故点 A 的坐标为的坐标为 . )3,23,3(向径向径 OA 与与 x 轴轴 y 轴的夹轴的夹 ,6 AO且且OAOAAO 第30页/共33页解解: 因因pnma 34)853(4kji )742(3kji )45(kji kji15713 1. 设设,853kjim ,742kjin 求向量求向量pnma 34在在 x 轴上的投影及在轴上的