连续力学线弹性固体

1、第三章 线性弹性固体 到目前为止，我们已经讲述了有关连续介质的几何学、运动学和动力学的基本概念及基本关系式。所有这些关系对各种连续介质都适用，因为在推导过程中并没有考虑是什么物质。 然而，这些方程还不足以描述特定物质在给定的荷载作用下的反响。在同样荷载条件下，钢的反响和水的反响是不同的。另外，对于给定的同一物质，随着荷载条件的变化，其反响也是不同的。例如，低碳钢在适度荷载下将发生变形，去掉荷载后变形消失，物质的这种性质称为弹性。若荷载继续增加，低碳钢将产生永久变形，甚至断裂。造成这些不同反响的原因是由于物质的特性，而不是共性，即物质内部本构是造成这些反响的原因。在连续介质力学中，我们不涉及物质

2、的原子结构，而只研究物质的宏观性质。为此，我们要建立反映物质结构差异的总体效应的方程，即本构方程(constitutive equation)。在本章中，我们只研究线性弹性固体这种理想化的物质的本构方程，并给出这类固体的若干简单情形的静力和动力问题的解。在本章最后，对线性弹性固体的变分原理作一简要的阐述。3.1 线性弹性固体的力学性质 为了建立线性弹性固体的本构方程，首先需要对该物质的力学性质做一些了解。 1.简单拉伸实验取一根长为，横截面面积为A的细长圆柱试件。此试件在轴向荷载P的作用下伸长，如图3.1所示。在线性范围内(图中OA段)，如果把荷载卸掉，则线OA可逆，此时试件表现出弹性。如果再

3、继续加载到B然后卸载，则得到典型的OABC线，并且将有一“永久变形”量OC。在一般的工程结构设计中常采用线性弹性理论。在线性弹性范围内，我们可以假定，逐级加载不影响线性弹性性状。 为了表示加载与变形的这种线性关系，我们希望有一种与试件尺寸和由于实验装置引进的任何变量无关的材料性状的表示法，于是我们引用应力，而应力。在OA段应力与应变之比为常数 (3.1.01)E称为杨氏模量，或弹性模量。其量纲是力/单位面积。在国际单位制中，钢的弹性模量。 在拉伸实验中，我们可以测出横向尺寸的变化。假若杆是一个直径为d的圆柱体，在一定条件下，当拉力增大时它仍保持圆形载面，但直径减小，用表示横向应变，则值为 (3

4、.1.02)由实验发现比例是一个常数。我们把这个常数称为泊松比,并用表示，也常把称为横向收缩系数，钢的典型值为0.3，是一无量钢数。 对于各向同性、均匀的材料，E和均为常数。若E和沿不同方向取不同值，且随着邻域的不同而变化，则称材料是各向异性和非均匀的。 2.简单扭转实验 取半径为r，长为l的圆柱杆件，沿杆轴方向作用扭矩，使杆件扭转一个角度。对于弹性材料，和成线性关系，于是我们定义剪切模量为 (3.1.03)这里为极惯性矩。 钢的典型值是。 3.均匀各向同性块体在均匀压力下的实验 对于一种线性弹性材料，在均匀压力作用下，体积将发生变化，此时的应力状态为 (3.1.04) 在相应的实验中，我们测

5、量出压力和单位体积的体积变化的关系，这种关系也是线性关系，并且定义为体积模量，用表示 (3.1.05)钢的典型值是。 通过这样三个实验，对于各向同性线性弹性材料引进了四个不同的常数。我们需要了解这些常数是否独立，或者说，需要多少常数才能描述各向同性的线性材料。3.2 线性弹性固体的本构方程 在某些限度内，在上节所提到的实验具有下列共同特点： (1)作用荷载和度量变形的量之间的关系是线性的； (2)逐级加载不影响(1)的线性关系； (3)在荷载卸掉后，变形将完全消失； (3)在实验中观察到的变形很小。 于是，上述特征可以描述一种理想的物质，即线性弹性固体或虎克弹性固体。现在就来建立这种理想物质的

6、本构方程。本构方程要把应力和相关的变形量联系起来。每一个本构方程定义一种理想物质，而且它是物质性质从经验加以抽象化的数学表现。对于变形很小，而且不受加载等级影响的物质，我们可以写出 (3.2.01)这里是E的单值函数，而且。如果函数是线性的，则可把上式写成分量形式。 (3.2.02) 这里共有九个方程。还可写成指标形式 (3.2.03)写成不变性形式，则为 (3.2.04)因为和是二阶张量，由商法则知必是一个四阶张量，称它为弹性常数张量。它共有81个分量。四阶张量表征一种特定的各向异性虎克弹性固体的力学性质。方程 (3.2.02) 称为广义虎克定律。如果物体是均匀的，即物体每个物质点的力学性质

7、都 相同，则是常数。这里，我们仅研究这种物质。 由于应力张量T是对称的，应变张量E也是对称的，则方程(3.2.02)归结为六个方程，它们表示六个独立的应力分量，和六个独立的应变分量，之间的关系。因此，对于一个线性的各向异性弹性固体，只需要不多于36个的弹性常数来确定它的力学性质。如果采用下述记号： ， ， (3.2.05) ，和 ， ， (3.2.06) ，则各向异性均匀弹性固体的本构方程就可写成 (3.2.07)其中共有36个分量。由材料的均匀性可知，系统与坐标，无关。3.3 线性弹性固体的内能 在忽略热效应的情况下，线性弹性固体内能u的物质导数为 (3.3.01)或写成不变性形式 (3.3

8、.02)在这种情况下，内能是由纯力学原因形成的，称之为应变能。由上式得 (3.3.03)由于应力张量T是应变张量E的函数，故u可表示成E的函数，则它的微分为 (3.3.04) 比较式(3.3.03)和式(3.3.04)，则得 (3.3.05) 我们定义应变能密度为 (3.3.06)因为在小应变理论中密度为常量，故 (3.3.07)导致线性应力应变关系的应变能函数可取为下列二次形 (3.3.08)考虑到式3.2.02，则 (3.3.09)这表示应力分量在相应分量上所做的功，其中因子是考虑应力从零逐渐增加到它的终值时在应变上做功的结果。 对式3.3.08求微分，得 (3.3.10)由式(3.3.0

9、3)得 (3.3.11)上列两式相减，则得 由于，所以九个不能全部任意选取，但总可以选取一对指标kl，使得，于是得 即 同样地，再选取一对ij，使，也得 (3.3.12)这就是说，对于弹性常数张量，除前两指标ij对称，后两指标kl对称外，还允许把一对指标ij与另一对指标kl互换。因此弹性常数张量独立分量数目从36个减少到21个。用矩阵表示，则为 (3.3.13)这是弹性常数张量的一般形式。具有这种弹性常数张量的物质称为各向异性物质。3.4 各向同性线性弹性固体 假如物体是各向同性的，那么对于物体中的一点沿着任何方向看，弹性性质都是一样的，即在各个方向上应力和应变关系是一样的。在得出一般结果之前

10、，我们首先讨论几种特殊情形。 (1)设弹性常数张量C对某一方向，比如取，是各向同性的，则由和所确定的平面是C的对称面，以这个面作为镜面的反射变换 (3.4.01)这个表达式中取指标1，2的方向不变，而取指标3的方向变为它的反方向，于是式(3.4.01)中带奇数个指标3的项要改变符号，须使这些项为零时等式才能成立。因此剩下不为零的弹性常数张量分量只有13个独立分量。写成矩阵形式则为 (3.4.02) (2)设对方向也是各向同性的，则在(3.4.02)中含奇数个指标2的弹性常数张量的分量为零。于是剩下不为零的弹性常数张量分量只有九个独立分量。写成矩阵形式则为 (3.4.03) (3)设沿方向也是同

11、性的，这时材料沿，方向都是同性的。这种材料称为正交各向异性材料。同(1)、(2)一样地考虑，这时只剩下与式(3.4.03)相同的独立弹性常数张量分量。正交各向异性弹性材料的应力和应变关系就具有下列展开形式 (3.4.04) 其中 ， (4)设材料关于轴对称，即材料中的每一点对该轴进行坐标旋转，其应力应变关系保持不变。显然，材料应当关于与和与的平面为对称，故至多只剩下(3.4.03)所示的九个独立分量。而且当与互换时弹性常数张量分量保持不变，即 ，故只剩下六个独立分量。写成矩阵形式则为 (3.4.05)再将坐标轴绕旋转35，应力应变关系不变，还可以得到一个，之间的关系，最后只剩下列五个独立分量：

12、 ， (3.4.06)这种材料称为平面各向同性材料。(5)设关于也是轴对称的，故，且，之间存在一个关系，故只剩下列三个独立常数：， (3.4.07) (6)再设关于也是轴对称的，于是，只剩下列两个独立常数： ， (3.4.08)在这种情况下，在空间的各个方向同性，简称各向同性。这种弹性材料称为各向同性弹性材料。 实际上，在各向同性的情况下，考虑到式和的对称性，则可写出下列各向同性弹性固体的本构方程： (3.4.09)其中是应变张量第一主不变量，这里和称为拉梅常数。把上式写成不变性形式，则为 (3.4.10)式中I为二阶单位张量。 把式(3.4.09)写成展开形式，则有 (3.4.11) 式(3

13、.4.11)就是各向同性线性弹性固体的本构方程。这是用应变表示应力的本构方程。 下面我们推导本构方程的另一种表达形式，即用应力表示应变的本构方程。将式(3.4.10)两边取迹，则得应力张量第一主不变量与应变张量第一主不变量间的关系式 (3.4.12)从上列式中解出 , 即 (3.4.13)写成不变性形式，则为 (3.4.14)式(3.4.13)、(3.4.14)就是用应力表示应变的本构方程。 如果利用杨氏模量E、泊松比与拉梅常数和关系 ， (3.4.15)即 ， (3.4.16)则得 ， (3.4.17)代入式(3.4.15)，有 (3.4.18)或 (3.4.19)把式(3.4.18)写成展

14、开形式 (3.4.20) 3.5 线性弹性固体的基本方程组 本节将研究各向同性线性弹性固体的小变形问题。为此，首先让我们回顾一下第二章得到的连续介质力学基本方程组。 对于质量守恒定律，由式(2.2.15)给出其物质形式为 (3.5.01)但我们知道雅可比行列式J表示时刻t的体积元与时刻的体积元之比，故 考虑到式(1.3.48)，引入体积应变e，则 因为我们所研究的是小变形问题，故可认为 代入式(3.5.01)，得 (3.5.02)此式表明，物体变形前后，其密度不发生变化。因此，今后将密度看成是常量，而不作为未知量。 在不考虑热效应的情况下，状态方程和熵定律无需考虑。能量方程可以直接从运动方程推

15、出，所以它不是独立的，我们也无需加以考虑。 考虑到式(2.3.11)、(1.3.18)、(1.3.19)和式(3.4.10)，则可将线性弹性固体问题的基本方程组汇集如下： (3.5.03) (3.5.04) (3.5.05)这里应力张量为对称张量，(3.5.03)是运动方程，包括三个方程；(3.5.04)是应变与位移关系，包括六个独立的方程；(3.5.05)是本构方程，包括六个独立的方程。共15个方程。未知量和中各有六个独立的未知分量，有三个未知分量，共15个未知量，因此，基本方程组是封闭的。 所有的线性弹性固体都要满足基本方程组，但是满足同一方程组的运动仍然千差万别，多种多样。只有确定边界状

16、态和初始状态之后，物体的运动才被确定下来。下面讨论几种常见的边界条件和初始条件。 (1)位移边界条件：在物体表面S上，位移被给定 (3.5.06) (2)应力边界条件：在物体表面S上应力被给定 (3.5.07)其中n为其表面外法向。 (3)弹性边界条件：在物体表面S上的应力与其对应的位移成正比。 (3.5.08)其中k为弹性系数。 (4)混合边界条件：在物体表面，和上分别满足 (3.5.09) (3.5.10) (3.5.11)其中。 初始条件一般要求给定时刻的初位移和初速度，即 (3.5.12) (3.5.13)其中和为已知矢量值函数。 到此为止，在不考虑热效应情况下的各向同性线性弹性固体的

17、小变形问题的完整数学描述由式(3.5.03)到式(3.5.13)给出。3.6 圣维南原理 以上我们已经讨论了线性弹性固体的基本方程组以及边界条件，但是对于某一具体问题来说，要想真正计算出来，在实际上有很大的困难。另一方面，在实际的工程问题中也不可能逐点精确地给出边界条件，于是就提出这样一个问题：边界条件怎样变动时，其基本方程组的解在大部分范围内保持不变或变动很小。为此，引出了圣维南原理。 圣维南原理：若作用于较小面积上的外载，用另一与其等效的力系(即合力相等，合力矩相等)代替，则在物体内部产生的影响随与此处距离的增加而急剧衰减。 圣维南原理的正确性是显而易见的，但它的一般性严格数学证明至今尚未解决。3.7 线性弹性固体的唯一性 假如在静力情况下，已知弹性固体在边界上受给定外力作用，在体内各点受给定的体力作用，则这弹性体内各点的应力一定满足运动方程，各点的应变可以从本构方程中求得，各点的位移又可以从应变与位移关系中求得。现在的问题是我们所求的应力、应变和位移是不是唯一的？或者说是不是只有一组应力、应变、位移的分布适合这些基本方程组？ 为了证明线性弹性固体解的唯一性，我们假设对同一弹性体，在同样的边界条件下，存在着两组满足基本方程组的解 ，和，分别满足 (3.7.01) (在上) (在上) (在上)和 (3.7.02) 在上 在上 在上令 并将3.7.01与3.7