振动测试与数据处理3

1、研究生课程南京航空航天大学振动工程研究所南京航空航天大学振动工程研究所01( , )lim( ) ()TxiiTR ix t x tdtT 例如信号 的自相关函数为 时间历程 自相关函数图形 正弦波 正弦波加随机噪声 窄带随机噪声 宽带随机噪声 常见四种典型信号的自相关函数自相关函数的典型应用包括：（1）检测信号回声（反射）。若在宽带信号中存在着带时间延迟 的回声，那么该信号的自相关函数将在 处也达到峰值（另一峰值在 处），这样可根据 确定反射体的位置，同时自相关系数在 处的值 将给出反射信号相对强度的度量。（2）检测淹没在随机噪声中的周期信号。由于周期信号的自相关函数仍是周期性的，而随机噪声

2、信号随着延迟增加，它的自相关函数将减到零。因此在一定延迟时间后，被干扰信号的自相关函数中就只保留了周期信号的信息，而排除了随机信号的干扰。互相关函数最常见的应用有以下几种：（1）确定时间延迟。假如某信号从A点传播到另一点B点，那么在两点拾取的信号x(t)和y(t)之间的互相关函数 ，将在相当于两点之间时间延迟的位置上出现一个峰值。（2）识别传输路径。假如信号从A点到B点有几个传输路径，则在互相关函数中就有几个峰值，每个峰值对应于延迟了时间 的一个路径，例如用于声源和声反射路径的识别。 （3）检测淹没在外来噪声中的信号。假如信号s(t)受到外界的干扰形成复合信号a(t)和b(t)，即a(t)=s

3、(t)+n(t)，b(t)=s(t)+m(t)，（s(t)是有用信号，可以是确定性的或者随机的，而n(t)和m(t)是互不相关的噪声），那么互相关函数 将仅含有a(t)和b(t)中的相关部分s(t)的信号，而排除了外来噪声的干扰。（4）系统脉冲响应的测定。在随机激励试验中，假如以随机白噪声作为试验信号输入被测系统，则输入信号与输出信号的互相关函数 就是被测系统的脉冲响应。这种测量方法的优点可以在系统正常工作过程中测量。测量时，其他信号都与试验信号无关，因而对互相关函数没有影响，不影响脉冲响应的测量。dxxpxxEx)(222dxxpxxExxx)()()(222nnnbaarctg狄里赫利条件

4、狄里赫利条件 在任意周期内，函数必须是绝对可积的，即 在一周期内，函数有有限个极大值和极小值。 在任意有限区间内，只有有限个第一类间断点。Tttttf00d)(Ot)(tfOt)(tfOt)(tfnnnnabarctg-00频谱图的频率轴不仅有正半轴，而且有负半轴，这样的频谱图称为双边频谱图。频谱图的频率轴不仅有正半轴，而且有负半轴，这样的频谱图称为双边频谱图。他的幅值是复数，包含了幅值和相位信息，称为复幅值。单边谱的幅值是双边他的幅值是复数，包含了幅值和相位信息，称为复幅值。单边谱的幅值是双边频谱幅值的二倍。频谱幅值的二倍。典型信号及其傅里叶变换典型信号及其傅里叶变换门函数门函数2, 02,

5、 1)(tttgt22O)(tg1门函数的傅里叶变换门函数的傅里叶变换2Sa2sin2jeejede1de )()j (2j2j22j22jjttttttfF2Sa)(tgFT典型信号及其傅里叶变换典型信号及其傅里叶变换门函数的频谱门函数的频谱2Sa)j (FO246246典型信号及其傅里叶变换典型信号及其傅里叶变换单边指数函数单边指数函数tO0),(ett10),(e)(ttft典型信号及其傅里叶变换典型信号及其傅里叶变换单边指数函数的傅里叶变换单边指数函数的傅里叶变换arctan j220)j(0jj1j1jedeede )()j (etttfFttttj1)(etFTt0典型信号及其傅里

6、叶变换典型信号及其傅里叶变换单边指数函数的频谱单边指数函数的频谱1221)j (aFOaarctan)(22O典型信号及其傅里叶变换典型信号及其傅里叶变换偶双边指数函数偶双边指数函数)0(0,e0,ee)(1tttfttttO1)(1tf典型信号及其傅里叶变换典型信号及其傅里叶变换偶双边指数函数的傅里叶变换偶双边指数函数的傅里叶变换220)j(0)j(0j0jj12j1j1jejedeedeede )()j (tttttttttttfF222etFT典型信号及其傅里叶变换典型信号及其傅里叶变换偶双边指数函数的频谱图偶双边指数函数的频谱图O2212)j (F典型信号及其傅里叶变换典型信号及其傅里

7、叶变换奇双边指数函数奇双边指数函数)0(0,e0,e)(2tttftttO1)(2tf1典型信号及其傅里叶变换典型信号及其傅里叶变换奇双边指数函数的傅里叶变换奇双边指数函数的傅里叶变换220)j(0)j(0j0jj22jj1j1jejedeedeede )()j (tttttttttttfF222j)()(teteFTtt典型信号及其傅里叶变换典型信号及其傅里叶变换奇双边指数函数的频谱图奇双边指数函数的频谱图O2222j)j (F典型信号及其傅里叶变换典型信号及其傅里叶变换4.4.3 奇异函数的傅里叶变换奇异函数的傅里叶变换冲激函数的频谱冲激函数的频谱1)(tFT)(ttO1O1)(tFT1d

8、e )()(jtttFTt均匀谱，或白色频谱典型信号及其傅里叶变换典型信号及其傅里叶变换单位直流信号单位直流信号不满足绝对可积条件，但其傅里叶变换存在。单位直流信号的傅里叶变换单位直流信号的傅里叶变换因为由傅里叶变换的唯一性可知：ttf, 1)()(2 1 FT1de )(221)(jttfFT 1 2 ()典型信号及其傅里叶变换典型信号及其傅里叶变换单位直流信号的频谱单位直流信号的频谱1 2 () O)(2 1 FTO1t1)(tf典型信号及其傅里叶变换典型信号及其傅里叶变换单位符号函数单位符号函数符号函数为奇双边指数函数的极限符号函数为奇双边指数函数的极限0, 10, 00, 1)sgn(

9、tttttO1)sgn(t1tO1)(2tf10)0(0,e0,e)(2tttftt典型信号及其傅里叶变换典型信号及其傅里叶变换符号函数的傅里叶变换是奇双边指数函数的傅里叶符号函数的傅里叶变换是奇双边指数函数的傅里叶变换之极限变换之极限0, 00,j22jlim)j (lim22020aFO)j (2FOj2j2)sgn(tFT典型信号及其傅里叶变换典型信号及其傅里叶变换阶跃函数阶跃函数阶跃函数可表示成直流信号与符号函数之和阶跃函数可表示成直流信号与符号函数之和)sgn(2121)(tttO)sgn(21t2121)(t1OtOt21典型信号及其傅里叶变换典型信号及其傅里叶变换阶跃函数的傅里叶

10、变换阶跃函数的傅里叶变换j1)()sgn(2121)(tFTFTtFT)(Oj1)(OOj1j1)()(tFT典型信号及其傅里叶变换典型信号及其傅里叶变换4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质线性线性奇偶性奇偶性对称性对称性尺度变换尺度变换时移特性时移特性频移特性频移特性卷积定理卷积定理时域微分和积分时域微分和积分频域微分和积分频域微分和积分傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质a1 f1(t) + a2 f2(t) a1F1( j) + a2F2( j)f *(t) F *( j)F( j t) 2 f ( )aFaatfj1)()j (e)(0j0Fttft)( j )(0j0Fetft)j

11、()j ()()(2121FFtftf)j(jd)(dFttf)()0()j(j1d)(FFft2( )( )xEx t dtSf df( ) ( )( )xyEx t y t dtSf df小结：小结：用计算机进行傅里叶变换运算时，要求 （1）时、频域均为离散的； （2）时、频域的点数均为有限的。 1、连续时间、离散频率、连续时间、离散频率傅立叶级数傅立叶级数(FS)2、连续时间、连续频率、连续时间、连续频率傅立叶变换傅立叶变换(FT)3、离散时间、离散频率、离散时间、离散频率离散傅立叶级数离散傅立叶级数(DFS)4、离散时间、连续频率、离散时间、连续频率序列的傅立叶变换序列的傅立叶变换(D

12、TFT)傅立叶分析小结：傅立叶分析小结：1. 周期为周期为T0的连续时间周期信号的连续时间周期信号ntnenXtx0j0)()(dtetxTnXtnT00j00)(1)(频谱特点：离散非周期谱2. 连续时间非周期信号连续时间非周期信号频谱特点：连续非周期谱deXtxt j)j (21)(dtetxXt j)()j (傅立叶分析小结：傅立叶分析小结：3.离散非周期序列信号离散非周期序列信号频谱特点：周期为2的连续谱1( )( )2jnx nXed( )( )jnnXx ne傅立叶分析小结：傅立叶分析小结：4. 周期为周期为N 的离散周期信号的离散周期信号频谱特点：周期为N的离散谱21-j0( )

13、DFS ( )( )NnkNnX kx nx ne 注：DFS变换对公式表明，一个周期序列虽然是无穷长序列，但是只要知道它一个周期的内容（一个周期内信号的变化情况），其它的内容也就都知道了，所以这种无穷长序列实际上只有N个序列值的信息是有用的，因此周期序列与有限长序列有着本质的联系。傅立叶分析小结：傅立叶分析小结：21j01( )IDFS( )( )NknNkx nX kX keN5. 有限长序列的有限长序列的DFT)(kX1N主值序列)(nx主值序列)(kX1NDFT变换对DFS变换对0)(nxnk0傅立叶分析小结：傅立叶分析小结：5. 有限长序列的有限长序列的DFT210210( ) (

14、)( )011( )( )( )01NjknNnNjknNkX kDFT x nx n ekNx nIDFT X kX k enNNx(n) 与 X(k) 是一个有限长序列离散傅里叶变换对，已知 x(n) 就能唯一地确定 X(k) ，同样已知 X(k) 也就唯一地确定 x(n) ，实际上 x(n) 与 X(k) 都是长度为 N 的序列（复序列）都有N个独立值，因而具有等量的信息。注：有限长序列隐含着周期性。傅立叶分析小结：傅立叶分析小结： DFT信号谱分析原理示意图信号谱分析原理示意图傅立叶分析小结：傅立叶分析小结：2.3 数字信号处理中的抗混滤波和加窗数字信号处理中的抗混滤波和加窗 采样信号

15、的频谱 量化：量化：将采样将采样保持后的信号幅值转化成某个最小数量单保持后的信号幅值转化成某个最小数量单位（量化间隔）的整数倍。位（量化间隔）的整数倍。（1）确定量化间隔：）确定量化间隔： nV2LSB1FSV分割数模拟输入电压范围例：如有一模拟信号，幅值范围为例：如有一模拟信号，幅值范围为01V，要转化为，要转化为3位二位二进制代码，则其量化间隔为进制代码，则其量化间隔为1LSB=1/8V 。得到得到8个量化电平分别为个量化电平分别为0V、1/8V7/8V。 量化的量化的 过程：过程： 经量化后的信号幅值均为的整数倍，在量化过程中会经量化后的信号幅值均为的整数倍，在量化过程中会产生误差，称为

16、产生误差，称为量化误差量化误差。最大量化误差。最大量化误差 =1/8V。方式一：只舍不入量化方式（截断量化方式）方式一：只舍不入量化方式（截断量化方式）如果如果0VvI1/8V 则量化为则量化为0 =0V； 1/8VvI2/8V 则量化为则量化为1 =1/8V； 7/8VvI1V 则量化为则量化为7 =7/8V。（2）将连续的模拟电压近似成分散的量化电平）将连续的模拟电压近似成分散的量化电平 经量化后的信号幅值均为的整数倍，在量化过程中会经量化后的信号幅值均为的整数倍，在量化过程中会产生误差，称为产生误差，称为量化误差量化误差。最大量化误差。最大量化误差 =1/8V。如果如果 0VvI1/16

17、V 则量化为则量化为0 =0V； 1/16VvI3/16V 则量化为则量化为1 =1/8V； 3/16VvI5/16V 则量化为则量化为2 =2/8V； 13/16VvI15/16V 则量化为则量化为7 =7/8V。取两个离散电平中的相近值作为量化电平。取两个离散电平中的相近值作为量化电平。方式二：四舍五入量化方式（舍入量化方式）方式二：四舍五入量化方式（舍入量化方式） 在实际的在实际的ADC中，大多采用舍入量化方式。中，大多采用舍入量化方式。量化误差随着量化误差随着ADC的位数增加而减小。的位数增加而减小。量化误差为量化误差为1/2 =1/16V一卷积定义（一卷积定义（Convolution

18、）积分和设有两个函数),()(21tftf d21tfftf tftftftftftf2121)(或，记为，记为的卷积积分，简称卷积的卷积积分，简称卷积和和称为称为)()(21tftf利用卷积可以求解系统的零状态响应。利用卷积可以求解系统的零状态响应。 thtfthtfty卷积复习卷积复习二卷积计算二卷积计算卷积复习卷积复习反转，平移，相乘，求和反转，平移，相乘，求和三卷积特性三卷积特性卷积复习卷积复习时域卷积定理时域卷积定理频域卷积定理频域卷积定理1 1、时域卷积定理、时域卷积定理给定两个时间函数给定两个时间函数 已知：已知：)()(21t、ftf( (w w) )F F( (t t) )f

19、 f( (w w) )F F( (t t) )f f2 2F FT T2 21 1F FT T1 1( (w w) )F F( (w w) )F F( (t t) )f f( (t t) )f f2 21 1F FT T2 21 1 则：则：时域卷积时域卷积频域相乘。频域相乘。即：两个时间函数卷积的频谱等于各个时间函数频谱的乘积。即：两个时间函数卷积的频谱等于各个时间函数频谱的乘积。卷积复习卷积复习即：两个时间函数卷积的频谱等于各个时间函数频谱的乘积。即：两个时间函数卷积的频谱等于各个时间函数频谱的乘积。时域卷积定理证明：时域卷积定理证明：根据卷积定义根据卷积定义dtfftftf)()()(*

20、)(2121则：则：)()()()()()()()()()()(*)(211221212121wFwFdefwFdewFfddtetffdtedtfftftfjwjwjwtjwtFT 卷积复习卷积复习即：两个时间函数卷积的频谱等于各个时间函数频谱的乘积。即：两个时间函数卷积的频谱等于各个时间函数频谱的乘积。2 2、频域卷积定理、频域卷积定理给定两个时间函数给定两个时间函数已知：已知：)()(21t、ftf( (w w) )F F( (t t) )f f( (w w) )F F( (t t) )f f2 2F FT T2 21 1F FT T1 1( (t t) )f f( (t t) )f f

21、2 21 1( (w w) )F F( (w w) )F F2 21 1I IF FT T2 21 1 则：则：频域卷积频域卷积时域相乘。时域相乘。即：两个时间函数频谱的卷积等效于各个时间函数的乘积（乘即：两个时间函数频谱的卷积等效于各个时间函数的乘积（乘以系数）。以系数）。2 21 1矩形窗：B=4/N A=-13dB D=-6dB/oct三角窗：B=8/N A=-27dB D=-12dB/oct汉宁窗：B=8/N A=-32dB D=-18dB/oct海明窗：B=8/N A=-43dB D=-6dB/oct布莱克曼窗：B=12/N A=-58dB D=-18dB/oct几种很常用的窗函数的

22、优缺点：几种很常用的窗函数的优缺点：如何选择窗函数如何选择窗函数对于窗函数的选择，应考虑被分析信号的性质与处理要求。如果仅要求精确读出主瓣频率，而不考虑幅值精度，则可选用主瓣宽度比较窄而便于分辨的矩形窗，例如测量物体的自振频率等；如果分析窄带信号，且有较强的干扰噪声，则应选用旁瓣幅度小的窗函数，如汉宁窗、三角窗等；对于随时间按指数衰减的函数，可采用指数窗来提高信噪比。 B：主瓣宽度；：主瓣宽度；A：旁瓣最大峰值；：旁瓣最大峰值；D:旁瓣峰值渐进衰减速度旁瓣峰值渐进衰减速度0246810120500100015002000frequency(Hz)powerf1=2.58, f2=3.28, f

23、3=5.38(Hz),N=10002468101205001000150020002500frequency(Hz)powerL=N+50024681012050010001500200025003000frequency(Hz)powerL=N+100024681012050010001500200025003000frequency(Hz)powerL=N+150s=sin(2*pi*2.58*t)+sin(2*pi*3.28*t)+sin(2*pi*5.38*t);N=100,100+50,100+100,100+150210210( ) ( )( )011( )( )( )01Njkn

24、NnNjknNkX kDFT x nx n ekNx nIDFT X kX k enNN4.2.1直接计算直接计算DFT的特点及减少的特点及减少运算量的基本途径运算量的基本途径10: ( ) ( )( )NnkNnDFTX kDFT x nx n W10:1 ( )( )( )NnkNkIDFTx nIDFT X kX k WN( )Nx n点有限长序列1. DFT的运算量及特点的运算量及特点2jnknkNNWe运算量运算量复数乘法复数乘法复数加法复数加法一个一个X X( (k k) )N NN N 1 1N N个个X X( (k k) )( (N N点点DFT)DFT)N N 2 2N N

25、( (N N 1)1)实数乘法实数乘法实数加法实数加法一次复乘一次复乘4 42 2一次复加一次复加2 2一个一个X X ( (k k) )4 4N N2 2N N+2 (+2 (N N 1)=2 (21)=2 (2N N 1)1)N N个个X X ( (k k) )( (N N点点DFT)DFT)4 4N N 2 22 2N N (2(2N N 1)1)10( )NnkNnx n Wajbcjdacbdj adcbnkNW 的特性*()() ()nknkN n kn N kNNNNWWWW对称性()() nkN n kn N kNNNWWW周期性 nkmnkNmNWW可约性/nknk mNN

26、mWW0/2(/2) 11Nk NkNNNNWWWW 特殊点：2jnknkNNWeNknkNNWWnNnkNNWW2jmnkmNe221NjjNee FFTDFTDFTDFTDFT算法的基本思想： 利用系数的特性，合并运算中的某些项， 把长序列短序列，从而减少其运算量。设序列点数设序列点数 N N = 2= 2M M，M M 为整数。若不满足，则补零为整数。若不满足，则补零 12221xrx rxrxr0,1,.,/2 1rN将序列将序列x(n)x(n)按按n n的奇偶分成两组：的奇偶分成两组：N N为为2 2的整数幂的的整数幂的FFTFFT算法称算法称基基-2FFT-2FFT算法算法。n n

27、为偶数时为偶数时: :n n为奇数时为奇数时:0,1,.,/ 2 1rN2. FFT算法原理算法原理则则x x( (n n) )的的DFT:DFT: 111000NNNnknknkNNNnnnX kx n Wx n Wx n Wn为偶数n为奇数/2 1/2 121200221NNrkrkNNrrxr WxrW /2 1/2 1221200NNrkrkkNNNrrx rWWxrW /2 1/2 11/22/200NNrkkrkNNNrrx r WWxr W 12kNXkW Xk,0,1,./ 2 1r kN22222222111100112200( )( )(2 )( )( )(21)NNNNN

28、NNNrkrkrrrkrkrrXkx r Wxr WXkx r WxrW其中,a,两点结论: (1) X (k),X (k) (1) X (k),X (k)均为均为N/2N/2点的点的DFTDFT。 (2) X(k)=X (k)+W X (k)(2) X(k)=X (k)+W X (k)只能确定出只能确定出 X(k)X(k)的的k= k= 个；个；即即前一半前一半的结果。的结果。1 21 220,1,1NkN 同理, 这就是说,X1(k),X2(k)的后一半,分别 等于其前一半的值。b.X(k)b.X(k)的后一半的确定的后一半的确定222()NNNrkrkWW2222211()111100(

29、)( )( )( )2NNNNNrkrkrrNXkx r Wx r WX k由于 （周期性）（周期性）, ,所以:22()( )2NXkXk 可见见, ,X(k)的后一半，也完全由的后一半，也完全由X1(k), , X2 (k)的前的前一半所确定。一半所确定。 * * N N点的点的DFTDFT可由两个可由两个N/2N/2点的点的DFTDFT来计算。来计算。22()NNkkkNNNNWW WW212()()()222NkNNNNX kXkWXk122( )( ), 0,1,1kNNXkW Xkk又由于所以：实现上式运算的流图称作蝶形运算实现上式运算的流图称作蝶形运算 前一半c.c.蝶形运算蝶形

30、运算 后一半（N/2个蝶形)(前一半)(后一半)1 1 11-1-11212( )( )( )( )( )( )kNkNX kX kW X kX kX kW X k22(0,1,1)(,1)NNkkN12( )( )( )kNX kX kW X k12()( )( )2kNNXkX kW X k1( )X k2( )X kkNW由X1(k)、X 2(k)表示X(k)的运算是一种特殊的运算-碟形运算蝶形运算符号 CABA BCA BC x1(0)=x(0) x1(1)=x(2) N/2点 x1(2)=x(4) DFT x1(3)=x(6) x2(0)=x(1) x2(1)=x(3) N/2点 x

31、2(2)=x(5) DFT x2(3)=x(7) X X1(0)(0)X X1(1)(1)X X1(2)(2)X X1(3)(3)X X2(0)(0)X X2(1)(1)X X2(2)(2)X X2(3)(3)WN2WN1WN0WN3-1-1-1-1X(0)X(0)X(1)X(1)X(2)X(2)X(3)X(3)X(4)X(4)X(5)X(5)X(6)X(6)X(7)X(7)d.d.对对X1 (k)X1 (k)和和X2 (k)X2 (k)进行蝶形运算进行蝶形运算前半部为前半部为 X(0)- X(3),后半部分为后半部分为X(4)- X(7) 整个过程如下图所示整个过程如下图所示:e. N/2e

32、. N/2分解后的运算量：分解后的运算量：复数乘法复数乘法复数加法复数加法一个一个N N / 2/ 2点点DFTDFT( (N N / 2)/ 2)2 2N N / 2 (/ 2 (N N / 2 / 2 1)1)两个两个N N / 2/ 2点点DFTDFTN N 2 2 / 2/ 2N N ( (N N / 2 / 2 1)1)一个蝶形一个蝶形1 12 2N N / 2/ 2个蝶形个蝶形N N / 2/ 2N N总计总计22/ 2/ 2/ 2NNN2/ 2 1/ 2N NNN运算量减少了近一半 由于由于N=2 M ,所以所以 N/2仍为偶数仍为偶数, ,可以进一步把每个可以进一步把每个N/2点的序列再按其奇偶部分分解为两个点的序列再按其奇偶部分分解为两个N/4的子序列。的子序列。例如，例如，n n为偶数时的为偶数时的 N/2点分解为点分解为: :f N/4f N/4点点DFTDFT1, 1 , 0),()2(431Nlxlx1, 1 , 0),() 12(441Nlxlx进行进行N/4N/4点的点的DFT,DFT,得到得到444411233/41/200