第15章 达朗伯原理

1、第十五章第十五章 达朗伯原理达朗伯原理 达朗伯原理达朗伯原理 刚体惯性力系的简化刚体惯性力系的简化 引引 言言 前面介绍的动力学普遍定理，为解决质点系前面介绍的动力学普遍定理，为解决质点系动力学问题提供了一种普遍的方法。达朗伯原理动力学问题提供了一种普遍的方法。达朗伯原理为解决非自由质点系动力学问题提供了另一种普为解决非自由质点系动力学问题提供了另一种普遍的方法。这种方法的特点是：遍的方法。这种方法的特点是：用静力学研究平用静力学研究平衡问题的方法来研究动力学的不平衡问题衡问题的方法来研究动力学的不平衡问题，因此，因此这种方法又叫这种方法又叫动静法动静法。由于静力学研究平衡问题。由于静力学研究

2、平衡问题的方法比较简单，也容易掌握，因此动静法在工的方法比较简单，也容易掌握，因此动静法在工程中被广泛使用。程中被广泛使用。15.1达 朗 伯 原 理 一、质点的达朗伯原理一、质点的达朗伯原理 设质量为设质量为 的质点的质点M，沿图示轨迹运动，在某瞬，沿图示轨迹运动，在某瞬时作用于质点时作用于质点M上的主动力为上的主动力为 ，约束反力为，约束反力为 ，其，其加速度为加速度为 。mFNaMFgFNa 根据动力学基本方程有根据动力学基本方程有NFam将上式改写成将上式改写成0)(amNF令令amFg于是，假想于是，假想 是一个力，称之为质点的是一个力，称之为质点的惯性力惯性力。 的的大小等于质点的

3、质量与其加速度大小的乘积，方向与大小等于质点的质量与其加速度大小的乘积，方向与其加速度的方向相反其加速度的方向相反。gFgF则有则有0gFNF即：即：在质点运动的任一瞬时，作用于质点上的主动在质点运动的任一瞬时，作用于质点上的主动力、约束反力和假想加在质点上的惯性力构成形式力、约束反力和假想加在质点上的惯性力构成形式上的平衡力系上的平衡力系。这就是。这就是质点的达朗伯原理质点的达朗伯原理。15.1达 朗 伯 原 理 例例1MFgFgmNrO 球磨机的滚筒以匀角速度 绕水平轴O转动，内装钢球和需要粉碎的物料，钢球被筒壁带到一定高度脱离筒壁，然后沿抛物线轨迹自由落下，从而击碎物料，如图。设滚筒内壁

4、半径为 ，试求钢球的脱离角 。r 解：以某一尚未脱离筒壁的钢球为研究对象，受力如图。 钢球未脱离筒壁前，作圆周运动，其加速度为0a2ran惯性力 的大小为gF2mrFg 假想地加上惯性力，由达朗伯原理0nF0cosgFmgN15.1达 朗 伯 原 理 例例1解得：)cos(2grmgN 这就是钢球在任一位置 时所受的法向反力，显然当钢球脱离筒壁时， ，由此可求出其脱离角 为0N)arccos(2gr15.1达 朗 伯 原 理 二、质点系的达朗伯原理二、质点系的达朗伯原理 设非自由质点系由设非自由质点系由 个质点组成，其中第个质点组成，其中第 个个质点的质量为质点的质量为 ，其加速度为，其加速度

5、为 ，作用在此质点上，作用在此质点上的外力的合力为的外力的合力为 ，内力的合力为，内力的合力为 。在该质点上。在该质点上假想地加上惯性力假想地加上惯性力 ，则由质点的达朗伯，则由质点的达朗伯原理，有原理，有niimiaiiFeiFiigiamF0giiieiFFF), 2 , 1(ni 0giiieiFFF0)()()(giOiiOeiOFmFmFm 对整个质点系来讲，有对整个质点系来讲，有 个这样的力系，将这个这样的力系，将这些力系叠加，将构成一个任意力系，此任意力系亦些力系叠加，将构成一个任意力系，此任意力系亦为平衡力系。由静力学知，任意力系的平衡条件是为平衡力系。由静力学知，任意力系的平

6、衡条件是力系的主矢和对任意点力系的主矢和对任意点O的主矩分别等于零，即的主矩分别等于零，即n15.1达 朗 伯 原 理 二、质点系的达朗伯原理二、质点系的达朗伯原理 因为质点系的内力总是成对出现，并且彼此等因为质点系的内力总是成对出现，并且彼此等值反向，因此有值反向，因此有 和和 ；而剩下的；而剩下的外力系又可分为作用在质点系上的主动力系和外约外力系又可分为作用在质点系上的主动力系和外约束反力系。设束反力系。设 、 分别为作用在第分别为作用在第 个质点上的个质点上的主动力的合力和外约束反力的合力，于是的得主动力的合力和外约束反力的合力，于是的得0iiF0)(iiOFmiFiNi0giiiFNF

7、0)()()(giOiOiOFmNmFm即：即：在质点系运动的任一瞬时，作用于质点系上在质点系运动的任一瞬时，作用于质点系上的所有主动力系，约束反力系和假想地加在质点的所有主动力系，约束反力系和假想地加在质点系上的惯性力系构成形式上的平衡力系系上的惯性力系构成形式上的平衡力系。这就是。这就是质点系的达朗伯原理质点系的达朗伯原理。15.1达 朗 伯 原 理 例例2 重P长 的等截面均质细杆AB，其A端铰接于铅直轴AC上，并以匀角速度 绕该轴转动，如图。求角速度 与角 的关系。lACBydnagFdABAXAYPgFd 解：以杆AB为研究对象，受力如图。 杆AB匀速转动，杆上距A点 的微元段 的加

8、速度的大小为d2)sin(na 微元段的质量 。在该微元段虚加惯性力 ， 的大小为dglPdm gFdgFddglPdglPadmdFngsin)sin(2215.1达 朗 伯 原 理 例例2 于是整个杆的惯性力的合力的大小为ABAXAYPgFdsin2sin202lgPdglPdFFlgg 设力 的作用点到点A的距离为 ，由合力矩定理，有gFdlggdFdF0)cos()cos(即llgPdglPdl32sin2sin2022 假想地加上惯性力，由质点系的达朗伯原理0)(FmA0sin2coslPdFg15.1达 朗 伯 原 理 例例2代入 的数值，有gF0) 1cos32(sin22glP

9、l故有或0)23arccos(2lg15.2刚体惯性力系的简化 下面用静力学力系简化理论研究刚体运动时惯下面用静力学力系简化理论研究刚体运动时惯性力系的简化结果。性力系的简化结果。 首先研究惯性力系的主矢。设刚体内任一质首先研究惯性力系的主矢。设刚体内任一质点点 的质量为的质量为 ，加速度为，加速度为 ，刚体的质量为，刚体的质量为M，质心的加速度为质心的加速度为 ，则惯性力系的主矢为，则惯性力系的主矢为iMimiaCaiiiigigamamFF)(由质心的矢径表达式知由质心的矢径表达式知 ，将其两边对时，将其两边对时间求两阶导数，有间求两阶导数，有CiirMrmCiiaMam于是有于是有Cga

10、MF此式表明：无论刚体作什么运动，此式表明：无论刚体作什么运动，惯性力系的主惯性力系的主矢都等于刚体的质量与其质心加速度的乘积，方矢都等于刚体的质量与其质心加速度的乘积，方向与质心加速度的方向相反向与质心加速度的方向相反。15.2刚体惯性力系的简化 对于惯性力系的主矩，一般来说，除与刚体对于惯性力系的主矩，一般来说，除与刚体运动形式有关外，还与简化中心的位置有关。下运动形式有关外，还与简化中心的位置有关。下面就刚体平动、定轴转动和平面运动讨论惯性力面就刚体平动、定轴转动和平面运动讨论惯性力系的简化结果。系的简化结果。 一、刚体作平动一、刚体作平动irCiMCaiagFgiF 如图所示，将惯性力

11、系向刚体的如图所示，将惯性力系向刚体的质心质心C简化，惯性力系的主矩为简化，惯性力系的主矩为CCCiiiiigCarMarmamrM)()(Cr式中，式中， 是质心是质心C的矢径，由于的矢径，由于C为简化中心，显为简化中心，显然然 ，于是有，于是有0Cr0gCM综上可得结论：综上可得结论：平动刚体的惯性力系，可以简化为平动刚体的惯性力系，可以简化为一个通过质心的合力一个通过质心的合力 ，合力，合力 的大小等于刚体的的大小等于刚体的质量与其质心加速度大小的乘积，方向与质心加速质量与其质心加速度大小的乘积，方向与质心加速度的方向相反度的方向相反。gFgF15.2刚体惯性力系的简化 二、刚体绕定轴转

12、动二、刚体绕定轴转动 如图所示，具有质量对称面且如图所示，具有质量对称面且绕垂直于质量对称面的轴转动的刚绕垂直于质量对称面的轴转动的刚体。其上任一点的惯性力的分量的体。其上任一点的惯性力的分量的大小为大小为OgOMCCanCaiMianiaginFgiFgFgnFirginFiiiigirmamF2iiniiginrmamF方向如图所示。该惯性力系对转轴方向如图所示。该惯性力系对转轴O的主矩为的主矩为)()(giOginOgOFmFmM由于由于 通过通过O点，则有点，则有 ，所以，所以ginF0)(ginOFm)()()(2iiiiiigigiOgOrmrrmrFFmM故OgOJM15.2刚体

13、惯性力系的简化 综上可得结论：综上可得结论：定轴转动刚体的惯性力系，可以简定轴转动刚体的惯性力系，可以简化为通过转轴化为通过转轴O的一个惯性力的一个惯性力 和一个惯性力偶和一个惯性力偶 。力力 的大小等于刚体的质量与其质心加速度大小的的大小等于刚体的质量与其质心加速度大小的乘积，方向与质心加速度的方向相反；力偶乘积，方向与质心加速度的方向相反；力偶 的矩的矩等于刚体对转轴的转动惯量与其角加速度大小的乘等于刚体对转轴的转动惯量与其角加速度大小的乘积，转向与角加速度的转向相反。积，转向与角加速度的转向相反。gFgFgOMgOM 现在讨论以下三种特殊情况：现在讨论以下三种特殊情况： 2、当刚体作匀速

14、转动时，、当刚体作匀速转动时， ，若转轴不过，若转轴不过质心，惯性力系简化为一惯性力质心，惯性力系简化为一惯性力 ，且，且 ，同时力的作用线通过转轴同时力的作用线通过转轴O。0gFCgaMF0gF 1、当转轴通过质心、当转轴通过质心C时，时， ， ， 。此时惯性力系简化为一惯性力偶。此时惯性力系简化为一惯性力偶。0CaCgCJM 3、当刚体作匀速转动且转轴通过质心、当刚体作匀速转动且转轴通过质心C时，时， ， ，惯性力系自成平衡力系。，惯性力系自成平衡力系。 0gF0gCM15.2刚体惯性力系的简化 三、刚体作平面运动三、刚体作平面运动CagFgCM 如图所示，设刚体作平面运动，如图所示，设刚

15、体作平面运动，取质心取质心C为基点，这时可将刚体的作平为基点，这时可将刚体的作平面运动分解为随同质心的平动和绕质面运动分解为随同质心的平动和绕质心的转动。将随同质心平动部分的惯心的转动。将随同质心平动部分的惯性力系向质心性力系向质心C简化，得简化，得0gCgMaMF平动平动和将绕质心轴转动部分的惯性力系向质心将绕质心轴转动部分的惯性力系向质心C简化，注简化，注意到转轴通过质心，得意到转轴通过质心，得CggJMF转动转动和0 将以上两式合并，即为刚体作平面运动时，惯将以上两式合并，即为刚体作平面运动时，惯性力系向质心性力系向质心C简化的结果简化的结果CgggaMFFF转动平动CgggCJMMM转

16、动平动15.2刚体惯性力系的简化综上可得结论：综上可得结论：平面运动刚体的惯性力系，平面运动刚体的惯性力系，可以简化为通过质心可以简化为通过质心C的一个惯性力的一个惯性力 和一和一个惯性力偶个惯性力偶 。力。力 的大小等于刚体的质量的大小等于刚体的质量与其质心加速度大小的乘积，方向与质心加与其质心加速度大小的乘积，方向与质心加速度的方向相反；力偶速度的方向相反；力偶 的矩等于刚体对过的矩等于刚体对过质心轴的转动惯量与其角加速度大小的乘积，质心轴的转动惯量与其角加速度大小的乘积，转向与角加速度的转向相反。转向与角加速度的转向相反。gFgFgCMgCM 在用达朗伯原理求解刚体动力学问题时，在用达朗

17、伯原理求解刚体动力学问题时，应首先分析刚体的运动形式，正确虚加惯应首先分析刚体的运动形式，正确虚加惯性力和惯性力偶，然后再列平衡方程求解。性力和惯性力偶，然后再列平衡方程求解。15.2刚体惯性力系的简化 例例3amh1lABD30 如图所示，均质杆AB的质量 ，长 ，A点以铰链连接于小车上。不计摩擦，当小车以加速度 向左运动时，求D处和铰A处的约束反力。kgm40ml4215sma 解：以杆为研究对象，受力如图，建立如图坐标。ABDgFagmDNxyAXAY 杆作平动，惯性力的大小为 。maFg 假想地加上惯性力，则由质点系的达朗伯原理0)(FmA030sin2230cos2lFlNlmggD

18、于是得)30sin30cos(agmND15.2刚体惯性力系的简化 例例3ABDgFagmDNxyAXAY0 X030sinDgANFX0Y030cosmgNYDA代入数据，解之得：NXA9 .617NYA82.357NND47.3915.2刚体惯性力系的简化 例例4ABMlC 均质悬臂梁AB长l，重W，B端与重G、半径为r的均质圆轮铰接。在圆轮上作用一矩为M的力偶，借助于细绳提升重为P的重物C。试求固定端A的约束反力。BMCGPaBXBYgBMgCF 解：先以轮和重物为研究对象，受力如图。 轮的惯性力系向转轴简化，则agGrrargGJMBgB2212 物体C的惯性力的大小为agPFgC方向

19、如图所示。 假想地加上惯性力，则由质点系的达朗伯原理15.2刚体惯性力系的简化 例例4BMCGPaBXBYgBMgCF0)(FmB0)(gCgBFPrMM 将 ， 代入，解之得gBMgCFgPGrrPMa)2()(2 再以整体为研究对象，受力如图，建立如图坐标。BMCGPaAXBYgBMgCFAAMW 假想地加上惯性力，则由质点系的达朗伯原理0 X0AX0Y0gCAFPGWY0)(FmA0)(2rlFPMMGllWMgCgBA15.2刚体惯性力系的简化 例例4 将 ， 及 代入，解得gBMgCFaPPGrrPMPGWYA)2()(2PPGrMrGrlGPGrPMMGWlMA)2(2)()2()

20、()2(15.2刚体惯性力系的简化 例例5 质量为 ，长为 的均质直杆AB的一端A焊接于半径为 的圆盘边缘上，如图。今圆盘以角加速度 绕其中心O转动。求圆盘开始转动时，AB杆上焊接点A处的约束反力。mlrrABlO 解：以杆为研究对象，受力如图，建立如图坐标。 杆AB作定轴转动，在开始转动的瞬时，质心的加速度为22)2(lrOCaaCC 将惯性力系向转轴简化，惯性力的大小为ABOxygmCCaAXAYAMgOMgF15.2刚体惯性力系的简化 例例522)2(lrmmaFCg 惯性力偶的矩为ABOxygmCCaAXAYAMgOMgF)31()4(121)(222222mrmllrmmlmOCJJ

21、MCOgO方向如图所示。 假想地加上惯性力和惯性力偶，则由质点系的达朗伯原理0 X0singAFX0Y0cosmgFYgA15.2刚体惯性力系的简化 例例5ABOxygmCCaAXAYAMgOMgF0)(FmA0sin2rFlmgMMggOA由几何关系4sin22lrr42cos22lrl将已知数值代入以上三式，解之得mrXAmlmgYA223121mlmglMA15.2刚体惯性力系的简化 例例6Cr 重P、半径为r的均质圆轮沿倾角为 的斜面向下滚动。求轮心C的加速度，并求圆轮不滑动的最小摩擦系数。 解：以圆轮为研究对象，受力如图，建立如图坐标。CrPNFCagFgCMxy 圆轮作平面运动，轮

22、心作直线运动，则raC 将惯性力系向质心简化，惯性力和惯性力偶矩的大小为rgPFg22rgPMgC方向如图所示。15.2刚体惯性力系的简化 例例6 假想地加上惯性力和惯性力偶，则由质点系的达朗伯原理CrPNFCagFgCMxy0 X0cosPN得cosPN 0Y0singFFP0)(FmC0gCMFr解之得sin32gaCsin3PF 由于圆轮没有滑动，则 ，即fNF cossin3PfP由此得tgf31所以，圆轮不滑动时，最小摩擦系数tgf31min15.2刚体惯性力系的简化 例例7 均质杆的质量为m，长为2l，一端放在光滑地面上，并用两软绳支持，如图所示。求当BD绳切断的瞬时，B点的加速度

23、AE绳的拉力及地面的反力。 解：以AB杆为研究对象，在BD绳切断的瞬时，受力如图，建立如图坐标。30ABEDCBaBaCBa30ABECTgmNxygeFgrFgCM 杆AB作平面运动，如图，以B点为基点，则C点的加速度为nCBCBBCaaaa其中laCB02lanCB 将惯性力系向质心C简化，得一惯性力 ，其中 ， 和一惯性力偶，其力偶的矩为grgegFFFBgemaFmlFg15.2刚体惯性力系的简化 例例730ABECTgmNxygeFgrFgCM2231)2(121mllmJMCgC方向如图所示。 假想地加上惯性力和惯性力偶，则由质点系的达朗伯原理0 X030cosggeFFT0Y03

24、0sinmgFNg即030sinmgmlN（2）0)(FmC030sin30cosgCMNlTl即030cosmlmaTB（1）即03130sin30cos2mlNlTl（3）15.2刚体惯性力系的简化 例例730ABBaBaAaABa 以B为基点，则A点的加速度为nABABBnAAaaaaa其中02AEvaAnA022lanAB 将上式投影到本 轴上得30cos0ABBaa 即30cos2laB（4）联立求解（1）（4）式，得ggaB833302sin43lglaB8330cos2mgmaTB163321mgamtgmgNB1613302115.2刚体惯性力系的简化 例例8ABrRO 如图所

25、示，均质杆AB长为l，重为Q，上端B靠在半径为R的光滑圆弧上（R=l ），下端A以铰链和均质圆轮中心A相连，圆轮重P，半径为r，放在粗糙的地面上，由静止开始滚动而不滑动。若运动开始瞬时杆与水平线所成夹角 ，求此瞬时A点的加速度。45 解：设系统运动的初瞬时，圆轮中心的加速度为 ，角加速度为 ；AB杆的角加速度为 ，质心C的加速度为 、 。如图。AaraAACxaCya 轮和杆均作平面运动，将惯性力系分别向质心简化，则惯性力和惯性力偶的矩的大小分别为ABrROCAaACxaCyaBa15.2刚体惯性力系的简化 例例8 ABrROCAaACxaCyaAgAagPFrargPMAgA221CxgCxagQFCygCyagQF2121lgQMgC 先以整体为研究对象，受力如图。假想地加上惯性力和惯性力偶，则由质点系的达朗伯原理ABCAaACxaCyaFANKBNPQgAFgAMgCyFgCxFgCM0)(FmK0)sin2(cos2cos2)sin(gAgAgCgCxgCyBMrFMlrFlQlFrlN(1)15.2刚体惯性力系的简