第5章分群理论2014

1、1第第5 5章章 分群扩散理论分群扩散理论主讲主讲 张竞宇张竞宇核科学与工程学院反应堆工程教研室核科学与工程学院反应堆工程教研室2单群扩散理论的不足单群扩散理论的不足u单群模型认为所有的中子能量相等，单群模型用到的群常单群模型认为所有的中子能量相等，单群模型用到的群常数（扩散系数、吸收截面等）是对所有能量中子的平均值。数（扩散系数、吸收截面等）是对所有能量中子的平均值。而堆内中子能量分布高达而堆内中子能量分布高达9个数量级，在如此宽的范围内个数量级，在如此宽的范围内对反应截面求平均是比较困难的。对反应截面求平均是比较困难的。 单群扩散理论在导出临界条件、临界堆内中子通量密度单群扩散理论在导出临

2、界条件、临界堆内中子通量密度分布、几何曲率、材料曲率等基本概念时非常有用，也能分布、几何曲率、材料曲率等基本概念时非常有用，也能用于定量估算，但要用于反应堆工程设计，其精度是不够用于定量估算，但要用于反应堆工程设计，其精度是不够的，只能算是一种粗糙的简化模型；的，只能算是一种粗糙的简化模型；3 单群理论完全不区分中子能量，因而不能揭示与能量有关单群理论完全不区分中子能量，因而不能揭示与能量有关的物理现象。的物理现象。 例如，对于有反射层的反应堆，快中子与热中子分布有很大差异，例如，对于有反射层的反应堆，快中子与热中子分布有很大差异，单群模型无法反映这一事实，即使其群常数平均的很好也无济于事单群

3、模型无法反映这一事实，即使其群常数平均的很好也无济于事4主要内容主要内容与能量相关的中子扩散方程分群扩散理论建立多群中子扩散方程群常数的计算双群模型及其求解多群扩散方程及其数值解法55.1 与能量相关的中子扩散方程和分群扩散理论与能量相关的中子扩散方程和分群扩散理论5.1.1 与能量相关的中子扩散方程与能量相关的中子扩散方程损失率泄漏率产生率ttErn),(000),(),()()(),(),(),(),()(),(),()()()(dEtErErEEtErQdEtErEErdEtErEEfErtErQQQSffsssfs裂变源散射源外源产生率),(),(),(),(tErDtErgradEr

4、divDtErdivJ泄漏率),(),(),(),(),(),(satErErtErErtErErt散射损失率吸收损失率损失率600( ,)( ,) ( ,)( ,) ( ,)( )()( ,) ( ,)tsfDr Er Er Er EEr E dEEEr Er E dE稳态无外源中子扩散方程稳态无外源中子扩散方程),(),(),()()(),(),(),(),(),(),(100tErSdEtErErEEdEtErEErtErErtErDttErfst00),(),()()(),(),(),(),(),(dEErErEkEdEErEErErErErDfeffst与能量相关的中子扩散方程与能量

5、相关的中子扩散方程任意系统稳态中子扩散方程任意系统稳态中子扩散方程有效增殖因子有效增殖因子keff也称为方程的特征值也称为方程的特征值(5-1)(5-2)7分群扩散理论的基本思想是：把随能量连续变化的扩散方程把随能量连续变化的扩散方程变成变成G G个与能量无关的扩散方程个与能量无关的扩散方程（每个能群一个）（每个能群一个）8E0E1E2Eg-1EgEGEG-1EEg=Eg-1-Eg第1群第G群第g群l 中子能量区域按能量大小划分为G个能区，最高能量记为E0，最低能量记为EG，每一个能量区间称为一个能群能群；l 第g个能群为(Eg-1，Eg);l 能群编号g=1, ，G随中子能量降低而增加。9G

6、gdEErErEdEEkdEErEErdEdEErErdEErErDfEeffsEEtEgggg, 1,),(),()()(1),(),(),(),(),(),(00 在每一个能量区间对稳态中子扩散方程进行积分，可得G个不含能量变量E的扩散方程，其中第第g群扩散方程群扩散方程为(5-3)式中Eg=Eg-1-Eg为积分微分方程，难以求解为积分微分方程，难以求解! 怎么办？怎么办？10等效原则群通量和群常数的定义群通量和群常数的定义 既要使群扩散方程是常系数的常微分方程； 又要使得用它们算出的反应率与原先等效。11110)(),(),(),(),(gggEGggggsEGgsErdEErEErdE

7、dEErEErdE),(),(1ggEsEgggdEErEErdE1),(),(1,ggEEtggtdEErEr11),(),(),(ggggEEEEgdEErdEErErDD1),()(ggEEgdEErr1),(),(1ggEEggdEErErDD引入关于能群引入关于能群g的相关物理量的定义的相关物理量的定义g群中子通量密度群中子通量密度g群总截面群总截面g群扩散系数群扩散系数或者群转移截面群转移截面 g g散射源项散射源项(5-4)(5-5)(5-6)(5-7)(5-8)(5-9)12gEfggfdEErErE),(),()(1)(gEgdEE)(GgrkrrrDGgGgggfeffgg

8、ggggtgg, 2 , 1)()()()()(11,g群中子产生截面群中子产生截面g群中子裂变谱群中子裂变谱根据以上定义的物理量，得多群扩散方程多群扩散方程(5-10)(5-11)(5-12)参数：参数：Dg、 t,g、 g g 、 g 、(f)g 等称为等称为群常数群常数。13只要群常数已知，分群扩散方程可以很容易地解出来。但是群常数的计算要要比解扩散方程复杂。1411,g g ( ,) ( ,)1( ,) ( ,)( ,)( ,)gggggEtEt gtEEEr Er E dEr Er E dEr E dEr E例如，要计算第群的总截面就需要知道此能群的，而这正是我们想要通过求解扩散方程

9、得到的量。15循 环欲知g（r) 需要求解分群扩散方程；欲解分群扩散方程，需知道群常数；欲计算群常数，需知道此能区的（r,E) 。如何打破僵局？求群常数时，改用中子能谱作为权重函数中子能谱作为权重函数。1611,g g E)( ,)( ) (1( ) ( )( )( )gggggEtEt gtEEEr EEEdEEE dEE dEE例如，计算第群的总截面时，用（代替）而反应堆内的中子能谱我们是大致知道的。其它群常数的计算也都改用能谱来权重。17热堆的能谱 高能段：裂变谱中能段：费米谱低能段：麦克斯韦谱185.1.3 群常数的计算群常数计算通常采用“两步近似法两步近似法”：1. 先制作与具体反应

10、堆能谱无关的多群微观常数多群微观常数库2. 根据具体问题，在多群库的基础上，计算具体反应堆的中子能谱和少群常数少群常数ENDF/B库处理程序NJOY多群常数库柵 元或组 件多群能谱 计算少群常数库堆芯扩散计算19,( ),( )x gnn gx gnn grxa fr( )( )nnnn g ngggnngrr,1( ) ( ), ,nx nxEnEE dExa f s多群常数多群常数l 一般能群在25群以上l 多群常数计算通常忽略中子通量密度随空间的变化，即采用一个近似的无限介质无限介质能谱能谱（高能区、中能区、热能区能谱）来代替实际能谱l 多群数据库通常与具体堆型、系统成分及几何形状等无关

11、l 多群数据库通常不适用于堆芯计算：计算耗时少群常数少群常数l 一般能群在24群l 利用多群微观常数库进行输运计算多群微观常数库进行输运计算，求中子通量密度分布l 实际堆芯物理计算通常采用少群常数作扩散计算少群常数作扩散计算( )nr205.2 双群扩散理论双群扩散理论双群：热群、快群双群：热群、快群分界能分界能Ec：0.61eV(水堆水堆)、2.5eV(高温气冷堆高温气冷堆)Ec以下是热群，以下是热群，Ec以上是快群以上是快群ccEEEdEErrdEErr021),()(),()(0快群中子通量密度快群中子通量密度热群中子通量密度热群中子通量密度21裸堆裸堆的双群扩散方程的双群扩散方程222

12、111 1222221 11200 ppkDDp移 从快群的截面 热群的吸收截面逃出脱共振吸收概率22232425262722 1KKB M此时就得到所谓的改进单群临界公式28为何改进单群临界公式优于单群公式？因为考虑了快中子慢化过程中的泄漏的影响因为考虑了快中子慢化过程中的泄漏的影响。29)()()()()(1)()(, 1, 21, 2, 2, 22, 2, 2, 2, 1, 1, 1, 12, 1rrrDrrkrrDccccaccccfccfeffccrcc双群方程双群方程（一侧有反射层的双区均匀反应堆）（一侧有反射层的双区均匀反应堆）1. 芯部双群方程芯部双群方程式中r,c=a1,c+

13、12(5-18)(5-19)2. 反射层的双群方程反射层的双群方程)()()(0)()(, 1, 21, 2, 2, 22, 2, 1, 12, 1rrrDrrDrrrrarrrrrrr(5-20)(5-21)305.2.2 双群方程的解析解双群方程的解析解)()(1)(, 2, 2, 22, 2, 21, 1rrDrccacccc0)(1)(11)(, 22, 222, 24rLkrLrccccccceffacfctccfcrctcaccctcckkkDLD1)()(2, 2, 1, 21, 1, 1, 2, 22, 1, 11. 芯部方程的解方程(5-19)可以改写为将该方程代入(5-18

14、)式得只含热群通量密度2,c(r)的四阶偏微分方程其中31022B)()()(, 22, 2,2, 1, 21, 2,2, 1, 1caccrcccfcrccfeffBDBDBDk2222222222) 1(4111121) 1(4111121ccccccccccccLkLLLkLL0, 22222c采用因式分解法得同理，若消去2,c,可得0, 12222c(5-26)(5-27)式中(5-28)(5-29) 对于临界反应堆，k大于1，2、2为正的实数。由(5-26)及(5-27)看出， 1,c及2,c均满足波动方程 其中B2等于2、-2。用-B2代替2，则连立求解(5-18)、(5-19)可

15、得双群理双群理论的增殖因子论的增殖因子(5-30)(5-31)320)()(0)()(2222rYrYrXrXcacrccfk, 2, 21, 2)(1)1)(1 (222BBLkkcceff如果假设快群不发生裂变，则f1,c=0，则上式可简化为其中(5-32)(5-33)方程(5-26)及(5-27)的解是下列两个波动方程组解的线性组合1,c, 2,c的一般解可写为)()()()()()(, 2, 1rYCrXArrCYrAXrcc(5-34)(5-35)(5-36)(5-37)33)()()(, 21, 22, 2rAXrXArXADccac)()()(22, 22rXArXArc12,1

16、22,2,caccAsAD)()()()(, 2, 1rXArrAXrcc和可以证明：4个待定常数个待定常数A,C, A, C中只有两个是独立的中只有两个是独立的。都是方程的允许解，因而，根据方程(5-19)可得令 s1=A/A，由上式可得(5-38)同理可得12,222,2,caccCsCDs1、s2叫做耦合系数，其值由系统材料属性决定，因此：待定常数待定常数A,C, A, C中中只有两个是独立的只有两个是独立的。(5-39)3422222222;HBBBzzz1,2,12( )( )( )( )( )( )ccrAX rCY rrs AX rs CY r芯部中子通量密度的普遍解芯部中子通量

17、密度的普遍解为(5-40)(5-41)例如，对于侧面带有反射层的圆柱形反应堆，中子通量密度为zBrCIsrAJszrzBrCIrAJzrzczccos)()(),(cos)()(),(0201, 200, 1其中352. 反射层方程的解反射层方程的解2,23 1,( )( )( )rrrGZrsr)()(1, 1rFZrr0)()()(, 1, 2, 21, 12, 23, 123rDrksrsrrrrrr2, 12, 2, 2, 2131rrrrkkDs0)()()(0)()(, 1, 2, 21, 22, 2, 22, 12, 1, 12rDrkrrkrrrrcrrrrr(5-22)(5-

18、23)方程(5-22)为齐次方程，解为(5-42)方程(5-23)为非齐次方程，解可写为(5-43)方程(5-43)代入方程(5-23)得整理得对于侧面带反射层的圆柱形反应堆，反射层中子通量密度为1,1,02,2,0( , )()cos( , )()cosrrzrczr zFK k rB zr zGK krB z,21,1,2,22,2,r rrrarrrkDkD2211,1( )( )0rZ rk Z r2222,2( )( )0rZrkZr2221,1,2222,2,rrzrrzkkBkkB；2=()zBH2365.2.3 双群临界方程及中子通量密度分布双群临界方程及中子通量密度分布 00

19、00221232111213211ZGZFsYCsXAsZFYCXAZGZFsYCsXAsZFYCXAcrcrDDDD, 2, 22, 1, 11, , 2, 2, 2, 2, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 1, 1rrccrrccrcrcDDDD1. 双群临界方程双群临界方程双群临界方程的四个边界条件方括号表示函数取芯部与反射层交界面上的值。根据方程(5-40),(5-41,(5-42),(5-43),根据边界条件得其中(5-45)(5-46)(5-47)(5-48)37 000221322111213211ZZsYsXsZYXZZsYsXsZYX为使方程组有非零解，根据克莱姆法则克莱

20、姆法则，系数判别式须为零，可得双群临界方程双群临界方程(5-51)(122球形裸堆RLk)(405. 21222圆柱体裸堆RHLk(4-46)(4-47)1cot()1cothcccrrrRTDB RB RDLL(4-62)中子通量密度分布中子通量密度分布38395.3 多群扩散方程的数值解法多群扩散方程的数值解法l 解析方法仅适用于简化模型的求解（两群、两区、一侧有反射层）l 数值方法是实际工程中唯一有效的求解扩散方程的方法l 多群扩散方程是一个齐次特征值问题，不能直接离散求解，通常采用“外外-内迭代方法内迭代方法”求解。l 外迭代（源迭代）外迭代（源迭代）：通过迭代求特征值的过程l 内迭代

21、内迭代：对外迭代过程中出现的扩散方程进行数值求解的过程405.3.1 源迭代法源迭代法)0(eff)0(k)( 、rQGgggfGgeffggggggtggrrQGgrQkrrrD11,)()()(, 2 , 1)()()()(无外源情况下，多群扩散方程多群扩散方程可写为(5-52)(5-53)源迭代法过程源迭代法过程：1. 假定一个初始裂变源分布及初始特征值，即2. 初始裂变源分布及初始特征值代入(5-52)，从高能到低能，逐群求解中子扩散方程，得中子通量密度分布g(1)。3. 将g(1)代入方程(5-53)，得第二代裂变中子源分布Q(1)(r)。4. 根据Q(1)(r)求得第二代特征值ke

22、ff(1)，得第二代迭代源项。5. 将第二代源项代入(5-52)求解，得下一代中子通量密度分布。6. 直到收敛。41GgnggfnnGgneffgngggnggtnggrrQGgrQkrrrD1)1()1()1(1)1()()(,)()()()(, 2 , 1)()()()(gngneffneffnkk)()(lim,lim1)()1()(neffneffneffkkk2)()1()()()()(maxrQrQrQnnnVr)(1)()2()2()1()1(rQkrQknneffnneff对第n次迭代(5-54)(5-55)根据keff的物理意义得(5-56)已经证明(5-57)收敛准则：收敛

23、准则：(1) 特征值收敛准则(2) 中子通量密度分布收敛准则(5-58)(5-59)42内迭代前面我们已经说过，解多群扩散方程是用前面我们已经说过，解多群扩散方程是用所谓所谓源迭代法源迭代法来做的，即预先设定一个源来做的，即预先设定一个源项和一个项和一个Keff。在计算每一群通量分布时，。在计算每一群通量分布时，源项是已知的。计算每一群通量分布时是源项是已知的。计算每一群通量分布时是用的也是迭代法，这个迭代过程称为用的也是迭代法，这个迭代过程称为内迭内迭代代。源迭代也称为为源迭代也称为为外迭代外迭代435.3.2 二维扩散方程的数值解法二维扩散方程的数值解法( )( )( ),1( )( )(

24、1)(1)1( )( )( ),1,2,( )( )( )nnnggr ggr gt gggggnnngggngeffDrrSrgGSrrQrk MiNiyyyyyxxxxx,1010)()()(rSrrDr计算中不考虑自低能群的向上散射(up-scattering)，方程(5-52)可写成(5-60)(5-61)(5-62)略去上下标(5-63)以二维（x,y）问题为例，讨论其解法。共有(N+1)(M+1)个节点，xi=xi+1-xi， yi=yi+1-yi),(),(),(),(),(yxSyxyxyyxDyxyxDxr对所取计算平面使用以下直线族(5-64)44二维网格(i, j)网格示

25、意图1, 1,411, 131212121ijijijjijijijjxyDyDxyDyDT1, 1, 12121,ijijixijijixxxxxii111222111112222211122( , )( , )(, )(, )jijiijijyxyxxyxyiix yTdyD x ydxD xyD xydyxxxx 对方程(5-64)在(i, j)节点附近积分，方程第一项为(5-65)应用以下近似公式得(5-66)454,14,3 ,12,111 ,1411, 1,12111,1, 1, 1,1,41/21/21TSdcbayxyxyxyxexyDyDcbyxDxDdaSedcbajijijijijijirjirjirjirjiijjjijijiijijijijijijijijijijijijijijijirjirjirjiryxyxyxyxT,14,3 ,12,111 ,34111,211,1,31422121jjijiiijjijiiiyxDxDyxDxDTjijijijiyxSyxSyxSyxS/p>