第05章砂垫层堵塞物

1、 插值方法是数值分析中的一个简单而又重要的插值方法是数值分析中的一个简单而又重要的方法，利用该方法可以通过函数在有限个点处的函方法，利用该方法可以通过函数在有限个点处的函数值求出其近似函数，进而估算出函数在其它点处数值求出其近似函数，进而估算出函数在其它点处的值的值插值方法在离散数据处理、函数的近似表示、插值方法在离散数据处理、函数的近似表示、数值微分、数值积分、曲线与曲面的生成等方面有数值微分、数值积分、曲线与曲面的生成等方面有重要的应用重要的应用;, 2, 1ni, )()()()(iixfxpii (1) (2)1 1、插值问题插值问题);(,),(),(2)1(222xfxfxf),(

2、,),(),()1(nnnxfxfxfn);(,),(),(1)1(111xfxfxf。1, 1, 0ii以上问题称作以上问题称作插值问题插值问题，nxxx,21称为称为插值节点插值节点，关于节点组关于节点组 的的插值函数插值函数, ,)(xfnxxx,21)(xp称称为为（2 2）称为）称为插值条件。插值条件。设已知函数设已知函数 在若干个点处的函数值和导数值在若干个点处的函数值和导数值( )f x构造一个简单易算的函数构造一个简单易算的函数 ，使其满足下述条件：，使其满足下述条件： ( )p xxyo xfy xpy 0 x1xnx1nxbxxan0nyyy,10,)(iiyxp即在给定点

3、即在给定点 处，处， 与与 是相等的是相等的。ix)(xf)(xpni, 1, 0 假设假设 是定义在区间是定义在区间 上的未知或复杂函数上的未知或复杂函数但已知该函数在互异点但已知该函数在互异点)(xf, ba处的函数值处的函数值(3)我们的目标是找一个多项式函数我们的目标是找一个多项式函数 ， )(xp 使之满足条件使之满足条件条件条件(3)(3)称为称为 插值条件插值条件。把把 称为称为 的的插值多项式插值多项式 , ,)(xp)(xf通常把通常把 称为称为插值节点插值节点, ,nnxxxx110)(xf称为称为被插函数被插函数，,ba称为称为插值区间插值区间，2012,nnaa xa

4、xa x0100nnaa xa x01 11nnaa xa x01nnnnaa xa x)(xpn设设 由插值条件可得由插值条件可得 0 xf 1xfnxf001101211,1nnnnnnnxxxxV x x xxxx ,)(iiiyxfxp其系数矩阵的行列式是 Vandermonde 行列式行列式，满足，满足这实际上就证明了代数多项式插值的这实际上就证明了代数多项式插值的存在唯一性存在唯一性。 jijixx 0101jiijnixx （所有次数不超过（所有次数不超过 的实系数代数多项式的实系数代数多项式因此，在因此，在nPn)(xp的集合）中有唯一的多项式的集合）中有唯一的多项式ni, 1

5、, 0,)(001yxp111)(yxp3、Lagrange 插值公式插值公式 的情形，的情形，10 xx 且且)(1xp 构造一次多项式构造一次多项式 ，满足条件：满足条件：1n考虑考虑,00yx11, yx给定给定)()()()(010010 xxxxyyyyyxp)(1由直线的两点式可知：由直线的两点式可知：，解之，得，解之，得10100101)()()()(yxxxxyxxxx 11001)(yxlyxlxp,)()()(1010 xxxxxl进一步可改写成进一步可改写成其中其中)()()(0101xxxxxl分别称其为关于节点分别称其为关于节点 和和 的的插值基函数插值基函数。0 x

6、1x,1)()()(101000 xxxxxl,0)()()(101110 xxxxxl,0)()()(010001xxxxxl1)()()(010111xxxxxl并且具有性质：并且具有性质：)(1xp111)(yxp从而，从而，满足插值条件条件：满足插值条件条件：001)(yxp)(1xp故故即为满足条件的一次即为满足条件的一次LagrangeLagrange插值插值多项式。多项式。 , 满足条件：满足条件：,)(002yxp,)(112yxp210 xxx 且且 )(2xp构造二次多项式构造二次多项式的情形，的情形，2n考虑考虑,00yx 2211,yxyx给定给定222)(yxp)(2

7、xp1)(00 xl进一步写成进一步写成)(xli2, 1, 0i其其中中 ，均为二次的插值基函数多项式，且满足，均为二次的插值基函数多项式，且满足0)(10 xl0)(20 xl1)(11xl0)(21xl1)(22xl0)(12xl0)(02xl下面我们下面我们 以为例来确定出：以为例来确定出：)(0 xl, )(0 xl, )(1xl)(2xl 00yxl 11yxl 22yxl10( )0l x)(0 xl1A)(0 xl由条件由条件l0(x1)=0, l0(x2)=0, 其中其中A为待定系数。为待定系数。 又由又由l0(x0)=1可得可得从而从而,同理同理,21xxxxA2010 x

8、xxxA)(21xxxx)(10 xxxx)(2xl可知可知x1, x2是二次函数是二次函数l0(x) 的两个根的两个根,)(2010 xxxx)(1202xxxx2010 xxxx1 0211012xxxxlxxxxx进而满足条件的二次进而满足条件的二次 Lagrange 插值插值多项式为：多项式为： 02010212yxxxxxxxxxp1210120yxxxxxxxx2120210yxxxxxxxx从而从而, 有有设设x0, x1 , , xn是是a, b上的上的n+1个互异点个互异点, 取取)(xlj(6)(1xn)()(1jnjxxx其中其中显然显然)(ijxl(7)lj(x)(j=

9、 0, 1, , n)称为称为 n 次次 Lagrange 插值基函数插值基函数。, 1, 0ji ji )(xpn0( )nj jjy l x就是多项式空间就是多项式空间Pn中满足插值条件中满足插值条件:iinyxp)(从而从而的唯一的多项式，的唯一的多项式， 称为称为n次次Lagrange插值多项式插值多项式。 j= 0, 1, , ni, j=0, 1, , n(i=0, 1, , n)011()()()()jjnxxxxxxxx011()()()()jjjjjjnxxxxxxxx101( )()()()nnxxxxxxx，并利用并利用 )(2xp计算出计算出 )5 . 1 (f的近似值

10、的近似值 解解 )(0 xl)(iixfy ix首先计算插值基函数：首先计算插值基函数： 12321求求 )(xf的二次的二次LagrangeLagrange插值多项式插值多项式 )(2xp2) 3)(2(21xx)3)(2(xx)31)(21 ()(1xl)32)(12()3)(1(xx)3)(1(xx)(2xl)23)(13()2)(1(21xx)2)(1(xx例例1 1)(xf的如下函数值：的如下函数值： 已知函数已知函数221xx于是 )5 . 1 (f1(2)(3)22xx (1)(3) ( 1)xx 1(1)(2) 22xx256xx 2332122 243xx232xx)5 .

11、1 (2p1.75. )(2xp 00yxl 11yxl 22yxl 在插值问题中，为了提高插值精度，有时需增加插值节在插值问题中，为了提高插值精度，有时需增加插值节点个数插值节点个数发生变化后，所有的点个数插值节点个数发生变化后，所有的Lagrange插值基函插值基函数都会发生变化，从而整个数都会发生变化，从而整个Lagrange插值多项式的结构发生变插值多项式的结构发生变化，这在计算实践中是不方便的为了克服化，这在计算实践中是不方便的为了克服Lagrange插值多项插值多项式的缺点，能灵活地增加插值节点，使其具有式的缺点，能灵活地增加插值节点，使其具有“承袭性承袭性”，我，我们引进们引进N

12、ewton插值公式。插值公式。 4、Newton 插值公式插值公式，将基函数取作： nfff,10上的函数值在上的)(xf,ba1nnxxx,10设已知函数个互异插值节点(8) , 1)(0 x)()()(110jjxxxxxxx10),(jiixxnj, 2, 1则可将 次插值多项式写成如下形式：n)(xpn)()()(110010nnxxxxxxaxxaa(9)njjjxa0)(nifxpii, 1, 0,)(naaa,10其中待定系数由插值条件来确定 )()(0101xxaaxp00)(fxp11)(fxp)(01xp)(11xp1a)(1xp例如，1n时，由插值条件:可得，即 从而0a

13、0f)()(10110 xfxxaxf)()(01xfxf01xx )(0 xf)()()(00101xxxxxfxf xa00 xa11)(2xp2n时，应有2a由 得 )()()()(001010 xxxxxfxfxf)(102xxxxa)(22xp)(12022xxxxa)()()()(001010 xxxxxfxfxf)(2xf1212)()(xxxfxf)(02xx 0101)()(xxxfxf的一般表达式，我们给出均差的定义。 即)(22xp)(10 xxxx)()()()(001010 xxxxxfxfxf1212)()(xxxfxf)(02xx 0101)()(xxxfxf 实

14、际上，由于插值多项式的唯一性，Newton插值多项式只不过是Lagrange插值多项式的另一种表现形式，两者是相等的。为得到Newton插值多项式的一般表达式, 即 ,janj, 1 ,kixxf,kjixxxf,10kxxxf)(xfnxxx,10定义2 设已知 在互异节点 上的函数值， 称 为 关于)(xfkixx ,的一阶均差（差商）一阶均差（差商）。称 (11)ik ()( )kif xf xikxx ijki ,ijf x xikxx,jkf xx(12)kjixxx, 为 关于)(xf 的二阶均差（差商）。二阶均差（差商）。称 kxxx,10为 关于)(xf 的k阶均差（差商）阶均

15、差（差商）。 011,kf x xx0kxx12 ,kf x xx,10kxxxf101( )()()()kkxxxxxxx均差有如下性质：，其中101()()kjjkjf xx,10kxxxfkxxx,10,10kxxxf 对称性，即在中任意调换的位置时，均差的值不变, 即意味着上式求和的次序的改变，而其值不变。,01kxxxf,110kkxxxxfmxxf)(为自然数，则m3,10kxxxfmk , 0mk , 1mk 诸 的 m-k 次齐次函数，ix2若显然，因为由1，可以看出任何两个节点调换顺序，只是,10kxxxf),min(10kxxx4此处 内次可微，则)(xfkxxx,10),

16、(bak在包含的区间设)()(kfk。),max(10kxxx,510eeef2 ,2 ,2410f,510eeef练习练习2 ,2 ,2410f，求和解解: :3)()4(f! 43! 4! 4)()5(f! 5。01253)(234xxxxf若n次次Newton插值公式：插值公式： )(xpn!)(0 xf)(,010 xxxxf)(,10210 xxxxxxxf)()(,11010nnxxxxxxxxxf)()(,11010nnxxxxxxxxxf)(1xpn, 2)0(f为了便于计算均差，常利用如下形式生成的均差表：例2x,21xxf,32xxf0 x2x1x,3210 xxxxf)(

17、xf)(0 xf)(1xf)(2xf)(3xf,10 xxf,210 xxxf3x,321xxxf一阶均差二阶均差三阶均差已知, 3) 1 (f, 6)2(f ,11)3(f)(xpn)(0 xf,10 xxf,210 xxxf,10nxxxf注意：)(0 xx)(10 xxxx)()(110nxxxxxx求 关于上述)(xf节点组的三次插值多项式。)(3xp,11)3(f，5 1, 0f，12, 1, 0f，33, 2, 1, 0f解 首先利用均差表计算均差由上面的均差表可知，故所求的插值多项式为：x312361723611021303110)(xf236115012310253310133

18、17一阶均差二阶均差三阶均差)(3xp228323xxx5) 1( xx)2)(1(3xxx, 3)0(f例 3 已知,10) 1 (f,19)2(f求 关于上述节点组的插值多项式)(xf。)(xp,30)3(f, 2) 1(f, 5)2(f解 首先利用均差表计算均差x5102370131020102111)(xf523103215212035111157一阶均差二阶均差三阶均差231930912101911231930102791139110121100311，3 1, 2f，10, 1, 2f，0 1, 0, 1, 2f由上面的均差表可知，故所求的插值多项式为：)(3xp5362xx23x

19、2) 1(xx 插值余项插值余项)(xrn)(1xn定理定理2其中其中 的区间的区间 上上nxxx,10,ba若若 在包含着插值节点在包含着插值节点)(xf)()(xpxfn)(1xn)()1(nf) 1( n，ba，存在与存在与 有关的有关的1n,baxx 次可微，则对任意次可微，则对任意使得使得 ！(14)(0 xx)(1xx)(nxx第二部分第二部分 正交多项式正交多项式对于对于 上的连续函数上的连续函数 ，定义，定义内积内积：ba, xgxf、),(gfba)(xdxxgxf)()(其中可积函数其中可积函数(x)0（xa,b）是权函数。）是权函数。连续函数连续函数 和和 的内积满足：的

20、内积满足： xxfg)(、)(xh0),(ff ，当且仅当，当且仅当 时，时，0f;0),(ff（1 1）（2 2）),(gf),(gf（3 3）（4 4）。),(,),(hghfhgf;, fg;,gf 在在a,b上关于权函数上关于权函数 和和)(xf)(xg)(x正交正交。则称则称, 1通过通过Schmidt正交化构造正交多项式的具体作法如下：正交化构造正交多项式的具体作法如下：进行正交化即得正交多项进行正交化即得正交多项 若若 , 0),(gf正交多项式系正交多项式系 取多项式系取多项式系,x,nx式系：令式系：令 mbamdxxx,)(;, 1, 0m0( )1x ，ni, 2, 1取

21、取 )(xi011i112ixi1i12 iix 则则 构成构成正交多项式系正交多项式系。, 2, 1),(),(0ixxi)(0 x)(1x)(2x例例1 解解求 上关于 二次正交多项式族二次正交多项式族。 1, 11)(x1x101x012x223221101xx2032320102xx94342x13942x10111dxx232112dxx30113dxx0211dx110mxdxm下面验证下面验证 和和 俩俩相互正交。俩俩相互正交。、)(0 x)(1x)(2x事实上，事实上，),(10111 2x dx),(2012141319xdx001214319xdx1214329x dx),

22、(21dxxx11213942dxxx113398021112dxxx0( )1,x)(1x)(2x例例2 解解求 上关于 二次正交多项式族二次正交多项式族。 1, 1xx )(取0111dxxx101x011x23221101xx2021210101xx41212x12412x10111dxxx230113dxxxm110mx x dx正交多项式的一些重要性质：正交多项式的一些重要性质：性质性质 2 2 性质性质 3 3 性质性质2和性质和性质3是构造是构造Gauss型求积公式的重要依据型求积公式的重要依据性质性质 1 1 恰好是n次多项式，)(xn, )(0 x, )(1x)(xn,是 的

23、一组基底函数。nP)(xn在 内恰有 个互异零点。ba,n)(xn与次数低于 次的所有多项式正交。n),(iiyx)(xfy bxay第三部分第三部分 数据拟合的最小二乘法数据拟合的最小二乘法这些数据往往带有随机的误差，如果利用这些数据按插值法这些数据往往带有随机的误差，如果利用这些数据按插值法求求与实际不符的结果。与实际不符的结果。的一组数据的一组数据yx,假设有变量假设有变量的近似表达式，必然将误差带入函数关系式中，甚至可能得到的近似表达式，必然将误差带入函数关系式中，甚至可能得到函数关系函数关系), 1, 0(miyx,满足线性关系满足线性关系假设假设例如，例如，称为称为散点图）时，这些

24、点可能并不共线（但这些点又必然在直散点图）时，这些点可能并不共线（但这些点又必然在直线线bxay的周围），因此插值多项式不会是线性函数只能的周围），因此插值多项式不会是线性函数只能另另而在而在xOy坐标平面上将以这组数据为坐标的点描出来（所得图形坐标平面上将以这组数据为坐标的点描出来（所得图形bxay最小二乘法最小二乘法是处理这类数据拟合选办法确定关系式选办法确定关系式问题的好方法。问题的好方法。xybxay最小二乘法的几何意义最小二乘法的几何意义oiiiyymin02miibxay20)( (miniimiyxy), 1, 0(),(miyxii 设设 为给定的一组数据求一个函数为给定的一组

25、数据求一个函数使其满足使其满足简称简称最小二乘法最小二乘法，)( xymiiiyx0,为离散数据为离散数据的数据拟合的最小二乘法，数据拟合的最小二乘法， 显然，求解显然，求解等价于求等价于求)( ixy20)( (),(iimiyxybaE20)(iimiybxa),(*ba 的最小值点的最小值点)( xy为为最小二乘解最小二乘解。并称并称mi 0 令 得,00iimiybxa00iiiimiyxxbxa即iiybxa2,01iiybxa2,0ixmi 00miix20miix0miiy0miiixy进一步有，01mi0miixabbabaE,a,0baE,b,0称此方程组为称此方程组为法方程

26、组。法方程组。 写成矩阵形式为写成矩阵形式为1m0miix20miix0miixab0miiy0miiixyl 根据散点图中散点的分布情况或根据经验确定拟合根据散点图中散点的分布情况或根据经验确定拟合l 建立并求解法方程组。建立并求解法方程组。用最小二乘法做数据拟合问题的步骤是：用最小二乘法做数据拟合问题的步骤是：的曲线的类型；的曲线的类型；求拟合下列数据的最小二乘曲线求拟合下列数据的最小二乘曲线。bxay例例3 301234ixiy1 . 29 . 01 . 01 . 19 . 1法方程组为：法方程组为：解解540iix420iix40iixab40iiy40iiixy5103010ab1 . 08 . 9.02. 2 xy解得解得故所求直线方程是故所求直线方程是即b1a2.02xy01234ixiy1 . 29 . 01 . 01 . 19 . 1 以上讨论的是线性最小二乘拟合问题，即拟合函数是待定以上讨论的是线性最小二乘拟