反比例函数与几何图形的面积(公开课)

1、反比例函数与几何图形的面积新思路教育 教学目标：教学目标： （1 1）理解和掌握反比例函数）理解和掌握反比例函数 （k0k0）中）中k k的几何意义的几何意义 （2 2）能灵活运用函数图象和性质解决一些较综合的问题）能灵活运用函数图象和性质解决一些较综合的问题教学过程：教学过程： 让学生自己尝试在反比例函数的图象上任取一点让学生自己尝试在反比例函数的图象上任取一点P(xP(x、y)y)，过，过P P点分别向点分别向X X轴、轴、Y Y轴作垂线，从而探究求出两垂线与轴作垂线，从而探究求出两垂线与坐标轴形成的矩形的面积及三角形的面积，从而探究所形坐标轴形成的矩形的面积及三角形的面积，从而探究所形成

2、的矩形与三角形的面积与成的矩形与三角形的面积与k k的关系。的关系。xky 教学重、难点：教学重、难点： （1 1）重点：理解并掌握反比例函数中）重点：理解并掌握反比例函数中k k的几何意义；并的几何意义；并能利用它们解决一些综合问题能利用它们解决一些综合问题 （2 2）难点：学会从图象上分析、解决问题）难点：学会从图象上分析、解决问题学情分析：学情分析： （1 1）知识基础：本节课学习前，学生已经具有了函数概）知识基础：本节课学习前，学生已经具有了函数概念的知识积累，在上一节课的学习中，学生已经掌握了反念的知识积累，在上一节课的学习中，学生已经掌握了反比例函数的概念。比例函数的概念。 （2

3、2）学习方法：学生已经积累的学习函数的方法有：画）学习方法：学生已经积累的学习函数的方法有：画图象，观察图像归纳函数性质，了解函数变化规律和函数图象，观察图像归纳函数性质，了解函数变化规律和函数的变换趋势等，通过设置问题让学生自主探究。的变换趋势等，通过设置问题让学生自主探究。反比例函数中反比例函数中“k”k”的几何意义的几何意义x xy yO O如图，是如图，是y=6/xy=6/x的图象，点的图象，点P P是图象上的一个动点。是图象上的一个动点。1 1、若、若P(1P(1，y)y)，则四边形，则四边形OAPBOAPB的面积的面积_P P(1,y)(1,y)B BB BA AA AA AB B

4、A AP P(5,y)(5,y)P P(3,y)(3,y)2 2、若、若P(3P(3，y)y)，则四边形，则四边形OAPBOAPB的面积的面积_6663 3、若、若P(5P(5，y)y)，则四边形，则四边形OAPBOAPB的面积的面积_结论：从双曲线上任意一点向结论：从双曲线上任意一点向x x、y y轴分别作垂线段，两轴分别作垂线段，两条垂线段与两坐标轴所围成的长方形的面积条垂线段与两坐标轴所围成的长方形的面积= =k.想一想：若想一想：若P(xP(x，y)y)，则四边形，则四边形OAPBOAPB的面积的面积_6反比例函数与矩形面积 例例1. 1. 如图，如图，P P是反比例函数的图象上一点，

5、过是反比例函数的图象上一点，过P P点分别向点分别向x x轴、轴、y y轴作垂线，所得到的图中阴影部分的面积为轴作垂线，所得到的图中阴影部分的面积为6 6，求，求这个反比例函数的解析式。这个反比例函数的解析式。 解：解：设设P P点的坐标为（点的坐标为（x,y),x,y), 则则OA=x,AP=-yOA=x,AP=-y 矩形矩形OAPBOAPB的面积的面积S=6S=6 OA OAAP=6AP=6，即，即-xy=6-xy=6 这个反比例函数关系式为：这个反比例函数关系式为： P(x,y)Aoyx Bxy6思考：如果去掉上题图，将阴影部分的面积改为思考：如果去掉上题图，将阴影部分的面积改为“过过P

6、点的点的垂线和两坐标轴所围成的矩形的面积为垂线和两坐标轴所围成的矩形的面积为6”，本题该如何解，本题该如何解决？决？P(m,n)AoyxBP(m,n)AoyxB).( |,)2(如图所示如图所示则则垂足分别为垂足分别为轴的垂线轴的垂线轴轴分别作分别作过过矩形矩形knmAPOASBAyxPOAPB过反比例函数图象上任一点过反比例函数图象上任一点P P分别作分别作x x轴、轴、y y轴的垂线，垂足轴的垂线，垂足分别为分别为A,BA,B，它们与坐标轴形成的，它们与坐标轴形成的矩形面积矩形面积是是不变的。不变的。总结：总结：k的绝对值的几何意义的绝对值的几何意义 推广：反比例函数与三角形面积 例例2.

7、 2. 如图，点如图，点A A在反比例函数在反比例函数 图象上，图象上，ABAB垂直于垂直于x x轴，垂足为轴，垂足为B.B.求求OABOAB的面积。的面积。 解解：设设A A点坐标为（点坐标为（x x，y y），），点点A A在在 图象上图象上xy=-8xy=-8，xyxy=8=8 421|2121xyyxABOBSAOBxy8BoyxAxy8|21|2121knmAPOASOAPP(m,n)AoyxP(m,n)Aoyx则则垂垂足足为为轴轴的的垂垂线线作作过过有有上上任任意意一一点点是是双双曲曲线线设设,) 1 (:,)0(),(AxPkxkynmP过P作x轴的垂线，垂足为A,则它与坐标轴形

8、成的三角形的面积是不变的，为：总结：总结：k的绝对值的几何意义的推广的绝对值的几何意义的推广PDoyx1.1.如图如图, ,点点P P是反比例函数是反比例函数 图象上的图象上的一点一点,PDx,PDx轴于轴于D.D.则则PODPOD的面积为的面积为 . .xy21 12.2.如图如图, ,点点P P是反比例函数图象上的一点是反比例函数图象上的一点, ,过点过点P P分别向分别向x x轴、轴、y y轴作垂线轴作垂线, ,若阴影部分面积为若阴影部分面积为1,1,则这个反比例则这个反比例函数的关系式是函数的关系式是 . .PDoyxPyxOCxy22KS SK的面积不变性的面积不变性 (0)kykx

9、(0)2kk(0)k k 注意：注意：（1 1）面积与面积与P P的位置无关的位置无关（2）当）当k符号不确定的情况符号不确定的情况下须下须分类讨论分类讨论PQ0 xy）（yx,P0 xy）（yx,规律总结规律总结 3、在双曲线、在双曲线 上上任一点分别作任一点分别作x轴、轴、y轴的垂线段，轴的垂线段，与与x轴轴y轴围成矩形面积为轴围成矩形面积为12，求函，求函数解析式数解析式_。xky (X0)(X0)yxOxy12xy12或或A._,)0(1,. 4321111111则有面积分别为的记边结三点轴于交轴引垂线经过三点分别向的图像上有三点在如图SSSOCCOBBOAAOCOBOACBAxxCB

10、AxxyA.S1 = S2 = S3 B. S1 S2 S3 C. S3 S1 S2 S3 BA1oyxACB1C1S1S3S2AoyxBS1S2xy35、如图，如图，A,B是双曲线是双曲线 上的点，分别经过上的点，分别经过A,B两点向两点向X轴、轴、y轴作垂线段，若轴作垂线段，若 .211SSS，则阴影4Oyxs1s2 如图如图, ,点点P P、Q Q是反比例函数图象上的两点是反比例函数图象上的两点, ,过过点点P P、Q Q分别向分别向x x轴、轴、y y轴作垂线轴作垂线, ,则则S S1 1( (黄色三角形）黄色三角形）S S2 2( (绿色三角形）的面积大小关系是：绿色三角形）的面积大

11、小关系是：S1 _ _ S2. .PQ=综合提高：综合提高：xyOP1P2P3P41234如图，在反比例函数如图，在反比例函数 的图象上，有点的图象上，有点，它们的横坐标依次为，它们的横坐标依次为1，2，3，4分别过这些点作分别过这些点作 轴与轴与 轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为 ，则，则1234PPPP， ， ，xy2yx（x0)123SSS， ，123SSS （x0)2yx3216思考：思考：1.你能求出你能求出S2和和S3的值吗？的值吗？132.S1呢？呢？1 如图，已知正方形如图，已知正方形OABCOABC的面积为的

12、面积为9 9，点，点O O为坐标为坐标原点，点原点，点A A在在x x轴上，点轴上，点C C在在y y轴上，点轴上，点B B在函数在函数y=k/xy=k/x的图象上，点的图象上，点P(m,n) P(m,n) 是图象上任意一点，过点是图象上任意一点，过点 P P分别作分别作x x轴，轴，y y轴的垂线，垂足分别为轴的垂线，垂足分别为E, FE, F， 拓拓展展提提高高若设矩形若设矩形OEPF和正和正方形方形OABC不重合部不重合部分的面积为分的面积为S，写出，写出S关于关于m的函数关的函数关 系系式式总结提高总结提高一个性质：反比例函数的一个性质：反比例函数的面积不变性面积不变性两种思想：两种思

13、想：分类讨论分类讨论和和数形结合数形结合练习：（20102010湖北孝感）湖北孝感） 如图，点如图，点A A在双曲线在双曲线 上，点上，点B B在双曲线在双曲线 上，且上，且ABxABx轴，轴，C C、D D在在x x轴上，若四边形轴上，若四边形ABCDABCD为矩形，则它的为矩形，则它的面积为面积为 . .2.2.如图，过反比例函数如图，过反比例函数 的图象上任意的图象上任意两点两点A A、B B分别作分别作x x轴的垂线，垂足分别为轴的垂线，垂足分别为C C、D D，连结连结OAOA、OBOB。设。设ACAC与与OBOB的交点为的交点为E E， 与与梯形梯形ECDBECDB的面积分别为的面积分别为S1S1、S2S2，比较它们的，比较它们的大小，可得（大小，可得（ ） A. A. B. C. D. B. C. D. 大小关系不能确定大小关系不能确定1yx3yxyxx10()AOESS12SS12SS12E3.3.如图，如图，A A、B B是函数是函数 的图象上关于原点的图象上关于原点O O对称的任意两点，对称的任意两点，ACAC平行于平行于y y轴，轴，BCBC平行于平行于x x轴，轴， 的面积为的面积为S S，则（，则（ ） A.