概率统计总结A

1、1 1概率统计概率统计研究研究:随机现象的统计规律随机现象的统计规律!2概率论的中心任务概率论的中心任务数学建模数学建模: :随机试验随机试验: : 样本空间样本空间S S及有关内容及有关内容. .重要分布重要分布: : 0-10-1分布分布; ; 二项分布二项分布; ; 泊松分布泊松分布; ; 均匀分布均匀分布; ; 指数分布指数分布; ; 正态分布正态分布. .模型分析模型分析: :概率概率: : 由公式由公式; ;由分布律由分布律; ;由概率密度由概率密度; ;由分布函数由分布函数. .数字特征数字特征: : 数学期望数学期望; ;方差方差; ;协方差协方差; ;相关系数相关系数. .大

2、数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理: : 多个随机变量和的分布及平均值多个随机变量和的分布及平均值的稳定性的稳定性. .3公式公式()( )( )()P ABP AP BP AB()( ) (|)P ABP A P B A( )1( )P AP A nkkkAAPAPAP1)|()()(1() (|)(|)1,2,.,() (|)iiinkkkP A P A AP A AinP A P A AASA1A2A3B对对S的的n划分划分第第2 2章总结章总结l1.R.V.X:定义在定义在S上实单值函数上实单值函数.l2.离散型离散型R.V.X重要分布重要分布:0-1;二项二项;泊松泊松;l3

3、.连续型连续型R.V.X重要分布重要分布:均匀均匀;指数指数;正态正态;l4.连续型连续型R.V.X:l5.R.V.X函数函数Y=g(X)的分布的分布;分布函数法分布函数法:( )Xf x( )XF x( )XFx( )xXft dt ( )YF yP Y yP g Xy baXdxxfbXaP)()( bxakkxXPbXaP)()(5典型分布典型分布分布律或密度分布律或密度(P307)参数参数0-10p1二项二项n1,0p0均匀均匀a0正态正态,01 , 0,)1 ()(1 kppkXPkknkppCkXPknkkn,.,1 , 0,)1 ()( ,.2 , 1 , 0,!)( kekkX

4、Pk 其其它它0)(1bxaxfabX 000)(xxexfxX 222)(exp21)( xxfX), 1(pBX),(pnBX)( X),(baUX), 1(1 X),(2 NX10 p10 , 1 pn0 ba 0 0; 二维二维2 2 点分布点分布 YX 1 2P(X=i) 1 2 2/5 0 0 3/5 2/5 3/5P(Y=j) 2/5 3/5 1ijp6总结总结,ijijx yGP X YGpl二维离散型二维离散型 (X,Y),ijijP Xx Yyp概率概率边缘分布律边缘分布律jijjiP Yypp,(,)ijijxx yyF x yP Xx Yyp联合分布函数联合分布函数 (

5、),iXixxFxP Xxp边缘分布函数边缘分布函数,X Y独立:ijijpp pG( ,)ijx y()iijijP Xxpp,1iji jp 点点成立.x( , )x yyxyo jYjyyFyp7总结总结,( , )GP X YGf x y dxdyl二维连续型二维连续型 (X,Y),f x y,X Y独立 ,XYf x yfx f y概率概率边缘密度边缘密度 ,XYfxf x y dyfyf x y dx,F x yP X xY y,X Y独立 ,XYF x yF x F y联合分布联合分布边缘分布边缘分布 ,XYFxF xFyFy 2Fx y xXf x dx XFx yxdudvv

6、uf),( dycbxayxG,| ),( ,)( ,)( , )( , )F b dF a dF b cF a c )()()()(aFbFdxxfbXaPXXbaX ( , )a c( ,)b d( ,)a d( , )b c G8数学期望数学期望方差方差协方差协方差相关系数相关系数切氏不等式切氏不等式标准化标准化()*()XEXXD X 2()1D XP XE X (,)Cov X YE XYE X E Y ,XYCovX YDXD Y 1212E C XC YC E XC E Y 1( )kkkg xpXE g Xg xf x dxX 离离散散型型连连续续型型 222D XEXE XE

7、 XEX ,( , )E g X Yg x yf x y dxdy ,()()( )X YE XYE X E Y 独独立立22121122()()2(,)( )D C XC YC D XC C Cov X YC D Y ,2212()( )X YC D XC D Y 独独立立(0,XYX Y 不不相相关关) )(*)0,(*)1)E XD X9221( )2yYye y 2221( )2xXfxe 0.683330.9540.9970.6830.9540.997:XY 标标准准化化),(2 NX)1 , 0( N3 3 2, XDXE( )( )zYzy dy P P3 31 10 0查查表表

8、z( ) z 标准正态分布的上标准正态分布的上 分位点分位点若若XN(0,1),XN(0,1),若若()P Xz称称 是上是上 分位点分位点z-3-2-11230.10.20.30.4 2122xxez面积面积=10.051.645z0.0013.1z10.100.050.0250.010.0050.0011.2821.6451.9602.3262.5763.090 z z11常用分布的期望与方差常用分布的期望与方差 数字特征数字特征分布分布数学期望数学期望方方 差差0-1二项二项泊松泊松均匀均匀指数指数正态正态p1ppnp1npp2ab21 2ba212122122xye0.683330.9

9、540.997正态分布的正态分布的3 3规则规则,X,X值几乎必然落入值几乎必然落入3 ,3 标准差标准差? pqnpq 1)(63ab 1qp 12v搜集资料搜集资料:v试验设计试验设计: 制定观察试验方案制定观察试验方案,使试验最省人力物力又具有代表使试验最省人力物力又具有代表性。如正交试验设计等。性。如正交试验设计等。v采集数据采集数据: 在观察实验之后获得试验数据。如制造业、商业、在观察实验之后获得试验数据。如制造业、商业、人口等各种专业统计。人口等各种专业统计。v分析资料分析资料:v统计推断统计推断: 根据观察资料对所研究的问题做出尽量精确和可靠根据观察资料对所研究的问题做出尽量精确

10、和可靠的分析结论的分析结论.如参数估计如参数估计,假设检验等。假设检验等。v相关分析相关分析: 确定某些现象中的某些量之间的相关程度大小、函确定某些现象中的某些量之间的相关程度大小、函数关系的相互联系。如方差分析；回归分析等。数关系的相互联系。如方差分析；回归分析等。13多维随机变量总结多维随机变量总结(连续型连续型)121212,.,.,.nnnGP X XXGf x xx dxdxdx 随机试验随机试验E12, ,.,nx xx样本点样本点12,.,nf x xx概率密度概率密度概率概率样本空间样本空间nSR随机向量随机向量12,.,nX XX函数函数12,.,nX g X XX事件事件1

11、2,.,nnX XXGR 分布函数分布函数 XFxP Xx特别特别1122,XCXC X2211121222( )2,D XC D XCC Cov X XC D X1122()E XC E XC E X则则1212121( ,.,)( )( ) .()( )ninnXXXnXiif x xxfx fxfxfx 相互独立相互独立14大数定律与中心极限定理总结大数定律与中心极限定理总结典典型型条条件件12(1),.,nXXX 相互独立12(2),.,nXXX 服从相同分布2(3),0,1,2,.,kkE XD Xkn 典典型型结结论论21111(1),nnkkkkEXDXnnn11(2)()nPk

12、kXnn1(3)0,1nkkXnNn近似服从15l第第5章总结章总结1.总体总体与样本与样本2.常用统计量常用统计量3. 常用样本分布常用样本分布4. 正态总体正态总体的常用样本分布的常用样本分布. . ,RV X12,.,nX XX简单随机样本:11,niiXXn22111niiSXXn 212,( ,)nt nF n n分布,分布分布2222( ,/ );(0,1);/(1) (1);(1);/XXNnNnXnSt nnSn 16n第第6章总结章总结1.1.参数的点估计参数的点估计2.2.极大似然估计极大似然估计3.3.估计量的评判估计量的评判4. 4. 单正态总体参数的区间估计单正态总体

13、参数的区间估计12(,.,)nX XX构造统计量: ,L ln,L ,E ln0,dLd ,abDD,Pnn2222/ 21/ 21111,nsnsnn/21snxtn1,snxtn置信度置信度1矩估计矩估计11nkkiiAXn(),1,2kE Xk2(),()E XE X解出等.(0,1)/XNn枢轴量/2nxz2( ,)XN 总体 (1)/Xt nSn枢轴量222(1)(1)nSn枢轴量11niiXXn点估计2211()1niiSXXn点估计/21snxtn2222/ 21/ 21111,nsnsnn 简单随机样本简单随机样本(置信度置信度)直方图直方图,分布拟合检验分布拟合检验置信区间置

14、信区间1/2/2()1P uUu 概率12,.,nX XX样本 已知已知 未知未知18v5.5.单单正态总体的均值与方差的区间估计正态总体的均值与方差的区间估计2,XN 待估参数待估参数 条条 件件 置置 信信 区区 间间 最短最短上侧上侧下侧下侧最短最短上侧上侧下侧下侧2 2置信度置信度12已知2未知未知/2nxZ,nxZ,nxZ/21snxtn1,snxtn,1snxtn2222/ 21/ 21111,nsnsnn221110,nsn（详见（详见P166P166）19竞赛试验：竞赛试验：20三人采摘竞赛试验：三人采摘竞赛试验：L每人依次从一片麦地走过，单向不每人依次从一片麦地走过，单向不得

15、回去，并采摘得回去，并采摘3个麦穗，一路上至个麦穗，一路上至少遇到少遇到50000个麦穗，而时间只够测个麦穗，而时间只够测量量400个麦穗的长度。问如何采摘才个麦穗的长度。问如何采摘才能使能使3个麦穗总重量最大？个麦穗总重量最大？L甲走过时总想采到最大的麦穗，一直走甲走过时总想采到最大的麦穗，一直走到地头时才发现没有更大的麦穗了，只到地头时才发现没有更大的麦穗了，只好采了三个小麦穗。好采了三个小麦穗。L乙走过时吸取了甲的教训，遇到大一点乙走过时吸取了甲的教训，遇到大一点的麦穗就赶快采下，结果比甲好些，但的麦穗就赶快采下，结果比甲好些，但仍不是很好的。仍不是很好的。21645. 105. 0 z

16、),.,(10021xxxhh 三人采摘竞赛试验三人采摘竞赛试验: :J设后面设后面3个个1/4段每段中长度大于段每段中长度大于h的麦穗个的麦穗个数为数为Y，可知，可知Y () 泊松分布，现在泊松分布，现在J np=1000.05=5，P(Y1)=1-(Y1)=1- e-5=0.993262。J后后3段采摘看做段采摘看做3次相互独立的试验，采到次相互独立的试验，采到3个大麦穗的概率为个大麦穗的概率为 0.9932623 0.98,因此丙因此丙的成功率达到的成功率达到0.98,丙的结果比丙的结果比甲乙都好！甲乙都好！三人采摘竞赛试验三人采摘竞赛试验: :,10011001 iix 10012991iix 220 x 222)(exp21)( xxfX 05. 0z 05. 0 95. 01 ,10011001 iix 10012991iix ), (2 NX近近似似05. 0) (05. 0 zXP645. 105. 0 z服服从从正正态态分分布布麦麦穗穗长长度度X?,2 645. 1: h采采摘摘下下限限0.05()0.05XPz 2324思考题：思考题：u三人采摘竞赛对你在人生学业或三人采摘竞赛对你在人生学业或事业上成功的采摘有何启示？事业上成功