弹性力学讲义-第2章-(1-6)(2008)-p

1、二二Chen ping2008.9第第二二章章 平面问题的基本理论平面问题的基本理论 建立平面问题的基本理论。首先建立和问题的概念,然后再建立和引入。最后讨论按位移和按应力按位移和按应力求解平面问题的基本方程式、相容方程（变形连续条件）及用应力函数求解平面问题的方程和应满足的方程。 1. 1. 两类平面问题的定义。两类平面问题的定义。2. 2. 平衡微分方程、几何方程和物理方程的建立平衡微分方程、几何方程和物理方程的建立（在平（在平面区域内的）面区域内的）。3. 3. 位移和应力边界条件的建立，及圣维南原理的应用位移和应力边界条件的建立，及圣维南原理的应用（在平面边界上的）（在平面边界上的）。

2、 4. 4. 按位移求解方法和按应力求解方法。按位移求解方法和按应力求解方法。 5. 5. 关于一点应力状态的分析。关于一点应力状态的分析。 在学习本章时，要求理解和掌握下面的主要内容：在学习本章时，要求理解和掌握下面的主要内容：第二章第二章 平面问题的基本理论平面问题的基本理论 为了牢固地理解和掌握平面问题的基本理论，要为了牢固地理解和掌握平面问题的基本理论，要求做到：求做到： (1) (1)清楚地了解上述有关问题的提出和分析的方法；清楚地了解上述有关问题的提出和分析的方法； (2) (2)自己动手推导公式，以加深理解；自己动手推导公式，以加深理解； (3) (3)对上述内容进行总结，掌握其

3、要点。对上述内容进行总结，掌握其要点。 第二章第二章 平面问题的基本理论平面问题的基本理论平面平面问题问题 平面平面问题问题 问题简化问题简化平面问题平面问题 特殊形状特殊形状 + + 特殊外力（约束）特殊外力（约束） 空间问题空间问题 （空间物体（空间物体 + + 空间力系）空间力系） 2-1 2-1 平面应力问题与平面应变问题平面应力问题与平面应变问题 简化分析和计算！简化分析和计算！ 精确度足够！精确度足够！ 第二章第二章 平面问题的基本理论平面问题的基本理论(2-1)(2-1)2-1 2-1 平面应力问题与平面应变问题平面应力问题与平面应变问题 平面应力问题平面应力问题 等厚度薄板等厚

4、度薄板并且并且不沿厚度变化不沿厚度变化例如,以及平板坝的等第二章第二章 平面问题的基本理论平面问题的基本理论(2-1)(2-1)2/ t2/ t平面平面问题问题 薄板薄板厚度厚度只剩平行于只剩平行于x y面的三个应力分量面的三个应力分量: : 02tzz02tzzx02tzzy0zxyyx , ,由于板很薄由于板很薄, ,外力又不沿厚度变化外力又不沿厚度变化 0zx0zy0yz0 xz切切应力互等应力互等 2-1 2-1 平面应力问题与平面应变问题平面应力问题与平面应变问题 第二章第二章 平面问题的基本理论平面问题的基本理论(2-1)(2-1)t问题问题只有平面应力分量存只有平面应力分量存在在

5、 ， ， ，且仅为，且仅为x，y 的函数的弹的函数的弹性力学问题。性力学问题。xyyxxy 2-1 2-1 平面应力问题与平面应变问题平面应力问题与平面应变问题 第二章第二章 平面问题的基本理论平面问题的基本理论(2-1)(2-1)wvu , ,xyzyzxzyx , 0 , ,外力、应力、应变和位移外力、应力、应变和位移 zxyxzyzxyzyyxzx 附附1外力、应力、应变和位移外力、应力、应变和位移 正应变正应变各线段的每单位长度的伸缩,即单位伸缩或相对伸缩。 切切应变应变各线段之间的直角的改变,用弧度表示。xyzyzzxxy附附2平面平面问题问题 柱形体柱形体 很长很长 在柱面上受有平

6、平行于横截面行于横截面而且不沿长度变化内在因素内在因素和外来作用外来作用都不沿长度变化。 如, 或,2-1 2-1 平面应力问题与平面应变问题平面应力问题与平面应变问题 第二章第二章 平面问题的基本理论平面问题的基本理论(2-1)(2-1)第二章第二章 平面问题的基本理论平面问题的基本理论(2-1)(2-1)第二章第二章 平面问题的基本理论平面问题的基本理论(2-1)(2-1)平面应变问题平面应变问题 柱形体柱形体 很长很长 任一横截面都可以看作是对称面任一横截面都可以看作是对称面因此，只剩下平行于因此，只剩下平行于x y 面的三个形变分量！面的三个形变分量！vuw , , 0 xyyxzyz

7、xz , , , 0 , 00yzzy0 xzzx2-1 2-1 平面应力问题与平面应变问题平面应力问题与平面应变问题 zxyyx , , ,第二章第二章 平面问题的基本理论平面问题的基本理论(2-1)(2-1)位移位移应变应变应力应力平面应变问题平面应变问题 柱形体柱形体 很长很长 任一横截面都可以看作是对称面任一横截面都可以看作是对称面第二章第二章 平面问题的基本理论平面问题的基本理论(2-1)(2-1)问题问题只有平面应变分量存在只有平面应变分量存在 ， ， ， 且仅为且仅为x，y的函数的弹性力学问题。的函数的弹性力学问题。xyxy2-1 2-1 平面应力问题与平面应变问题平面应力问题与

8、平面应变问题 第二章第二章 平面问题的基本理论平面问题的基本理论(2-1)(2-1)平面问题思考题：平面问题思考题：1.设有厚度很大（即z向很长）的基础梁放置在地基上，力学工作者想把它近似地简化为平面问题处理，问应如何考虑？平面应变问题2-2 平衡微分方程平衡微分方程 在弹性力学里分析问题,要从三方面来考虑: 、和。 首先考虑平面问题的静力学方面,根据平衡条件来导出与之间的关系式,也就是平面问题的。 表示区域内任一点（表示区域内任一点（x,yx,y）的微分体的平衡条件）的微分体的平衡条件 第二章第二章 平面问题的基本理论平面问题的基本理论(2-2)(2-2)dxxxyxydxxxxxxyyxy

9、dyyyxyxdyyyyxyoyfxfC2-2 平衡微分方程平衡微分方程 从平面问题中任取微小微小的正正平行六面体平行六面体 x方向 dx y方向 dyz方向设为1第二章第二章 平面问题的基本理论平面问题的基本理论(2-2)(2-2)各面应力均匀分布，作用在截面中心。体力也均匀分布，作用在体积中心。平均正应力或切应力的增量平均正应力或切应力的增量可用泰勒级数表示为：可用泰勒级数表示为： 222!21dxxxdxxxxdxxxx略去二阶及更高阶微量2-2 平衡微分方程平衡微分方程 简化为第二章第二章 平面问题的基本理论平面问题的基本理论(2-2)(2-2)()(!)(.)(! 2)()()()(

10、00)(200000 xRxxnxfxxxfxxxfxfxfnnn 函数的泰勒展开式：函数的泰勒展开式：附附3第二章第二章 平面问题的基本理论平面问题的基本理论(2-2)(2-2)dxxxyxydxxxxxxyyxydyyyxyxdyyyyxyo静力平衡微分方程静力平衡微分方程yfxfC第二章第二章 平面问题的基本理论平面问题的基本理论(2-2)(2-2)考虑了正负x,y面上应力增量公式推导以正的物理量表示应力和体力应乘以其面积和体积，得出合力连续性、小变形假设静力平衡微分方程静力平衡微分方程过中心过中心C C平行平行z 轴列力矩的平衡方程轴列力矩的平衡方程 ： 2-2 平衡微分方程平衡微分方

11、程 0CM2121dxdydxdydxxxyxyxy02121dydxdydxdyyyxyxyx第二章第二章 平面问题的基本理论平面问题的基本理论(2-2)(2-2)上式，引用上式，引用 1-4，第，第(5)个基本假定个基本假定小变形假定！小变形假定！过中心过中心C C平行平行z z轴列力矩的平衡方程轴列力矩的平衡方程 ： 2-2 平衡微分方程平衡微分方程 0CM2121dydxdydxdxxdydxxyxyxy2121dxdydydxdyydxdyyxyxyx静力平衡微分方程静力平衡微分方程第二章第二章 平面问题的基本理论平面问题的基本理论(2-2)(2-2)2-2 平衡微分方程平衡微分方程

12、 0abMdyydxxyxyxxyxy2121yxxy命命dx及及dy趋于零趋于零 化简为化简为静力平衡微分方程静力平衡微分方程（2-1）第二章第二章 平面问题的基本理论平面问题的基本理论(2-2)(2-2)dxxxyxydxxxxxxyyxydyyyxyxdyyyyxyo静力平衡微分方程静力平衡微分方程yfxfC第二章第二章 平面问题的基本理论平面问题的基本理论(2-2)(2-2)以以x x 轴为投影轴轴为投影轴, ,列出投影的平衡方程列出投影的平衡方程 2-2 平衡微分方程平衡微分方程 0 xF11dydydxxxxx0111dxdyfdxdxdyyxyxyxyx静力平衡微分方程静力平衡微

13、分方程第二章第二章 平面问题的基本理论平面问题的基本理论(2-2)(2-2)以以x x 轴为投影轴轴为投影轴, ,列出投影的平衡方程列出投影的平衡方程 2-2 平衡微分方程平衡微分方程 0 xF0 xyxxfyx上式约简后，得上式约简后，得平衡方程平衡方程: :由由得相得相似的微分方程：似的微分方程： 0yxyyfxy平面问平面问题的平题的平衡微分衡微分方程方程 0yF静力平衡微分方程静力平衡微分方程（2-2）第二章第二章 平面问题的基本理论平面问题的基本理论(2-2)(2-2)平衡微分方程表示任一点(x, y) 的平衡条件，(x, y) 属于平面域A，所以也代表 A 中所有点的平衡条件。式(

14、2-2)第一式中所有的各项都是x向的力，第二式均是y向的力。（2-1）又一次导出了切应力互等定理。在任一等式中，各项的量纲必须相同，据此可以作为检查公式是否正确的条件之一。1. 平衡微分方程适用的条件是，只要求符合连续性和小变形假定。第二章第二章 平面问题的基本理论平面问题的基本理论(2-2)(2-2)5. 对于平面应力问题和平面应变问题，平衡微分方程相同。6. 由于 ，以后只作为一个独立未知函数处理。因此，2个独立的平衡微分方程 (2-2) 中含有3个应力未知函数。7. 弹性力学对平衡条件的考虑是严格和精确的。 yxxy第二章第二章 平面问题的基本理论平面问题的基本理论(2-2)(2-2)(

15、2-1)在材料力学中,矩形截面梁弯曲时的正应力公式为试用弹性力学平衡微分方程式,求横截面上的切应力公式。 123bhyMzx例题分析例题分析1 1 00yxyyxyxxfxyfyx解：解： 弹性力学中的平衡微分方程（假定体力为零）为弹性力学中的平衡微分方程（假定体力为零）为123bhIdyIyxMdyxzxxyQxMz)(22xfyIQdyIyxMzxy02hyxy0)(2212xfhIQ0yxyxxIQhxf8)(22232242348yhbhQyhIQxy例题分析例题分析2 2 (2-2) 简支梁受均布荷载,试用平面问题的平衡微分方程式,检查材料力学中的解答 及 公式的适用性,并根据材料力

16、学的 公式及平衡微分方程导出 的公式。 xyxyyxxy2-3几何方程几何方程 刚体位移刚体位移 考虑平面问题的几何学方面考虑平面问题的几何学方面, ,导出导出与与之间的关系式之间的关系式, ,也就是平面问题中也就是平面问题中的的。 第二章第二章 平面问题的基本理论平面问题的基本理论(2-3)(2-3)取任意一点 Px方向线段PA=dx y方向线段PB=dy一点的形变一点的形变2-3 几何方程几何方程 刚体位移刚体位移 第二章第二章 平面问题的基本理论平面问题的基本理论(2-3)(2-3)线段PA正应变 一点的应变位移关系一点的应变位移关系xudxudxxuux和PB的正应变 yvy2-3 几

17、何方程几何方程 刚体位移刚体位移 第二章第二章 平面问题的基本理论平面问题的基本理论(2-3)(2-3)试证明图中试证明图中y y方向的位移方向的位移v v 所引起的线段所引起的线段PAPA的伸缩是高阶微量。的伸缩是高阶微量。问题问题第二章第二章 平面问题的基本理论平面问题的基本理论(2-3)(2-3)第二章第二章 平面问题的基本理论平面问题的基本理论(2-3)(2-3)求线段PA与PB之间的的, 也就是 ,用位移分量来表示。 一点的应变位移关系一点的应变位移关系xyyuxvdxvdxxvvyuxvxy xy2-3几何方程几何方程 刚体位移刚体位移 第二章第二章 平面问题的基本理论平面问题的基

18、本理论(2-3)(2-3)平面问题中表明应变分量与位移分量之间的关系式, 即平面问题的几何方程为平面问题的几何方程为: :yuxvxy位移分量完全确定时,应变分量即完全确定反之,当应变分量完全确定时,位移分量却能完全确定。（加三个适当的约束条件可以确定） xuxyvy2-3 几何方程几何方程 刚体位移刚体位移 第二章第二章 平面问题的基本理论平面问题的基本理论(2-3)(2-3)当应变分量完全确定时,位移分量能完全确定!试命应变分量等于零,即 ， 0 xu0yv0yuxv)(1yfu )(2xfv dxxdfdyydf)()(21求位移0 xyyx2-3 几何方程几何方程 刚体位移刚体位移 第

19、二章第二章 平面问题的基本理论平面问题的基本理论(2-3)(2-3)当应变分量完全确定时,位移分量能完全确定!, dxxdfdyydf)()(21这一方程的左边是y的函数, 而右边是x的函数。因此,只可能两边都等于同一常数。 dyydf)(1dxxdf)(2, yuyf01)(xvxf02)(试命应变分量等于零,即 求位移0 xyyx2-3 几何方程几何方程 刚体位移刚体位移 第二章第二章 平面问题的基本理论平面问题的基本理论(2-3)(2-3)当应变分量完全确定时,位移分量能完全确定!这是“应变为零”时的位移,也就是所谓“与变形无关的位移”,因而必然是刚体刚体位移位移。 , yuyfu01)

20、(xvxfv02)(试命应变分量等于零,即 求位移位移0 xyyx2-4 几何方程几何方程 刚体位移刚体位移 第二章第二章 平面问题的基本理论平面问题的基本理论(2-3)(2-3)刚体位移刚体位移 根据平面运动的原理平面运动的原理可以证明uo及vo分别为物体沿x轴及y轴方向的刚体平移刚体平移,而为物体绕z轴的刚体转动刚体转动。 yuu0 xvv0应变分量等于零时的位移位移2-4 几何方程几何方程 刚体位移刚体位移 第二章第二章 平面问题的基本理论平面问题的基本理论(2-3)(2-3)刚体位移刚体位移yuu0 xvv0应变分量等于零时的位移位移2-4 几何方程几何方程 刚体位移刚体位移 时当 0

21、 , 0 , 0 00uv0 ,0vuuuo代表物体沿x方向的刚体平移vo代表物体沿y方向的刚体平移0 , 0vvu（1）时当 0 , 0 , 0 00vu（2）第二章第二章 平面问题的基本理论平面问题的基本理论(2-3)(2-3)刚体位移刚体位移yuu0 xvv0应变分量等于零时的位移位移 2222xyvutgxyxytg22yx当只有不为零时 2-4 几何方程几何方程 刚体位移刚体位移 第二章第二章 平面问题的基本理论平面问题的基本理论(2-3)(2-3)刚体位移刚体位移 既然物体在应变为零时可以有任意的刚体位移,可见, 当物体发生一定的应变时, 由于, 它可能具有, 因而它的位移并不是完

22、全确定的。在平面问题中, 常数uo,vo,的任意性就反映位移的不确定性, 而为了, 就必须有来确定这三个常数。 第二章第二章 平面问题的基本理论平面问题的基本理论(2-3)(2-3)2-4 物理方程物理方程 在弹性力学里分析问题,要从三方面来考虑: 、和。平面问题的物理学方面平面问题的物理学方面第二章第二章 平面问题的基本理论平面问题的基本理论(2-4)(2-4)2-4 物理方程物理方程 在完全弹性的各向同性体内在完全弹性的各向同性体内, ,应变分量与应力分应变分量与应力分量之间的关系量之间的关系, ,就是材料力学就是材料力学中中的的R.HookeR.Hooke定律定律: : )(1)(1)(

23、1yxzzxzyyzyxxEEEyzyzG1zxzxG1xyxyG1第二章第二章 平面问题的基本理论平面问题的基本理论(2-4)(2-4)2-4 物理方程物理方程 在完全弹性的各向同性体内在完全弹性的各向同性体内, ,应变分量与应力分应变分量与应力分量之间的关系量之间的关系, ,就是材料力学就是材料力学中中的的R.HookeR.Hooke定律定律: : )1 (2EGEElasticity modulus GShear modulus Poisson ratio问题问题: : yxxE1xyyE1xyxyE)1 (20z侧向收缩系数 第二章第二章 平面问题的基本理论平面问题的基本理论(2-4)

24、(2-4)2-4 物理方程物理方程 在完全弹性的各向同性体内在完全弹性的各向同性体内, ,应变分量与应力分应变分量与应力分量之间的关系量之间的关系, ,就是材料力学就是材料力学中中的的R.HookeR.Hooke定律定律: : 0yz问题问题: : )(yxzE0zx0yz0zx问题问题: : 0 w0z)(yxz)1(12yxxE)1(12xyyExyxyE)1 (2第二章第二章 平面问题的基本理论平面问题的基本理论(2-5)(2-5)2-4 物理方程物理方程 在完全弹性的各向同性体内在完全弹性的各向同性体内, ,应变分量与应力分应变分量与应力分量之间的关系量之间的关系, ,就是材料力学就是

25、材料力学中中的的R.HookeR.Hooke定律定律: : 0yz问题问题: : 0zx0yz0zx问题问题: : EE)1 (21)11 (22E21E1（剪切模量转换）第二章第二章 平面问题的基本理论平面问题的基本理论(2-4)(2-4)2-5 边界条件边界条件 在弹性力学里分析问题,要从三方面来考虑: 、和。平面问题有平面问题有 8个基本方程8个未知函数 (3个应力分量；3个应变分量；2个位移分量) 因此，在适当的边界条件边界条件下，从基本方程中求解未知函数是可能的。第二章第二章 平面问题的基本理论平面问题的基本理论(2-5)(2-5)弹性力学问题分为位移边界位移边界问题 应力边界应力边

26、界问题 混合边界混合边界问题2-5 边界条件边界条件 第二章第二章 平面问题的基本理论平面问题的基本理论(2-5)(2-5)2-5 边界条件边界条件 位移边界位移边界问题、应力边界应力边界问题、混合边界混合边界问题 位移边界问题位移边界问题物体在全部边界上的位移分量是已知的，也就是: 在边界上有 ,其中, 和 在边界上是坐标的己知函数。这就是平面问题的位移边界条件。 vv uv应力边界问题应力边界问题物体在全部边界上所受的面力是已知的,也就是说,面力分量 和 在边界上是坐标的已知函数。 xfyfuu 第二章第二章 平面问题的基本理论平面问题的基本理论(2-5)(2-5)应力边界条件应力边界条件

27、根据面力分量与边界上的应力分量之间的关系式, 可以把面力己知的条件转换成为应力方面的已知条件。斜面AB与物体的边界重合 ， lx ),cos(nmy ),cos(ndsAB长ldsmdsPB长PA长2-5 边界条件边界条件 位移边界位移边界问题、应力边界应力边界问题、混合边界混合边界问题 第二章第二章 平面问题的基本理论平面问题的基本理论(2-5)(2-5)应力边界应力边界问题012111ldsmdsfmdsldsdsfxyxxxyxyyxyxxtlmtml由平衡条件 得 0 xF应力边应力边界条件界条件 0yF2-5 边界条件边界条件 位移边界位移边界问题、应力边界应力边界问题、混合边界混合

28、边界问题 第二章第二章 平面问题的基本理论平面问题的基本理论(2-5)(2-5)应力边界应力边界问题xxf应力边应力边界条件界条件当边界垂直于某一坐标轴时, 应力边界条件的形式将得到大大的简化。在垂直于x轴的边界上,l=1,m=0,应力边界条件简化为 yxyf在垂直于y轴的边界上, l=0, m=1 yyfxyxf2-5 边界条件边界条件 位移边界位移边界问题、应力边界应力边界问题、混合边界混合边界问题 第二章第二章 平面问题的基本理论平面问题的基本理论(2-5)(2-5)yxyyxyxxtlmtml混合边界混合边界问题xyxxtmlyxyytlm0yxyt0 xxt0 vv0uuuu vv

29、+2-5 边界条件边界条件 位移边界位移边界问题、应力边界应力边界问题、混合边界混合边界问题 第二章第二章 平面问题的基本理论平面问题的基本理论(2-5)(2-5)（2-1）矩形截面梁的左端有不同的固定形式（如图a、b、c所示),梁受载后发生横向弯曲。根据材料力学平面截面假设,图示各个固定形式是相同的, 故求得的梁的挠度是相同的。试根据弹性力学写出各种不同形式的位移边界条件。 例题分析例题分析 (b)(a)(c)（2-2）设有一简支梁, 长为l, 沿梁的顶面受有均布荷载q，支座的宽度为a, 梁的高度为h, 厚度为 b。试写出面力分量。 (2-3) 已知筒形容器,外半径为b,内半径为,筒的材料密

30、度为 ,在筒内装液体,液体比重为 。试写出筒的各部分的面力分量。 1（2-3）图（2-4）已知边长为a的正方形物体,设应力分量为22231yxAxx2Axyy2232yxAyxy试求面力分量。 (2-5) 设承受水压力作用的三角形坝,已求得的应力解为式中 为坝身材料的比重。设 为液体的比重,试根据表面条件求出常数a,b,c,d。10zyzzyyxxyyxxaydxdycxbyax（2-5）图在在x=0的边界上有的边界上有yfx1ybyafxxx10)0()(1b0yf0)00()(0ayfxxyy0a得到得到在在 x=ytg 的边界上有的边界上有0yxxxmlf0 xyyylmfsin),cos(cos),cos(ynmxnl31212,tgtgctgd得到2-6 圣维南原理圣维南原理 求解弹力问题时,使应力、应变和位移分量完全满足基本方程,并不困难。但是, 要使得边界条件也得到完全满足, 却往往发生很大的困难(因此,弹性力学问题在数学上被称为边值问题边值问题)。问题提出问题提出第二章第二章 平面问题的基本理论平面问题的基本理论(2-6)(2-6)另一方面,在很多的工程结构计算中,都会遇到这样的情况: 在物体的一小部分边界上,仅仅知道物体所受的面力的合力,而这个面力的分布方面力的分布方式