八年级数学-平行四边形的证明

1、八年级数学八年级数学下册复习下册复习第一章第一章 三角形的证明三角形的证明第二章第二章 一元一次不等式（组）一元一次不等式（组）第三章第三章 平移与旋转平移与旋转第四章第四章 因式分解因式分解第五章第五章 分式及分式方程分式及分式方程第六章第六章 平行四边形的证明平行四边形的证明第六章第六章 平行四边形的证明平行四边形的证明一、平行四边形的概念与性质一、平行四边形的概念与性质1 1两组对边分别两组对边分别_的四边形叫做平行四边形的四边形叫做平行四边形2 2平行四边形是平行四边形是_对称图形，对称图形，_是它的对称中心是它的对称中心3 3平行四边形的性质：平行四边形的性质：(1)(1)平行四边形

2、的对边平行四边形的对边_；(2)(2)平行四边形的对角平行四边形的对角_，( (邻角邻角_)_)；(3)(3)平行四边形的对角线平行四边形的对角线_点拨：点拨：(1)(1)平行四边形的对边的性质要从平行四边形的对边的性质要从位置与数量位置与数量两两个方面考虑；个方面考虑；(2)(2)若一条直线过平行四边形的对角线的若一条直线过平行四边形的对角线的交点，那么这条交点，那么这条直线等分平行四边形的面积直线等分平行四边形的面积知识归纳知识归纳平行平行中心中心两条对角线的交点两条对角线的交点平行且相等平行且相等相等相等互补互补互相平分互相平分平行平行二、平行四边形的判定二、平行四边形的判定1 1从对边

3、看：从对边看：(1)(1)两组对边分别两组对边分别_的四边形叫的四边形叫做平行四边形；做平行四边形；(2)(2)两组对边分别两组对边分别_的四边的四边形是平行四边形；形是平行四边形；(3)(3)一组对边一组对边_的四边的四边形是平行四边形形是平行四边形2 2从对角看：两组对角分别从对角看：两组对角分别_的四边形是平行的四边形是平行四边形四边形3 3从对角线看：对角线从对角线看：对角线_的四边形是平行的四边形是平行四边形四边形相等相等平行且相等平行且相等相等相等互相平分互相平分知识归纳知识归纳三、三、三角形的中位线定理三角形的中位线定理1 1连接三角形两边连接三角形两边_的线段叫做三角形的中的线

4、段叫做三角形的中位线三角形中线是连接一顶点和它的对边中点的位线三角形中线是连接一顶点和它的对边中点的_，而三角形中位线是连接三角形两边中点的，而三角形中位线是连接三角形两边中点的_2 2三角形的中位线平行于三角形的中位线平行于_并且等于它的并且等于它的_小贴士：小贴士：中位线是三角形的一条重要线段，由于它的中位线是三角形的一条重要线段，由于它的性质与线段的中点及平行线紧密相连，因此，它在几性质与线段的中点及平行线紧密相连，因此，它在几何图形的计算及证明中有着广泛的应用何图形的计算及证明中有着广泛的应用中点中点线段线段线段线段第三边第三边平等平等四、多边形的内角和与外角和四、多边形的内角和与外角

5、和1 1n n边形的内角和等于边形的内角和等于_2 2多边形内角的多边形内角的_与另一边的与另一边的_组组成的角叫做这个多边形的外角；在每个顶点处取一个成的角叫做这个多边形的外角；在每个顶点处取一个外角，它们的和叫做这个多边形的外角和外角，它们的和叫做这个多边形的外角和3 3任意多边形的外角和等于任意多边形的外角和等于_小贴士：小贴士：(1)(1)如果一个多边形的边数增加一条，那么如果一个多边形的边数增加一条，那么这个多边形的内角和增加这个多边形的内角和增加180180，外角和则不变，即，外角和则不变，即任意多边形的外角和与多边形的边数无关；任意多边形的外角和与多边形的边数无关；(2)(2)在

6、四在四边形的四个内角中，最多有边形的四个内角中，最多有3 3个钝角，最多有个钝角，最多有3 3个锐个锐角角( (n n2)2)180180一边一边反向延长线反向延长线360360考点攻略考点攻略A A 考点一平行四边形的性质考点一平行四边形的性质图图63 解析解析 A A 平行四边形两条对角线把它分成的四个三角形中有两平行四边形两条对角线把它分成的四个三角形中有两对全等三角形，但是这四个三角形的面积都是相等的，因为对全等三角形，但是这四个三角形的面积都是相等的，因为AODAOD与与AOBAOB是等底等高的，是等底等高的，A A正确正确；平行四边形的对角线互相；平行四边形的对角线互相平分，但不一

7、定平分，但不一定相等也不一定垂直相等也不一定垂直，所以，所以B B、C C错误错误；平行四边；平行四边形是中心对称图形但不是轴对称图形，形是中心对称图形但不是轴对称图形，D D错误错误故选故选A.A. 方法总结方法总结 解题的关键是理解并掌握平行四解题的关键是理解并掌握平行四边形的性质，即边的性质；对边平行且相边形的性质，即边的性质；对边平行且相等；角的性质：对角相等，邻角互补；等；角的性质：对角相等，邻角互补；对角线的性质：对角线相互平分；对称性对角线的性质：对角线相互平分；对称性：是中心对称图形，但不是轴对称图形。：是中心对称图形，但不是轴对称图形。例例1例例2 2图图642525 考点二

8、平行四边形的判定考点二平行四边形的判定如图如图65，在四边形，在四边形ABCD中，中，ABCD，请你添加一个条件，使，请你添加一个条件，使得四边形得四边形ABCD成为平行四边形，成为平行四边形，你添加的条件是你添加的条件是_图图65答案答案 答案不唯一，如答案不唯一，如ADBC或或AC或或BD或或AB180 解析解析 要判断四边形要判断四边形ABCDABCD是平行四边形，由一组是平行四边形，由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形知，只需对边平行且相等的四边形是平行四边形知，只需ABABCDCD即可本题答案不唯一，只要符合条件即可，即可本题答案不唯一，只要符合条件即可，如如ADADBCBC或或

9、A AC C或或B BD D或或A AB B180180或或C CD D180180等等例例3 考点三平行四边形性质与判定的综合考点三平行四边形性质与判定的综合例例4图图66如图如图6 66 6，在，在RtRtABCABC中，中，B B9090，ABAB3 3，BCBC4 4，点，点D D在在BCBC上，以上，以ACAC为对角线的为对角线的所有所有 ADCEADCE中，中，DEDE最小的值是最小的值是( () )A A2 B2 B3 C3 C4 D4 D5 5B B 解析解析 B B 四边形四边形ADCEADCE是平行四边形，是平行四边形，ODODOEOE，OAOAOCOC. .当当ODOD取

10、最小值时，线段取最小值时，线段DEDE最短，最短，此时此时BCBCDEDE. .ABABBCBC，ABABDEDE. .又又AEAEBCBC. .四边形四边形ABDEABDE是平行四边形是平行四边形EDEDABAB3.3.故选故选B.B. 方法规律方法规律 本题考查了平行本题考查了平行四边形的性质与判定四边形的性质与判定及垂线段最短的性质及垂线段最短的性质，将原先求一线段最，将原先求一线段最小值转化线段最短是小值转化线段最短是解题关键。解题关键。例例5如图如图6 67 7，四边形，四边形ABCDABCD是平行四边形，是平行四边形，E E，F F是是对角线对角线ACAC上的两点，上的两点，1 1

11、2.2.求证：求证：(1)(1)AEAECFCF；(2)(2)四边形四边形EBFDEBFD是平行四边形是平行四边形图图67证明：证明：(1)(1)(法一法一) )如图如图6 68 8：四边形四边形ABCDABCD是平行四边形，是平行四边形，ADADBCBC，ADADBCBC，3 34 4，1 13 35 5，2 24 46 6，1 12 2，5 56 6，ADEADECBFCBF，AEAECFCF. .图图68 方法指导方法指导 本题考查了全等三角形的判定与性质、平行四本题考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质。平行四边形的判定方法共有五种，边形的判定与性质。平行四边形的判定方法

12、共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法，充分分析题目条件，据条件合理、灵活地选择方法，充分分析题目条件，根据条件和学过的知识挖掘能够得到的结果，然后把根据条件和学过的知识挖掘能够得到的结果，然后把所得到的结果充分联系起来即可解决问题。所得到的结果充分联系起来即可解决问题。( (法二法二) )如图如图6 68 8，连接，连接BDBD交交ACAC于点于点O O，在平行四边，在平行四边形形ABCDABCD中，中，OAOAOCOC，OBOBODOD，1 12 2，EODEODFOBFOB，DOEDOEBOFBOF

13、，OEOEOFOF，OAOAOEOEOCOCOFOF，即，即AEAECFCF. .(2)(2)(法一法一) )如图，如图，1 12 2，DEDEBFBF，ADEADECBFCBF，DEDEBFBF，四边形四边形EBFDEBFD是平行四边形是平行四边形( (法二法二) )如图，如图，OEOEOFOF，OBOBODOD，四边形四边形EBFDEBFD是平行四边形是平行四边形例例6、在在 ABCD中，点中，点O是对角线是对角线AC，BD的交点，点的交点，点E是边是边CD的中点，且的中点，且AB6，BC10，则，则OE_5图图611 考点四三角形的中位线考点四三角形的中位线方法规律方法规律本题考查了平行

14、四边形的性质及三角形中位线定理本题考查了平行四边形的性质及三角形中位线定理，理解的关键是掌握平行四边形的对角线互相平分与三角形的，理解的关键是掌握平行四边形的对角线互相平分与三角形的中位线定理。中位线定理。方法规律方法规律在应用多边形的内角和与外角和定理时要正确把握在应用多边形的内角和与外角和定理时要正确把握内角和公式为（内角和公式为（n2)180,外角和为外角和为360。 考点七多边形的内角和与外角和考点七多边形的内角和与外角和例例7若一个多边形的内角和等于外角和的若一个多边形的内角和等于外角和的3倍，求这个多边形的边数倍，求这个多边形的边数 解析解析 根据多边形的外角和为根据多边形的外角和

15、为360，内角和公式为，内角和公式为(n2)180，由题意可知内角和，由题意可知内角和3外角和，设出未知数，可得到外角和，设出未知数，可得到方程，解方程即可方程，解方程即可解：设这个多边形是解：设这个多边形是n边形，由题意，得边形，由题意，得(n2)1803603，解得解得n8.答：这个多边形的边数是答：这个多边形的边数是8.例例8下列各角能成为某多边形的内角和的只有下列各角能成为某多边形的内角和的只有()A280 B580 C1800 D2000解析解析 C多边形的内角和为多边形的内角和为(n2)180，即任意一，即任意一个多边形的内角和都能被个多边形的内角和都能被180整除，整除，A，B，

16、C，D四个四个选项中只有选项中只有1800能被能被180整除故选整除故选C.C针对训练针对训练1C如图如图614所示，吴伯伯家一块等边三角形的空地所示，吴伯伯家一块等边三角形的空地ABC，已知点，已知点E，F分别是边分别是边AB，AC的中点，量得的中点，量得EF5米，他想把四边形米，他想把四边形BCFE用篱笆围成一圈放养小鸡，则需要篱笆的长是用篱笆围成一圈放养小鸡，则需要篱笆的长是()A15米米 B20米米 C25米米 D30米米图图614针对训练针对训练2图图616如图如图616，ABC是等边三角形，点是等边三角形，点D，F分别在线段分别在线段BC，AB上，上，EFB60，DCEF.(1)求

17、证：四边形求证：四边形EFCD是平行四边形；是平行四边形；(2)若若BFEF，求证：，求证：AEAD.图图617证明：证明：(1)ABC是等边三角形，是等边三角形，ABC60.又又EFB60，ABCEFB，EFBC，又，又DCEF，四边形四边形EFCD是平行是平行四边形四边形(2)连接连接BE.EFB60，BFEF，BEF为等边三为等边三角形，角形，BEBFEF，ABE60.CDEF，BECD，又，又ABC为等边三为等边三角形，角形，ABAC，ACD60，ABEACD，在，在ABE和和ACD中，中，BECD，ABEACD，ABAC，ABE ACD(SAS)，AEAD.针对训练针对训练3“六一六一”儿童节前，某玩具商