圆的切线复习

1、直线和圆的位置关系位置关系位置关系相交相交相切相切相离相离公共点个数公共点个数d与与r的关系的关系公共点名称公共点名称直线名称直线名称2 2个个1 1个个无无drdrdr交点交点切点切点割线割线切线切线有且仅有有且仅有判定一条直线是圆的切线的方法有：判定一条直线是圆的切线的方法有：（1）与圆有唯一公共点的直线是圆的切线；）与圆有唯一公共点的直线是圆的切线；（2）圆心到直线的距离等于该圆的半径，则）圆心到直线的距离等于该圆的半径，则这条直线是圆的切线这条直线是圆的切线.切线的判定定理切线的判定定理 定理定理 经过半径的外端经过半径的外端, ,并且垂直于这条并且垂直于这条半径的直线是圆的切线半径的

2、直线是圆的切线. .CDOA如图如图OAOA是是O O的的半径半径, , 且且CDOACDOA, , CDCD是是O O的切线的切线. .判断下图直线判断下图直线l l是否是是否是O O的切线？的切线？并说明为什么。并说明为什么。OLAOLA切线的判定定理的两种应用切线的判定定理的两种应用1、连半径，证垂直连半径，证垂直 如果已知直线与圆有如果已知直线与圆有交点，往往交点，往往要作出过这一要作出过这一点的半径点的半径，再证明直线垂再证明直线垂直于这条半径即可直于这条半径即可.2、作垂线，证半径作垂线，证半径 如果不明确直线与圆如果不明确直线与圆的交点，往往的交点，往往要作出圆心要作出圆心到直线

3、的垂线段到直线的垂线段，再证明再证明这条垂线段等于半径即可这条垂线段等于半径即可.ABCDEO.切线的性质定理切线的性质定理圆的切线垂直于圆的切线垂直于过切点的半径过切点的半径. .CDCD切切O O于于, A, A是切点是切点, , OAOA是是O O的半径的半径CDOACDOA. 提示：提示：切线的性质定理是证明两条直线切线的性质定理是证明两条直线垂直的重要根据垂直的重要根据;作过切点的半径是常用作过切点的半径是常用经验辅助线之一经验辅助线之一.切线性质定理的推广 性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径 推推1 1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点

4、：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 推推2 2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心你能用一个定理把圆的切你能用一个定理把圆的切线的性质及它的两个推论线的性质及它的两个推论概括出来吗？概括出来吗？如果一条直线具备下列三个条件中的任意两个，如果一条直线具备下列三个条件中的任意两个，就可以推出第三个就可以推出第三个：（：（1）垂直于切线；（）垂直于切线；（2）过切点；（过切点；（3）过圆心。）过圆心。经过圆心经过圆心垂直于切线垂直于切线直线经过切点直线经过切点垂直于切线垂直于切线经过圆心经过圆心直线经过切点直线经过切点直线经过切点直线经过切点经过圆心经过圆

5、心切线垂直于半径切线垂直于半径按图填空：按图填空：(1). 如果如果AB是是 O的切线，的切线，那么那么AOB O的切线的切线(2). 如果如果OAAB，那，那么么AB是是切点切点OAAB.(3).如果如果AB是是 O的切线，的切线，OAAB，那么，那么A是是_练一练练一练、切线和圆有且只有一个公共点、切线和圆有且只有一个公共点、圆的切线垂直于经过切点的半径、圆的切线垂直于经过切点的半径 、经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点、经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点、经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心、经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心、切线和圆心的距离等于半径、切线和圆心的距离等于半径n从

6、圆外一点可以引圆的两条切线，他们的从圆外一点可以引圆的两条切线，他们的切线切线长长_ ，这一点和圆心的连线，这一点和圆心的连线会会_两条切线的夹角两条切线的夹角ABPO12切线长定理切线长定理:PA,PB切切 O于于A,B _ _ 相等相等平分平分PA=PB1=2 从圆外一点引圆的两条切线，它们从圆外一点引圆的两条切线，它们的的切线长相等切线长相等；这点；这点与圆心的连线平分与圆心的连线平分这两条切线的夹角。这两条切线的夹角。BAPOPA、PB为为 O的切线的切线PA=PB,APO= BPOl例例1已知：直线已知：直线AB经过经过 O上的点上的点C，并且，并且OAOB，CACB。求证：直线。求

7、证：直线AB是是 O的切线。的切线。OCBA练习练习如图如图, O切切PB于点于点B,PB=4,PA=2,则则 O的半径多少？的半径多少？AOBP练习练习2 2 如图：如图：PA,PC分别分别切圆切圆O于点于点A,C两点两点,B为为圆圆O上与上与A,C不重合的点不重合的点,若若P=50,则则ABC=_OCPAB例例如图如图AB为为 O的直径，的直径，D是弧是弧BC的中点，的中点，DEAC交交AC的延长线的延长线于于E， O的切线的切线BF交交AD的延长线的延长线于于F。(1)求证：求证：DE是是 O的切线。的切线。 CDOBFEA(2)若若DE3， O的半径是的半径是5，求，求BD的长。的长。

8、 GOCBADE1234例例3:已知已知: 如图如图 RT ABC中中,C=900, 以以AC为直径的为直径的 O交斜边交斜边 AB于于D,OEAB交交BC于于E,求证求证: DE是圆是圆O的切线的切线.OCBADE1234例3：已知已知: 如图如图 RT ABC中中,C=900, 以以AC为直径为直径 的的 O交斜边交斜边 AB于于D,OEAB交交BC于于E 求证求证: DE是圆是圆O的切线的切线证明：证明：连结连结OD OEAB, 1 12 2，3 34 4， 又又OA=OD,OA=OD, 1=3. 1=3. 2=4 2=4 在在OCEOCE和和ODEODE中中 OC=ODOC=OD，2

9、24 4，OE=OEOE=OE OCEOCEODE.ODE. C=90 C=900 0 ODE=90 ODE=900 0, ,即即DEOD.DEOD. DE DE是是O O的切线。的切线。GHOEFBADC例例4:已知：已知： 如图如图ABC中中ADBC，AD= BC ，E，F分别是分别是AB，AC的中点，的中点，AD与与EF相交于相交于H，求证：求证： 以以EF为直径的为直径的 O与与BC相切相切12（两种辅助线的做法）若明确直线和圆的公共点,我们作半径(连接公共点和圆心),去证明这条半径和直线垂直;若不明确直线和圆的公共点,我们过圆心作这条直线的垂线,去证明垂线段等于半径.证明相切的常用思

10、路：GHOEFBADC例4：已知：已知： 如图如图ABC中中ADBC，AD= BC ， E，F 分别是分别是AB，AC的中点，的中点，AD与与EF相交于相交于H， 求证：求证： 以以EF为直径的为直径的 O于于BC相切相切12证明：证明：作作OGBC，垂足为，垂足为G E，F分别是分别是AB，AC的中点的中点 EFEFBC,BC,且且EFEF BC。 H H是是ADAD的中点，即的中点，即HD= HD= AD. AD AD BC. AD=EF AD=EF HD= HD= EF ADBC, OGBC, EFBC, EFBC,BC, OG=HD= OG=HD= EF OG OG是是O O的半径。的

11、半径。 以以EFEF为直径为直径O O的与的与BCBC相切相切 1212121212（两种辅助线的做法）若明确直线和圆的公共点,我们作半径(连接公共点和圆心),去证明这条半径和直线垂直;若不明确直线和圆的公共点,我们过圆心作这条直线的垂线,去证明垂线段等于半径.证明相切的常用思路：2. 已知已知:如图如图, O交交OA于于C,弦弦BCAC,A30求证：求证： AB是是 C的切线的切线OBAC（6）1.已知已知: 如图如图,在以在以O为圆心的两个同心圆中为圆心的两个同心圆中,大圆的弦大圆的弦AB和和CD 相等相等,且且AB与小圆相切于与小圆相切于E 求证：求证：CD与小圆相切与小圆相切EFOAB

12、CD.(5)3 3、已知：、已知：ABAB是圆是圆O O的直径，的直径，C C是是ABAB延延长线上的一点，长线上的一点，CDCD切圆切圆O O于点于点D D，DEABDEAB于点于点E E。求证：求证： CDB = EDBCDB = EDBEACODBCBDOEA5、如、如 ABC中中 C 900,AC12cm,BC=16cm,O的直径的直径MN在在AB上上,且且分别切分别切AC于于D,BC于于E,求求MN的长的长BCAONMDE方法小结：根据切线的方法小结：根据切线的性质，构造相似三角形性质，构造相似三角形利用相似三角形对应边利用相似三角形对应边成比例的性质成比例的性质,建立方建立方程求解

13、。程求解。5、如、如ABC中中C900,AC12cm,BC=16cm O的直径的直径MN在在AB上上,且分别切且分别切AC于于D,BC于于E 求求 MN的长的长解：解： 连结连结OD，OE,设圆的半径为设圆的半径为R. O分别切分别切AC,BC于于E， ODOE=R,ODAC,OEBC, 又又 C900， DC=OE=R,ODBC. ,即即.解得，解得， R cm. MN= cm.ODBCADACR1612-R12487967BCAONMDE方法小结：根据切线的性质，方法小结：根据切线的性质，构造相似三角形利用相似三角构造相似三角形利用相似三角形对应边成比例的性质形对应边成比例的性质,建立建立

14、方程求解。方程求解。6、已知、已知,如图如图,D(0,1), D交交y轴于轴于A、B两点两点,交交x轴负半轴于轴负半轴于C点点,过过C点点的直线的直线:y=2x4与与y轴轴交于交于P.试猜想试猜想PC与与 D的位置关系，并说明理的位置关系，并说明理由由.解：解：令令x=0，得得y=-4;令令y=0,得得x=-2C(-2,0), P(0,-4) 又又D(0,1)OC=2, OP=4 ,OD=1, DP=5在在RtCOD中中, CD2=OC2+OD2=4+1=5在在RtCOP中中, CP2=OC2+OP2=4+16=20在在CPD中中, CD2+CP2=5+20=25, DP2=25CD2+CP2

15、=DP2CDP为直角三角形为直角三角形,且且DCP=90PC为为 D的切线的切线.直线直线y=-2x-4PC是是 O的切线，理由如下：的切线，理由如下：6、已知、已知,如图如图,D(0,1), D交交y轴于轴于A、B两点两点,交交x轴负半轴于轴负半轴于C点点,过过C点点的直线的直线:y=2x4与与y轴轴交于交于P.试猜想试猜想PC与与 D的位置关系，并说明理的位置关系，并说明理由由. 思考：判断在直线思考：判断在直线PC上是否存在点上是否存在点E，使得，使得SEOC=4SCDO,若存在，若存在，求出点求出点E的坐标；若不存的坐标；若不存在，请说明理由在，请说明理由. 解：假设在直线解：假设在直

16、线PC上存在这样的点上存在这样的点E(x0,y0),使得使得SEOC =4S CDO，1122121CODODCDS4210yCDSEOC40 y40 yE点在直线点在直线PC：y=-2x-4上，上，当当y0=4时有：时有：442x4 x 当当y0=-4时有：时有：442x0 x在直线在直线PC上存在满足条件的上存在满足条件的E点，其的坐标为点，其的坐标为(-4,4) , (0,-4) .边长为，的三角形，其内心和边长为，的三角形，其内心和外心间的距离是外心间的距离是。7 7、2108686r8、如图，、如图，PA、PB是是 O的两条切线，的两条切线，A、B为切点，试探究为切点，试探究ABO与

17、与APB的关系，的关系，并证明并证明. 9、如图所示，、如图所示，EB、EC是是 O的两条的两条切线，切线，B、C是切点，是切点，A、D是是 O上两上两点，如果点，如果E=46，DCF=32；求求A的度数的度数10、从圆外一点向半径为、从圆外一点向半径为9的圆作切线，的圆作切线，已知切线长为已知切线长为18，从这点到圆的最短距，从这点到圆的最短距离为离为 1111、如图，正方形、如图，正方形ABCDABCD的边长为的边长为4cm4cm，以，以正方形的一边正方形的一边BCBC为直径在正方形为直径在正方形ABCDABCD内作内作半半圆，再过圆，再过A点作半圆的切线，与半圆相点作半圆的切线，与半圆相

18、切于切于F点，与点，与DC相交于相交于E点点求梯形求梯形ABCE的面积的面积12. 如图：如图：ABC中，中，C900，点，点O在在BC上，以上，以OC为半径的半圆切为半径的半圆切AB于点于点E，交交BC于点于点D,若若BE4,BD2,求求 O的半的半径和边径和边AC的长的长 BACEOD13、如图，、如图，AB是是 O的直径，的直径，AD、DC、BC是切线，点是切线，点A、E、B为切点，为切点， (1)求证：求证：OD OC (2)若若BC=9，AD=4，求，求OB的长的长. OABCDEF 14、ABC外切于外切于 O ，切点分别为点，切点分别为点D、E、F，A600，BC7, O的半的半径为径为 求求ABC的周长的周长3ECFDABO1515、如图，、如图，I I为为ABCABC的内切圆，点的内切圆，点D D，E E分别为边分别为边AB,ACAB,AC上的点，且上的点，且DEDE为为I I的切线，的切线，若若ABCABC的周长为的周长为212