2010年高考新课标卷数学（文理科）试题解析

1、2010年高考新课标卷数学试题解析目 录2010年高考新课标卷数学（理科）试卷解析12010年高考新课标卷数学（文科）试卷解析152010年高考新课标卷数学（理科）试题解析 本试卷分第i卷（选择题）和第ii卷（非选择题）两部分，其中第ii卷第（22）-（24）题为选考题，其他题为必考题。考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。注意事项：1、答题前，考生务必先将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。2、选择题答案使用2b铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号，非

2、选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚。3、请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。4、保持卷面清洁，不折叠，不破损。5、做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2b铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。参考公式：样本数据的标准差 锥体体积公式 其中为样本平均数 其中为底面面积，为高柱体体积公式 球的表面积，体积公式来源:z。xx。k.com 其中为底面面积，为高 其中r为球的半径 第i卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（选择题答案）（1）d （2）a （3）a

3、 （4）c （5）c （6）b（7）d （8）b （9）a （10）b （11）c （12）b（1）已知集合,则(a)(0,2) (b)0,2 (c)0,2 (d)0,1,21.解析：，故.应选d.命题意图：本题主要考查集合间的交集运算以及集合的表示方法，涉及绝对值不等式和幂函数等知识，属于基础题. (2)已知复数，是z的共轭复数，则=a. b. c.1 d.2 2.解析：.应选a.另解：由可得.命题意图：本题主要考查复数的运算，涉及复数的共轭复数知识，可以利用复数的一些运算性质可以简化运算. (3)曲线在点（-1，-1）处的切线方程为（a）y=2x+1 (b)y=2x-1 c y=-2x-3

4、 d.y=-2x-23.解析：由可得应选a.命题意图：本题主要考查导数的几何意义，以及分式的导数运算和直线的点斜式等知识. (4)如图，质点p在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为p0（，-），角速度为1，那么点p到x轴距离d关于时间t的函数图像大致为4.解析：通过分析可知当时，点到x轴距离d为，于是可以排除答案a,d，再根据当时，可知点在x轴上此时点到x轴距离d为0,排除答案b，应选c.命题意图：本题的求解可以利用排除法，根据某具体时刻点的位置到到x轴距离来确定答案.本题也可以借助解析式来处理.（5）已知命题：函数在r为增函数，：函数在r为减函数，则在命题：，：，：和：中，真命题是（a）

5、， （b）， （c）， （d），5.解析：函数在r为增函数为真命题，而函数为偶函数，则在r不可能为减函数，：函数在r为减函数为假命题，则为假命题，为真命题，然后根据复合命题的判断方法即可确定答案c.命题意图：本题主要考查复合命题的真假的判断，涉及函数的单调性等知识.（6）某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为x，则x的数学期望为（a）100 （b）200 （c）300 （d）4006.解析：由题意可知播种了1000粒，没有发芽的种子数服从二项分布，即,而，则.应选b.命题意图：本题主要考查二项分布的期望以及随机变量的性质，考

6、查解决应用问题的能力.（7）如果执行右面的框图，输入，则输出的数等于（a） （b） （c） （d）7.解析：根据框图所体现的算法可知此算法为求和：，应选d.命题意图：本题主要考查循环结构的框图、框图对应算法的功能以及列项求和.（8）设偶函数满足，则(a) (b) (c) (d) 8.解析：当时，则，由偶函数满足可得，则，令，可解得.应选b.另解：由偶函数满足可得，则，要使，只需解得.应选b.命题意图：本题主要考查偶函数性质、不等式的解法以及相应的运算能力.（9）若，是第三象限的角，则(a) (b) (c) 2(d) -29.解析：由，是第三象限的角可得.，应选a.另解：由，是第三象限的角可得.

7、，.命题意图：本题主要考查三角恒等变换中的倍角公式的灵活运用、同角的三角函数关系等知识以及相应的运算能力.（10）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为(a) (b) (c) (d) 10. 解析：根据题意条件可知三棱柱是棱长都为的正三棱柱，则其外接球的半径为，球的表面积为，应选b.命题意图：本题主要考查空间几何体中位置关系、球和正棱柱的性质以及相应的运算能力和空间形象能力.20（11）已知函数若互不相等，且则的取值范围是(a) (b) (c) (d) 11.解析：作出函数的图象如右图，不妨设，则则.应选c.命题意图：本题主要考查分段函数、对数的运算性质以

8、及利用数形结合解决问题的能力.（12）已知双曲线的中心为原点，是的焦点，过f的直线与相交于a，b两点，且ab的中点为,则的方程式为(a) (b) (c) (d) 12.解析： 由双曲线的中心为原点，是的焦点可设双曲线的方程为，设，即 则，则，故的方程式为.应选b.命题意图：本题主要考查直线与双曲线的位置关系，涉及中点问题可以利用点差法进行求解，也可以利用直线与双曲线的方程联立，借助方程根与系数的关系进行求解,考查利用代数方法研究几何的能力.第卷本卷包括必考题和选考题两部分，第（13）题第（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答，第（22）题第（24）题为选考题，考试根据要求做答。二、填空题：

9、本大题共4小题，每小题5分。（13）设为区间上的连续函数，且恒有，可以用随机模拟方法近似计算积分，先产生两组（每组n个）区间上的均匀随机数和，由此得到n个点，再数出其中满足的点数，那么由随机模拟方案可得积分的近似值为 。13.解析：由题意可知得，故积分的近似值为.（14）正视图为一个三角形的几何体可以是_（写出三种）14.解析：正视图为一个三角形的几何体可以是三棱锥、三棱柱、圆锥、四棱锥等等.命题意图：本题主要考查三视图以及常见的空间几何体的三视图，考查空间想象能力.（15）过点a(4,1)的圆c与直线x-y=0相切于点b（2,1），则圆c的方程为_15. 解析：设圆的方程为，则解得，故所求圆

10、的方程为.命题意图：本题主要考查利用题意条件求解圆的方程，通常借助待定系数法求解.(16)在abc中，d为边bc上一点，bd=dc，adb=120，ad=2，若adc的面积为，则bac=_16. 解析：由adc的面积为可得解得,则.,则故.命题意图：本题主要考查解三角形中的边角关系及其面积等基础知识与技能，分析问题解决问题的能力以及相应的运算能力.三，解答题：解答应写出文字说明，正明过程和演算步骤（17）（本小题满分12分）设数列满足（1） 求数列的通项公式；（2） 令，求数列的前n项和（17）解：（）由已知，当n1时，。而 所以数列的通项公式为。（）由知 从而 -得 。即 命题意图：本题主要

11、考查数列累加法（叠加法）求数列通项、错位相减法求数列和等知识以及相应运算能力.(18)（本小题满分12分）如图，已知四棱锥p-abcd的底面为等腰梯形，abcd,acbd，垂足为h，ph是四棱锥的高 ，e为ad中点（1） 证明：pebc（2） 若apb=adb=60，求直线pa与平面peh所成角的正弦值（18）解：以为原点， 分别为轴，线段的长为单位长， 建立空间直角坐标系如图， 则 （）设 则 可得 因为所以 （）由已知条件可得 设 为平面的法向量 则 即因此可以取，由，可得 所以直线与平面所成角的正弦值为命题意图：本题主要考查空间几何体中的位置关系、线面所成的角等知识，考查空间想象能力以及

12、利用向量法研究空间的位置关系以及线面角问题的能力.(19)(本小题12分)为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：是否需要志愿 性别男女需要4030不需要160270（1） 估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；（2） 能否有99的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？（3） 根据（2）的结论，能否提供更好的调查方法来估计该地区老年人，需要志愿帮助的老年人的比例？说明理由附：（19）解：（1）调查的500位老年人中有70位需要志愿者提供帮助，因此该地区老年人中，需要帮助的老年人的比例的估算值为（2）。由

13、于9.9676.635,所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关。 (iii)由(ii)的结论知，该地区老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女两层并采用分层抽样方法比采用简单随机抽样方法更好命题意图：本题主要考查统计学知识，考查利用数学知识研究实际问题的能力以及相应的运算能力.（20）（本小题满分12分）设分别是椭圆的左、右焦点，过斜率为1的直线与相交于两点，且成等差数列。（1）求的离心率； （2） 设点满足，求的方程（20.）解：（i）由椭

14、圆定义知，又，得的方程为，其中。设，则a、b两点坐标满足方程组化简的则因为直线ab斜率为1，所以得故所以e的离心率（ii）设ab的中点为，由（i）知，。由，得，即得，从而故椭圆e的方程为。命题意图：本题主要考查圆锥曲线中的椭圆性质以及直线与椭圆的位置关系，涉及等差数列知识，考查利用方程思想解决几何问题的能力及运算能力.（21）（本小题满分12分）设函数。（1） 若，求的单调区间；（2） 若当时，求的取值范围（21）解：（1）时，.当时，；当时，.故在单调减少，在单调增加（ii）由（i）知，当且仅当时等号成立.故，从而当，即时，而，于是当时，.由可得.从而当时，故当时，而，于是当时，.综合得的取

15、值范围为.命题意图：本题主要考查利用导数研究函数性质、不等式恒成立问题以及参数取值范围问题，考查分类讨论、转化与划归解题思想及其相应的运算能力.请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。做答时用2b铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图，已经圆上的弧，过c点的圆切线与ba的延长线交于e点，证明：（）ace=bcd；（）bc2=bfcd。（22）解：（i）因为,所以.又因为与圆相切于点，故，所以.（ii）因为,所以，故，即.命题意图：本题主要考查几何选讲中圆、三角形相似等知识，考查分析问题、解

16、决问题的能力，属于基础题.（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知直线c1（t为参数），c2（为参数），（）当=时，求c1与c2的交点坐标；（）过坐标原点o做c1的垂线，垂足为，p为oa中点，当变化时，求p点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线。(23)解：（）当时，的普通方程为，的普通方程为。联立方程组 ，解得与的交点为（1,0）。（）的普通方程为。a点坐标为，故当变化时，p点轨迹的参数方程为：，p点轨迹的普通方程为。故p点轨迹是圆心为，半径为的圆。命题意图：本题主要考查直线与圆的参数方程，参数方程与普通方程的互化，利用参数方程研究轨迹问题的能力.（24）（本小题满分1

17、0分）选修4-5，不等式选讲 设函数（）画出函数的图像（）若不等式的解集非空，求a的取值范围。（24） 解：（）由于则函数的图像如图所示。（）由函数与函数的图像可知，当且仅当或时，函数与函数的图像有交点。故不等式的解集非空时，的取值范围为。命题意图：本题主要考查含有绝对值的函数图象与性质以及不等式问题，考查利用数形结合解决问题的能力.2010年高考新课标卷数学（文科）试卷解析 本试卷分第i卷（选择题）和第ii卷（非选择题）两部分，其中第ii卷第（22）-（24）题为选考题，其他题为必考题。考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。注意事项：1、答

18、题前，考生务必先将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。2、选择题答案使用2b铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚。3、请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。4、保持卷面清洁，不折叠，不破损。5、做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2b铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。参考公式：样本数据的标准差 锥体体积公式 其中为样本平均数 其中为底面面积，为高柱体体积公式 球的表面积，体积公式来源

19、:z。xx。k.com 其中为底面面积，为高 其中r为球的半径 第i卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）d (2) c (3) b (4) a (5) d (6) c (7) b (8) d (9) b (10) a (11)b (12)c（1）已知集合,则(a)(0,2) (b)0,2 (c)0,2 (d)0,1,21解析：，故.应选d.命题意图：本题主要考查集合间的交集运算以及集合的表示方法，涉及绝对值不等式和幂函数等知识，属于基础题.（2）a，b为平面向量，已知a=（4，3），2a+b=（3，18），则a，b夹角的余弦值等

20、于（a） （b） （c） （d）2解析：由a=（4，3），2a+b=（3，18）可得，应选c.命题意图：本题主要考查向量的坐标运算以及凭借向量数量积求向量的夹角等知识.（3）已知复数，则=(a) （b） （c）1 （d）23.解析：，应选b. 另解：由.命题意图：本题主要考查复数的运算，可以利用复数的一些运算性质可以简化运算.（4）曲线在点（1,0）处的切线方程为 （a） （b） （c） （d）4.解析：，应选a.本题主要考查导数的几何意义，以及直线的点斜式方程等知识.（5）中心在原点，焦点在轴上的双曲线的一条渐近线经过点（4,2），则它的离心率为 （a） （b） （c） （d）5解析：由题意

21、可设双曲线方程为，其渐近线为由焦点在轴上的双曲线的一条渐近线经过点（4,2）知过点（4,2），即，应选d.命题意图：本题主要考查双曲线的性质以及待定系数法解决问题的能力. （6）如图，质点在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为（，），角速度为1，那么点到轴距离关于时间的函数图像大致为6. 解析：通过分析可知当时，点到x轴距离d为，于是可以排除答案a,d，再根据当时，可知点在x轴上此时点到x轴距离d为0,排除答案b，应选c.命题意图：本题的求解可以利用排除法，根据某具体时刻点的位置到到x轴距离来确定答案.本题也可以借助解析式来处理. (7) 设长方体的长、宽、高分别为2a、a、a,其顶点都在

22、一个球面上，则该球的表面积为 （a）3a2 （b）6a2 （c）12a2 （d） 24a27.解析：由题意条件可知长方体的体对角线长为为其外接球的直径，即，故所求球的表面积为，应选b.命题意图：本题主要考查长方体与其外接球的关系，长方体的体对角线和球的表面积的求法，考查空间想象能力.（8）如果执行右面的框图，输入n=5，则输出的数等于（a）（b）（c）（d）8. 解析：根据框图所体现的算法可知此算法为求和：，应选d.命题意图：本题主要考查循环结构的框图、框图对应算法的功能以及列项求和. (9)设偶函数f(x)满足f(x)=2x-4 (x0），则= （a） （b）（c） （d）9.解析：由偶函数

23、f(x)满足f(x)=2x-4 (x0）可得即，应选b.命题意图：本题主要考查偶函数性质、不等式的解法以及相应的运算能力.（10）若= -，a是第三象限的角，则=（a）- （b） （c） （d）10解析：由= -，a是第三象限的角可得，应选a.（11）已知abcd的三个顶点为a（-1，2），b（3，4），c（4，-2），点（x，y）在abcd的内部，则z=2x-5y的取值范围是（a）（-14，16） （b）（-14，20） （c）（-12，18） （d）（-12，20）11.解析：根据题意条件可知点,借助线性规划可得即，应选b.命题意图：本题主要考查利用线性规划求目标函数的取值范围等知识.（1

24、2）已知函数f(x)= 若a，b，c均不相等，且f(a)= f(b)= f(c)，则abc的取值范围是（a）（1，10） （b）(5，6) （c）(10，12) （d）(20，24)命题意图：本题主要考查三角恒等变换中两角和公式的灵活运用、同角的三角函数关系等知识以及相应的运算能力.12解析：作出函数的图象如右图，20不妨设，则则.应选c.命题意图：本题主要考查分段函数、对数的运算性质以及利用数形结合解决问题的能力.第卷本卷包括必考题和选考题两部分。第（13）题第（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答。第（22）题第（24）题为选考题，考生根据要求做答。二填空题：本大题共4小题，每小题5分

25、。答案：（13）x2+y2=2 (14) (15) (16)2+（13）圆心在原点上与直线相切的圆的方程为 。13.解析：由题意可知所求圆的半径为，圆的方程为.命题意图：本题主要考查直线与圆的位置关系，利用几何法圆心到直线的距离确定圆的半径，借助圆心直接写出圆的方程.（14）设函数为区间上的图像是连续不断的一条曲线，且恒有，可以用随机模拟方法计算由曲线及直线，所围成部分的面积，先产生两组每组个，区间上的均匀随机数和，由此得到v个点。再数出其中满足的点数，那么由随机模拟方法可得s的近似值为_14解析：由题意可知得，故的近似值为.命题意图：本题主要考查与面积相关的几何概型，考查分析问题解决问题的能

26、力. (15)一个几何体的正视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的_(填入所有可能的几何体前的编号)三棱锥 四棱锥 三棱柱 四棱柱 圆锥 圆柱15解析：正视图为一个三角形的几何体可以是三棱锥、三棱柱、圆锥、四棱锥等等.答案为 命题意图：本题主要考查三视图以及常见的空间几何体的三视图，考查空间想象能力.(16)在中，d为bc边上一点，,.若,则bd=_16解析：,， 而，则即，解得.命题意图：本题主要考查解三角形中的边角关系，考查分析问题解决问题的能力以及相应的运算能力.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（17）（本小题满分12分）设等差数列满足，。（）求的通项公式

27、； （）求的前项和及使得最大的序号的值。（17）解： （1）由 = a1 +（n-1）d及a1=5，=-9得 解得数列的通项公式为an=11-2n。 (2)由(1) 知=na1+d=10n-n2。 因为=-(n-5)2+25. 所以n=5时，取得最大值。 命题意图：本题主要考查等差数列通项及求和，属于基础题. （18）（本小题满分12分）如图，已知四棱锥的底面为等腰梯形，,垂足为，是四棱锥的高。（）证明：平面 平面;（）若,60,求四棱锥的体积。(18)解： (1)因为ph是四棱锥p-abcd的高。 所以acph,又acbd,ph,bd都在平phd内,且phbd=h. 所以ac平面pbd. 故

28、平面pac平面pbd. (2)因为abcd为等腰梯形，abcd,acbd,ab=. 所以ha=hb=. 因为apb=adr=600 所以pa=pb=,hd=hc=1. 可得ph=. 等腰梯形abcd的面积为s=ac x bd = 2+. 所以四棱锥的体积为v=（2+）=命题意图：本题主要考查空间的位置关系和锥体的体积计算.属于基础题.(19)(本小题12分)为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：性别是否需要志愿 男女需要4030不需要160270（4） 估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；（5） 能否有99的把握认为

29、该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？（6） 根据（2）的结论，能否提供更好的调查方法来估计该地区老年人，需要志愿帮助的老年人的比例？说明理由附：（19）解：（1）调查的500位老年人中有70位需要志愿者提供帮助,因此该地区老年人中需要帮助的老年人的比例的估计值为. (2) 由于所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关. （3）由于（2）的结论知，该地区的老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异,因此在调查时,先确定该地区老年人中男,女的比例，再把老年人分成男,女两层并采用分层抽样方法比采用简单反随即抽样方法更好. 命题意图：本题主要考查统计学知识，考查利用数学知识研究实际问题的能力以及相应的运算能力.（20）（本小题满分12分）设,分别是椭圆e：+=1（0b1）的左、右焦点，过的直线与e相交于a、b两点，且，成等差数列。（）求（）若直线的斜率为1，求b的值。（20）解： （1）由椭圆定义知 又 （2）l的方程式为y=x+c,其中 设,则a，b 两点坐标满足方程组 化简得则因为直线ab的斜率为1，所以 即 .则解得 .