基本不等式ab+a+b2

1、 a + b第六章 第四节基本不等式：ab 8+ 2 xy（当且仅当x= y时等号成立），即 xy 2 xy 80,可解得.xy4,即xy 16,故xy的最小值为16.答案：D1 12. （2009天津高考）设a0, b0.若.3是3a与3b的等比中项，贝叮+ 的最小值为（）1A. 8B. 4C. 1D.-4解析：/ .3是 3a 与 3b 的等比中项，（ .3）2= 3a 3b.即 3= 3a+b, a + b= 1.1 1 a+ b a+ bba1此时一 +=+= 2 + （一 + ）2 + 2= 4（当且仅当a = b =；取等号）.ababa b2答案：B1 a3 已知不等式（x+ y

2、）（；+ y） 9对任意正实数x,y恒成立，则正实数a的最小值为（）A . 8B . 6C . 4D . 21 ax y解析：（x+ y）（ +-） = 1 + a + + ax yy x a+ 1 + 2 - a：= a + 2 . a+ 1,当且仅当a y= x等号成立，所以（Ja） + 2 , a+ 19,即（ a） + 2 i1 a 80，得a2 或 t a w 4（舍）,所以a4,即卩a的最小值为4.答案：C4. (2010 太原模拟)若直线 ax by+ 2 = 0(a0, b0)和函数 f(x)= a1 + 1(a0 且 a工 1)的1 1图象恒过同一个定点，则当丄+1取最小值时

3、，函数f(x)的解析式是a b1 111113解析：函数 f(x)= ax+1+ 1 的图象恒过(1,2)，故戶 + b= 1, +二=(芋+ b)(- + )= +2 a b2a b 2b + 2b2+ 2.当且仅当b=#a时取等号，将b = 22a代入*a + b = 1得a = 2 2 2, 故 f(x)= (2 2 2)x+1+ 1.答案：f(x)= (2 2 2)x+1 + 1题组二利用基本不等式证明不等式5已知 a 0, b0，且 a+ b= 2,贝U()1 1 2 2 2 2A . ab wB. abpC. a + b 2D . a + b .ab 得 ab 2ab? 2(a +

4、 b ) (a+ b) ? a+ b2 2.法二：(特值法)取a= 0, b = 2满足a + b = 2,代入选项可排除B、D.又取a= b = 1满足a+ b= 2.但 ab= 1,可排除 A.答案：C 6 .设a、b是正实数， 以下不等式ab2恒成立的 ab: a|a b| b; a2+ b24ab 3b2 : ab + a+ b序号为()A .B .C.D.解析：/ a、b是正实数，a + b2 ab? 1 乙辿？ ab-2ab.当且仅当a= b时 a + ba+ b222取等号，不恒成立； a+ b|a b|? a|a b| b恒成立；a + b 4ab + 3b = (a 2b)2

5、0,当a = 2b时，取等号，不恒成立；ab +盘2 . ab = 2 . 22 恒成立.答案：D7. 已知 a、b、c (0,+s )且 a + b+ c= 1, 求证：(1 1)(1 1)(- 1) 8.a b c证明：/ a、b、c (0,+)且 a+ b+ c= 1,1 1 1 (1 a)(1 b)(1 c) (11)(11)(1 1)=矿(b+ c)(a+ c)(a+ b) 2 bc 2 ac 2 ab= abc一 -abc=81当且仅当a = b= c=3时取等号.题组三基本不等式的实际应用8. (2010惠州模拟)某商场中秋前30天月饼销售总量f(t)与时间t(0 18.当且仅当

6、16,即t= 4 1,30等号成立，即平均销售量的最小值为18.=8,5，答案：A9. 某公司租地建仓库，每月土地占用费屮与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车 站千米处.解析：设仓库建在离车站 d千米处,由已知 y1 = 2= 11，得 k1= 20, y1 =晋,y2= 8 = k2 10，得 k2= 5， y2 = 4d,-y1 + y220+警 2.20 4d ：d 5当且仅当20d即d= 5时，费用之和最小.答案：5x10. (文)某

7、造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为162平方米的三级污水处理池，池的深度一定(平面图如图所示)，如果池四周围墙建造单价为400元/米，中间两道隔墙建造单价为248元/米，池底建造单价为 80元/米 2,水池所有墙的厚度忽略不计.试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低,并求出最低总造价;16米，试设计污水池的长和宽，使(2)若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过 总造价最低，并求出最低总造价.162解：(1)设污水处理池的宽为 x米，则长为 竺米.x则总造价 f(x)= 400X (2x+ 2 XJ62)+ 248X 2x+ 80X 162= 1 296x+ 1 296； 100 + 1296

8、0=1 296(x + 100) + 12 960 1 296 X 2x*0+ 12 960 = 38 880(元),当且仅当x= 100(x0),x即x= 10时取等号.当长为16.2米，宽为10米时总造价最低，最低总造价为38 880兀.0x 16(2)由限制条件知 162”“，10x w 16.0w 1680)满足x= 3-和门(k为常数).如果不搞技术改革，则该产品当年的产量只能是1万件已知2010年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入 16万元由于市场行情较好，厂家生产的产品均能销售出去厂家将每件产品的销售价格定为每件产品生产成本的1.5倍（生产成本包括固定投入

9、和再投入两部分资金）.（1）将2010年该产品的利润y万元（利润=销售金额生产成本技术改革费用）表示为技术改革费用 m万元的函数；（2）该企业2010年的技术改革费用投入多少万元时，厂家的利润最大？解：由题意可知，当 m= 0时，x= 1（万件）,1 = 3 k,2m+ 18 + 16x每件产品的销售价格为1.5X（元）,X 2010年的利润8+ 16xy= x 1.5 X (8 + 16x) mX16 一=+ (m+ 1) + 29(兀)(m0).m+ 1/ m0,+ (m+ 1)2 16 = 8,m+ 1 yw 29 8= 21,16当 =m + 1，即卩 m= 3, ymax= 21.

10、m+ 1该企业2010年的技术改革费用投入3万元时，厂家的利润最大.题组四基本不等式的综合应用11. 若a是.2 b与.2+ b的等比中项，贝U的最大值为|a|+ |b|A. .2B. 1cjD.吕解析：/ a是2 b与.2+ b的等比中项，2ab w 2|al Ibl w|a|+ |b|a|+ |b a2= 2 b2? a2 + b2= 2.根据基本不等式知2ab即上叱的最大值为1.ai+ ibi答案：B12.若 a,&2 匕2 （a+ b）2b是正常数，吐b, x, y （0宀），则a +勺，当且仅当a=鳥时取等号.利用以上结论，函数291f（x）= &+ 匸2】（x （0，2）取得最小值时 x的值为1B.12 2 2a b、(a+ b) f解析：由一 +得,x y x+ y22f(x)= 2X+(2 + 3)221-2x 2x+ (1 - 2x)= 25.当且仅当 2x =2x