(新教材)人教A数学必修第一册培优教程课件：第4章指数函数与对数函数数学建模

1、数学建模建立函数模型解决实际问题一、数学建模活动选题1. 应在炒菜之前多长时间将冰箱里的肉拿岀来解冻？2. 根据某一同学的身高和体重，判断该同学是否超重.3. 用微波炉或电磁炉烧一壶开水，找到最省电的功率设定方法.4. 估计阅读一本书所需要的时间.5. 估计一个人的血液总量.6. 决定十字路口黄灯亮的时间长度.选题的一般步骤是先发现和提岀问题，再查找资料，分析问题，最后结合实际，确定研究课题.选题原则通常要满足科学性、价值性、创造性、需要性、可行性、效益 性等原则选题宜小不宜大，选题应结合实际，有新意，要考虑自身的优势，与自身的能力相适应.二、数学建模活动开题以“用电磁炉烧水如何设置功率最省电

2、”为例做开题报告，如下表:要解决的问题用电磁炉烧水如何设置功率最省电选题的原 因及意义现如今电磁炉走进了千家万户，成为人们日 常重要的加热工具之一电磁炉以有用效率 高著称，但在倡导节约型社会的今天希望尽 可能多的减少热损耗，到底如何使用才更省 电，不同人有着不同的认识,希望通过本次 实验研究统一认识得到合理的正确的使用 方法建模问题 的可行性 分析利用所学的物理知识通过实验收集数据. 利用数学函数知识分析处理数据从而得到 结论是可行的1 明确实验原理：4=雳,式中P指电磁炉设定功率，基本模型、解决问题 的大体思/指烧水时间,C指物质的比热容，加为物质的质量，丁为物质的温度变 化量；2准备实验器

3、材：电磁炉、不锈钢锅、计时器、温度计（泡沫固定）、量筒等；3 收集实验数据；4 分析处理实验数据.找到电磁炉功率和有用效率的关系预期结果 和结果呈 现方式一个能够反映电磁炉功率和有用效率的函数模型，一份有求解过程的文字报告要解决的 问题用电磁炉烧水如何设置功率最省电成员 和分工全组共同制定研究计划,商讨确定数学模型： 同学甲（组长侧重组织讨论，把握T作方向）； 同学乙、丙（准备实验器材,进行实验操作采 集信息、计算整理数据）；同学丁 （侧重讨论记录、报告撰写、结果复核）.参考文献其他说明数学建模活动需要团队协作.首先,在班级中组成35人的研究小组, 每位同学参加其中一个小组.在小组内，要确定一

4、个课题负责人，使每位成 员都有明确的分工.拟定研究课题、确定研究方案、规划研究步骤、编制研 究手册，然后在班里进行一次开题报告.三、数学建模活动做题做题就是研究小组建立数学模型、用数学知识解决实际问题的实践活动, 在实践活动中应当按照数学建模的实施步骤进行.丫哈实年实际问题的解不符合实际根据开题报告所规划的研究步骤，通过背景分析、数据收集、数据分析、 数学建模、获得结论等过程，完成课题研处在研究过程中，可以借助信息 技术解决问题.四、数学建模活动结题数学建模活动结束后，以小组为单位，撰写一份研究报告.以“用电磁炉烧水如何设置功率最省电”为例做结题报告，如下表：课题名称课题组成员及分T选题的意义

5、用电磁炉烧水如何设置功率最省电全组共同制定研究计划商讨确定数学模型：同学中（组长侧重组织讨论把握工作方向）； 同学乙、丙（准备实验器材进行实验操作釆集信息、讣算整理数据）.现如今电磁炉走进了下家万户成为人们口常重要的加热T.具之一 电磁炉以有用效率高若称但在倡导节约 型社会的今天希望尽可能多的减少热损耗到底如何使用才更省电不同人有着不同的认识希望通过本次实 验研究统一认识，得到合理的正确的使用方法此课题的研究从正确使用到节能都有积极的意义并且利用所学物理和数学知识能够得到解决解决问题的 思路：1 明确实验原理：研究计划 （包括对选 题的分析、 解决问题厂緩.式中P指电磁炉设定功率，f指烧水时间

6、,C指物质的比热容，加为物质的质量,AT为物质的温度变化量；2 准备实验器材:电磁炉、不锈钢锅、计时器、温度计（泡沫固定）、量筒等；3 收集实验数据；4 分析处理实验数据.找到电磁炉功率和有用效率的关系研究过程（收集数据.分析数据、建立模型、求解模型的过程以及过程中出现的难点及解决方案等）一、様念界定有用效率:电磁炉的有川效率是指将物质从某一温度加热到另一温度时物质增枷的内能与电感炉消耗的总 地能的比（I.数学表达式为广緩.式中P指电癒炉设龙功率./指烧水时间，描物质的比热容/为物质 的质曲亠”为物质的温度变化虽.二、分析冋題以电磁炉绘水为例.通过査找施料和对烧水的过世进行分析.我fl可以得出

7、电遜炉在烧水时的能Ofi主要 来自以下几个方面：1. 烧水时丙板和容器增加的内能.2. 面板和容器对周围空气的热传导.热对汛.热辐射.3. 电磯炉内电阻等电子元杵和线路阂电就的热效应攒失的热能.4. 电磁炉内部的敬热系统工作时消枪的电能（风机工作）.所以我们星出了以下般设：1. 劝枣越丈越省电？因为水即内隹落加量Q是一定电蛙炉设定的处率w首尢，所用的片间？越所以參扼匡的隹量热少.2. 第建水总省电?因为铉总小和空%接融的做热面超小可以减夕能量的損耗.3. 次坯*超少藏言电？因为車设沁i水如杲勢少，秋可以大大节省烧水的升问.可以有效城少羔损耗.在以上的三个fK改中第二个收设牵後变虽丈多川已学过的

8、知识不能解决.而第三个般设中由干烧水的多 少和人们的便用需求虽有关没有实际的探讨意文.所以后面主要对第一个假蛙进行实验和探讨.三、实验探究为了探究有川效率与电磁炉耗电功率的关系我进行了以下实整.（一实墜日的:探宪用电磁炉烧水时.电磁炉枪电功率与有用效率之阿的关系.（二）实验原理:使川同一个电磴炉.以不同的功率烧同一口锅装的同等质虽的水由某一温度加热曲另一温 度计奠电磴炉烧水时的有川效率有川效率是指水增加的总内能与电磁炉消轮的总电能的比值.数学表达式 为9需式中P指电磁炉设定功率出饶水时间“*抬水的比热容皿为水的质鱼丁为水的理度变化朮（三）实验器材:奔腾pc22n_b电磁炉、目来水若X直径为22

9、 cm的不锈钢锚一个、停表、温度计、量筒、泡沫須 料（用来同定温度计）（如卜图）奔聘pc22nb电总炉泡沫蜩料和温度计（四）实验歩驟1将奔腾pc22n-b电磁炉平放圧桌面上接通电祿组装器林如右图：2. 向不锈钢锚巾加人2000 n水，用温度计测量水的初温八.打开电磁炉电源开关并迅速 将模式调至烧水模武，选择6CO W的使用功率烧水，同时按下停表开始计时当水温增加 至丁2（98 1）时按下停表结束计时关闭电磁炉电源，读出停表的读数（.待锚、电磁炉面 板、温度计冷却后重复上述步驟，再做三遍；3. 再依次选择800 W.1000 WJ200 W.1400 W.1800 W、22OO W的使用功率，重

10、复步骤2 巾的实於.（五）实验数据记录与分析研究过程 （收集数推、 分析数据、 建立模型. 求解模显 的过程以 及过程屮 出现的蘆 点及解决 方案等）实验数尿如下表:功率P(W)次数水的贾fitArt(kg)时间！（s）初溫丁 |（I）末温7(t)铠度变化2代）总功w（J）水的内能 增加SQ（J）烧水的 有用效率平均有60012159912.29&085.895940071728874.8%71.6%60022160212.498.085.696120071561674.5%60032161012.098.086.096600071896074.4%60042159013.09&085.095

11、400071060074.3%80052112312.398.085.789840071645279.7%80.5%80062111212.19&085.688960071561680.4%80072110112.698.085.488080071394481.1%80082110412.89&085.2883200712272R0.6%100092832.512.89&085.283250071227285.6%85.5%1000102838.313.098.085.083S30071060084.8%1000112826.013.298.084.882600070892885.8%1000

12、12282513.498.084.682510070725685.7%1200132665.112.69&085.479812071391489.5%88.7%1200U2672.212.898.085.28066407122728& 3 %1200152670.213.09&085.080424071060088.4%1200162668.113.29&084.88017207089281400172565.013.498.084.679100070725689.4%89.8%1400182562.113.29&084.878694070892890.1%1400192568.312.898

13、.085.279562071227289.5%1400202561.013.09&085.078960071060090.0%研究过程(收集敌抿、分析数据、建立模51、求解模型的过程以及过程中出现的难点及解决方案等)功率P(W)次数水的质童加(kg)时阿f(s)初温T,(V)末温T?(V)温仪变化Sat(V)总功W(J)水的内陡 增加Q(J)烧水的 有用效率Y均有 用效率1800212135.213.398.081.778336070809290.4%90.0%1800222436.113.298.084.878498070892890.3%1800232438.213.498.084.678

14、876070725689.7%1800242440.313.198.084.979254070976489.6%2200252360.212.898.085.279244071227289.9%90.2%220026?357.613.09&085.078672071060090.3%2200272359.413.298.084.879068070892889.7%2200282356.112.898.085.278342071227290.9%由以上数据作出右用效率和耗电功半的关系如亂注:水的內能增加量为Q=g/泌T,c*指水的比搏容,本论丈中取4.18X10$ J/kg -1.从图表中可以看

15、出，电磁炉烧水的有用效率在600 W时为74. 6%,800 W时为80.5%,1000 W时为85.5%, 1200 W时为88.7%. 1400 W时为89.8%. 1800 W时为90.0%.2200 W时为90.2%.从图象上可以初步得出 k 1400 W以下时有用效率随功率变化狠快.而在1400 W后变化很小在课差范BI内忽略不计.通过以上实验可以发现其实大于1400 W时电谨炉的功率对烧开水时的冇用效率影响并不大,而且有用效率 研究结呆都趙过了 89%,说明电磁炉能效比本身就比较高.所以我们提出以下两个建i义；（一）电翹炉的功車犬于1400 W后电费炉烧水的有用效率较高且匿看电就炉耗电功率的增加有用效率增 加得非常缓慢在实际使用时可以根据家庭电路的负载能力选择相对较高的功率.（二）电逋炉的功率小于1400 W后.电磁炉烧水的有用效率随电磁炉功率的变化而明显变化.功率越大有用效 率建高.所以在条件允许的情况下尽量不使用小功率可以说本次学习和实验是一次充满挑战和乐趣的尝试，也是对书本上物理知识的一种亲身体验.柱目前