初中数学 有理数的乘除运算 知识梳理与分类讲解

专题2.11有理数的乘除运算(知识梳理与考点分类讲解)

第一部分【知识点归纳】

【知识点一】有理数的乘法

1.有理数的乘法法则：(1)两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；(2)任何

数同0相乘，都得0.

【要点提示】

(I)不为0的两数相乘，先确定符号，再把绝对值相乘.

(2)当因数中有负号时，必须用括号括起来，如-2与-3的乘积，应列为(-2)x(-3),不

应该写成-2x-3.

2.有理数的乘法法则的推广：

(1)几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定.当负因数有奇数个时，积为

负；当负因数的个数有偶数个时，积为正；

(2)几个数相乘，如果有一个因数为0,那么积就等于0.

【要点提示】

(1)在有理数的乘法中，每一个乘数都叫做一个因数.

(2)几个不等于0的有理数相乘，先根据负因数的个数确定积的符号，然后把各因数的绝

对值相乘.

(3)几个数相乘，如果有一个因数为0,那么积就等于0.反之，如果积为0,那么至少

有一个因数为0.

3.有理数的乘法运算律：

(1)乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等，即：ab=ba.

(2)乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等.即:

abc—(ab)c—a(be).

(3)乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积

相加.即：a(6+c)=ab+ac.

【要点提示】

(1)在交换因数的位置时，要连同符号一起交换.

(2)乘法运算律可推广为：三个以上的有理数相乘，可以任意交换因数的位置，或者把其

中的几个因数相乘.如a6cd=d(ac)b.一个数同几个数的和相乘，等于把这个数分别同

试卷第1页，共8页

这几个数相乘，再把积相加.如a（b+c+d）—ab+ac+ad.

（3）运用运算律的目的是“简化运算”，有时，根据需要可以把运算律“顺用”，也可以把运

算律“逆用”.

【知识点二】有理数的除法

1.倒数的意义：乘积是1的两个数互为倒数.

【要点提示】

（1）“互为倒数”的两个数是互相依存的.如-2的倒数是-;，-2和是互相依存的；

（2）0和任何数相乘都不等于1,因此0没有倒数；

（3）倒数的结果必须化成最简形式，使分母中不含小数和分数；

（4）互为倒数的两个数必定同号（同为正数或同为负数）.

2.有理数除法法则：

法则一：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即=

b

法则二：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除.0除以任何一个不等于0

的数，都得①

【要点提示】

（1）一般在不能整除的情况下应用法则一，在能整除时应用法则二方便些.

（2）因为0没有倒数，所以0不能当除数.

（3）法则二与有理数乘法法则相似，两数相除时先确定商的符号，再确定商的绝对值.

【知识点三】有理数的乘除混合运算

由于乘除是同一级运算，应按从左往右的顺序计算，一般先将除法化成乘法，然后确定积的

符号，最后算出结果.

【知识点四】有理数的加减乘除混合运算

有理数的加减乘除混合运算，如无括号，则按照“先乘除，后加减”的顺序进行，如有括号,

则先算括号里面的.

第二部分【题型展示与方法点拨】

【题型1］两个有理数的乘法运算

【例1】

（24-25七年级上•全国•随堂练习）

1.计算：

试卷第2页，共8页

(2)(_0.25)x1_g)；

8(15、

(3)?XVTJ;

⑷，CbO-

【变式1】

(24-25七年级上•全国•单元测试)

2.下列运算正确的是()

A.(-5)x(-2)=+(5x2)=10B.（-4）x0=-（4-0）=-4

D.RV（-6）=-QX6]=-2

【变式2】

(23-24六年级下•黑龙江绥化•期末)

3.用“△”表示一种运算符号，表示对于任何数。和b,有aAb=ab-a-b,那么6A4=

【题型2】多个有理数的乘法运算

【例2】

(2024六年级下•上海•专题练习)

4.计算：

(l)(-2)x(-8)x(-125).

41

(2)8x(--)x-,

(3)(-|)x|x(-1);

(4)0.25x(-3.1)x(-8).

【变式1】

(24-25七年级上•全国•随堂练习)

5.若5个有理数的积是负数，则5个因数中正因数的个数可能是()

A.1个B.3个

C.1或3或5个D.以上答案都不对

【变式2】

(23-24七年级上•江苏连云港•阶段练习)

试卷第3页，共8页

6.计算：［-1>3小1+---------------------

【题型3】有理数的乘法运算律

【例3】

(23-24七年级上•江苏宿迁•阶段练习)

7.计算：

(1)卜3皆+12.5+1-16*-(-2.5)

⑵『*Wk』)

1O

(3)-99—x18

(4)18X^-|^|+13X|-4X|

【变式1】

(24-25七年级上•全国•假期作业)

8.有一个数字键“4”坏了的计算器，用这个计算器计算24x25时，下列按键方案中(

合适.

A.3x8x25B.6x4x25C.25x25-1D.2x2x3x25

【变式2】

(22-23七年级上•广东广州•开学考试)

6,,154

9.71—x—+61—x—+51—x—=

675645

【题型4］有理数的除法运算

【例4】

(24-25七年级上•全国•假期作业)

10.计算:

(1)(-12)4-(-3)

⑵牛"

⑶。*㈢

(4)(一12)十］一(一100)

【变式1】

试卷第4页，共8页

（2024•四川达州•二模）

11.下列运算中，计算结果最大的是（）

A.1+(-4)B.1-(-4)C.1x(-4)D.1-(-4)

【变式2】

（23-24六年级下•黑龙江哈尔滨•阶段练习）

cthc

12.已知4、b、C都是有理数，其中。为正数，若代数式的值为-1,则代数式

|abc|

回+粤+回的值为_______.

abc

【题型5】有理数的乘除混合运算

【例5】

（23-24七年级上•广西南宁•阶段练习）

13.计算：

⑶991(-17)；

【变式1】

（2024七年级上•全国•专题练习）

14.下列运算正确的是（）

A.25+^x(-6)=25+-x(-6)25^1x(-6)=25x6x(-6)

B.

66

25*(一6)=25xgx(一6)

C.D.254-—x(-6)=25x6x6

【变式2】

（23-24七年级上•全国•课后作业）

77

15.计算（-48）+；+（-12）x：的结果是.

【题型6】有理数乘除法的实际应用

【例6】

（23-24七年级上•福建厦门•开学考试）

试卷第5页，共8页

16.2018年至2022年底，中国高铁运营里程超过4.2万公里，位居世界第一位.高铁的票

价是按“票价=全程票价xk:工工广汕，，的方法计算,已知/站至站全程票价为800元,

总里程数G

沿途各站的里程数如图.

根据这些信息，请你解决以下问题.

ABCDEFG

0200400600100016002000

（1）/站至尸站的票价是多少元？

⑵王叔叔从。站上车，购买了一张160元的票，他在哪一站下车？请说明理由.

【变式1】

（23-24九年级上•北京海淀•开学考试）

17.实数a,b,c在数轴上对应点的位置如图所示，下列式子正确的是（）

________IlII»

a0bc

A.c（a-fe）>0B.Z>（a-c）>0C.a（6+c）>0D.a[b-c）>0

【变式2】

（2024•北京•三模）

18.车间里有五台车床同时出现故障.已知第一台至第五台修复的时间如下表：

车床代号ABCDE

修复时间（分钟）83111617

若每台车床停产一分钟造成经济损失10元，修复后即可投入生产.

（1）若只有一名修理工，且一名修理工每次只能修理一台机床，则下列三个修复车床的顺

序：

①DTBTETATC；②DTATCTETB；③中，经济损

失最少的是（填序号）；

（2）如果由两名修理工同时修复车床，且每台机床只由一名修理工修理，则最少经济损失

为元.

第三部分【中考链接与拓展延伸】

1、直通中考

【例1】

试卷第6页，共8页

（2024•四川宜宾•中考真题）

19.如果一个数等于它的全部真因数（含单位1,不含它本身）的和，那么这个数称为完美

数.例如：6的真因数是1、2、3,且6=1+2+3,则称6为完美数.下列数中为完美数的

是（）

A.8B.18C.28D.32

【例2】

（2024•山东烟台•中考真题）

20.《周髀算经》是中国现存最早的数理天文著作.书中记载这样一道题：“今有女子不善织,

口减功迟.初口织五尺，末口织一尺，今三十口织，间织几何？”意思是：现有一个不擅长

织布的女子，织布的速度越来越慢，并且每天减少的数量相同.第一天织了五尺布，最后一

天仅织了一尺布，30天完工，问一共织了多少布？

A.45尺B.88尺C.90尺D.98尺

2、拓展延伸

【例1】

（22-23七年级上•福建泉州•阶段练习）

21.【阅读】我们学习了有理数的加法法则与有理数的乘法法则.在学习此内容时，掌握了

法则，同时也学会了分类思考.

【探索】

（1）若仍=6,贝Ia+6的值为：①正数，②负数，③0.你认为结果可能是；（填序

号）

（2）若a+b=-5,且。、b为整数,则仍的最大值为；

【拓展】

（3）数轴上/、8两点分别对应有理数q、b,若ab<0,试比较a+6与0的大小.

【例2】

试卷第7页，共8页

（20-21七年级上•贵州铜仁•阶段练习）

22.观察下列等式：

11111111

U2~~292^3-2-3*3^4-3-4

将以上三个等式两边分别相加得：

11113

-----+-----+-----

1x22x33x42233444

1

(1)猜想并写出:（其中n为正整数）;

(2)直接写出下列各式的计算结果:

--1--+---1--+---1--+…+1

1x22x33x4--------2019x2020

33

（3）探究并计算:-----+------+-------P…--------------

1x44x77x102019x2022

试卷第8页，共8页

1.(1)0

(片

⑶-6

5

(4)-r

o

【分析】根据有理数的乘法运算法则进行计算即可得解.

本题考查了有理数的乘法运算，熟记运算法则是解题的关键.

【详解】(1)°x[i£]

=0；

(2)(一0.25)义[一3

14

=—X—

45

1

=—x——

54

=-6；

(4)1-4

251

=-------X—

65

__5

~~6'

2.A

【分析】本题考查有理数的乘法运算，根据选项所给式子，逐个求解得到结果判定即可得到

答案，熟练掌握有理数的乘法运算是解决问题的关键.

【详解】解：A、(-5)x(-2)=+(5x2)=10,正确，符合题意；

B、(-4)x0=-(4x0)=0,错误，不符合题意；

c、3x[-1]=-f3x|]=-y＞错误，不符合题意；

答案第1页，共11页

D、[-1jx(-6)=+Qx6]=2>错误，不符合题意；

故选：A.

3.14

【分析】根据“△”所代表的运算法则，将数据代入进行运算即可.此题考查了有理数的运算,

解答本题关键是明确新定义的运算符号所代表的运算法则，属于基础题.

【详解】由题意得：6A4=6x4—6—4=14

故答案为：14.

4.(1)-2000；

(4)6.2.

【分析】本题考查多个有理数的乘法，解题的关键是掌握有理数的乘法运算律.

(1)首先确定乘积的符号，再根据乘法结合律计算即可；

(2)首先确定乘积的符号，再计算；

(3)首先确定乘积的符号，再计算；

(4)首先确定乘积的符号，再利用乘方交换律，结合律计算.

【详解】(1)解：原式二-2x(8x125)

=-2x1000

=-2000；

41

(2)解：原式

516

=--2•

5'

⑶解：原式=2$铲2；3

=7：

(4)解:原式=3.1x(0.25x8)

=3.1x2

=6.2.

答案第2页，共11页

5.D

【分析】本题考查了有理数的乘法运算，解题的关键是掌握有理数的乘法法则.根据几个不

为零的数相乘，积的符号由负因数的个数确定，当负因数的个数为偶数时积为正，负因数的

个数为奇数时积为负，即可得解.

【详解】解：；5个有理数的积是负数，则5个因数中负因数的个数为1个，3个或5个，

正因数的个数可能为4个或2个或0个.

故选：D.

6'?

【分析】本题考查有理数乘除的混合运算，先将除法转化为乘法，根据多个有理数的乘法法

则计算即可.

x3x—x

3

故答案为:

7.(1)-5

(2)-11

(3)-1799-

⑷一6

【分析】本题主要考查了有理数的四则混合运算，熟练掌握运算律和运算法则是解题的关

键.

(1)根据有理数加法的运算律，同分母的相结合，能凑整的相结合，再进行计算；

(2)运用乘法分配律进行计算即可；

(3)将原式写成“00-《卜(-18),再根据乘法分配律进行计算即可；

(4)倒用乘法分配律a6+ac+ad=a(6+c+d)进行计算即可.

【详解】⑴解：13牛12.5+(一叫一(一2.5)

答案第3页，共11页

4

-3-1+12.5+1-16-1+2.5

7；I7)

T+-16yj+(12.5+2.5)

=-20+15

=-5；

(2)+]x(-36)

(96418广7

7537

=一一x36+-x36一一x36+—x36

96418

=-28+30-27+14

=2-27+14

=-25+14

=-H;

1Q

(3)-99—xl8

19

10°一上;(一⑻

=-100x18+—xl8

19

1Q

=-1800+—

19

=-1799—；

19

⑷18x，||+13x|-4x：

222

=-18x-+13x——4x-

333

=(-18+13-4)x|

=(-9)x|

8.A

【分析】本题主要考查乘法结合律、乘法分配律，将原式变形，即可求得答案.

【详解】A.24x25=3x8x25,不含数字4,该选项符合题意；

B.24x25=6x4x25,含数字4,该选项不符合题意；

C.24x25=(25-1)x25=25x25-25,方案与原式不相等，该选项不符合题意;

答案第4页，共11页

D.24x25=2x2x6x25,方案与原式不相等，该选项不符合题意.

故答案为：A.

9.153

【分析】本题主要考查了运用乘法运算律进行有理数的乘法运算.

【详解】解：711xf+61ixf+51^xl

675645

7、6(「八6、505、4

[6)7I5J614j5

=60+1+50+1+40+1

=153,

故答案为；153.

10.(1)4

(2)-2

(3)0

(4)-1.44

【分析】本题主要考查了有理数除法运算，解题的关键是熟练掌握有理数除法运算法则，准

确计算.

(1)根据有理数除法运算法则进行计算即可;

(2)根据有理数除法运算法则进行计算即可;

(3)根据有理数除法运算法则进行计算即可;

(4)根据有理数除法运算法则进行计算即可.

【详解】(1)解：(-12)+(—3)=12+3=4；

⑵解:2rHHxH}=-2；

(3)解：0+=

(4)解：(一12):)4卜(一100)

=(-12)x(-12)-(-100)

=144+(-100)

=-1.44.

答案第5页，共11页

11.B

【分析】本题考查了有理数的加法、减法、乘除法.根据有理数的加法、减法、乘除法法则

计算出结果，再根据比较有理数大小的方法即可判断.

【详解】解：1+(-4)=一3,1-(-4)=5,lx(-4)=-4,1+(-4)=一'

5>——>-3>-4,

4

计算结果最大的是5,

故选：B.

12.1

dbc

【分析】本题考查的是绝对值的性质以及有理数的加法运算，根据。为正数，=T得

出：瓦。中有一个负数，进而即可求解.

【详解】解为正数，生=-1

|abc|

.•.6,c中有一个负数，一个正数，

设6>0,c<0,

故答案为：1.

13.(1)-1

⑵一5

(3)-1699

【分析】(1)根据有理数乘除混合运算法则进行计算即可；

(2)先转换成乘法，然后根据乘法分配律进行计算即可；

(3)将原式转换为1100jx(-17),然后根据乘法分配律进行计算即可;

(4)根据乘法分配律进行计算即可.

【详解】⑴解：364-1xj-(-9)

答案第6页，共11页

=-9x—,

9

=-1;

1

(2)解:

36

357

=——x36——x36+-x36

496

=—27—20+42

=一5；

(3)解：9喑x(-17)

=1100一,上(一17)

=100x(-17)-^x(-17)

=-1700+1

=-1699；

(4)解:

75

—x—

27

*

2

【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序:

先算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括

号内的运算，注意乘法运算定律的应用.

14.B

【分析】本题主要考查了把有理数乘除混合运算统一为乘法运算，熟练掌握有理数的乘除法

法则是解题的关键.

根据有理数的乘除法法则，即可求解.

【详解】解：25^|x(-6)=25x6x(-6)

故选：B.

15.4

答案第7页，共11页

【分析】根据乘除混合运算，按照顺序自左到右依次计算即可.

77417147

【详解】W：(-48)---(-12)x-=48x-x—x-=48x—x-x-=4,

l74v7471241274

故答案为：4.

【点睛】本题考查了有理数的乘除混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键.

16.(1)640元

(2)王叔叔可能在8站下车，也可能在E站下车，理由见解析

【分析】(1)根据票价二全程票实际价乘,车叁里量程数产，代入数值进行计算，即可作答.

(2)先算出每一公里的钱数，再结合车费160,即可列式代数进行作答.

本题考查了行程问题’正确掌握票价=全程票价”蠹;呈,败内容是解题的关键.

【详解】(1)解：依题意，•・•已知4站至G站全程票价为800元，且/站至G站的里程数

为2000公里

.•.800x小竺=640(元)；

2000

(2)解：800+2000=0.4(元)；

••・王叔叔从。站上车，购买了一张160元的票

.-.160-0.4=400(公里)

结合图形，与。站相距400公里的有3站和£站

所以王叔叔可能在2站下车，也可能在E站下车.

17.D

【分析】本题考查了数轴、有理数的加减法、有理数的乘法，熟练掌握数轴的定义和有理数

乘法运算法则是解题关键.

先根据数轴的定义可得"0<6<c,且上>。|>同，进一步判断0-6<0、a-c<0.

b+c>0,b-c<Q,再根据有理数乘法法则计算，逐项判断即可.

【详解】由数轴的定义得：a<O<b<c,且|c|>网>时，

a-b<0>a-c<0>b+c>0、b-c<0f

A、因为a-6<0,c>0,所以c(a-6)<0,故此选项不符合题意;

B、因为a-c<0,b>0,所以6(a-c)<0,故此选项不符合题意;

答案第8页，共11页

C、因为。<0,b+c>Q,所以。伍+c)<0,故此选项不符合题意;

D、a<0,b-c<Q,所以“(6-c)>0,故此选项符合题意；

故选：D.

18.②1040

【分析】本题考查了有理数的加法和乘法混合运算的实际应用，找出方案是解题的关键.

(1)因为要经济损失最少，就要使总停产的时间尽量短，显然先修复时间短的，分别根据

题意求解判断即可；

(2)一名修理工修按。，C,2的顺序修，另一名修理工修按/,E的顺序修，修复时间最

短，据此计算即可.

【详解】解：(1)①总停产时间：5x6+4x31+3x17+2x8+11=232分钟，

②总停产时间：5x6+4x8+3xl1+2x17+31=160分钟，

③总停产时间：5x11+4x8+3x17+2x31+6=206分钟，

•••经济损失最少的是②，

故答案为：②；

(2)一名修理工修按。，C,8的顺序修，另一名修理工修按/,£的顺序修，

6x3+11x2+31x1+8x2+17=104分钟，

104x10=1040(元)

故答案为：1040.

19.C

【分析】本题考查新定义，解题的关键是正确读懂新定义.根据新定义逐个判断即可得到答

案.

【详解】解:•••8=1X8=2X4,1+2+4=7片8,

••.8不是完美数，故选项A不符合题意；

•.-18=1x18=2x9=3x6,1+2+3+6+9=21*18,

••・18不是完美数，故选项B不符合题意；

:28=1x28=2x14=4x7,1+2+4+7+14=28,

.•.28是完美数，故选项C符合题意；

••-32=1x32=2x16=4x8,1+2+4+8+16=31^32,

••・32不是完美数，故选项D不符合题意；

答案第9页，共11页

故选：c

20.C

【分析】本题考查了数字的变化规律，由题意可知每天减少的量一样，由数的规律求和

；(l+5)x30即可，读懂题意，找出规律是解题的关键.

【详解】解：由题意得，第一天织布5尺，第30天织布1尺，

•••一共织布g(l+5)x30=90(尺)，

故选：C.

21.(1)①②；(2)6；(3)见解析.

【分析】(1)“、6同号，可能同为正数，也可能同为负数即可得到答案；

(2)ab最大