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文档简介
1、函数项级数一致收敛性判别法及其应用栾娈 20111101894数学科学学院数学与应用数学11级汉班指导老师:吴嘎日迪摘要:本文证明了常用的函数项级数一致收敛性的判别法,并通过例题给岀了它的应用.另外,仿照极限的夹逼原理,得到函数项级数一致收敛的夹逼判别法 .关键词:一致收敛,函数项级数,和函数1函数列与一致收敛性qQ(1) 函数项级数一致收敛性的定义:设有函数列Sn ( X )(或函数项级数a Un(X)的n占部分和序列)。若对任给的;.0 ,存在只依赖于;的正整数N(;),使n N (;) 时,不等式Sn(X) S(X)N,一p三N ,及一x三I都有n 4p送 Uk (x)=Sn 郴(X)-
2、Sn(X)=Un 出(X)+ Und2(X)+ Un 卄(X)kM证明:必要性:已知a uk(x)在区间I 一致收敛,设其和函数式S ( x),即k 4S(x) S(x)誇 也有&井(X)S(X)诗 于是n井迟 Uk (x) = Sn非(x) - Sn (x) = Sn4p(x) - S(X)+ S(X)- Sn(X) kzn卅M|Sf(x) S(x)| +|S(x) Sn(x) W +; =E充分性:已知-;0, TN 二 N( ;) N - n N, - p N 及-x In W有送 Uk(x) =|Sn4p(X)-Sn(X)| sk=a十qQ从而J uk(x)在区间收敛S( x ),因为
3、p是任意正整数,所k生cO以当p::时,上述不等式有 &(X)- S(X):;即函数项级数Uk(x)在区间I kT致收敛.余项准则函数列 f n在D上一致收敛于f的充要条件是lim sup fn (x) - f (x) = 03函数项级数一致收敛判别法(1 )充分条件定理1 (魏尔斯特拉斯判别法)若对充分大的n,恒有实数an使得Un(x)|兰an对X上任意的x都成立,并且数项级 数an收敛,则7 Un(X)在X上一致收敛证明 由瓦an的收敛性,对任给的客0,可得N (名),使nN()时an 1 an .2 . - an .p :: ; (p=1,2,),对X上的一切的X我们有Un出(X)+ +
4、Un知(X)勻Unx) +也计&)兰 a + a.电 + + a.# Q ,由一致收敛的柯西充要条件即得定理的结论.例2 若7 an绝对收敛,则an sin nx和an cosnx 在(-:)内都是绝对 收敛和一致收敛的级数.事实上,ansinnx 兰 an ,an cosnx 兰|an ,由魏尔斯特拉斯判别法即可得证定理2(阿贝尔判别法)若在X上7 bn(x) 一致收敛,又对X中每一固定的x,数列an(x单调.而对任意 的n和X中每个x,有an(x)乞L (不依赖于x和n的定数),那么x an(x)bn(x)在 X上一致收敛.这个定理与数项级数的阿贝尔定理相似, 其证明也大体相同,只要利用阿
5、贝尔引 理即可。事实上,由bn(x)的一致收敛性,对任意给定的;0,可得N (;), 使n N (;)时恒有bn + (X)+ +6命(X)| G(p=1,2 ),固定x,由上式及an(x)的单调性,利用阿贝尔引理得到an + (x)bn4f(x) +.+an4p(X)bn(X)|:;(an 1(x) 2an p(x)空3L;(n N(0;p=1,2, .)再从一致收敛的柯西充要条件即可.例3设级数v an收敛,证明lim 7琴八an .t n证明:因为丄 兰1,且丄 一1 (x引0,畑),n = 1,2,.),故丄单调且一致有 nn (n +1)n界,又级数an收敛,即an在0,=)上一致收
6、敛,所以由阿贝尔判别法知,、冀在0,:)上一致收敛,又ax(n =1,2.)在0,:)上连续,nn故- an在0,:)上也连续,nan 八 lim an 八 an. nJ0 n定理3 (狄利克雷判别法) 设J bn (X)的部分和n 4nBn(x)八 bi(x)i=1在X上一致有界,又对X内每一 x,数列an (x)单调,并且函数列 an (x)在X上 一致收敛于零,则a an (x)bn (x)在X上一致收敛.n证明 设送d(x) EL(不依赖于n和x的定数),i =B +那么对X上任意的x和任意的正整数p恒有n北0瓦 b(x)瓦 bi (x)+瓦 bi (x)i旦im 2L因此,禾I用阿贝
7、尔引理n 4ps ai(x)b(x)兰2L(an4i(x) +2an4p(x),i二n卅再由an(x) 一致收敛于零即得例3讨论7 ( 1 2xn的一致收敛性nF (1 x2)n设x2an(x)2、n,n(X)二(-1)(1 +x )n易见对一切n及(皿,畑)都有送Pn(x) 1,即一致有界,另外,对任意固定的X,(:,=)都有aniX2(1 x2)n1a? = (1 x2)n 1 X= 1 x2所以an(x)对任意的x单调递减,并且有an (x)x2x2=(1 x2)n2 01 nx n(nr :)6#故an(x)在(_:,:)上随n-;:而一致收敛于零.qQ(-二,:)内致收敛.依狄利克雷
8、判别法知级数二n -1(2)必要条件函数项级数a un (x)在数级D上一致收敛的必要条件是函数列un (x)在D上致收敛于零.4由极限的夹逼原理得到的一致收敛判别法定理4:已知Un(X),l: Vn(X)在I上一致收敛,且 N N ,当nn理oOn - N 时有 Vn(X)二 Wn(X)咗 Un(X)则二 Wn(X)在 I 上一致收敛.nTQOQ0证明:不妨设n =1开始,便有vn(x)岂wn(x)乞un(x),由un(x) vn(x)在I上n吕n占一致收敛,根据一致收敛的柯西准则:;7, Nr N,当n Nn, pN,有-名 UnH1(X) +Un七(X) +. + Un4p(X) 名即-
9、;::Vn1(X)Vn 2(X). Vn p(X)而Vn(X)乞 Wn(X)乞叫&) (n =1,2,)就必有Y Vn(X)+%七(X) +.+%舟&)兰Wn 1(X) Wn 2(X). . . W p(x)乞Un 1(X) Un 2(X). Un p (x):;0此即wn(x),在I上满足柯西一致收敛条件n生推论:已知数项级数anbn都收敛,若 N N ,当ngn 4nN时有an Wn(X)mbn,XI,贝U函数项级数Wn(x),在I 一致收敛,显然当n 二wn(x)二W,即7 wn(x)为常数项级数,则可判断7 wn(x)收敛.n卫n三qQ定理 5:设函数数列un(x), x a,b, -n N. un(x)在a,b单调,且un(a)及n =Un(b)都绝对收敛,则级数 &Un(x)在a,b一致收敛.n 生n证明时只要注意有min un(a),un(b) un (x max un (a),un
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