函数项级数一致收敛的几个判别法及其应用(终极完整无敌升华版)

1、函数项级数一致收敛性判别法及其应用栾娈 20111101894数学科学学院数学与应用数学11级汉班指导老师：吴嘎日迪摘要:本文证明了常用的函数项级数一致收敛性的判别法，并通过例题给岀了它的应用.另外，仿照极限的夹逼原理，得到函数项级数一致收敛的夹逼判别法 .关键词：一致收敛，函数项级数，和函数1函数列与一致收敛性qQ(1) 函数项级数一致收敛性的定义：设有函数列Sn ( X )(或函数项级数a Un(X)的n占部分和序列)。若对任给的；.0 ,存在只依赖于；的正整数N(；),使n N (；) 时，不等式Sn(X) S(X)N,一p三N ,及一x三I都有n 4p送 Uk (x)=Sn 郴(X)-

2、Sn(X)=Un 出(X)+ Und2(X)+ Un 卄(X)kM证明：必要性:已知a uk(x)在区间I 一致收敛，设其和函数式S ( x)，即k 4S(x) S(x)誇 也有&井(X)S(X)诗 于是n井迟 Uk (x) = Sn非(x) - Sn (x) = Sn4p(x) - S(X)+ S(X)- Sn(X) kzn卅M|Sf(x) S(x)| +|S(x) Sn(x) W +； =E充分性：已知-；0, TN 二 N( ；) N - n N, - p N 及-x In W有送 Uk(x) =|Sn4p(X)-Sn(X)| sk=a十qQ从而J uk(x)在区间收敛S( x )，因为

3、p是任意正整数，所k生cO以当p：:时，上述不等式有 &(X)- S(X)：；即函数项级数Uk(x)在区间I kT致收敛.余项准则函数列 f n在D上一致收敛于f的充要条件是lim sup fn (x) - f (x) = 03函数项级数一致收敛判别法(1 )充分条件定理1 (魏尔斯特拉斯判别法)若对充分大的n,恒有实数an使得Un(x)|兰an对X上任意的x都成立，并且数项级 数an收敛，则7 Un(X)在X上一致收敛证明 由瓦an的收敛性，对任给的客0,可得N (名)，使nN()时an 1 an .2 . - an .p :： ； (p=1,2,)，对X上的一切的X我们有Un出(X)+ +

4、Un知(X)勻Unx) +也计&)兰 a + a.电 + + a.# Q ,由一致收敛的柯西充要条件即得定理的结论.例2 若7 an绝对收敛，则an sin nx和an cosnx 在(-：)内都是绝对 收敛和一致收敛的级数.事实上，ansinnx 兰 an ，an cosnx 兰|an ，由魏尔斯特拉斯判别法即可得证定理2(阿贝尔判别法)若在X上7 bn(x) 一致收敛，又对X中每一固定的x,数列an(x单调.而对任意 的n和X中每个x，有an(x)乞L (不依赖于x和n的定数)，那么x an(x)bn(x)在 X上一致收敛.这个定理与数项级数的阿贝尔定理相似， 其证明也大体相同，只要利用阿

5、贝尔引 理即可。事实上，由bn(x)的一致收敛性，对任意给定的；0,可得N (；), 使n N (；)时恒有bn + (X)+ +6命(X)| G(p=1,2 ),固定x，由上式及an(x)的单调性，利用阿贝尔引理得到an + (x)bn4f(x) +.+an4p(X)bn(X)|:;(an 1(x) 2an p(x)空3L；(n N(0;p=1,2, .)再从一致收敛的柯西充要条件即可.例3设级数v an收敛，证明lim 7琴八an .t n证明：因为丄 兰1，且丄 一1 (x引0,畑),n = 1,2,.)，故丄单调且一致有 nn (n +1)n界，又级数an收敛，即an在0,=)上一致收

6、敛，所以由阿贝尔判别法知,、冀在0,：)上一致收敛，又ax(n =1,2.)在0,：)上连续,nn故- an在0,：)上也连续,nan 八 lim an 八 an. nJ0 n定理3 (狄利克雷判别法) 设J bn (X)的部分和n 4nBn(x)八 bi(x)i=1在X上一致有界，又对X内每一 x，数列an (x)单调，并且函数列 an (x)在X上 一致收敛于零，则a an (x)bn (x)在X上一致收敛.n证明 设送d(x) EL(不依赖于n和x的定数)，i =B +那么对X上任意的x和任意的正整数p恒有n北0瓦 b(x)瓦 bi (x)+瓦 bi (x)i旦im 2L因此，禾I用阿贝

7、尔引理n 4ps ai(x)b(x)兰2L(an4i(x) +2an4p(x)，i二n卅再由an(x) 一致收敛于零即得例3讨论7 ( 1 2xn的一致收敛性nF (1 x2)n设x2an(x)2、n，n(X)二(-1)(1 +x )n易见对一切n及(皿，畑)都有送Pn(x) 1，即一致有界，另外，对任意固定的X，(：，=)都有aniX2(1 x2)n1a? = (1 x2)n 1 X= 1 x2所以an(x)对任意的x单调递减，并且有an (x)x2x2=(1 x2)n2 01 nx n(nr :)6#故an(x)在(_：,：)上随n-；：而一致收敛于零.qQ(-二，：)内致收敛.依狄利克雷

8、判别法知级数二n -1(2)必要条件函数项级数a un (x)在数级D上一致收敛的必要条件是函数列un (x)在D上致收敛于零.4由极限的夹逼原理得到的一致收敛判别法定理4：已知Un(X),l： Vn(X)在I上一致收敛，且 N N ，当nn理oOn - N 时有 Vn(X)二 Wn(X)咗 Un(X)则二 Wn(X)在 I 上一致收敛.nTQOQ0证明：不妨设n =1开始，便有vn(x)岂wn(x)乞un(x)，由un(x) vn(x)在I上n吕n占一致收敛,根据一致收敛的柯西准则：；7, Nr N，当n Nn, pN，有-名 UnH1(X) +Un七(X) +. + Un4p(X) 名即-

9、；:：Vn1(X)Vn 2(X). Vn p(X)而Vn(X)乞 Wn(X)乞叫&) (n =1,2，)就必有Y Vn(X)+%七(X) +.+%舟&)兰Wn 1(X) Wn 2(X). . . W p(x)乞Un 1(X) Un 2(X). Un p (x):；0此即wn(x),在I上满足柯西一致收敛条件n生推论：已知数项级数anbn都收敛，若 N N ,当ngn 4nN时有an Wn(X)mbn,XI，贝U函数项级数Wn(x),在I 一致收敛，显然当n 二wn(x)二W,即7 wn(x)为常数项级数，则可判断7 wn(x)收敛.n卫n三qQ定理 5：设函数数列un(x), x a,b, -n N. un(x)在a,b单调，且un(a)及n =Un(b)都绝对收敛，则级数 &Un(x)在a,b一致收敛.n 生n证明时只要注意有min un(a),un(b) un (x max un (a),un