第三节 齐次方程

1、第三节第三节 齐次方程齐次方程如果一阶微分方程可以写成如果一阶微分方程可以写成 xygxydd齐次方程齐次方程. .即即,uxy 得到得到 u 满足的方程满足的方程).(dduguxux 即即的形式的形式,xyu 作变量代换作变量代换 xydd 代入代入则称之为则称之为 uxxudd 一阶微分方程一阶微分方程1. 齐次方程齐次方程可分离变量的方程可分离变量的方程,)(ddxuugxu xxuugud)(d 分离变量分离变量两边积分两边积分,求出通解后求出通解后, .uxy代代替替用用就得到原方程的通解就得到原方程的通解.一阶微分方程一阶微分方程例例 解方程解方程解解 将方程写为将方程写为22d

2、dyxxyxy 齐次方程齐次方程,xyu 令令,uxy 则则xuxuxydddd 方程变为方程变为21dduuxuxu 即即xxuuud1d132 积分得积分得Cxuu lnln21221 xyxy可分离变量方程可分离变量方程uuxyu 一阶微分方程一阶微分方程 xygxydd0d)(d22 yyxxxy例例 探照灯反射镜的设计探照灯反射镜的设计. .一阶微分方程一阶微分方程在在xOy平面上有一曲线平面上有一曲线L,曲线曲线L绕绕x轴旋转一周轴旋转一周,形成一形成一旋转曲面旋转曲面. 假设由假设由O点发出的光线经此点发出的光线经此旋转旋转曲面形状的凹曲面形状的凹镜反射后都与镜反射后都与x轴平行

3、轴平行(探照灯内的探照灯内的凹凹镜就是这样的镜就是这样的), ,求求曲线曲线L的方程的方程.解解 如图如图,设设 O点点发出的某条发出的某条 ML光线经光线经L上一点上一点M (x, y)反射反射后是一条与后是一条与x轴平行的直线轴平行的直线MS.又设过点又设过点M的切线的切线AT与与x轴的倾角是轴的倾角是. 由题意由题意,. SMTxyO TAS 一阶微分方程一阶微分方程另一方面另一方面,OMA 是是入射角入射角的余角的余角,SMT 是是反射角反射角的余角的余角,于是由光学中的于是由光学中的反射定律反射定律, SMTOMA有有从而从而,OMAO 但但OPAPAO OPPM cot而而.22y

4、xOM 于是得微分方程于是得微分方程,22yxxyy 即即.d)(d22yyxxxy MLxyO TAS PN,xyy 入射角入射角 = 反射角反射角齐次方程齐次方程一阶微分方程一阶微分方程为方便求解为方便求解,yyxxxyd)(d22 视视y为自变量为自变量, x为未知函数为未知函数,yxv 令令则则,yvx 有有,dddvyyvx 代入上式得代入上式得.d)1|()dd(2yvyyvvyyvy 由曲线由曲线L的对称性的对称性, 不妨设不妨设y 0, ,上式上式为为,d)1()dd(2yvvyvyyvy 化简得化简得,d1d2yvvy .d1d2yyvv 分离变量分离变量可分离变量的方程可分

5、离变量的方程.d1d2yyvv 两边积分两边积分一阶微分方程一阶微分方程得得,lnln)1ln(2Cyvv 即即.12Cyvv 由上式可得由上式可得, 122 vvCy即即, 1222 CyvCy以以yxv 代入上式代入上式,得得.222 CxCy这就是这就是曲线曲线L的方程的方程,它是以它是以x轴为对称轴轴为对称轴,焦点焦点在原点的在原点的抛物线抛物线.分析分析.,求求解解比比较较方方便便的的函函数数看看作作把把yx解解 yxdd,yxu 令令,uyx 则则,ddddyuyuyx 方程变为方程变为 yuyudd)1(11 ueu 齐次方程齐次方程可分离变量方程可分离变量方程 yxfyxdd一

6、阶微分方程一阶微分方程)1(11 yxeyx.d)(d)1(的通解的通解求方程求方程yyxxyeyx 两边积分两边积分Cyeuulnln)ln( 即即Ceuyu )(得通解得通解Cyexyx 分离变量分离变量yyueueuud1d1 yuyudd)1(11 ueu一阶微分方程一阶微分方程uuux 11)1(2解解令令则则 y代入方程代入方程, ,1dd112 xxuuu积分得积分得uarctan)1(ln212u )1(ln xC分离变量分离变量, ,得得因方程可变形为因方程可变形为uxy)1(5 得得例例 求解求解一阶微分方程一阶微分方程,)1(uux 2. 可化为齐次型的方程可化为齐次型的

7、方程15 xyu64dd yxyxxy52 xy)1()5()1()5(dd xyxyxy求解求解一阶微分方程一阶微分方程通解通解15arctan xy 2151ln21xy)1(ln xC得得 C = 1,故所求特解为故所求特解为15arctan xy64dd yxyxxy52 xy 22)5()1(ln21 yx为齐次型方程为齐次型方程. .,01时时当当 cc，令令kYyhXx ,(其中其中h和和k是待定的常数是待定的常数)YyXxdd,dd 否则为否则为非齐次型方程非齐次型方程. . XYdd解法解法一阶微分方程一阶微分方程形如形如的微分方程的微分方程111cybxacbyax )(d

8、dfxy cbkahbYaX )(f11111ckbhaYbXa , 0, 0111ckbhacbkah11)1(baba 有唯一一组解有唯一一组解., 0 , 0, 0111ckbhacbkah, 0)1(11 baba有唯一一组解有唯一一组解.)(dd11YbXabYaXfXY 得通解代回得通解代回 ，kyYhxX, 0)2( 未必有解未必有解, 上述方法不能用上述方法不能用.,01时时当当 bba 与与1一阶微分方程一阶微分方程中必至少有一个为零中必至少有一个为零., 0 b若若可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程.)(dd111cybxacbyaxfxy ,byaxz 令令, 0,

9、 01 ab若若),dd(1ddaxzbxy )()dd(11cczfaxzb 可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程.31dd的通解的通解求求 yxyxxy解解, 021111 0301khkh2, 1 kh. 2, 1 YyXx令令,ddYXYXXY 代入原方程得代入原方程得，令令XYu 一阶微分方程一阶微分方程例例 )(dd111cybxacbyaxfxy , hXx 令令 . 0, 0111ckbhacbkah，kYy 是是非齐次型方程非齐次型方程. .方程组方程组是是齐次型方程齐次型方程. . XuXudd分离变量法得分离变量法得方程变为方程变为,11uu ,11dduuXuXu 分离变量法得分离变量法得,)12(22CuuX ,222CXXYY 代回，代回，将将2, 1 yY