材料力学(I)第六章

1、材料力学材料力学()电子教案电子教案简单的超静定问题简单的超静定问题1第第 6 章章 简单的超静定问题简单的超静定问题6-1 超静定问题及其解法超静定问题及其解法6-2 拉压超静定问题拉压超静定问题6-3 扭转超静定问题扭转超静定问题6-4 简单超静定梁简单超静定梁材料力学材料力学()电子教案电子教案简单的超静定问题简单的超静定问题2 约束反力不能由平衡方程求得约束反力不能由平衡方程求得超静定结构：结构的强度和刚度均得到提高超静定结构：结构的强度和刚度均得到提高超静定（次）数：超静定（次）数： 约束反力多于独立平衡方程的数约束反力多于独立平衡方程的数(a)(b)第6章 简单的超静定问题6.1

2、超静定问题及其解法材料力学材料力学()电子教案电子教案简单的超静定问题简单的超静定问题3多余约束：多余约束：在静定结构上在静定结构上再加再加上的一个或几个约束，上的一个或几个约束，对于维对于维持平衡来说是不必要的约束持平衡来说是不必要的约束（但对于特定地工程要求是必（但对于特定地工程要求是必要的）称要的）称多余约束多余约束。对应的约。对应的约束力称束力称多余约束反力多余约束反力由于超静定结构能有效降低结构的内力及变形，在工程由于超静定结构能有效降低结构的内力及变形，在工程上（如上（如等）应用非常广泛。等）应用非常广泛。解超静定问题的关键是找出求解所有未知约束反力所缺少解超静定问题的关键是找出求

3、解所有未知约束反力所缺少的的补充方程补充方程。结构变形后各部分间必须象原来一样完整、。结构变形后各部分间必须象原来一样完整、连续、满足约束条件连续、满足约束条件-即满足即满足变形相容条件变形相容条件。材料力学材料力学()电子教案电子教案简单的超静定问题简单的超静定问题46-2 拉压超静定问题拉压超静定问题. . 拉压超静定基本问题拉压超静定基本问题举例说明拉压超静定问题的解法。举例说明拉压超静定问题的解法。材料力学材料力学()电子教案电子教案简单的超静定问题简单的超静定问题51.1.比较变形法比较变形法把超静定问题转化为静定问题解，但把超静定问题转化为静定问题解，但必须满足原结构的变形约束条件

4、。必须满足原结构的变形约束条件。（1 1）选取基本静定结构（静定基如图），）选取基本静定结构（静定基如图），B B端解除多余约束，代之以约束反力端解除多余约束，代之以约束反力R RB B解解：例例2-16 杆上段为铜杆上段为铜,下段为钢杆，下段为钢杆，222,EA 弹性模量截面积下段长杆的两端为固支杆的两端为固支,求两段的轴力。求两段的轴力。111,EA 弹性模量截面积上段长12FC11AE22AEBABF材料力学材料力学()电子教案电子教案简单的超静定问题简单的超静定问题6（2 2）求静定基仅在原有外力作用下以及仅在代）求静定基仅在原有外力作用下以及仅在代替约束的约束反力作用下于解除约束处的

5、位移替约束的约束反力作用下于解除约束处的位移（3 3）比较两次计算的位移，其值应该满足变）比较两次计算的位移，其值应该满足变形相容条件，建立方程求解。形相容条件，建立方程求解。021BB12FC11AE22AEBA)(1111AEFACCBBF)(2221112为负值BBABBFAEAEF)122211122211122211AEAEFAEFAEAEFAEFBAF材料力学材料力学()电子教案电子教案简单的超静定问题简单的超静定问题7例例2-17 求图所示等直杆求图所示等直杆AB上上,下端的约束力，并求下端的约束力，并求C截面的位移。杆的拉压刚度为截面的位移。杆的拉压刚度为EA。 解解: :2.

6、2.相容条件相容条件BCBC+ +ACAC=0=03.3.物理方程物理方程EAbFEAaFBA6. 6. C截面的位移截面的位移 lEAFabEAaFAC5.5.求解方程组求解方程组4.4.补充方程为补充方程为 NBCBBCFbF bEAEA 1.1.平衡方程平衡方程F FA A+ +F FB B- -F F=0=0EAaFEAaFANACAClaFFlbFFBA,2.2.补充方程法补充方程法材料力学材料力学()电子教案电子教案简单的超静定问题简单的超静定问题8解解: 1) 画画A结点受力图，建立平衡方程结点受力图，建立平衡方程F未知力未知力2 2个，平衡方程个，平衡方程1 1个，为一次超静定

7、。个，为一次超静定。 例例2-182-18 ，F1NF2NF3NFA123A,3,3311AEAE杆为在在F力作用下，力作用下，求各杆内力。求各杆内力。 1、2杆抗拉刚度为杆抗拉刚度为210NNxFFFFFFFNNy31cos2021A321cos312）如图三杆铰结，画）如图三杆铰结，画A节点位移图节点位移图,列列出变形相容条件。要注意所设的变形性出变形相容条件。要注意所设的变形性质必须和受力分析所中设定的力的性质质必须和受力分析所中设定的力的性质一致。由对称性知一致。由对称性知材料力学材料力学()电子教案电子教案简单的超静定问题简单的超静定问题93）物理关系）物理关系33333333111

8、11111cosAEFAEFAEFAEFNNNN5）联立、求解：）联立、求解：33311321133!cos21coscos2AEAEFFAEAEFFNNcoscos:333111AELFAELFNN得4）物理关系代入几何关系，建立补充方程）物理关系代入几何关系，建立补充方程材料力学材料力学()电子教案电子教案简单的超静定问题简单的超静定问题 例例2-192-19刚性梁刚性梁ADAD由由1 1、2 2、3 3杆悬挂，已知三杆材料杆悬挂，已知三杆材料相同，许用应力为相同，许用应力为，材料的弹性模量为，材料的弹性模量为 E E，杆长，杆长均为均为l l，横截面面积均为，横截面面积均为A A，试求各

9、杆内力。，试求各杆内力。材料力学材料力学()电子教案电子教案简单的超静定问题简单的超静定问题解：静力平衡条件：变形协调条件：) 1 ( 3323N2N1NPFFFllll213123,代入物理方程：21312 , 3NNNNF lF lF lF lEAEAEAEA) 2( 3,21312NNNNFFFFaallaall3213121NF3NF2NF求得：PFPFPFNNN149,146,143321材料力学材料力学()电子教案电子教案简单的超静定问题简单的超静定问题12 例例2-19在图示结构中，设横梁在图示结构中，设横梁AB的的变形可以省略，变形可以省略，1，2两杆的横截面面积两杆的横截面面

10、积相等，材料相同。试求相等，材料相同。试求1，2两杆的内力。两杆的内力。2132cos0NNFFF1 1、列出独立的平衡方程、列出独立的平衡方程解：解：2 2、变形几何关系、变形几何关系212cosll 3 3、物理关系、物理关系11,NF llEA 22cosNF llEA4 4、补充方程、补充方程2122cosNNF lF lEAEA5 5、求解方程组得、求解方程组得133,4cos1NFF2236cos4cos1NFFF12l2l1lABaaa材料力学材料力学()电子教案电子教案简单的超静定问题简单的超静定问题13II. 装配应力和温度应力装配应力和温度应力(1) 装配应力装配应力 超静

11、定杆系超静定杆系(结构结构)由由于存在于存在“多余多余”约束，约束，因此如果各杆件在制造因此如果各杆件在制造时长度不相匹配，则组时长度不相匹配，则组装后各杆中将产生附加装后各杆中将产生附加内力内力装配内力装配内力，以，以及相应的及相应的装配应力装配应力。材料力学材料力学()电子教案电子教案简单的超静定问题简单的超静定问题14(2) 几何方程几何方程解解:(1) 平衡方平衡方程程:0sinsin21NNxFFF0coscos321NNNyFFFF13cos)(LL例例2-21 如图，如图，3号杆的尺寸误差为号杆的尺寸误差为 ，求各杆的装配内力。，求各杆的装配内力。BAC12DA13A1FN1FN

12、2FN3AA13L2L1L材料力学材料力学()电子教案电子教案简单的超静定问题简单的超静定问题15cos)(33331111AELFAELFNN(3)、物理方程及、物理方程及补充方程补充方程：(4) 、解平衡方程和补充方程，得、解平衡方程和补充方程，得: / cos21cos33113211321AEAEAELFFNN / cos21cos23311331133AEAEAELFN材料力学材料力学()电子教案电子教案简单的超静定问题简单的超静定问题16两端用刚性块连接在一起的两端用刚性块连接在一起的两根相同的钢杆两根相同的钢杆1、 2（图（图a），其长度），其长度l =200 mm，直，直径径d

13、 =10 mm。求将长度为。求将长度为200.11 mm，亦即，亦即 e=0.11 mm的铜杆的铜杆3（图（图b）装配在）装配在与杆与杆1和杆和杆2对称的位置后对称的位置后（图（图c）各杆内力。已知：铜）各杆内力。已知：铜杆杆3的横截面为的横截面为20 mm30 mm的矩形，钢的弹性模量的矩形，钢的弹性模量E=210 GPa，铜的弹性模量，铜的弹性模量E3=100 GPa。例2-22材料力学材料力学()电子教案电子教案简单的超静定问题简单的超静定问题17(d)解：02 01NN3FFFx，变形相容条件（图变形相容条件（图c）为）为ell31利用物理关系得补充方程：利用物理关系得补充方程：eAE

14、lFEAlF33N3N1将补充方程与平衡方程联立求解得：将补充方程与平衡方程联立求解得：EAAElAeEFAEEAleEAFF211 21133333N332NN1，材料力学材料力学()电子教案电子教案简单的超静定问题简单的超静定问题18求装配内力也是求解静不定问题，其关键仍是求装配内力也是求解静不定问题，其关键仍是根据相容条件建立变形几何方程。根据相容条件建立变形几何方程。以上计算结果表明，很小的制造误差，却产生以上计算结果表明，很小的制造误差，却产生较大的装配应力，从而使构件的承载能力降低。较大的装配应力，从而使构件的承载能力降低。因此，要尽量提高加工精度，减小装配应力的因此，要尽量提高加

15、工精度，减小装配应力的不利影响。不利影响。例题例题 6-3材料力学材料力学()电子教案电子教案简单的超静定问题简单的超静定问题19(2) 温度应力温度应力 也是由于超静定杆系存在也是由于超静定杆系存在“多余多余”约束，杆约束，杆件会因温度变化产生的变形受到限制而产生温度件会因温度变化产生的变形受到限制而产生温度内力及温度应力。铁路上无缝线路的长钢轨在温内力及温度应力。铁路上无缝线路的长钢轨在温度变化时由于不能自由伸缩，其横截面上会产生度变化时由于不能自由伸缩，其横截面上会产生相当可观的温度应力。相当可观的温度应力。材料力学材料力学()电子教案电子教案简单的超静定问题简单的超静定问题20 例例2

16、-232-23图示的等直杆图示的等直杆AB的两端分别与刚性支承连接。的两端分别与刚性支承连接。设两支承间的距离设两支承间的距离(即杆长即杆长)为为L,杆的横截面面积为杆的横截面面积为A，材料的弹性模量为材料的弹性模量为E，线膨，线膨胀系数为胀系数为，试求温度升高，试求温度升高t时杆内的温度应力。时杆内的温度应力。解：温度升高以后，杆将自由地伸长解：温度升高以后，杆将自由地伸长(图图b)。现因刚性支承。现因刚性支承B的的阻挡，使杆不能伸长，相当于在杆的两端加了压力而将杆顶住。阻挡，使杆不能伸长，相当于在杆的两端加了压力而将杆顶住。由平衡方程可知两端的轴向压力相等，而压力的大小仍不知道。由平衡方程

17、可知两端的轴向压力相等，而压力的大小仍不知道。 变形几何方程变形几何方程L=Lt - LF F=0材料力学材料力学()电子教案电子教案简单的超静定问题简单的超静定问题21物理方程物理方程计算表明，在超静定结构中，温度应力是一个不容忽视的因素。计算表明，在超静定结构中，温度应力是一个不容忽视的因素。在铁路钢轨接头处，以及混凝土路面中，通常都留有空隙；高温在铁路钢轨接头处，以及混凝土路面中，通常都留有空隙；高温管道隔一段距离要设一个弯道，都为考虑温度的影响，调节因温管道隔一段距离要设一个弯道，都为考虑温度的影响，调节因温度变化而产生的伸缩。如果忽视了温度变化的影响，将会导致破度变化而产生的伸缩。如

18、果忽视了温度变化的影响，将会导致破坏或妨碍结构物的正常工作。坏或妨碍结构物的正常工作。EAlFlNFtllt 说明原先认为杆受轴向压力是对的，该杆的温度应力为压应说明原先认为杆受轴向压力是对的，该杆的温度应力为压应力。若杆为钢杆，其力。若杆为钢杆，其 =1.2 =1.21010-5-5/()/()，E E=210GPa=210GPa，则当温，则当温度升高度升高t= 40t= 40时，杆内的温度应力上式算得时，杆内的温度应力上式算得0EAlFtlNtEAFN由此得温度应力为由此得温度应力为 = FN/A=Et=Et =100106Pa =100 Mpa (压应力压应力)材料力学材料力学()电子教

19、案电子教案简单的超静定问题简单的超静定问题22 例例2-242-24温度应力：如图所示，钢温度应力：如图所示，钢柱与铜管等长为柱与铜管等长为l，置于二刚性平板，置于二刚性平板间间, ,受轴向压力受轴向压力. .钢柱与铜管的横钢柱与铜管的横截面积、弹性模量、线膨胀系数分截面积、弹性模量、线膨胀系数分别为别为s、s、s，及，及c、c、c。试导出系统所受载荷仅由铜。试导出系统所受载荷仅由铜管承受时，所需增加的温度管承受时，所需增加的温度。（二者同时升温）（二者同时升温）解：变形协调条件解：变形协调条件TlAElPTlSCCCSTCPCTlll材料力学材料力学()电子教案电子教案简单的超静定问题简单的

20、超静定问题23 两端固定的圆截面等直杆两端固定的圆截面等直杆AB，在截面，在截面C处受处受扭转力偶矩扭转力偶矩Me作用，如图作用，如图a所示。已知杆的扭转刚所示。已知杆的扭转刚度为度为GIp。试求杆两端的反力偶矩以及。试求杆两端的反力偶矩以及C截面的扭截面的扭转角。转角。例题例题 6-56-3 扭转超静定问题扭转超静定问题材料力学材料力学()电子教案电子教案简单的超静定问题简单的超静定问题24) 1 (MMMBA静力平衡方程为静力平衡方程为变形协调条件为变形协调条件为解：解：0ABCBAC（2）材料力学材料力学()电子教案电子教案简单的超静定问题简单的超静定问题250BAppIGbMIGaM（

21、3 3）式代入）式代入(2)(2)式即式即物理方程物理方程pIGbMBCB（3）（4）（1 1）式和（）式和（4 4）式联立求解得：）式联立求解得：MbabMA（5）MbaaMBpIGaMAAC材料力学材料力学()电子教案电子教案简单的超静定问题简单的超静定问题26 图图a所示组合杆，由半径为所示组合杆，由半径为ra的实心铜杆和外的实心铜杆和外半径为半径为rb，内半径为，内半径为ra的空心钢杆牢固地套在一的空心钢杆牢固地套在一起，两端固结在刚性块上，受扭转力偶矩起，两端固结在刚性块上，受扭转力偶矩Me作用。作用。试求实心铜杆和空心钢杆横截面上的扭矩试求实心铜杆和空心钢杆横截面上的扭矩Ta和和T

22、b，并绘出它们横截面上切应力沿半径的变化情况。并绘出它们横截面上切应力沿半径的变化情况。例题例题 6-6材料力学材料力学()电子教案电子教案简单的超静定问题简单的超静定问题27实心铜杆和空心钢杆横截面上的扭矩分别为实心铜杆和空心钢杆横截面上的扭矩分别为Ta和和Tb(图图b)，但只有一个独立平衡方程，但只有一个独立平衡方程 Ta+Tb= Me (1) 故为一次超静定问题。故为一次超静定问题。例题例题 6-6解：解：TbTaMe材料力学材料力学()电子教案电子教案简单的超静定问题简单的超静定问题282. 位移相容条件为实心杆和空心杆的位移相容条件为实心杆和空心杆的B截面相对截面相对于于A截面的扭转

23、角相等。在图截面的扭转角相等。在图b中都用中都用 表示（设表示（设A端固定）。端固定）。)2(BbBa 例题例题 6-6TbTaMe材料力学材料力学()电子教案电子教案简单的超静定问题简单的超静定问题293. 利用物理关系由利用物理关系由(2)式得补充方程为式得补充方程为)3( ppppbbbaaabbbaaaTIGIGTIGlTIGlT ，即即例题例题 6-6TbTaMe材料力学材料力学()电子教案电子教案简单的超静定问题简单的超静定问题304. 联立求解联立求解(1)式和式和(3)式得：式得：)4(epppepppMIGIGIGTMIGIGIGTbbaabbbbbaaaaa ，例题例题 6

24、-6TbTaMe材料力学材料力学()电子教案电子教案简单的超静定问题简单的超静定问题315. 实心铜杆横截面上任意点的切应力为实心铜杆横截面上任意点的切应力为 abbaaaaaarIGIGMGIT 0ppep空心钢杆横截面上任意空心钢杆横截面上任意点的切应力为点的切应力为 bbbaabbbbraIGIGMGIT ppep切应力沿半径的变化切应力沿半径的变化情况如图情况如图c所示。所示。ara arb rarb(c)例题例题 6-6材料力学材料力学()电子教案电子教案简单的超静定问题简单的超静定问题32 由图由图c可见，在可见，在 = ra处，处， a b，这是因为，这是因为 Ga C A的情的

25、情况进行分析。此时，支座况进行分析。此时，支座B相对于支座相对于支座A 、C 沉陷沉陷后的点后的点A1 、C1 的连线有位移的连线有位移材料力学材料力学()电子教案电子教案简单的超静定问题简单的超静定问题54于是，如以支座于是，如以支座B1作为作为“多余多余”约束，以约束力约束，以约束力FB为为“多余多余”未知力，则作为基本静定系的简支未知力，则作为基本静定系的简支梁梁A1C1(参见图参见图b)在荷载在荷载 q 和和“多余多余”未知力未知力FB共共同作用下应满足的位移相容条件就是同作用下应满足的位移相容条件就是210CABBBBw 材料力学材料力学()电子教案电子教案简单的超静定问题简单的超静

26、定问题55于是得补充方程于是得补充方程由此解得由此解得 EIlFEIqlEIlFEIlqwwwBBBFBqBB6245482384253434 2624534CABBEIlFEIql 2245413CABBlEIqlF其中的其中的wB按叠加原理有按叠加原理有( (参见图参见图c、d):):材料力学材料力学()电子教案电子教案简单的超静定问题简单的超静定问题56再由静力平衡方程可得再由静力平衡方程可得 23833CABCAlEIqlFF材料力学材料力学()电子教案电子教案简单的超静定问题简单的超静定问题57(2) 梁的上梁的上,下表面温度差异的影响下表面温度差异的影响 图图a所示两端固定的梁所示

27、两端固定的梁AB在温度为在温度为 t0 时时安装安装就位，其后，由于梁的就位，其后，由于梁的顶顶面温度升高至面温度升高至 t1，底，底面面温度升高至温度升高至 t2，且，且 t2t1，从而产生，从而产生约束力约束力如图如图中所示。中所示。 由于未知的由于未知的约束力约束力有有6个，而独立的平衡方个，而独立的平衡方程只有程只有3个，故为三次超静定问题。个，故为三次超静定问题。l材料力学材料力学()电子教案电子教案简单的超静定问题简单的超静定问题58 现将右边的固定端现将右边的固定端B处的处的3个约束作为个约束作为“多余多余”约束，则解除约束，则解除“多余多余”约束后的基本静定系为左约束后的基本静

28、定系为左端固定的悬臂梁。端固定的悬臂梁。它在上它在上, ,下表面有温差的情况下，右端产生转角下表面有温差的情况下，右端产生转角 Bt和挠度和挠度wBt( (见图见图c) )以及轴向位移以及轴向位移 Bt。材料力学材料力学()电子教案电子教案简单的超静定问题简单的超静定问题59 如果忽略如果忽略“多余多余”未知力未知力FBx对挠度和转角的对挠度和转角的影响，则由上影响，则由上,下表面温差和下表面温差和“多余多余”未知力共同未知力共同引起的位移符合下列相容条件时，图引起的位移符合下列相容条件时，图b所示的悬臂所示的悬臂梁就是原超静定梁的相当系统：梁就是原超静定梁的相当系统：0 BxBFBtBx0 BMBFBtBwwwwBy0 BByBMBFBtB 材料力学材料力学()电子教案电子教案简单的超静定问题简单的超静定问题60式中一些符号的意义见图式中一些符号的意义见图c、d、e。0 BxBFBtBx0 BMBFBtBwwwwBy0 BByBMBFBtB 材料力学材料力学()电子教案电子教案简单的超静定问题简单的超静定问题61 现在先来求现在先来求 Bt和和wBt与梁的上与梁的上, ,下表面温差下表面温差( (t2- - t1) )之间的物理关系。之间的物理关系。 从上面所示的图从上面所示的图a中取出的微段中取出的微段dx, 当其下表当其下表