材料力学全部习题解答

1、1材料力学材料力学课后习题讲解课后习题讲解2第一章第一章 绪论绪论31-1 图示圆截面杆，两端承受一对方向相反、力偶矩矢量沿轴图示圆截面杆，两端承受一对方向相反、力偶矩矢量沿轴线且大小均为线且大小均为M 的力偶作用。试问在杆件的任一横截面的力偶作用。试问在杆件的任一横截面m-m上上存在存在何种内力分量，并确定其大小何种内力分量，并确定其大小。 解解：（：（1）假想地沿截面将杆切开，并选择切开后的左段为研究假想地沿截面将杆切开，并选择切开后的左段为研究 对象。由于杆件左端承受对象。由于杆件左端承受力偶矩矢量沿轴线且大小为力偶矩矢量沿轴线且大小为M的力偶作的力偶作用。因此，在截面用。因此，在截面m

2、-m上存在上存在扭矩扭矩 Mx。 （2）由平衡方程）由平衡方程 即即 得截面得截面m-m上的扭矩上的扭矩 xM =00 xMMxMMMxx其真实方向与假设其真实方向与假设的方向一致。的方向一致。41-2 如图所示，在杆件的斜截面如图所示，在杆件的斜截面m-m上，任一点上，任一点A处的应力处的应力p=120 MPa，其方位角，其方位角=20，试求该点处的正应力，试求该点处的正应力与切应力与切应力。 解解：应力：应力p与斜截面与斜截面m-m的法线的夹角的法线的夹角=10， 根据关系式根据关系式 故故 222Psin120 sin1020.8MPapcos120 cos10118.2MPapn5 1

3、-3 图示矩形截面杆，横截面上的正应力沿截面高度线性分布，图示矩形截面杆，横截面上的正应力沿截面高度线性分布，截面顶边各点处的正应力均为截面顶边各点处的正应力均为max=100 MPa，底边各点处的正，底边各点处的正应力均为零。试问杆件横截面上存在应力均为零。试问杆件横截面上存在何种内力分量，并确定其何种内力分量，并确定其大小大小。图中之。图中之C点为截面形心。点为截面形心。 解解：1.问题分析问题分析 由于横截面上仅由于横截面上仅存在沿截面高度线性分布存在沿截面高度线性分布的正应力的正应力，因此，横截面上只存在，因此，横截面上只存在轴力轴力FN 及及弯矩弯矩Mz，而不可能存在剪力和扭矩。，而

4、不可能存在剪力和扭矩。6则：则：2.内力计算内力计算 根据题意，设根据题意，设 .代入数据得：代入数据得：因此因此kya91 10/;kPa m 650 10aPa96( )1 1050 10yy b22()d3.33 kN m( )dzhhAkyay AMyA y22( )d()d200 kNNAhhkyaAAFyzy7解解：微元直角改变量微元直角改变量称为称为切应变。切应变。022aA2 -222bA8第二章第二章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩9轴力图：轴力图：NF解解：(a)(a)以截面以截面A A的形心为坐标点，沿杆建立的形心为坐标点，沿杆建立坐标轴坐标轴x x。取坐标为。取坐标为x

5、x的横截面得到的横截面得到平衡平衡方程方程： 因此，因此， 20NFqaqx2(2)NFqa qx q a x,max2NFqaxxm-m101NF2NF(b)以截面以截面C 的形心为坐标原的形心为坐标原点，沿杆建立坐标轴点，沿杆建立坐标轴x。 段，利用截面法得平衡段，利用截面法得平衡方程：方程： 段，同理段，同理 BCqxF1NAB20NFqa2NFqa因此因此：qaFmaxN，轴力图：轴力图：10NFqxxxa12111NF12NFkN 2NF3NF33kNNF21NFkN33,max623 10 N60MPa50 10 mNtFA31,max622 1040MPa50 10NcFNAmA

6、BCD123AB段段BC段段CD段段最大最大拉拉应力应力最大最大压压应力应力124545解解：杆件横截面上的正应力为：杆件横截面上的正应力为 由于斜截面的方位角由于斜截面的方位角 得该截面上的得该截面上的正应力正应力和和切应力切应力分别为分别为306210 1010MPa1000 10NFNAm0452620045cos10 10cos 455MPapa600451sin210 10sin905MPa22pa013解解：由题图可近似确定所求各量：由题图可近似确定所求各量： 弹性模量弹性模量 屈服极限屈服极限 强度极限强度极限 伸长率伸长率 900220MPa220 10 Pa220GPa0.1

7、0E240MPas445MPab00000max10028ll由于由于 ，故该材料属于，故该材料属于塑性材料塑性材料。0000285sb14解解：（：（1）由图得）由图得 弹性模量弹性模量 （2）当）当 时时正应变正应变 相应的弹性应变相应的弹性应变 ；塑性应变；塑性应变 230MPap0.2325MPa350MPa30.76 100.00076pe00046. 0e0003. 0p比例极限比例极限 屈服极限屈服极限 63350 10700GPa0.5 10E15解解：根据题意及已知数据可知：根据题意及已知数据可知 延伸率延伸率 断面收缩率断面收缩率 由于由于 故属于故属于塑性材料塑性材料。2

8、21100000022210010065.192ddA AAd %5%4 .26%4 .26%100%1000010lllll16 解解：杆件上的：杆件上的正应力正应力为为 材料的材料的许用应力许用应力为为 要求要求 由此得由此得 取取杆的外径杆的外径为为22d-DF4AF ssn mmdFnss87.194D219.87mmD 17解解：1.轴力分析轴力分析 设杆设杆1轴向受拉，杆轴向受拉，杆2轴向受压，其轴力分轴向受压，其轴力分别为别为 和和 ，根据节点，根据节点A的的平衡方程平衡方程；1NF2NF0 xF 0yF 045cosF-F21NN0F-45sinF2N1NF2NF1NFF22N

9、FF2.确定确定 d 与与 b 2114NsFdA 1420NsFdmm 222NFAb284.1NFbmm取取取取20mmd 84.1mmb 18解解：1.轴力分析轴力分析 设杆设杆1轴向受拉，杆轴轴向受拉，杆轴2向受压，杆向受压，杆1与与杆杆2的轴力分别为的轴力分别为FN1和和FN2，则根据节点，则根据节点C的的平衡方程平衡方程 得得同理，对节点同理，对节点B进行分析得进行分析得0 xF 21cos450oNNFF0yF 1sin450oNFF （拉力） F2F1N（压力） FF2N2.确定确定F的许用值的许用值 由于由于 ，因此只需保证杆，因此只需保证杆1安全即可。安全即可。杆杆1的强度

10、条件为的强度条件为故，桁架所能承受的最大载荷即故，桁架所能承受的最大载荷即许用载荷许用载荷为为 AF2 2A22AF 2A2F1NF2NF1NF3NFFF3N3N21NNFFF19解解：1.求预紧力求预紧力 由公式由公式 和和叠加原理叠加原理，故有，故有由此得由此得NF llEA 3312121232221231234FllFlFlllFllllEAEAEAE ddd 31222212318.65kN4E lFlllddd2.校核螺栓的硬度校核螺栓的硬度 根据题中数据知根据题中数据知 此值虽然超过此值虽然超过 ，但超过的百分数在，但超过的百分数在5%以内，故仍以内，故仍符合强符合强度要求度要求

11、。 max2min24514MPaFFAd202-21 图示硬铝试样，厚度图示硬铝试样，厚度=2mm，试验段板宽，试验段板宽b=20mm，标距，标距l=70mm。在。在轴向拉轴向拉F=6kN的作用下，测得试验段伸长的作用下，测得试验段伸长l=0.15mm，板宽缩短，板宽缩短b=0.014mm。试计算硬铝的试计算硬铝的弹性模量弹性模量E与泊松比与泊松比。 解解：轴向正应变：轴向正应变 轴向正应力轴向正应力得硬铝的得硬铝的弹性模量弹性模量由于横向正应变由于横向正应变 得得泊松比泊松比%214. 0%10070015. 0mmmmllpa105 . 1%100m1020102N106bFAF823-

12、3-3NNGpa70%214. 0pa105 . 1E8%07. 0-20014. 0-bbmmmm0.3321解解：1.轴力分析轴力分析由由得得 2.确定确定 及及 值值 根据节点根据节点A的的平衡方程平衡方程 得得FEAFEAF221l2lA解解：1.计算杆件的轴向变形计算杆件的轴向变形 由（由（2-15）可知：）可知： （拉力） KN50FF1N（压力） KN250F2F2N31 11961150 101.50.936mm200 10400 10NF llE A 32 22962250 2 101.51.875mm10 108000 10NF llE A 杆杆2的的缩短缩短为为杆杆1的的

13、伸长伸长为为由由胡克定理胡克定理得得23 2.计算节点的位移计算节点的位移 节点节点A水平位移水平位移 节点节点A铅直位移铅直位移 10.938mmxAl 12003.589mmtan45cos45yllA24解解：1.建立平衡方程建立平衡方程 由由平衡方程平衡方程 得：得： （1） 2.建立补充方程建立补充方程 从变形图中可以看出，变形几何从变形图中可以看出，变形几何关系为关系为利用胡克定律，得利用胡克定律，得补充方程补充方程为为 0BM 1222NNF a Fa F a 1222NNFFF122 ll 122NNF lF lEAEA（2）3.强度计算强度计算 联立方程（联立方程（1）和方程

14、（和方程（2），得），得则则1220kN5NFF2440kN5NFF3162120 1066.730MP0a10NFNAm3226240 10133.3MPa300 10NFNAm1l2l2NF1NF 因为因为 ，故两杆均符合强度要求。，故两杆均符合强度要求。 2125第三章第三章 扭转扭转26解：解：R0-2AcrcosrydAyd dr2Rsin=32=A12RbAnnc0b0ydAyy ay dyn1=bn2ay dy=A（a）（b）r rAcydAy =AzSAAczdAz =AySA27解：解：4444aRzzz2RaaRI =II=1264124（ ）（ ） 边长为边长为a的正方截

15、面可视为由图示截面和一个半的正方截面可视为由图示截面和一个半径为径为R的圆截面组成，的圆截面组成，则则2AI =y dAz2AI =z dAy28解解.（a）沿截面顶端建立坐标轴沿截面顶端建立坐标轴z，y轴不变。轴不变。图示截面对图示截面对z，轴的形心及惯性矩为轴的形心及惯性矩为0.10.500.1Ac0.35ydy20.05ydyydAy =0.1833mA0.35 0.12 0.4 0.05 0.10.5222-34zA00.1I =y dy=y0.35dy2y0.05dy=4.25 10 m则，根据则，根据2-34zzcI =IAy =1.73 10 mZ2zz0I =I +Aa得：得：

16、29（b） 沿截面顶端建立坐标轴沿截面顶端建立坐标轴z，y轴不变轴不变2A=0.8 0.50.55 0.4=0.18mAc0.150.70.800.150.7ydAy =A0.5ydy2 0.05ydy0.5ydy =m0.18 =0.3694m 0.150.70.82222zA00.150.7-24I =y dy=0.5y dy2 0.05y dy0.5y dy =4.005 10 m 则则2-24zzcI =IAy =1.55 10 mZ30OCzyzoyozy解：解：1.计算计算 Iy0 ，Iz0 与与 Iy0z0形心形心C的位置及参考坐标系的位置及参考坐标系Oyz与与Cy0z0 如图所

17、示。如图所示。坐标系坐标系Oyz中中：AcydAy =AAczdAz =A2yAI =z dA计算形心计算形心计算惯性距，惯性积计算惯性距，惯性积2zAI =y dAyzAI =yzdA根据平行轴定理计算相应根据平行轴定理计算相应Iy0 ，Iz0 与与 Iy0z0坐标系坐标系Cy0z0中中：2coyyIIAz2ozzcIIAyo oy zyzccIIAy za312.确定主形心轴确定主形心轴 的方位的方位zy根据式根据式解得主形心轴解得主形心轴 的方位角为的方位角为ya =3.计算主形心惯性矩计算主形心惯性矩根据式根据式由此得截面的主形心惯性矩为由此得截面的主形心惯性矩为yI zI 0 000

18、2tan2y zzyIII0000maxymincos2sin222yyzzyzzIIIIIIIII32解：（解：（1）1. 扭力偶矩计算扭力偶矩计算 kwN mrminpM=9549n由公式由公式知：知：11p50M =9549= 9549N m=1591.5N mn30022p10M =9549= 9549N m=318.3N mn30033p20M =9549= 9549N m=636.6N mn30044p20M =9549= 9549N m=636.6N mn300332.扭矩计算扭矩计算 设轮设轮2与轮与轮1、轮、轮1与轮与轮3、轮、轮3与轮与轮4间的扭矩分间的扭矩分别为别为T1、

19、T2、T3且均为正值。由分析图可知：且均为正值。由分析图可知：12T =-M =-318.3N m221T =-M +M = -318.3+1591.5 N m=1273.2N m34T =M =636.6N m3.扭矩图扭矩图T1T2T3Tx318.3N.m1273.2N.m636.6N.m34（2 2） 若将轮若将轮1 1与与3 3的位置对调，各个轮的扭力偶矩大小不变。的位置对调，各个轮的扭力偶矩大小不变。扭矩计算扭矩计算12TM318.3N m 223TMM954.9N m 34M636.6N mT轴承受的最大扭矩减小轴承受的最大扭矩减小 ，对轴的受力有利，对轴的受力有利。Tmax=95

20、4.9N.m1273.2N.m35解：解： 切变模量切变模量9200 10 Pa80GPa2 1 0.225EG1扭转切应变扭转切应变9380 101.25 10 Pa0. G aG1 Pr对于薄壁圆管截面对于薄壁圆管截面2p02 R2332 3.1415.5 101 10 61.51 10扭矩扭矩maxp60.1GPa 1.51 10T151N m扭力偶矩扭力偶矩MT151N m36解：解：空心圆截面空心圆截面44132pDaI12daD故故434743.1440 101 0.52.355 10 m32pI根据扭转切应力的一般公式根据扭转切应力的一般公式 =pTI 则则A点处的扭转切应力点处

21、的扭转切应力34A71 15 10Pa6.37 10 Pa63.7MPa2.355 10当当D=2时，有时，有-3max-71 20 10=Pa=84.9MPa2.355 10当当d=2时，有时，有-3min-71 10 10=Pa=42.5MPa2.355 1037解：解：1.应力分布图应力分布图考查知识：考查知识：1.右手螺旋法则右手螺旋法则 2. 3.切应力互等定理切应力互等定理 =pTI 382.说明该单元体是如何平衡的说明该单元体是如何平衡的力平衡力平衡力偶距平衡力偶距平衡39= cos2ye40得得4142解：解：扭矩扭矩p10T=M=9549= 9549N m=954.9N mn

22、100实心轴实心轴3pdW =16 maxpT=W 33616T16 954.9d=39.3mm3.14 80 10 空心轴空心轴12d=0.6d342pdW =116 maxpT=W 32416Td=41.2mm1 12d =0.6d =24.7mm43解：解：扭转角的变化率扭转角的变化率d0.0174radrad=0.174mdx100mm圆截极面惯性矩圆截极面惯性矩4-84pdI =1.57 10 m32由圆轴扭转变形的基本公式由圆轴扭转变形的基本公式pdT=dxGI可得：可得：-8p230TdG=84.19GPaIdx0.174 1.57 10444546D40mmm=5.71 10d

23、7mm根据题中数据知根据题中数据知所以所以max38FD 4m2=371.9MPad4m3所以，所以，弹簧强度符合要求弹簧强度符合要求。3.3.校核弹簧强度校核弹簧强度 max400MPa因为因为47解：解：扭矩扭矩pT=M=9549=2.29kN mn强度条件强度条件 maxpT=W31pdW =16 3116Td=66mm 刚度条件刚度条件 pmaxTGI42pdI =32 432Td=68mmG180 钢轴要求同时满足强度条件和刚度条件钢轴要求同时满足强度条件和刚度条件因此，轴径因此，轴径d68mm48解：解：1.扭矩计算扭矩计算 设设AB与与BC的扭矩均为正，并分别用的扭矩均为正，并分

24、别用T1 、T2表示。利用表示。利用截面法和平衡方程截面法和平衡方程得得31T =2M=2 10 N m32T =M=1 10 N mT1T2492.强度条件强度条件 maxpT=W由由3pdW =16 316Td 所以所以33192162 10d=50.3mm3.1480 10d39.9mm3.刚度条件刚度条件 pmaxTGI由由4pdI =32 432TdG180所以所以12d73.5mmd61.8mm4.确定确定d1和和d2轴要求同时满足强度条件和刚度条件轴要求同时满足强度条件和刚度条件，因此，因此12d84.2mmd61.8mm已知已知214dd =3当当d2，max=61.8mm时时

25、d1=84.2mm50解：解：1.建立平衡方程建立平衡方程 设轴设轴A与与B端的支反力偶矩分别为端的支反力偶矩分别为MA与与MB，则轴的平衡方程为，则轴的平衡方程为xM =0， A12MMMM0aB2.建立补充方程建立补充方程由于由于AB两端是固定端，则两端是固定端，则AB=0所以，轴的变形协调条件为所以，轴的变形协调条件为 ABACCDDB=0bAC、CD、DB段的扭矩分别为段的扭矩分别为1AT =M2A1T =MM3BT =MMAMBCD静不定轴静不定轴51根据式根据式pT=GIl得相应的扭转角分别为得相应的扭转角分别为1 1A 1ACppTM=GIGIllA12pMMGICDl B 3D

26、BpM=GIl将上述关系式带入（将上述关系式带入（b），得补充方程为），得补充方程为 ABMM +240=0c3.确定轴的直径确定轴的直径联立求解平衡方程（联立求解平衡方程（a）与补充方程（）与补充方程（c）得）得AM =20N mBM =220N m得得 3216 Td=36.4mm 于是于是1T =20N m2T =380N m3T =220N m 2maxmax3pTT=dW1652解：解：1.建立平衡方程建立平衡方程 设设AB两端的支反力偶矩分别为两端的支反力偶矩分别为MA，MB，则轴的平衡方程为，则轴的平衡方程为xM =0 ABMMM=0a2.建立补充方程建立补充方程由于由于A、B两

27、端是固定端，则两端是固定端，则AB=0所以，轴的变形协调条件为所以，轴的变形协调条件为ABACCB=0AC与与CB段的扭矩分别为段的扭矩分别为1AT =M2BT =MCMAMB53相应的扭转角分别为相应的扭转角分别为1 1ACp1T=GIl2 2CBp2T=GIl得补充方程得补充方程 ABM =2.561Mb3.确定许用扭力偶矩确定许用扭力偶矩 M联立（联立（a）与（）与（b），解得），解得 MA=0.720M ；MB=0.281M AC段：段： 1Amax311TM=dW16 31dM=5.61KN m16 0.720CB段：段： 2Bmax322TM=dW16 32dM=5.24KN m1

28、6 0.281因此，取许用扭力偶矩因此，取许用扭力偶矩 M =5.24KN m54第四章第四章 弯曲内力弯曲内力55(a)解：解：1.计算支反力计算支反力由平衡方程由平衡方程yBF =0M =0，得：得：F = ,ByBF MFl由平衡方程由平衡方程yCF =0M =0，,22SCClFlFF MF,0SAAFF MF SBy,BByBBFFF MMFFl 2.2.分别计算截面分别计算截面A A+ +，C C， B-的剪力与弯矩的剪力与弯矩SAF AM CSFCM-SBF-BMBMByFBMByF56(b)(b)解：解：1. 1.计算支反计算支反力力由平衡方程由平衡方程yAF =0M =0，得

29、得：=,eeAyByMMFFll 2.2.分别计算截面分别计算截面A+A+，C C，B-B-的剪力与弯的剪力与弯矩矩由平衡方程由平衡方程yF =0M =0C，=,eSAAeMFMMlByFAyF,0eSBBByMFMFl ,22eeeSCceMMMlFMMll SAF AM CSFCM-SBF-BMBMByF57(c)(c)解：解：1. 1.计算支反力计算支反力由平衡方程由平衡方程yAF =0M =0，得得：=,AyBybFaFFFabab2.2.分别计算截面分别计算截面A+ A+ ，C- C- ，C+ C+ ，B-B-的剪力与弯矩的剪力与弯矩由平衡方程由平衡方程yF =0M =0C，-AyC

30、AybabF =,Fa=a+ba+bSCFF MFByFAyFAyAyb=,=0a+bSAAFFF MFBya-F =-,0a+bSBBByFF MF +ByCByaab-F =-,Fb=a+ba+bSCFF MF58(d)(d)解：解：1. 1.计算支反计算支反力力由平衡方程由平衡方程yAF =0M =0，得得：2Aqlql 3l3ql=,M =-=-2248AyF2.2.分别计算截面分别计算截面A+ A+ ，C- C- ，C+ C+ ，B-B-的剪力与弯矩的剪力与弯矩由平衡方程由平衡方程yF =0M =0C，-+2AyA2AyCAyA2C3=F =,M =-28F =,F+M =-228,

31、-=-2248=0,0SAASCSCSBBqlqlFMqllqlFMqlqllqlFMFqM AyFAM59(c)(c)解：解：1. 1.计算支反力计算支反力由平衡方程由平衡方程yAF =0M =0，得得：=,=2AyByFF FF2.2.建立剪力与弯矩方程建立剪力与弯矩方程 以截面以截面B B为分界面，将梁划分为为分界面，将梁划分为ABAB与与BCBC两段，并选坐标两段，并选坐标为为x x1 1，x x2 2，如图所示。，如图所示。ABAB段的剪力与弯矩方程分别段的剪力与弯矩方程分别为为121A112=02.02SAyylFFFxlMFxFxx ByFAyFACB1x2xAyFA1SF1M1

32、x(a)(b)A60BCBC段的剪力与弯矩方程分别段的剪力与弯矩方程分别为为22222=0202SlFFxlMFxx 3.3.画剪力与弯矩图画剪力与弯矩图根据式（根据式（a a）、（）、（c c）画剪力）画剪力图图S2F2 2 2C2M2 2 22x(c)(d)SF2 2 2x(-)(+)-FF2根据式（根据式（b b）与（）与（d d）画弯矩）画弯矩图图(-)Mx1-2lF可见，最大剪力与最大弯矩分别可见，最大剪力与最大弯矩分别为为smaxF=Fmax1M=F2l61（e e）解：）解：1. 1.计算支反力计算支反力根据平衡方根据平衡方程程yF =0 AM =0 AyBy2BYFF2q02q

33、F2q =0ll lll 得得：Ay3F =q2lBy1F =q2l2.2.建立剪力与弯矩方程建立剪力与弯矩方程以截面以截面B B为界面将梁划分为为界面将梁划分为ABAB和和BCBC两段，并选坐标如图所示两段，并选坐标如图所示。ABAB段的剪力与弯矩方程分别为段的剪力与弯矩方程分别为： s1Ay1113F =Fqx =qqx0 x22ll 211Ay11111x31M=Fxqx= qxqx0 x2222ll ByFAyFAyF1SF1M1x2x（a）（b）BA1xA62BC段的剪力与弯矩方程分别为段的剪力与弯矩方程分别为 s22F =00 xl 222M =q0 xll3.画剪力与弯矩图画剪力

34、与弯矩图根据式（根据式（a）与（）与（c）画剪力图）画剪力图根据式（根据式（b）与（）与（d）画弯矩图）画弯矩图可见，可见，smax3F=q2l2max93M=qx=82llS2F2 2 22M2 2 2（c）（d）SF2 2 2Mxx32l32ql12ql 298ql2ql2x（+）（+）（-）63（f）解：）解：1.计算支反力计算支反力由平衡方程由平衡方程yF =0 AM =0 AyBy2By1qFF =021qqF=024lllll Ay5F =q8l By9F =q8l2.建立剪力与弯矩方程建立剪力与弯矩方程s1Ay1115F =Fqx =qqx0 x82ll 211Ay11111x5

35、1M= Fxqx= qx + qx0 x2822ll BA得：得：CByFAyF以截面以截面C C为界面将梁划分为为界面将梁划分为ACAC和和CBCB两段，并选坐标如图所示两段，并选坐标如图所示。1x2xACAC段的剪力与弯矩方程分别为段的剪力与弯矩方程分别为：1SF1M1x（a）（b）64s2By29F =F =q0 x82ll 222By2229M =qFx =qq x0 x82llll 3.画剪力与弯矩图画剪力与弯矩图根据式（根据式（a）与（）与（c）画剪力图）画剪力图根据式（根据式（b）与（）与（d）画弯矩图）画弯矩图可见，可见，smax9F=q8l2maxM=qlBC段的剪力与弯矩方

36、程分别为段的剪力与弯矩方程分别为S2F2 2 22M2 2 22xMxSF2 2 2x58ql98ql（+）（+）2716ql2ql（c）（d）65（C）解：）解：1.计算支反力计算支反力由平衡方程由平衡方程yF =0 AM =0 得得ByAyByqFFq=02213qqF=02 424lllllll AyBy1F =q41F =q4ll 2.计算剪力与弯矩计算剪力与弯矩将梁分为将梁分为AC与与CB两段，利用两段，利用截面法，求的各段的起点与终点截面法，求的各段的起点与终点剪力与弯矩分别为剪力与弯矩分别为1,0;4SAAFql M 1,0;4SCCFql M 1,0;4SCCFql M1,04

37、SBBFql M BACByFAyF663.3.画剪力与弯矩图画剪力与弯矩图 由于梁上受均匀载荷作用，各梁段的剪力图为斜直线，弯矩由于梁上受均匀载荷作用，各梁段的剪力图为斜直线，弯矩图为二次抛物线（图为二次抛物线（AC段段q大于大于0，则抛物线呈凹形；，则抛物线呈凹形；CB段段q小于小于0，则抛物线呈凸形）。，则抛物线呈凸形）。剪力图剪力图Fsx（-）（+）（-）14ql14ql 14ql 弯矩图弯矩图2132ql2132ql （+）（-）Mx67（e e）1. 1.计算支反力计算支反力 由对称条件可得：由对称条件可得：1224AyByqlqlFF 2.2.计算剪力和弯计算剪力和弯矩矩1,04

38、SAAFql M 211,;416SCCFql Mql 211,416SCCFql Mql 211,416SDDFql Mql 211,;416SDDFql Mql 1,04SBFql M BBACDByFAyF将梁分为将梁分为AC，CD与与DB三段，利用截面法，求的各段三段，利用截面法，求的各段的起点与终点剪力与弯矩分别为的起点与终点剪力与弯矩分别为683.3.画剪力与弯矩图画剪力与弯矩图 梁梁AC，BD段无分布载荷作用，则其剪力图均为水平直线，段无分布载荷作用，则其剪力图均为水平直线，弯矩图为斜直线。弯矩图为斜直线。CD受均匀载荷作用，且受均匀载荷作用，且q大于大于0，则其剪力图，则其剪力

39、图为斜直线，弯矩图为凹形抛物线。为斜直线，弯矩图为凹形抛物线。剪力图剪力图Fsx14ql 弯矩图弯矩图2116ql 2332ql （+）（-）14ql（-）Mx69（f f）解：）解：1. 1.计算支反力计算支反力由平衡方程由平衡方程yF =0 AM =0 Ay2=032=0333ByAyFFqlqlql llFlql AyBy5F =q910F =q9ll 2.2.计算剪力与弯矩计算剪力与弯矩 将梁分为将梁分为AC，CD与与DB三段，三段，利用截面法，求的各段的起点利用截面法，求的各段的起点与终点剪力与弯矩分别为：与终点剪力与弯矩分别为：5,0;9SAAFql M2217,;954SDDFq

40、l Mql 解得：解得：BACByFAyF255,;927SCCFql Mql 255,;927SCCFql Mql D2717,;954SDDFql Mql 10,09SBBFql M 703.画剪力与弯矩图画剪力与弯矩图 梁梁AC段无分布载荷作用，则其剪力图均为水平直线，弯矩段无分布载荷作用，则其剪力图均为水平直线，弯矩图为斜直线。图为斜直线。CD，DB段受均匀载荷作用，且段受均匀载荷作用，且q小于小于0，则其剪，则其剪力图为斜直线，弯矩图为凸形抛物线。力图为斜直线，弯矩图为凸形抛物线。剪力图剪力图Fsx弯矩图弯矩图2527ql（+）（-）59ql（+）29ql109ql 79ql 175

41、4qlMx71解：解：1. 1.计算支反力计算支反力由平衡方程由平衡方程yF =0 AM =0 得得Ay2 =0()=0ByByFFFFFdFl AyByF =(22)(0()F =(2)FldlldFdl BACDByFAyF722.2.画剪力，弯矩图画剪力，弯矩图 各段梁均无分布载荷作用，则其剪力图均为水平直线，弯各段梁均无分布载荷作用，则其剪力图均为水平直线，弯矩图为斜直线。矩图为斜直线。(22)0;(2);(2)0;()SAAySCAySDBySDSDSAFFFFldFFFldllFFFdFFFl 则：剪力图为则：剪力图为Fsx02ld （+）（-）AyF（+）MxCF 2ldl 73

42、3.3.确定最大弯矩值及小车位置确定最大弯矩值及小车位置 由由M-xM-x图可判断，最大弯矩必在图可判断，最大弯矩必在F F作用处。作用处。利用截面法求左轮的弯矩：利用截面法求左轮的弯矩：2( )(2)2AyFMFldl (0()ld当当24ld 时，时，2max(2)8FldMl 由对称性可知，当由对称性可知，当22344ldldld 时，时，右轮处有最大弯矩值右轮处有最大弯矩值2max(2)8FldMl 744.4.确定最大剪力值及小车位置确定最大剪力值及小车位置由由F FS S-x-x图可判断，最大剪力只能出现在左段或右段，其剪力方程图可判断，最大剪力只能出现在左段或右段，其剪力方程12

43、(22);(2)SSByFFFldFFdllF Fs1 s1和和F Fs2s2都是都是 的的一次函数一次函数，所以当，所以当 =0=0时，即小车右轮在时，即小车右轮在A A点处，点处， ld 1,max(2)sFFldl当当时，即小车右轮在时，即小车右轮在B B点点2max(2)sFFldl 故当故当0 或或时，梁的最大剪力值为时，梁的最大剪力值为(2)Fldl ld 75解：解：1. 1.计算支反力计算支反力 由梁的对称条件可知由梁的对称条件可知ByFAyFCB1x2xAAyF2.计算剪力与弯矩计算剪力与弯矩将梁分为将梁分为AC与与CB两段，利用截面法，求的各段的起点与两段，利用截面法，求的

44、各段的起点与终点剪力与弯矩分别为终点剪力与弯矩分别为梁段梁段ACAC CB CB 横截面横截面 A A+ + C C- - C C+ + B B- - 剪力剪力 0 0 0 0 弯矩弯矩 20112q l014q l014q l 20112q l00763.3.判断剪力与弯矩图的形状判断剪力与弯矩图的形状梁段梁段ACACCBCB载荷集度载荷集度 q q渐减，故渐减，故q q渐增，故渐增，故剪力图剪力图凸曲线凸曲线凹曲线凹曲线弯矩图弯矩图凸曲线凸曲线凸曲线凸曲线0Fq0Fq3.3.画剪力和弯矩图画剪力和弯矩图剪力图剪力图弯矩图弯矩图0Mq 0Mq 77利用剪力，弯矩与载核集度间的关系画剪力与弯矩

45、图利用剪力，弯矩与载核集度间的关系画剪力与弯矩图1.计算支反力计算支反力2.计算各段起点与终点截面的剪力与弯矩值计算各段起点与终点截面的剪力与弯矩值3.判断剪力与弯矩图的形状判断剪力与弯矩图的形状载荷集度载荷集度q（x）=常数常数0剪力图剪力图水平直线水平直线下倾直线下倾直线上倾直线上倾直线弯矩图弯矩图斜直线斜直线凸曲线凸曲线凹曲线凹曲线( )0q x 0Fq载荷集度载荷集度 q渐增，故渐增，故q渐减，故渐减，故剪力图剪力图 凹曲线凹曲线 凸曲线凸曲线弯矩图弯矩图凸曲线凸曲线 凹曲线凹曲线凸曲线凸曲线 凹曲线凹曲线0Fq均匀载荷：均匀载荷：线性分布载荷：线性分布载荷：0Mq 0Mq 0Mq 0

46、Mq 4.4.画剪力与弯矩图画剪力与弯矩图78第五章第五章 弯曲应力弯曲应力79解：解：1.画弯矩图判断画弯矩图判断Mmax由平衡方程得由平衡方程得2.5KN;7.5KN mAyAFM 微分法画弯矩图微分法画弯矩图(7.5KN m;5KN m;0)ABBCMMMM (+)Mx7.5KN m 5KN m AyFAMCBAmax7.5KN mM 2.计算弯曲正应力计算弯曲正应力ZMyI maxmaxmax176MPaZMyImaxKK132MPaZMyImaxZMW 80AyFByF解：解：1.画弯矩图画弯矩图由平衡方程得由平衡方程得31;44AyByFqa Fqa 利用弯矩方程画弯矩图利用弯矩方

47、程画弯矩图23(0):24211(2 ):24AyxqACxaMFxqxqxxCBaxaMqaqx 段段(+)Mx2932qa14qa2max93214CMqaMqa 34a2.计算最大弯曲正应力计算最大弯曲正应力,max60MPaCCZMEW maxmaxmax67.5MPa60CZMMMW 5-5.图示简支梁，由图示简支梁，由 工字钢制成，在集度为工字钢制成，在集度为q的均匀载荷作用的均匀载荷作用下测得横截面下测得横截面C底边的纵向正应变底边的纵向正应变 ，试计算梁内的最大，试计算梁内的最大弯曲正应力，已知刚的弹性模量弯曲正应力，已知刚的弹性模量E=200GPa，a=1m。No184=3.

48、0 10 81解：解：0.160.222200.164420.0226.79 10 mZAIy dAydyy 1. 在中性轴在中性轴y=0处处 22max043.8MPa8sZFbhbhI 2. 在在 处处2hy 22min038.2MPa8sZFbhbhI minmax5-8 梁截面如图所示，剪力梁截面如图所示，剪力Fs=300KN，试计算腹板上的最大，最小，试计算腹板上的最大，最小 弯曲切应力与平均切应力。弯曲切应力与平均切应力。8220222220022202min2( )()441 ()42342.0MPa12hhsZsZszy dyhFb hhhydyIhFbhhhIhF hI 3.

49、计算平均切应力计算平均切应力 22220( )()48sZFyb hhhyI 腹板上的切应力沿腹板高度呈抛物线分布腹板上的切应力沿腹板高度呈抛物线分布83解解（1）1.画弯矩图画弯矩图由平衡方程，解得：由平衡方程，解得：5KN;13KN mByBFM BCDByFBM微分法画弯矩图微分法画弯矩图(13KN m;3KN m;0)BCCDMMMM (-)Mx13KN m 3KN m max13KN mM842.根据强度要求确定根据强度要求确定 b maxmax23263ZZMWbhWb 3max3124.9mm2Mb （2）校核安全校核安全db2b334412(2 )( )1.6 10 m1212

50、ZAZZbbbdIII 10KN mAM33maxAmax410 10124.9 10=Pa7.8MPa1.6 10AZAMyI 由于由于 max10MPaA 所以安全。所以安全。85解：解：1.计算截面形心及惯性矩计算截面形心及惯性矩沿截面顶端建立坐标轴沿截面顶端建立坐标轴z，y轴不变。轴不变。Z 0.050.200.050.150.050.096m0.15 0.052 0.2 0.05ACydydyydyyAA 441221.02 10 mZZZIII 2.画弯矩图画弯矩图由平衡方程得由平衡方程得微分法画弯矩图微分法画弯矩图C10KN;10KN myCFM ABCCyFCMABBC(0;3

51、0KN m40KN m;10KN m)MMMM ；(-)Mx30KN m40KN m (+)10KN m 863.3.判断危险点及校核强度判断危险点及校核强度由弯矩图知由弯矩图知B截面两端为危险截面截面两端为危险截面B-截面截面CM ab,maxc,max=28.2MPa=45.3MPaBatZBbZMyIMyI B+截面截面cdCM c,maxt,max=37.6MPa=60.4MPaBcZBdZMyIMyI 综上：综上：,max,max60.4MPa ; 45.3MPattcc 因此，梁的弯曲强度不符合要求因此，梁的弯曲强度不符合要求87解：解：1.计算计算yc ，IZ6432.22mm

52、; 3.142 10 mcZyI 2.确定确定F当当0l时时();AyByF lFFFll 2()AyFMFllAyFByF故故 时时max1,24FlMbmaxMamax,max1maxt,max24=54.6KN4=6.48KNZcaccZaZtbtZbIMyFIy lIMyFIy l 88当当32ll时时();AyByF lFFFll AyFByF故故 时时max3,22FllMcmax,max3maxc,max4=6.83KN2=12.98KN2cZtttZcdZccZdMyIFIy lMyIFIy l 弯矩图弯矩图(-)MxBmax()AyBMMFlFl dmaxM综上：综上： 6.

53、48KNF F89解：解：F直接作用时：直接作用时：弯矩图弯矩图Mx32F(+) maxmaxmax1,max31.32ZZMyF yIIF间接作用时：间接作用时：弯矩图弯矩图Mx322Fa (+) maxmaxmax2,max322ZZaFyMyII 联立解得：联立解得：1.385ma 所以辅助梁的最小长度所以辅助梁的最小长度a为为1.385m90解：解： 由图分析知固定端截面由图分析知固定端截面A为危险截面为危险截面122;yAzzAyMF xFl MF xF l 1.截面为矩形，确定截面为矩形，确定h，byz+ + + + + + + + + + + +- - - - - - - - -

54、 - - - - - - - - - C由分析图及叠加原理可知：由分析图及叠加原理可知：d点有最大拉应力，点有最大拉应力，f点有最大压应力点有最大压应力其值均为：其值均为：daefmax22662(2 )yAyAzAzAyzMMMMWWb bbb max 由由解得解得35.6mmb 故故271.2mmhb 912.截面为圆形，确定截面为圆形，确定dzy 1234由分析图及叠加原理可知：由分析图及叠加原理可知：在在1,3区边缘某点分别有最大拉应力，最大压应力区边缘某点分别有最大拉应力，最大压应力其值均为：其值均为：maxmax()yAyAzAyzyMzMMyzyIII max22yyMdI 由于

55、由于cos(sin)2 sin()4zyrrr 得得max2()22zyrd 所以所以52.3mmd 92解：解：1.绘制横截面上的正应力分布图绘制横截面上的正应力分布图210MPa84MPaaabbEE 偏心拉伸问题，正应力沿截面偏心拉伸问题，正应力沿截面高度线性分布高度线性分布正应力分布图：正应力分布图：2.求求F和和e 将将F平移至杆轴平移至杆轴则则FN=F，M=Fe解得：解得：F=18.38KN e=1.785mm93解：解：F3350 10Pa10MPa250 10bsbsFabc 20mmc 3350 10Pa1MPa250 10Fbll 200mml 由由1()2eac得得1()

56、2MFeF ac,maxttzFMAW 147mmc FFF94第六章第六章 弯曲变形弯曲变形95附录附录E解：解：1.建立挠曲轴近似微分方程并积分建立挠曲轴近似微分方程并积分由对称条件可知由对称条件可知AyFByF1( )2AyByFFql梁的弯曲方程为梁的弯曲方程为2( )()22AyxqM xFxqxlxx 代入代入22( )d wM xdxEI 得得222()2d wqlxxdxEI 积分，依次得积分，依次得2311()223dwqlxxCdxEI 3411()2612qwlxxCxDEI (1)962.确定积分常数，建立转角与挠度方程确定积分常数，建立转角与挠度方程A,B为铰支座，故

57、梁的位移边界条件为为铰支座，故梁的位移边界条件为0Aw 0Bw (2)联立联立(1),(2)解得解得324qlCEI 0D 因此因此233233(64)24(2)24qlxxlEIqxwlxxlEI （3）3.绘制挠曲轴略图并计算绘制挠曲轴略图并计算wmax，,AB弯矩图弯矩图（+）Mx挠曲轴略图挠曲轴略图wx（-）令令0dwdx 得得(0)2lxxl 所以所以4max25384lxqlwwEI 由式（由式（3）知）知3024AxqlEI 324Bx lqlEI 97解：解：1.建立挠曲轴近似微分方程并积分建立挠曲轴近似微分方程并积分根据梁的平衡方程解得根据梁的平衡方程解得( );( )eeA

58、yByMMFFll梁的弯曲方程为梁的弯曲方程为( )eAyMM xFxxl 代入代入22( )d wM xdxEI 得得22eMd wxdxlEI 积分，依次得积分，依次得22eMdwxCdxlEI 36eMwxCxDlEI (1)982.确定积分常数，建立转角与挠度方程确定积分常数，建立转角与挠度方程A,B为铰支座，故梁的位移边界条件为为铰支座，故梁的位移边界条件为0Aw 0Bw (2)联立联立(1),(2)解得解得6eM lCEI 0D 因此因此2222(3)6()6eeMlxlEIM xwlxlEI （3）3.绘制挠曲轴略图并计算绘制挠曲轴略图并计算wmax，,AB弯矩图弯矩图（-）Mx

59、挠曲轴略图挠曲轴略图wx（-）令令0dwdx 得得3lx 所以所以2max39 3elxM lwwEI 由式（由式（3）知）知06eAxM lEI 3eBx lM lEI 99解：解：1.建立挠曲轴近似微分方程并积分建立挠曲轴近似微分方程并积分根据梁的平衡方程解得根据梁的平衡方程解得( );( )eeAyByMMFFll111()eAyMM xFxxl 211121( )eMd wM xxdxEIlEI 2111112eMdwxCdxlEI 3111 116eMwxC xDlEI (1)10由于由于AC与与CB段弯矩方程不同，因此，挠曲轴近似微分方程段弯矩方程不同，因此，挠曲轴近似微分方程应分

60、段建立，并分别积分应分段建立，并分别积分AC段段 10 xaCB段段 2axl 222()()()eByMM xFlxlxl 222222()()eMd wM xlxdxEIlEI22222221()2eMdwlxxCdxlEI 2322222211()26eMwlxxC xDlEI (2)1002.确定积分常数，建立转角与挠度方程确定积分常数，建立转角与挠度方程A,B为铰支座，故梁的位移边界条件为为铰支座，故梁的位移边界条件为0Aw 0Bw (3)联立（联立（1）（）（2）（）（3）（）（4）解得）解得2211()23eMlCalalEI 10D 因此因此222222(33);(0)6(63